ЧАСТЬ I: ВСТУПЛЕНИЕ
ЧАСТЬ II: ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ
ИНСТРУКЦИЯ РАЗДЕЛА
1. МАНИФЕСТ
2. МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА КАК НЕДЕЛИМОЕ ЦЕЛОЕ
3. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ
4. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: «НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ТЕОРИЯ ПОЛЯ
6. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
7. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
8. ОТОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ МОДЕЛЬЮ «КОНЕЧНЫЙ АВТОМАТ»
9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ЭНЕРГИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ
ЛИТЕРАТУРА
Постоянная ссылка: https://github.com/myfoundation/EvolutionaryEngineering
ИНСТРУКЦИЯ РАЗДЕЛА
Ниже доступно даны элементы математики, каждодневно пользуемые каждым естествознателем (математиком, физиком, инженером). Высшее образование строят на их познании и умении применить. Эти элементы следует запомнить, и взять за каркас, расширяемый и детализируемый обучением.
1. МАНИФЕСТ
В манифестах кратко излагают программу, принципы деятельности, иногда призыв.
У каждого из нас в кармане лежит машина, чьи физико-математические модели чувственно неотличимы от реальности. Она связана с космическими спутниками и миллионами таких же машин. Способна считать и читать каждый удар сердца, эмоцию. Несомненно, эти машины требует эффективной физики и математики.
В школе же будущие учёные и инженеры десять лет осваивают четыре функции арифметики («сложение, умножение» и им обратные), три графика функций («прямая», «степенная», «косинус»), нескольких формульных операций («раскрытие скобок», «производная» и им подобные), и геометрию треугольника, четырёхугольника и окружности. С большего, это всё.
В «Век пара и машин» Сэр Артур Конан Дойль устами Шерлока Холмса оценил данную «тренировку мышления» так.
«Человеческий мозг – это пустой чердак, куда можно набить всё, что угодно. Дурак так и делает: тащит туда нужное и ненужное. И наконец, наступает момент, когда самую необходимую вещь туда уже не запихнёшь. Или она запрятана так далеко, что ее не достанешь. Я же делаю всё по-другому. В моём чердаке только необходимые мне инструменты. Их много, но они в идеальном порядке и всегда под рукой. А лишнего хлама мне не нужно.»[1]
С XIX века ключевые ученые преподают «новую математику» и построенную на ней физику. Рекомендую вдумчивому читателю введение к учебнику Дьедонне (вместе с Вейлем ведущая фигура Бурбаки). Ниже – фрагменты от туда.
[2]
«Уже ряд лет наблюдается серьезная тревога по поводу все увеличивающегося разрыва между методами и духом преподавания математики в средних школах (лицеях), с одной стороны, и в университетах – с другой. Предлагаемая книга содержит полное и подробное изложение понятий и теорем элементарной линейной алгебры, которые должны были бы составлять необходимый минимум знаний бакалавра наук в момент его поступления в пропедевтические классы высшего учебного заведения. Это обучение должно ему казаться естественным продолжением предшествующей учебы. Однако в настоящее время вряд ли найдется даже один среди тысячи бакалавров, способный без дополнительной помощи и упорной работы прочесть данную книгу, что достаточно характеризует несогласованность программ курсов математики в средней и высшей школе. Я заранее прошу прощения у тех университетских коллег, в руки которых попадет эта книга. Они, возможно (и с полным правом!), обвинят меня в том, что я ломлюсь в открытую дверь, причем делаю это к тому же с совершенно ненужным шумом. В свое оправдание скажу, что дверь эта, видимо, открыта не для всех. Обучение математике «по Евклиду» было неплохой подготовкой к дальнейшим занятиям математикой для современников Виета или даже для современников Коши. Сегодня положение коренным образом изменилось. Я прошу вас беспристрастно посмотреть на следующие темы, занимающие большое место в школьной математике: I. Задачи на построение «циркулем и линейкой». II. Свойства «традиционных» фигур, таких, как треугольники, четырехугольники, окружности и системы окружностей, конические сечения... – все это со всеми изощрениями, накопленными поколениями «геометров» и преподавателей в поисках подходящих экзаменационных задач. III. Весь псалтырь «тригонометрических формул» и их калейдоскопических преобразований, позволяющих находить великолепные «решения» «задач» на треугольники. Если вы теперь откроете наугад любую книгу, трактующую какую-либо область, изучаемую в высшем учебном заведении, то сразу заметите, что ни в одной из них нет ни малейшего упоминания всей этой роскоши. Если иногда случайно и встретится коническое сечение, то оно исследуется (если это необходимо) так же, как и всякая другая кривая, – общими методами анализа. Что же касается других «фигур», дорогих сердцам геометров предыдущих поколений, то они просто растворились в небытие. Согласен, скажете вы, пусть теоремы, которым учат школьников, предназначены для того, чтобы в дальнейшем быть забытыми; однако, упражняясь на этих искусственных примерах, они познакомятся с методами исследований и приобретут навыки мышления, которые в дальнейшем окажут им большую помощь. На это опять-таки можно ответить, что сказанное, несомненно, было правильным в эпоху, предшествующую Декарту, но оно устарело уже для современников Ньютона. Следствием развития математики является то, что результаты, которые первооткрыватели получают после трудных рассуждений, следуя по извилистым и иногда темным путям, зачастую через 50-100 лет могут быть выведены на нескольких строчках. Общеизвестным примером такой ситуации является изобретение анализа бесконечно малых. Оно сразу свело решение проблем, над которыми бились изощренные умы Евдокса и Архимеда, к почти автоматическим вычислениям. Что хуже известно – это то, что в результате работ Грассмана, Кэли и других более чем столетней давности, и в элементарной геометрии открылся, по образному выражению Г. Шоке, «королевский путь». Отправляясь от очень простых аксиом – в отличие от сложных аксиом Евклида – Гильберта, – можно при помощи тривиальных вычислений непосредственно и в несколько строчек получить все то, для чего раньше нужно было возводить леса искусственных и сложных систем треугольников. Непосвященному такое явление может показаться удивительным. Специалист-математик давно уже освоился с подобным положением дел и знает, что замена одной системы аксиом другой – эквивалентной, но лучше подобранной – зачастую приводит к значительным упрощениям. Что же полезнее – излагать ученикам теории, где все естественно укладывается вокруг нескольких простых ключевых идей, которые, кроме того, будут основными и в их дальнейшей учебе, или же, напротив, оставить их лицом к лицу с неподходящим аппаратом, который им нужно будет забыть, как только они его освоят? Можно ли рассматривать накопление частных, более или менее разрозненных познаний для подготовки ко всевозможным профессиям целью среднего образования? Не лучше ли попытаться научить детей думать на примере небольшого числа хорошо подобранных понятий с тем, чтобы в дальнейшем технические навыки смогли с легкостью надстраиваться в «хорошо подготовленные головы». Это тем более просто, что в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и понятие линейного преобразования. Одно из преимуществ линейной алгебры в том и состоит, что она позволяет изложить элементарную геометрию с полной строгостью и совсем просто, между тем, как хорошо известно, аксиоматические системы, предложенные в конце прошлого столетия и тесно следующие традициям Евклида, столь сложны и тонки, что они практически не могут быть изложены ранее, чем на старших курсах университета. Я являюсь решительным противником «метода предварительного возведения лесов». Такой подход был бы оправдан, если бы понятия, лежащие в основе аксиом евклидовой плоскости – сложение векторов, умножение вектора на скаляр, скалярное произведение векторов, – были бы слишком абстрактны и труднопредставимы на чертеже. Однако все знают, что это не так, – и нескольких месяцев работы с миллиметровой бумагой должно быть достаточно, чтобы приучить ученика к этим действиям и привести его к допущению, что можно построить алгебро-геометрическое здание на свойствах, правильность которых легко проверяется на опыте. Нужно научить ребенка искусству геометрических построений, но при этом следует как чумы избегать этого воплощенного анекдота классического обучения – ограничения набора допустимых инструментов лишь циркулем и линейкой. Напротив, нужно приводить как можно больше примеров механических чертежных инструментов, позволяющих осуществлять самые различные конструкции или – еще лучше – преобразования плоскости (пантограф, аффиннограф и так далее). Желательно как можно раньше освободить ученика от смирительной рубашки традиционных фигур, упоминая их как можно реже (за исключением, конечно, таких, как точки, прямые и плоскости), и пользоваться вместо этого геометрическими преобразованиями всей плоскости или всего пространства. В целом преподавание в средних классах школ должно состоять из хорошо продуманной смеси умело выбранных «геометрических опытов» и частных рассуждений относительно результатов таких опытов: по аналогии с обучением физике и химии, это должно составить своеобразную «физику пространства». Нужно освободить обучение математике от суеверия, что все любой ценой должно быть сведено к единому аксиоматическому источнику. Математики-профессионалы имеют веские основания стремиться к такому положению вещей, но эти основания касаются только их. Что, напротив, имеет всеобщее значение – это умение осуществлять правильные логические выводы из посылок, которые вовсе не обязаны обладать генеалогическим древом, восходящим к теории множеств. Надеюсь, что мне поверят, если я в конце отмечу, что, вмешиваясь в вопросы среднего образования, я не преследую никакой личной выгоды. От того, где и когда произойдет реформа образования и какие принципы будут положены в ее основу, мне не холодно и не жарко. Я хотел только добавить для архивов будущего историка некоторый материал о том, как при этом можно было бы поступать, если стремиться действовать разумно.»
