Когда-то мне надо было разобраться в этой довольно-таки абстрактной теме, причем с не самой прозрачной математикой. И спустя несколько вечеров с пособиями и интернетом, я наконец то придумала достаточно иллюстративные примеры и ассоциации, которые помогли мне закрепить основные моменты в этой теории. В этой статье будет представлено короткое введение в теорию категорий и в основные понятия, связанные с ней. Она будет интересна людям, которые только начинают свое погружение в теорию категорий. Когда мне самой было тяжело разобраться в этой теме, то придуманные примеры помогли лучше понять, что это за зверь вообще такой. Надеюсь, они также помогут и всем заинтересованным в этой теме)

Что такое категория?

Для начала определим понятие категории на математическом языке (прости господи):

Определение 1.

Категория С состоит из следующего набора данных:

1. класса (или множества) Ob(C), элементы которого называются объектами категории С,

2. набора множеств Hom_c(X, Y), по одному для каждой упорядоченной пары объектов X, Y ∈ Ob(C), элементы которых называются морфизмами из X в Y и обозначаются f: X → Y,

3. набора отображений 

   по одному для каждой упорядоченной тройки объектов X, Y, Z. Паре морфизмов f: X → Y и g: Y → Z такое отображение ставит в соответствие морфизм из X в Z, обозначаемый g○f и называемый композицией морфизмов f и g.

Теперь попробуем закрепить эти понятия. Можно представлять простейшую категорию как пару (объект, морфизм). Объект - это класс/множество с набором аксиом: ассоциативность для элементов, существование нейтрального элемента и существование обратного элемента. Морфизм  - некая связь между элементами объектов.

Пример 1. 

Определим объекты A, B, C. Внутри каждого объекта есть набор элементов: (a₁,...,a_n), (b₁,...,b_m) и (c₁,...,c_k) соответственно, причем n != m != k. Для этих объектов определены морфизмы f: A → B и g: B → C. Тогда существует категория K = {(A, B, C), (f, g)}. Внутри категории K определена композиция g○f: A → C, и эта композиция тоже является морфизмом.

Точно ли наш набор данных - категория?

Чтобы называться категорией данные из определения 1 должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. по каждому морфизму f однозначно определяются такие X, Y ∈ Ob(C), что множества Hom_c(X, Y) не пересекаются,

2. для каждого объекта X ∈ Ob(C) существует тождественный морфизм id_x ∈ Hom_c(X, X), удовлетворяющий условию: для любых Y, Z ∈ Ob(C) и f ∈ Hom_c(Y, X), g ∈ Hom_c(X, Z) имеют место равенства id_x ○ f = f, g ○ id_x = g. Также стоит отметить, что этот морфизм определен однозначно. То есть существует нейтральный морфизм e: X → X, иначе говоря отображение объекта в самого себя,

3. композиция морфизмов ассоциативна, то есть для любых четырёх объектов W, X, Y, Z ∈ Ob(C) и морфизмов f: W → X, g: X → Y, h: Y → Z, композиции (h ○ g) ○ f и h ○ (g ○ f) суть один и тот же морфизм из W в Z.

Замечание.

Минимальной (тривиальной) категорией является пара (X, id_x). Причем, объектом может быть и пустое множество.

Для этой категории выполняется:

1. Существует объект X и морфизм  id_x: X → X,

2. Выполнена композиция id_x ○ id_x = id_x,

3. Существует тождественный морфизм.

Затем идет категория интервала, которая определена так: {(X, Y), (f, id_x, id_y)}. Обычно тождественный морфизм не указывается явно, но подразумевается, если речь идет о категориях.

На практике чаще всего рассматривают такую категорию: {(X, Y), (f, g, id_x, id_y)}. 

Пример 2.

Пусть у нас есть два объекта A, B и три морфизма f: A → B и g, h: B → A.

Вопрос: является ли этот набор данных категорий? 

На ответ дается 5 секунд.

Немного про изоморфизм

Определение 2. 

Морфизм f: X → Y в категории C называется изоморфизмом, если существует такой морфизм g: Y → X, что f ○ g = id_Y и g ○ f = id_X.