О том же говорят и педагоги.
«До недавнего времени школьники, да и не только они, были убеждены в существовании двух математик – элементарной и высшей. Элементарная изучалась в школе и заканчивалась логарифмами, биномом Ньютона и задачами на применение тригонометрии в стереометрии. Она приносила немало неприятностей старшеклассникам, многие из которых выходили из стен школы с убеждением, чтя это не для них. И отдельно существовала высшая математика, о которой школьник в лучшем случае знал, что она изучается в вузах, что там есть векторы, дифференциалы и интеграл.
В соответствии с таким делением определялось и содержание популярной литературы для школьников. И из нее нередко можно было вынести мнение о математике, как о собрании головоломных задач, для решения которых необходимо обладать совершенно особенными способностями.
В действительности же дело обстоит далеко не так. Современная школьная программа позволяет избавиться от ненужного деления нашей пауки на «младшую» и «старшую». Она знакомит семиклассника с векторами, девятиклассника – с производной, десятиклассника – с интегралом. Это дает возможность любому школьнику еще в школе познакомиться с тем, чем занимается математика-наука.
Прекрасную возможность для самостоятельной творческой работы представляет дифференциальная геометрия – раздел математики, возникший как естественное обобщение и развитие одной из задач, рассматриваемых еще в школе, – задачи о проведении касательной. Именно при решении этой геометрической задачи возникли понятия дифференциала и дифференциального исчисления, а применение этого исчисления к исследованию линий и поверхностей и составляло в течение XVIII и XIX вв. содержание дифференциальной геометрии. Эту часть дифференциальной геометрии стали теперь называть классической или локальной.» [3]
2. МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА КАК НЕДЕЛИМОЕ ЦЕЛОЕ
«Математика – часть физики. Физика – экспериментальная, естественная наука, часть естествознания.
В середине двадцатого века была предпринята попытка разделить математику и физику. Последствия оказались катастрофическими. Выросли целые поколения математиков, незнакомых с половиной своей науки и, естественно, не имеющих никакого представления ни о каких других науках.
Они начали учить своей схоластической псевдоматематике сначала студентов, а потом и школьников (забыв о предупреждении Харди, что для уродливой математики нет постоянного места под Солнцем).
Поскольку ни для преподавания, ни для приложений в каких-либо других науках схоластическая, отрезанная от физики, математика не приспособлена, результатом оказалась всеобщая ненависть к математикам – и со стороны несчастных школьников и со стороны пользователей.
Открытия связей между разнородными математическими объектами можно сравнить с открытием связи электричества и магнетизма в физике. Эмоциональное значение таких открытий для преподавания трудно переоценить. Именно они учат нас искать и находить подобные замечательные явления единства всего сущего. Дегеометризация математического образования и развод с физикой разрывает эти связи.» [22]
«Экспериментальная и математическая физика имеют общий предмет изучения и различаются только применяемыми ими методами исследования. Обе эти ветви науки образуют вместе одно целое, единство которого обеспечивается их взаимодействием. Физик-экспериментатор, лишенный помощи теоретика, бессилен в такой же степени, как теоретик без поддержки физика-экспериментатора.
Метод математической физики состоит в использовании фактов, устанавливаемых математикой. Этот метод, постоянно проверяемый экспериментальным путем, привел к огромным успехам, что дает физикам твердую уверенность в его применимости. Однако физики рассматривают этот метод лишь как инструмент и необходимый вспомогательный аппарат. Переоценивать математический метод и математический формализм было бы столь же неверно, как и пренебрегать ими.» [23]
3. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ
«Негеометр да не войдёт», гласила надпись над входом в Академию Платона. Это изречение Коперник поставил эпиграфом к своему трактату «О вращении небесных сфер».
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия», в начале XX в. охарактеризовал наше время Ле Корбюзье.
«Так как все, что ни есть, находится в пространстве, то геометрия, как теория пространственных форм и отношений, имеет всеобщее значение. Мы окружены ее реальными воплощениями, она лежит в основе всей техники, появляясь всюду, где требуется малейшая точность в определении форм и размеров.
Геометрия возникла из практических задач. Технику, инженеру, квалифицированному рабочему геометрическое воображение необходимо, так же как и геометру или архитектору; математику понимание ее связей с другими науками и практикой чрезвычайно важно.
Геометрическая фигура в исходном смысле и есть не что иное, как идеальный, отвлеченный от всякого материала образ реального тела, реальной поверхности или линии. Идеальные геометрические фигуры и понятия существуют только в нашем представлении. Причина их ввода в том, что они нужны для точного решения задач и для точных теоретических выводов. Отвлекаясь от материала, можно мыслить тело идеально точной формы и размеров. В природе и технике нет отрезков без ширины, бесконечных прямых, точек без размеров.
Геометрия есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. Во всяком геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют два эти элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон, нет и подлинной геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика – привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины – «лед и пламень не столь различны меж собой». Так геометрию и изучают: соединяя живость воображения с логикой, а наглядные картины – со строгими формулировками и доказательствами.
Поэтому основное правило состоит в том, что, обращаясь к определению, теореме или задаче, нужно представить в предметах (наглядно), нарисовать или вообразить то, о чем идет речь, и одновременно понять, как это точно выражается.
Для точного решения практических задач нужны точные правила, последние требуют точных понятий. Тем более точных понятий требует вывод одних правил из других (теория). Выводы, слагающиеся в логическую систему геометрии, относятся только к идеальным фигурам. Например, теорема Пифагора верна для идеальных треугольников, а к реальным применима в приближении. Однако, практика всегда показывала возможность сделать формы тел и геометрические построения более точными. Неточности связаны с особенностями материала «реальных тел».
Логическая система, где все доказано, важна для воспитания элементов научного мировоззрения, которое требует доказательств, а не ссылок на то что «так сказано в учебнике». Однако учащиеся не должны знать все доказательства; достаточно, если они разберутся в них, а знать будут только некоторые, наиболее существенные. Развитие логического мышления требует упражнения, а не запоминания готовых выводов. Каждый человек имеет наглядное понятие о пространстве, о телах, о фигурах. В геометрии свойства фигур изучаются в отвлеченном (абстрактном) виде и с логической строгостью.» [4]
4. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: «НОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
Весь ХIХ век шло интенсивное строительство новых аппаратов математики, а физика начала работать с объектами уровня атомного ядра. К началу ХХ века математика коренным образом перестроилась; геометрия предыдущих веков в процессе эволюционного развития утратила своё основное значение для техники и науки (стала рудиментом).
Под «геометрией» теперь, в первую очередь, мы понимаем геометрию теории поля, геометрию аналитической механики и теории упругости; куда, как известно, входят элементами аналитическая геометрия, геометрия матриц и дифференциальных операторов. Уясним её место в естествознании.
«Если математика может рассматриваться как язык естествознания, то только потому, что языком математики является геометрия. Геометрическая терминология буквально пронизывает всю математику и создает связь между самыми абстрактными ее понятиями и пространственной интуицией. Поэтому всякий геометрический термин имеет две стороны: абстрактную и наглядную, связанную с интуицией и воображением.
Но геометрия – это не только язык математики, но и поэзия математики, и не случайно именно геометрические задачи положили начало большинству математических дисциплин: дифференциальному, интегральному и вариационному исчислениям, функциональному анализу, гомологической алгебре и многим другим.
Так, геометрическая операция нахождения касательной к кривой линии преломляется в анализе как нахождение производной, т. е. предела отношения, в механике – как нахождение скорости, а в алгебре – как линейное отображение особого вида. Весь этот спектр значений может вновь сойтись в теории дифференцируемых многообразий и найти общее применение в теории полей тяготения. Именно геометрические интуитивные представления помогают переносить понятия из одной области математики в другую, расширяя тем самым их значение. Более того, многим разделам математики именно геометрия придает смысл и значение, так как без ее посредничества они никогда не нашли бы приложений в естествознании.» [5]
«В вопросе о понятии пространства гораздо отчетливее чем в вопросе о вещественных числах, проявляется проблема соотношения математики с так называемой действительностью. Ньютон формулирует свою позицию следующим образом: «Основанием для геометрии является практика механики, и в действительности геометрия есть не что иное, как та часть механики в целом, которая точно устанавливает и обосновывает искусство измерения». Или, словами Гонсета: «Геометрия – это физика произвольного пространства».
Ньютон и классическая физика начинают, таким образом, с молчаливого предположения о существовании некоторого физически независимого субстрата, а именно пустого пространства, и создают понятие геометрии из идеализаций реальностей: точек, прямых, расстояний, углов и соотношений между ними. Возможность достичь широкого согласия о свойствах этих идеализированных реальностей была продемонстрирована еще древними; оно продолжает жить без изменений в школьной геометрии. В этом смысле евклидова геометрия образует систему отсчета, аналогичную континууму.» [6]
«Со времени Ньютона вся совокупность наук, занимающихся исследованием явлений материального мира, называется натуральной философией, или естествознанием. К естественным наукам относится и теоретическая механика, изучающая законы движения тел и называемая ещё иначе аналитической механикой.
Тот отдел механики, в котором движение изучается вне зависимости от сил, обусловливающих данное движение, называется по Амперу кинематикой. Здесь рассматриваются пространственные соотношения и их изменения, совершающиеся с течением времени.
Другими словами, кинематика есть не что иное, как геометрия, в которой независимой переменной служит время. Движущийся объект в кинематике важен лишь по своей форме и по своему положению; это объект геометрический: точка, линия, поверхность, тело или совокупность их.» [7]
«Математическая теория упругости старается выяснить изменения геометрического и механического состояния тела в процессе его деформации. Речь идет об определении и оценке геометрических величин, характеризующих деформации тела, а также об оценке внутренних сил, называемых напряжениями, которые возникают в процессе деформации.
Для анализа деформированного и напряженного состояний применяются методы математической физики. Для этого определяется понятие сплошной среды, ее плотности, рассматриваются геометрические величины, описывающие изменения тела, внутренние силы, их связь с внешними воздействиями. Соотношения между внутренними силами и деформациями берутся из эксперимента. Поэтому теория упругости является феноменологической теорией.» [8]
«Если отвлечься от крайностей, то алгебра издревле составляла существенную часть математики. То же самое следовало бы сказать и о геометрии, но мы скроемся за крылатой фразой Софи Жермен (XIX век): «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».» [9]
Геометрия – это «наше всё».
5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Единая теория поля ставит своей задачей единое описание всей физики на основе модели единого поля (совокупности полей). Первая успешная классическая единая теория поля была разработана Максвеллом.
«Каждое физическое явление, происходящее в пространстве и во времени, уже образует поле. Теория поля лежит на границе между физикой и геометрией. Теория поля, по моему мнению, представляет собою в настоящее время главное зерно всей теоретической физики. Выделяя теорию поля, мы отчасти избегаем повторения выводов одних и тех же теорем в её различных отделах.» [10]
«Основная задача классической теории поля состоит в разработке механики, электродинамики и термодинамики непрерывных сред в трехмерном эвклидовом пространстве. Более конкретно, главной задачей классической теории поля является исследование дифференциальных уравнений в частных производных, которые справедливы в эвклидовом пространстве для механических, термических и электромагнитных параметров состояния, зависящих от пространственных координат и времени.» [11]
6. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Физика – наука отображения объектов природы уравнениями движения. Ключевое место в этом занимают средства отображения предмета его «пространством состояний»: математика теории поля, аппарат аналитической механики и системы дифференциальных уравнений. Эти средства связаны между собой, и часто имеют вычислителями в концовке метод конечных разностей (либо метод конечных элементов).
[12]-[16]
«В нашем университете был введен курс лекций «Основные принципы классической механики и классической теории поля», включающий квинтэссенцию классических разделов теоретической физики. Я подготовил такой курс и дважды прочитал его. Важность этого материала для основ физики и отсутствие единого его изложения в существующих учебниках побудили меня сделать данный курс общедоступным, издав его в виде настоящей книги.» [12] «Не случайно принципы механики производили огромное впечатление на многих выдающихся математиков и физиков. Не случайно также, что в европейских университетах с давних пор курс теоретической механики обязательно входит в план обучения любого будущего математика и физика. Аналитическая механика – это гораздо большее, чем просто эффективный метод решения динамических задач, с которыми приходится встречаться в физике и технике. Вряд ли существует еще какая-либо из точных наук, где абстрактные математические рассуждения и конкретные физические доводы так прекрасно гармонируют и дополняют друг друга. За великими теориями Эйлера и Лагранжа, Гамильтона и Якоби скрывается необычайное богатство философского содержания, которое совершенно исчезает при чисто формальном изложении, но которое не может не быть источником величайшего интеллектуального наслаждения для человека, любящего математику. Дать студенту возможность открыть для себя скрытую красоту этих теорий – в этом заключалась одна из главных задач автора. Корни вариационных принципов механики уходят в глубь эпохи либерализма, начавшейся с Декарта и окончившейся с французской революцией, эпохи, в которую жили Лейбниц, Спиноза, Гёте и Бах. Это был единственный период во всей истории Европы со времен древних греков, когда люди мыслили в масштабах Вселенной. Если автор сумел передать хотя бы частицу этого космического духа, то его усилия вполне вознаграждены.» [13] «Каждой механической системе сопоставляется некоторая функция обобщенных координат, обобщенных скоростей системы, и времени: L = L (координат, скоростей, времени) называемая функцией Лагранжа. Обобщенными координатами называются любые величины, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Обобщенными скоростями называются производные обобщенных координат по времени. Установив для рассматриваемой механической системы вид функции Лагранжа, можно описать движение системы с помощью уравнений, связывающих частные производные функции L по координатам и скоростям. Функция Лагранжа может быть использована для характеристики не только систем с конечным числом степеней свободы, но и систем с бесконечным числом степеней свободы – сплошных сред, электромагнитных и других физических полей. Таким образом, значение функции Лагранжа выходит за рамки классической механики.» [14] «Системы, где есть преобразователи электрической энергии в другие виды и наоборот, описываются с помощью уравнений аналитической механики. Для электромеханических систем описание с помощью уравнений Лагранжа наиболее естественно. Это позволяет выделить обширный класс систем, для которых применим лагранжев формализм, что полезно в методическом и в принципиальном отношении. Основываясь на общности математического аппарата, можно использовать многие важные факты, полученные в аналитической механике, для интерпретации их в терминах теории цепей. Возможность использования методов аналитической механики в теории электрических цепей известна со времен Максвелла. Это положение сейчас столь очевидно, что во многих учебниках по теоретической электротехнике и теории цепей приведены примеры, показывающие применимость уравнений Лагранжа и Гамильтона. Аналогом кинетической и потенциальной энергий выступают магнитная и электрическая энергии цепи соответственно. Уже в работах Максвелла указан формальный прием построения уравнений Лагранжа для линейных цепей с двухполюсниками. Описание электрических цепей уравнениями классической механики имеет еще одну положительную сторону. Для численного решения уравнений типа Лагранжа и Гамильтона возможно построение специальных методов численного интегрирования, которые оказываются либо более эффективными, либо лучше отображают истинные свойства решений.» [15] «Механика прошла три основных этапа. К первому мы должны отнести развитие механики вплоть до Галилея и Ньютона; второй этап, начатый Галилеем и Ньютоном и включивший в себя разработку основных принципов механики в целом, заканчивается к половине девятнадцатого столетия; с этого времени, связанного с открытием закона сохранения и превращения энергии, начинается третий этап. Первый этап, занявший более полутора тысяч лет древнего мира и средневековья, характеризуется крайне низким уровнем развития техники. В силу этого и механика имела своим ближайшим объектом примитивные орудия этой эпохи – простые рычаги, блоки и т.п., привязанные к тому же к земле. Формулировка и применение основных законов динамики и обобщение механики с земных тел на все вообще соотношения тел во вселенной были задачей XVI и XVII веков. Эта эпоха была эпохой развития торгового и мануфактурно-промышленного капитализма. Развитие применения машин как в производстве, торговле, так и в военном деле ставило задачи развития механики и астрономии, а вместе с ними и математики. В тот период механика была господствующей и наиболее развитой среди естественных наук. С бурным развитием в XIX веке физики, производства и связанной с ним техники, одно из центральных достижений этой науки составляет принцип сохранения энергии и превращаемости ее форм. Обозначая через T кинетическую энергию, через V – потенциальную, через Q – тепловую, через X – электрическую и т. д., запишем закон сохранения энергии так: T + V + Q + X + ... = const т.е. ΔT + ΔV + ΔQ + ΔX + ... = 0 Эти уравнения содержат ту мысль, что механическое движение является лишь одной из форм физических движений материи, и что механическое движение может превращаться в другое – тепловое, электрическое и т.п. Первая формула указывает на постоянство полной величины энергии всех ее видов, вторая – на переход одного из них в другой. Здесь, таким образом, механике придана уже не механическая, а общефизическая основа.» [16]
«Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состояний процесса называется фазовым пространством. Фазовое пространство механической системы – это множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. Движение всей системы описывается движением точки по кривой в фазовом пространстве.
В каждой точке фазового пространства задан вектор – он называется вектором фазовой скорости. Все векторы фазовой скорости образуют векторное поле фазовой скорости в фазовом пространстве. Это векторное поле определяет дифференциальное уравнение процесса (зависимость скорости движения фазовой точки от ее положения).
Основная задача теории дифференциальных уравнений состоит в определении или исследовании движения системы по векторному полю фазовой скорости. Понятие фазового пространства сводит изучение эволюционных процессов к геометрическим задачам о кривых, определяемых векторными полями.» [17]
7. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Под «вычислителями» понимают машины и алгоритмы численных расчетов математики.
«Иногда удается упростить задачу настолько, что в уравнениях остается одна независимая переменная, т. е. задача приводится к одномерной. Полученные таким образом дифференциальные уравнения содержат одну независимую переменную и могут быть в принципе решены точными аналитическими методами.
В большинстве случаев принципиально, невозможно привести задачу к одномерному виду и решить ее точными аналитическими методами.
Среди конструкторов радиоэлектронной аппаратуры все большей популярностью пользуется метод конечных разностей, или метод сеток. Можно было бы его назвать и методом кубиков, поскольку в основе его лежит построение моделей сложных физических процессов, происходящих в больших объемах пространства из простых элементарных процессов, происходящих в малом объеме обычно кубической формы. Всегда можно перейти от уравнений в частных производных к (численным) уравнениям в конечных разностях и наоборот.» [18]
«Появление электронных вычислительных машин коренным образом изменило ситуацию в области решения дифференциальных уравнений с частными производными. Большинству инженеров-практиков в настоящее время стало доступным численно исследовать поставленные перед ними задачи.
Если же конструкция в целом неоднородна и состоит из большого количества отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае, как правило, можно непосредственно применить лишь метод конечных элементов.
Ключевая идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на области (конечные элементы), в каждой из которых поведение среды описывается с помощью отдельного набора выбранных функций.
Начиная с 1955 г. метод распространился на наиболее перспективные направления численного исследования задач математической физики. Термин «математическая физика» используется здесь для обозначения широкого круга аналитических задач – расчет конструкций, теплопередача, течение жидкости, распространение электромагнитных волн. Популярность метода и интерес к нему как раз и объясняются указанной выше возможностью отражать реальные аспекты, возникающие в прикладных задачах проектирования.» [19]
8. ОТОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ МОДЕЛЬЮ «КОНЕЧНЫЙ АВТОМАТ»
«Конечный автомат» – ни что иное, как форма отображения уравнения движения над пространством (дискретных) состояний.
[20]
«Движение системы можно рассматривать как цепь преобразований ее состояний. Состояние любой системы можно, с определенной точностью, охарактеризовать совокупностью значений величин, определяющих ее поведение. Есть различные формы описания состояния системы. Мы будем пользоваться способом, основанным на понятии пространства состояний. Пространство, где каждое состояние системы изображается определенной точкой (алгебраический вектор), назовём пространством состояний системы. Термин «дискретный автомат» или кратко просто «автомат» обозначает модель, обладающую следующими особенностями: а) на «входы» модели в каждый из дискретных моментов времени t1,t2,t3,... поступает m «входных» величин (вектор алгебраический) { x1,x2,x3,...,xm }, каждая из которых может принимать значение из конечного «входного» множества X; б) на «выходах» модели можно наблюдать n «выходных» величин (вектор алгебраический) { y1,y2,y3,...yn }, каждая из которых может принимать конечное число фиксированных значений из «выходного» множества Y; в) в каждый момент времени модель находится в одном из состояний z1,z2,z3,...zv, заданных конечным множеством Z; г) в каждый момент времени состояние модели определяется входной величиной х и состоянием z; д) модель осуществляет преобразование «ситуации» (вектора) x = { x1,xt2,x31,...,xm } на входе в «ситуацию» (вектор) y = { y1,y2,y3,...yn } на выходе в зависимости от ее состояния в предыдущей момент времени.» [20]
При реализации конечных автоматов отображение пар { состояние автомата, входная величина } в следующее состояние (функция «переходов») и отображение этих же пар в выходную величину (функция «выходов»), обычно задают графом либо таблицами (что одно и тоже).
9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ: ЭНЕРГИЯ НАД ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ
Состояние предмета отображают геометрией (взаимным положением в пространстве обособленных частей), химическим составом, тепловым, электрическим, и иными силовыми и скалярными полями. Перечисленные свойства меняются количественно и качественно; во времени переходят друг в друга.
Чтобы единой моделью учесть полную совокупность свойств предмета, с их взаимными преобразованиями, вводят понятие «энергия», и с его помощью связывают состояния над пространством состояний предмета.
[21]
«Каждое физическое определение, претендующее на пригодность, должно сводить определяемое понятие к таким понятиям, происхождение которых коренится в непосредственных чувственных восприятиях – так, чтобы для более или менее точного числового выражения соответствующей величины требовалось только непосредственное наблюдение. Мы можем определить энергию некоторой материальной системы как функцию, значение которой зависит от переменных, определяющих состояние системы, следовательно, от положения, скорости, температуры и тому подобных материальных элементов системы. Состояние материальной системы в определенный момент времени есть совокупность всех величин, мгновенными значениями которых полностью определено течение в ней процесса (внешние действия здесь исключены). Тогда энергия системы является определенной функцией этих величин. Если ограничиться рассмотрением явлений движения, то под состоянием системы материальных точек можно понимать совокупность положений и скоростей всех точек системы. Следовательно, величины, определяющие механическое состояние, суть пространственные координаты точки и их первые производные по времени (скорости); только от этих величин зависит механическая энергия системы; когда они заданы, то вообще весь процесс движения и, следовательно, все переменные системы определены как функции времени. В целом, к этим «величинам, определяющим состояние» (кроме уже упомянутых переменных, определяющих механическое состояние) относятся температура, электрическая и магнитная плотность, сила гальванического тока и т. д. Тогда обнаруживается замечательный факт, что первичное выражение энергии выступает в форме суммы, отдельные слагаемые которой составляются из определенных характеризующих состояние величин, соответствующих отдельным частным формам явлений. Тем самым полная энергия сама собой распадается на некоторое число отдельных друг от друга независимых энергий, каждая из которых получается особым образом из отдельных свойств рассматриваемого состояния. Это дает нам повод различать в системе различные виды энергии, как-то: энергию механическую, тепловую, химическую, электрическую, магнитную; суммируя их, мы получаем полную энергию системы. Этот факт, который мы можем назвать принципом наложения друг на друга (суперпозиции) энергий, связан с тем, что многие, происходящие в природе явления протекают совершенно независимо друг от друга: нагревание тела не изменяет его веса, электростатический заряд не влияет на магнетизм и т.д. Мы можем принцип наложения энергий, выражающий обобщение целого ряда хорошо известных в физике законов, принять здесь просто как принцип, данный опытом. Укажем прежде всего на удобство, которое вытекает из принципа суперпозиции энергии для наглядности понятия и для вычисления значения полной энергии. Мы можем представить себе полную энергию системы как запас, возникший в результате простого сложения отдельных энергий, подобно тому как общий вес тела получается из сложения весов отдельных содержащихся в нем химических элементов. При этом можно подсчитать величину каждого отдельного вида энергии самого по себе, совершенно независимо от других свойств рассматриваемой системы, если только известны специфические величины, определяющие состояние, которые этому виду энергии соответствуют. Таким образом мы мысленно отводим каждому виду энергии особое место в материи; тем самым мы получаем практическую выгоду, облегчая рассмотрение отдельных видов энергии и предохраняя себя от ошибки упустить какой-либо из них из виду при вычислении полной энергии. В общем каждой действующей в системе силе или вообще каждому особому свойству системы соответствует особый вид энергии, которую нужно считать находящейся в том же самом месте, в котором это свойство проявляется. Так же как общая масса тела представляется как сумма отдельных масс содержащихся в нем химических субстанций, так и энергия системы составляется сложением отдельных видов энергии, и можно проследить до малейших деталей изменение и превращение этих различных видов энергии, подобно тому как это можно сделать в отношении изменений материи. Если, предположим, мы нашли бы выражение полной энергии как сумму отдельных видов энергии, то мы должны считать ее величину, при всяком изменении изолированной от внешних воздействий системы, независимой от времени, между тем как отдельные виды энергии могут изменяться по величине за счет других видов; следовательно, всякий процесс, происходящий в природе, можно рассматривать как превращение отдельных видов энергии друг в друга, в то время как их сумма, весь запас энергии, находящейся в системе, не может ни увеличиваться, ни уменьшаться. Если в системе существуют только такие силы, которые действуют на неизмеримо малые расстояния, то действие на какую-нибудь материальную частицу будет зависеть только от состояния самой частицы относительно ее непосредственного окружения, и тогда энергия системы получается простым суммированием энергий всех ее материальных частиц. Но иначе получается, когда встречаются силы, непосредственно действующие на расстоянии, так как энергия, обусловленная такой силой, будет зависеть от тех же величин, как и сама сила, следовательно, и от расстояния обоих действующих друг на друга элементов. В этом случае энергия связывается по существу с одновременным положением обоих элементов, следовательно, она не находится в каком-либо одном месте пространства, и нельзя больше положить полную энергию системы равной сумме энергий отдельных материальных элементов; напротив, к этой сумме надо прибавить еще те виды энергии, которые обусловливаются действиями на расстоянии каждой пары элементов. Точно так же как материя, сумма которой остается постоянной, меняет свое положение в пространстве, так и энергия меняет в материи свое положение и свою форму. В этом проявляется во всей своей плодотворности аналогия нашего принципа с принципом сохранения материи. Сумма весомых масс, существующих в природе, является неизменной, но эти массы меняют свое положение в пространстве; следовательно, если мы рассмотрим определенный ограниченный объем пространства, то содержащаяся в нем масса в общем случае не постоянна, но изменение (прирост) этой массы за известный промежуток времени равно массе, вошедшей за это время в объем извне. Совершенно подобное же положение мы выводим для энергии материальной системы. В материальной системе, которая не подвержена никакому внешнему влиянию, энергия остается постоянной. Но если мы выделим из системы любую совокупность материальных элементов и будем рассматривать их как особую систему, то она будет иметь и свою особую энергию, выражение которой может быть составлено аналогично выражению энергии общей системы. Эта энергия в общем случае не будет оставаться постоянной, – это имело бы место только в том случае, если бы рассматриваемая система в течение процесса совершенно не подвергалась воздействию извне, что в общем случае не будет выполняться; поэтому энергия изменяется именно в меру внешних воздействий. Следовательно, через внешние воздействия в систему передается извне энергия в известном количестве: изменение энергии, соответствующее определенному изменению состояния материальной системы, равно работе действий, производимых вне системы, чтобы вызвать это изменение состояния.» [21]
ЛИТЕРАТУРА
[1] Артур Конан Дойл. Записки о Шерлоке Холмсе
[2] Ж. Дьедонне. Линейная алгебра и элементарная геометрия. 1972, с.8-16.
[3] Щербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. Дифференциалы помогают геометрии. 1982, с.4-5
[4] Александров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжик В.И. Начала стереометрии пробный учебник для 9 класса. 1981, c.3-8
[5] Слухаев В.В. Геометрия векторных полей, 1982, с.6-9
[6] Энгелер Эрвин. Метаматематика элементарной математики. 1987, с.56
[7] Суслов Г.К. Теоретическая механика. 1946, с.40
[8] Новацкий В. Теория упругости. 1975, с.11-12
[9] Кострикин А.И. Введение в алгебру. 1977, с.15-16
[10] Эйхенвальд А.А. Теоретическая физика. Часть 1. Теория поля. 1926, с.3
[11] Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. 1974, с.29-30
[12] Шмутцер Э. Основные принципы классической механики и классической теории поля (канонический аппарат). 1976, с.7
[13] Ланцош К. Вариационные принципы механики. 1965, с.11-14
[14] Савельев И.В. Основы теоретической физики. Том 1. Механика. Электродинамика. 1991, с.8
[15] Синицкий Л.А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей. 1978, с.4-6
[16] Розе Н.В. (ред.) Теоретическая механика. Часть 1. Механика материальной точки. 1932, с.11-14
[17] Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1984, с.11-4
[18] Маквецов Е.Н. Модели из кубиков. 1978, с. 3-5
[19] Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. 1984, с.16-17
[20] Лернер А.Я. Начала кибернетики 1967, с. 26-35, 171-172
[21] Планк Макс. Принцип сохранения энергии. 1938, с.31-137
[22] Арнольд В.И. О преподавании математики. Расширенный текст выступления на дискуссии о преподавании математики в Palais de Découverte в Париже 7 марта 1997 г. Успехи математических наук т. 53, вып.1 (319) https://mathnet.ru/rus/rm/v53/i1/p229
[23] Маделунг Э. Математический аппарат физики, Справочное руководство. 1961, с.15
Комментарии (29)
Zenitchik
21.12.2023 08:57Если не изучать свойства фигур - не узнаешь, как проверить прямоугольность измерением диагоналей.
Универсальный метод - это хорошо. Но он не даёт инструментов для быстрой качественной оценки.
JoshMil
21.12.2023 08:57Может в рамках такой системы представлений, к этому можно будет подойти с более высокого уровня абстракции. Причем - возможно самостоятельно. То есть нынешняя нормативность геометрии школьного толка будет чем то само собой разумеющимся с уровня более сложных абстракций. И не будет нуждаться в запоминании.
dsoastro
21.12.2023 08:57как-то формул маловато, особенно для теории поля) в последующих частях их больше будет?
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57Да значительно. В третьей части будет дана выборка книг по всем затронутым здесь темам. А эта часть - содержит каркас, чтобы учащийся мог видеть общую картину и связи между частями предмета.
>>Лекции разбиты на 7 частей ... 3. Курс из книг известных педагогов и учёных, посвятивших жизнь естествознанию; кто изложит науки с большим мастерством, нежели это сделано ими? Приступать к курсу можно незамедлительно.
gmtd
21.12.2023 08:57Автору.
Математика - это простота, краткость, чистота и ясность.Теперь сформулируйте, пожалуйста, в 3-4 строках, смысл всего написанного вами выше.
IvanSTV
21.12.2023 08:57ох, люто плюсую. Прочитал текст, но в нем никакой ясности и единой мысли не обнаружил, наоборот, налицо признаки того, что психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением. Например, 4 раза прочел п.8 и так и не понял, о чем это и как связано с остальным текстом и внутри себя. Понятно, что пытается объяснить общий механизм движения, но если бы наш препод по систематической философии это так объяснял, у нас бы полкурса в окна попрыгали от безысходности :)
В первой части было понятней, потому что он там цитировал известных математиков и обращался к известной дискуссии между Понтрягиным и Колмогоровым о методах преподавания математики в средней школе (я целиком на стороне первого, так как к экзаменам в ВУЗ готовился по доколмогоровским учебникам, а преподавали нам ее в школе по учебникам 80-х, плюс столкнулся с тем, что математически небесталанная дочка в упор не понимала погореловскую геометрию) . Но это я - я начитан в этой дискуссии, у меня в семье полно педагогов, и педагогическую периодику читал с детских лет, а те, кто первый раз слышат о реформе преподавания математики в 1977-79 гг, могут и не понять, что автор хотел сказать. Здесь было хоть и путанно, но узнаваемо, но когда пошло изложение предмета, то даже минимальной ясности я не вижу.В свое время, в 80-90-х, очень популярна была тема описания всего универсума математикой и обнаружения универсальных математических законов для всех явлений. То есть, математика воспринималась как метанаука, а не как прикладная наука. Фоменковщина берет начало именно отсюда. Занимались этим в основном городские сумасшедшие, которые создавали математические модели политики, выводили универсальные математические формулы экономики и пытались описать количеством и количественными зависимостями все социальные понятия типа счастья и тем самым облагодетельствовать человечество. Спрос на эту макулатуру был относительно невелик - Интернет смахнул их с философского поля (к вопросу, с уходом яндексовского проекта narod.ru количество всякого бреда в интернетах резко уменьшилось). А на Хабре оказывается, жив курилка!
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57В свое время, в 80-90-х, очень популярна была тема описания всего универсума математикой и обнаружения универсальных математических законов для всех явлений. ...Занимались этим в основном городские сумасшедшие. А на Хабре оказывается, жив курилка! (c)
Как Вам известно, материл лекций я составляю цитированием фрагментов известных, многократно изданных книг известных авторов с указанием страниц, где это написано (то что Вы прочли, это их, а не мои слова и мысли).
Так кто же те «городские сумасшедшие» из чьих цитат составлена статья?
Компания подобралась неплохая:список городских сумасшедших и «курилок»
Дьедоне – академик, профессор, Франция, 2-я фигура в Бурбаки
Александров – академик, профессор, СССР Слухаев – доцент, обратите внимание его биография находится в разделе легенды Томского госуниверситета http://www.math.tsu.ru/node/1989
Энгелер Эрвин – доктор, профессор, Швейцария-США
Суслов - русский и советский учёный-механик, заслуженный профессор Киевского университета, действительный статский советник,ректор Одесского политехнического института.
Кострикин – советский и российский математик, специалист в области алгебры и алгебраической геометрии. Член-корреспондент Академии наук СССР (1976)
Эйхенвальд – русский физик, профессор Московского университета, доктор философии (1897), доктор физико-математических наук (1908), академик АН УССР
Иштван Дьярмати — венгерский физик, акадеимк, создатель венгерской школы термодинамики.
Эрнст Шмутцер — немецкий физик-теоретик, профессор, ректор Йенского Университета Фридриха Шиллера
И так далее… И так далее…
Это я подряд, в порядке следования привёл сведения об авторах материала выше.
Те, как Вы их фамильярно называете «курилки», представляют собой историю физики и математики.
Полагаю, с «городскими сумасшедшими» разобрались?
4 раза прочел п.8 и так и не понял, о чем это
Вы 4 раза прочли фрагмент книги «Начала кибернетики» Александра Яковлевича Лернера — доктора технических наук, профессора. И коль Вы его не поняли, это не его проблема а Ваша. Обращайтесь в таких случаях литературе, обогащайтесь знаниями, и возможно, начнёте понимать.
Прочитал текст, но в нем никакой ясности и единой мысли не обнаружил, наоборот, налицо признаки того, что психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением.
Да и психиатр из Вас к тому же плохой. Попробуйте почитать нормативные правовые акты, и Вы, к своему удивлению, обнаружите что то, что по Вашему мнению «психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением» – является стандартом при написании законодательства, а не только научной литературы.
PS Заглянул и в Ваш профиль. Обнаружил там минус 14 в карме. Это тоже о чём-то говорит. О том, что "все вокруг дураки", полагаю.
emptycat
21.12.2023 08:57Как отвратить школьника от математики? Очень просто - дать прочитать текст, который наваял автор. Автор, вы написали много, скучно и непонятно для школьника и для любого читателя. Преподавание математики (как и любого предмета) - это прежде всего интерес учащегося к изучаемой области знаний. Нет интереса - и вы никак не впихнете знания в человека.
И это не считая того, что у вас ошибочные рассуждения по поводу энергии)
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57у вас ошибочные рассуждения по поводу энергии
Ну, не у меня, а у Макса Планка. Я цитирую фрагмент его книги «Принцип сохранения энергии» (с указание страниц цитирования).
У Вас есть возможность привнести что-то новое физику, доказав ошибочность его рассуждений.
PS Не стреляйте в
пианистаМакса Планка – он играет, как умеет.emptycat
21.12.2023 08:57Спорить с Планком не имеет смысла, особенно после того как вы отредактировали ваш первоначальный текст ;)
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57после того как вы отредактировали ваш первоначальный текст
Эээээ, нет. Оно так не работает. Если мы решим с Вами публично "покопать" что же я там в "тексте отредактировал", то я сделаю официальный запрос в редакцию Хабра и получу текст оригинала. Окажется, там "отредактирован" лишь порядок сносок, и Вам придётся поспорить с Планком, даже не смотря на "отредактированный первоначальный текст". Кстати, возможно, и Гугл первоначальный текст помнит. ;)
PS В этом и смысл Частей 1-4 курса лекций, что они строятся цитированием известных работ ("отсебятину" в них я не пишу). Поэтому там под каждым абзацем ссылка на оригинал (для тех кто хочет почитать подробнее либо проверить). А вот Части 5-6 будут оригинальные, авторские. И я с сверху помечу, что это мои оригинальные работы, пототму что они будут действительно новы и интересны. Такова задумка (и логическое построение) лекций.
emptycat
21.12.2023 08:57Немного был невнимателен при повторном перечитывании статьи, но я готов поспорить с Паули.
Это дает нам повод различать в системе различные виды энергии, как-то: энергию механическую, тепловую, химическую, электрическую, магнитную; суммируя их, мы получаем полную энергию системы. Этот факт, который мы можем назвать принципом наложения друг на друга (суперпозиции) энергий, связан с тем, что многие, происходящие в природе явления протекают совершенно независимо друг от друга: нагревание тела не изменяет его веса, электростатический заряд не влияет на магнетизм и т.д.
Проанализируем данное утверждение. При написании своей книги Паули должен был быть знаком с формулой Эйнштейна E=mc^2., поэтому ошибка Паули заключается в утверждении, что нагревание не изменит вес тела. Также не будет работать принцип суперпозиции энергий для квантовых систем (неопределенность Гейзенберга) и абсолютно замкнутых систем (они неизбежно переходят в состояние "тепловой смерти" где само понятие энергии утрачивает смысл).
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57Немного был невнимателен
Будьте внимательней!
поспорить с Паули, книги Паули, ошибка Паули
С Паули спорить не надо. (Планк и Паули - это два разных человека).
Что до Эйнштейна, то не силён в его теориях; слишком уж сложная и противоречивая фигура: гений, которым одни восхищаются, другие - хулят, третьи - не понимают, а четвёртые - игнорируют.
emptycat
21.12.2023 08:57Опечатался) Я немного не согласен с Планком.
Что до Эйнштейна, то не силён в его теориях; слишком уж сложная и противоречивая фигура: гений, которым одни восхищаются, другие - хулят, третьи - не понимают, а четвёртые - игнорируют.
Без Эйнштейна в курсе физики не обойтись. И если у вас проблемы с пониманием, то в школе с этим будет полная катастрофа. И вы еще пихаете в школьный курс теорию поля. Мне хочется смеяться и плакать одновременно.
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57Без Эйнштейна в курсе физики не обойтись
Профессор, академик Лев Давидович Ландау и доктор физико-математических наук, академик Евгений Михайлович Лифшиц имеют другое мнение по этому вопросу. Оттого даже исключили ОТО из своего краткого курса теоретической физики.
«Лев Давидович Ландау в последние годы с большим энтузиазмом относился к идее создания краткого курса теоретической физики. Туда не должно входить изложение обшей теории относительности. По его мнению, основные физические идеи и результаты этой теории должны излагаться в курсах общей физики, а изучение ее полного математического аппарата необходимо (по крайней мере в настоящее время) лишь специалистам-теоретикам.»
См источник цитирования [7] https://habr.com/ru/articles/781498/Что до меня, я хоть и имею прекрасное физико-математическое образование, но релятивистской физикой не занимался, потому и не берусь о ней судить.
Emelian
21.12.2023 08:57Математика – часть физики. Физика – экспериментальная, естественная наука, часть естествознания.
Глупости, всё это! Говорю, как человек, который хотел стать физиком-теоретиком, но закончил дневное отделение мехмата МГУ, по специальности «математика».
Математика, скорее, «Царица Наук», как говорят философы. Правда, они это высказывали по отношению к своей науке. Не знаю даже, брать здесь это слово в кавычки или нет. Прав был один товарищ, который сказал, что «Философия это не наука, а всего лишь форма мировоззрения». Ну, да ладно! Суть в том, что математика это самодостаточная наука. Физика для нее нужна не в большей степени, чем допустим азартные игры (которые послужили стимулом для создания теории вероятности).
Уровень мышления у математиков шире, чем у физиков. Физики ограничены реальностью, а математики только логикой. Для физиков Истина это результат эксперимента («Критерий истины - Практика»). Более того, в ходу у физиков-экспериментаторов утверждение: «Любая теория истина до тех пор, пока не будет опровергнута!». А для математиков истинны любые высказывания, которые непротиворечивы в рамках соответствующей математической теории. При этом сами теории и их постулаты могут быть достаточно произвольны, если они непротиворечивы.
Вообще говоря, математики работают на себя, хотя могут помогать физикам решать их проблемы. Однако делают они это с абстрактно-логических позиций.
Обычно, во многих вопросах, достижения математики опережают практические потребности на 500 лет и более, хотя бывают случаи, когда практическая наука сталкивается с проблемами, которые еще не решены в математике (в своем формализованном виде). Часто это связано с решением, не решаемых в общем виде, уравнений в частных производных, вроде уравнения Шредингера из Квантовой механики.
Кстати, есть масса альтернативщиков в физике, обычно, с посредственным образованием, которые достаточно произвольно «закрывают» одни физические законы, предлагая взамен другие либо свои собственные. Выступают они, как правило, не на специализированных форумах профессионалов, а среди обывателей, которые толком и возразить ничего не могут. А вот математиков-альтернативщиков практически нет. Хотя, вру, одного такого видел в «Живом Журнале», у него, по-моему, даже было незаконченное математическое образование. У нас один такой тоже был на мехмате. Где-то на втором курсе, у него «поехала крыша», его отвезли в Кащенко. Потом он восстановился на мехмате, однако «крыша» у него «потекла» снова и он был вынужден уйти из математики. Кто знает, может быть, он где-то кому-то голову морочит до сих пор.
P.S. В принципе, существует еще такая наука, как «прикладная
математика», в отличии от теоретической либо абстрактной математики. Вот ее,
вероятно, и имел в виду автор статьи. Обычно именно ее изучают в технических
ВУЗах и даже на мехмате, по специальности «механика». В школах осваивают
элементарную математику, это некий упрощенный вариант двух «математик».
Refridgerator
21.12.2023 08:57Какой смысл в науке, если её нельзя применить или проверить на практике? Чем она в этом смысле отличается от религии?
Обычно, во многих вопросах, достижения математики опережают практические потребности на 500 лет
Ну это смелое утверждение. Дифференциальное исчисление придумали физики, преобразование Фурье придумали физики, функции Дирака, Хэвисайда, операционное исчисление и весь прочий ЦОС тоже придумали физики (в начале 20 века, наши дни можно сказать).
Emelian
21.12.2023 08:57Какой смысл в науке, если её нельзя применить или проверить на практике?
А кто вам сказал, что теоретическая или абстрактная математика не имеет смысла? Мир сложен, и каждому специалисту там есть место.
Дело в том, что физики-теоретики не способны, в принципе, соблюдать полную математическую строгость в своих теоретических выкладках. Возьмем, к примеру, Ландавшица (точнее, Ландау и Лифшица, десятитомник "Теоретической физики"). Это один из самых строгих подходов, с точки зрения математики, при описании физической реальности. Однако, даже он не обладает 100%-ной математической строгостью, поскольку физическая реальность и математическая реальность, это "две большие разницы". Математика имеет дело с предельными объектами, а физика с протяженными. Та же точка в математике всегда имеет нулевую меру, а в физике, (материальная) точка нет. Отсюда следует, что физическая точка может иметь физические свойства: массу, плотность, заряд и т.п., в математике ничего такого нет, только геометрия.
Я, конечно, понимаю, что сейчас вы начнете рассказывать про дельта-функцию плотности, которая имеет бесконечное значение в точке нулевой меры, иначе ноль. Мол, это дает конечную массу для области нулевой меры. Однако в математике произведение бесконечности на ноль не имеет смысла, она так и называется - математическая неопределенность. Смысл имеет только конечная функция, достигающая своего предельного значения. А от того, какая это будет функция, предельные значения будут разными. При этом, сами предельные значения, строго говоря, не являются частью предельной функции.
Например, значение функции y(x) = x^x, не имеет смысла в нуле (отрицательные значения мы рассматривать не будем, ради простоты). Однако мы можем произвольно доопределить эту функцию справа как z(x) = {y(x), при x > 0; 1 при x = 0}. Смысл этого доопределения в том, что функция z(x) становится непрерывной и даже гладкой, справа в нуле.
С точки зрения математики теоретическая физика - полустрогая наука. Но это не вина физики. Просто таковы свойства физических микрообъектов. Кстати, именно это дало повод "дедушке Ленину" сказать: "Электрон также неисчерпаем, как и атом" (иногда "атом" перефразируют во "Вселенную").
Если хотите, то математика это предельный случай физики. Если физики идут по этому пути, то становятся, математиками. И, наоборот, если математики начинают руководствоваться физической парадигмой Мира, то перестают быть математиками.
А так, в силу Диалектики, они взаимно дополняют друг друга.
Чем она в этом смысле отличается от религии?
Хороший вопрос! Религия, ведь, по сути, не дружит с логикой. Есть даже высказывание: "Там, где начинается Религия, там заканчивается Логика!". Однако ничто не мешает нам постулировать непротиворечивые аксиомы, скажем так, "Научной Религии", в которой не будет явных логических противоречий, типа, если Бог это Любовь и Добро, то почему он создал Ненависть и Зло? Отвечать что-то вроде, что некий "Падший Ангел ослушался и совратился, поэтому был изгнан из Рая и, в отместку, создал Ад", ну, звучит как-то несерьезно. По меньшей мере, что-то нам недоговаривают.
Чтобы подобных противоречий не было, можно ввести в рассмотрение третью Сущность, которую назовем Создатель, в дополнение к первым двум: Бог и Дьявол. А сами религиозные постулаты могут звучать примерно так:
1. Бог не создавал Дьявола, его, как и самого Бога, создала Сущность более высокого порядка - Создатель.
2. Цель Создателя - Развитие всего сущего.
3. Поскольку, с точки зрения Диалектики, источником развития являются антагонистические противоречия, то Бог и Дьявол были созданы как антагонистически противоречивые Сущности.
4. Цель Бога - божественное Развитие. Цель Дьявола - сатанистское Развитие.
5. Различие между Богом и Дьяволом в том, что у Бога развитие основано на (моральных) ограничениях, а у Дьявола, принципиально, нет никаких ограничений, в т.ч., моральных.
6. Мораль - это учет интересов окружающих. Люди Бога предпочитают интенсивное развитие и саморазвитие, и желают всех благ окружающим, а Люди Дьявола, всегда готовы развиваться экстенсивно, за счет всех остальных, абсолютно игнорируя их интересы.
Отсюда, кстати, возникает другое значение у слова "Троица".
Это все только демонстрация аксиоматического подхода. Кстати, сразу видно, что как только мы уходим от математической реальности, то сразу же уходим и от строгой математики.
Здесь еще можно заметить, что вместо математической логики мы используем "концептуальную логику". У нее нет строгого определения, Можно сказать только, что она имеет дело с содержательными неопределенностями. Смысл ее в том, чтобы концептуальные аксиомы устраняли "ближнюю" неопределенность, за счет переноса ее в "дальнюю" неопределенность.
Быстрый вывод из этих "аксиом". Если перед Богом мы будем отвечать за свои грехи, которые, по сути, есть аморальные поступки, то перед Создателем мы будем отвечать за отсутствие своего развития, либо слабое саморазвитие.
Еще один концептуальный вывод: "Если хочешь жить долго - развивайся!" и "Кто не занимается, в должной мере, своим саморазвитием - долго не живет!".
Ну это смелое утверждение. Дифференциальное исчисление придумали физики, преобразование Фурье придумали физики, функции Дирака, Хэвисайда, операционное исчисление и весь прочий ЦОС тоже придумали физики (в начале 20 века, наши дни можно сказать).
Я уже говорил о принципиальном различии физиков и математиков. Если физики полностью соблюдают математическую строгость в своих теориях, то становятся математиками, а, если математики начинают рассуждать в парадигме физической реальности, то становятся физиками.
Здесь нет никаких противоречий. Просто сузить горизонт своих рассуждений проще, чем расширить. Поэтому, я всегда говорил, что математик может работать кем угодно: физиком-теоретиком, программистом, химиком, биологом, генетиком и прочая, прочая, прочая. Наоборот, уже значительно сложнее, но можно...
И потом, не забывайте, что "технари" имеют дело с прикладной математикой, а я говорил о математике теоретической, которая просто неизвестна "простым смертным". Там, действительно, "абстракция на абстракции и абстракцией погоняет!". И если она не будет востребована еще 1000 лет, то я не удивлюсь.
Что касается математической строгости, то у нас на мехмате образцом ее служили Л.И. Камынин и А.И. Штерн. Первый читал лекции, а второй вел семинары по матанализу. Чтобы сдать зачет последнему, нужно было безукоризненно строго решать задачи и доказывать теоремы. На это мог уйти месяц и более, а без зачета студенты не допускались к экзаменам, со всеми вытекающими. Мы так привыкли тогда к строгости, что когда преподаватель по ТФКП (Теории функций комплексного переменного) доказывал свои теоремы, я ловил себя на мысли, что он бы зачет по матану не получил бы точно. Доказывал он все правильно, но строгость там была не идеальная.
Для примера, Штерн любил искать содержательные ошибки в серьезной матлитературе. Так он нашел целых две ошибки в 22-м(!) издании Куроша "Линейная алгебра". А его статьи можно почитать в пятитомной математической энциклопедии.
Кстати, когда академик Рыбников получил доступ к архивам Карла Маркса и опубликовал его "Математические рукописи", то нам, студентам-математикам, лучше бы их не показывали. Уж насколько Маркс был гений в политической экономии, то в своих матрукописях он выглядел, скажем мягко, как "наивный чукотский юноша".
На эту тему два анекдота: "- Кто такой Карл Маркс? - Экономист! - Как наша тётя Соня? - Нет, что ты! Тётя Соня - старший экономист!" и "Шерлок Холмс и Доктор Ватсон летят в воздушном шаре. Заблудились. Приблизились к земле и спрашивают у прохожего: "Уважаемый! Где мы находимся?". Тот посмотрел на них и отвечает: "Вы находитесь в воздушном шаре!". Шерлок Холмс говорит: "Этот человек - математик!". Ватсон: "Почему?". - Его ответ абсолютно точен и абсолютно бесполезен!".
Refridgerator
21.12.2023 08:57Например, значение функции y(x) = x^x, не имеет смысла в нуле (отрицательные значения мы рассматривать не будем, ради простоты). Однако мы можем произвольно доопределить эту функцию справа как z(x) = {y(x), при x > 0; 1 при x = 0}. Смысл этого доопределения в том, что функция z(x) становится непрерывной и даже гладкой, справа в нуле.
Другие математики с этим не согласны. Функция
в нуле имеет устранимый разрыв, поэтому ничего доопределять не нужно.Я, конечно, понимаю, что сейчас вы начнете рассказывать про дельта-функцию плотности, которая имеет бесконечное значение в точке нулевой меры, иначе ноль.
Дельта Дирака в нуле не имеет значение "бесконечности", а значение дельты Дирака в нуле не определено - точно также, как оно не определено в нуле для функции
. Это никак не мешает использовать её для построения математических моделей в сочетании с другими элементарными функциями.
Refridgerator
21.12.2023 08:57И потом, не забывайте, что "технари" имеют дело с прикладной математикой, а я говорил о математике теоретической, которая просто неизвестна "простым смертным". Там, действительно, "абстракция на абстракции и абстракцией погоняет!". И если она не будет востребована еще 1000 лет, то я не удивлюсь.
А я не удивлюсь, если она не будет востребована никогда (простыми смертными, конечно же, технарями, программистами и прочим сбродом). Ну а со стороны это выглядит как решение выдуманных проблем выдуманными абстракциями (никого не хочу обидеть, извините). Поэтому и остаётся рассматривать её только как "искусство", интересное только лишь ограниченному количеству людей.
Seraphimt
21.12.2023 08:57А я не удивлюсь, если она не будет востребована никогда (простыми смертными, конечно же, технарями, программистами и прочим сбродом). Ну а со стороны это выглядит как решение выдуманных проблем выдуманными абстракциями (никого не хочу обидеть, извините).
Для меня многие проблемы тоже кажутся выдумками. Вот чём проблема слетать на Луну или создать лекарства от вич - бери да делай. Наверное биологи и инженеры просто решают свои какие-то выдуманные проблемы.
Это всё шутка, конечно же, но вы прям классическую ошибку совершаете. Самое ценное почти всегда - это не доказанное утверждение, а само доказательство, его методы, идеи. И что-то сделанное для решение "выдуманной абстрактной проблемы" может примениться после в какой-нибудь условно "практической задаче" . И вообще, видимо никто из приверженцев "выдуманных абстрактных проблем" не понимает , что эти задачи не на пустом месте взялись, а в процессе развития математики. И они не абстрактные, а вполне прикладные - в самой математике. А с её общим развитием выиграют в том числе и "реальные" задачи.
Ну как вам и говорили уже не раз, то что сейчас "абстракция", однажды будет применено на практике, примеров тому немало.MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57то что сейчас "абстракция", однажды будет применено на практике, примеров тому немало.
... или не будет. Примеров тому ещё больше.
Seraphimt
21.12.2023 08:57Не берусь судить, каких примеров больше. Тут сложно как-то определённо сказать, ведь то чему нашли "практическое" приложение сейчас мы знаем, а когда найдут другим - ещё нет.
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57что-то сделанное для решение "выдуманной абстрактной проблемы" может примениться после в какой-нибудь условно "практической задаче"
А что, мне понравилось.
Работа над "выдуманными проблемами" для решения "условно практических задач". Вроде бы это "наше всё" при бюджетном финансировании.
Имею деловое предложение: готов поработать над "абстракциями", которые, возможно то ли найдут, то ли не найдут применение лет так через 500 (а лучше - через 1000). Готовьте бюджеты и зовите. :)
Seraphimt
21.12.2023 08:57Да, очень смешно, выдирать фразы из контекста, согласен. И игнорировать весь посыл комментария.
Если прочтёте повнимательнее, то я утверждаю, что все так называемые "абстракции ради абстракций" находят применение сразу - в самой математике. Иначе бы их не вводили. Есть бесконечное количество различных возможных конструкций и прочего, но многие из них бессмысленные или содержательные, так что если эти "абстракции" закрепились и исследуются - значит в них видят математическое приложение или потенциал оного.
А вот приложения за пределами математики находится не сразу, да, это факт.
Refridgerator
21.12.2023 08:57На эту тему два анекдота: ...
Тоже знаю анекдот. Ученика Бурбаки спрашивают: сколько будет 2 умножить на 3? Он отвечает: 3 умножить на 2, потому что умножение коммутативно. А анекдот в том, что никакой это не анекдот, подавляющее большинство виденных мною современных работ по математике выглядят именно так. Если забрать у математики прикладной смысл, теряется и конечный результат преобразований. "Если ты не знаешь, куда идёшь - то как ты узнаешь, когда туда придёшь?"(с)
MasterMentor Автор
21.12.2023 08:57Коль математика не часть физики, то откуда в неё «перекочевали» такие её неотъемлемые части, как аппарат дифференциальных уравнений, векторное исчисление, поля?
Что до физики, математики и философии, то с античности и вплоть до XVIII века это было целое. Самый известный труд Ньютона ведь так и называется «Математические начала натуральной философии» (т.е. «философии природы»).
для математиков истинны любые высказывания, которые непротиворечивы в рамках соответствующей математической теории. При этом сами теории и их постулаты могут быть достаточно произвольны, если они непротиворечивы.
Они не "истины", они "непротиворечивы". К тому же в "данной аксиоматике", которую можно выбрать "произвольно". А аксиоматик - неисчислимое количество (вводи свою, и там что хочешь строй).
Вы говорите лишь об устройстве аппарата логики - части математики, причем части не большой.
Refridgerator
21.12.2023 08:57Как минимум, подборка иллюстраций к обоим статьям просто великолепна. Даже если читатель не приобщится к математике - то приобщится к графическому искусству, что тоже немало.
MasterMentor Автор
Как Вам известно, материл лекций я составляю цитированием фрагментов известных, многократно изданных книг известных авторов с указанием страниц, где это написано (то что Вы прочли, это их, а не мои слова и мысли).
Так кто же те «городские сумасшедшие» из чьих цитат составлена статья?
Компания подобралась неплохая:
список городских сумасшедших и «курилок»
Дьедоне – академик, профессор, Франция, 2-я фигура в Бурбаки
Александров – академик, профессор, СССР Слухаев – доцент, обратите внимание его биография находится в разделе легенды Томского госуниверситета http://www.math.tsu.ru/node/1989
Энгелер Эрвин – доктор, профессор, Швейцария-США
Суслов - русский и советский учёный-механик, заслуженный профессор Киевского университета, действительный статский советник,ректор Одесского политехнического института.
Кострикин – советский и российский математик, специалист в области алгебры и алгебраической геометрии. Член-корреспондент Академии наук СССР (1976)
Эйхенвальд – русский физик, профессор Московского университета, доктор философии (1897), доктор физико-математических наук (1908), академик АН УССР
Иштван Дьярмати — венгерский физик, акадеимк, создатель венгерской школы термодинамики.
Эрнст Шмутцер — немецкий физик-теоретик, профессор, ректор Йенского Университета Фридриха Шиллера
И так далее… И так далее…
Это я подряд, в порядке следования привёл сведения об авторах материала выше.
Те, как Вы их фамильярно называете «курилки», представляют собой историю физики и математики.
Полагаю, с «городскими сумасшедшими» разобрались?
Вы 4 раза прочли фрагмент книги «Начала кибернетики» Александра Яковлевича Лернера — доктора технических наук, профессора. И коль Вы его не поняли, это не его проблема а Ваша. Обращайтесь в таких случаях литературе, обогащайтесь знаниями, и возможно, начнёте понимать.
Да и психиатр из Вас к тому же плохой. Попробуйте почитать нормативные правовые акты, и Вы, к своему удивлению, обнаружите что то, что по Вашему мнению «психиатры называют "вязким" и "спутанным" мышлением» – является стандартом при написании законодательства, а не только научной литературы.
PS Заглянул и в Ваш профиль. Обнаружил там минус 14 в карме. Это тоже о чём-то говорит. О том, что "все вокруг дураки", полагаю.