Объекты X, Y ∈ Ob(C), между которыми существует хотя бы один изоморфизм, называются изоморфными. 

В упрощенном виде можно сказать, что под изоморфизмом понимают идею, когда через композицию морфизмов можно вернуться в тождественный морфизм одного из элементов и это выполняется для обоих объектов.

Замечание.

Каждый изоморфизм однозначно определяет обратный к нему изоморфизм.

Сумма в категории

В первую очередь стоит определить понятие несвязное объединение X⋃Y. Или, иначе говоря, сумма множеств X и Y: X+Y.

То есть, несвязное объединение по мощности (количеству элементов) совпадает с суммой мощности обоих множеств. Если в одном множестве 2 элемента, в другом 2 элемента, то в их сумме будет 4 элемента. Даже если среди этого набора будут одинаковые элементы, в сумме они будут учитываться отдельно. А в обычном объединении одинаковый элемент встречался бы только один раз.

Для суммы X+Y определим морфизм - канонические вложения i_X: X  → X+Y и i_Y: Y  → X+Y.

Теперь рассмотрим другой объект Z, в которой задана пара отображений  u: X → Z,  v: Y → Z. Тогда существует и единственно такое отображение h: X+Y → Z, что диаграмма коммутативна (то есть h ○ i_X = u, h ○ i_Y = v). 

Определение 3.

Суммой объектов X, Y ∈ Ob(C) называется объект в C, обозначаемый X+Y, заданный вместе с парой морфизмов i_X: X  → X+Y,  i_Y: Y  → X+Y, для которого выполнено условие: для любой тройки, состоящей из объекта Z ∈ Ob(C) и пары морфизмов u: X → Z,  v: Y → Z существует и притом единственный морфизм h: X+Y → Z, делающий диаграмму коммутативной.

Пример 3.

Благодаря каноническим вложениям мы по сути запоминаем из какого класса наш элемент пришел в объединение. Можно понимать это по-разному - например, для красной звезды из X можем представлять это как (красная звезда, желтое множество) или как префикс X_star.

То есть канонические морфизмы i_X, i_Y сохраняют знания откуда взят элемент.

Морфизм u переводит в новый элемент без знания исходного места.

Морфизмы u и v не сохраняют исходное место; разные объекты из разных классов могут отображаться в один и тот же элемент (красная звезда из X и зеленое сердце из Y отображаются в один и тот же черный треугольник); разные объекты из одного класса тоже могут отображаться в один и тот же элемент (например, все элементы из X могли бы отразиться в черный треугольник).

Тогда коммутативная диаграмма выглядит следующим образом:

И морфизм h определяется следующим образом:

Произведение в категории

Над множествами есть операция прямого произведения, сопоставляющая паре множеств X, Y множество X ✕ Y, состоящее из пар (x, y), x ∈ X, y ∈ Y. 

Для прямого произведения X ✕ Y определены канонические проекции π_X: X ✕ Y → X, (x, y) → x, π_Y: X ✕ Y → Y, (x, y) → y. Прямое произведение множеств обладает следующим свойством: для любого Z и отображений u: Z → X,  v: Z → Y существует и притом только одно отображений h: Z → X ✕ Y, делающее диаграмму коммутативной (то есть π_X ○ h = u,  π_Y ○ h = v).

Определение 4.

Произведением объектов X, Y ∈ Ob(C) называется объект в C, обозначаемый X ✕ Y, заданный вместе с парой морфизмов π_X: X ✕ Y → X, π_Y: X ✕ Y → Y для которого выполнено условие: для любой тройки, состоящей из объекта Z ∈ Ob(C) и пары морфизмов u: Z → X,  v: Z → Y существует и притом единственный морфизм h: Z → X ✕ Y, делающий диаграмму коммутативной.

Пример 4.

Множество X ✕ Y содержит всевозможные упорядоченные пары X, Y.

То есть морфизм π_X извлекает из пары (x, y) 1-ый элемент, который относится к X, а морфизм π_Y извлекает 2-ой элемент, относящийся к Y. При этом не происходит дублирования в X/Y, то есть если с помощью π_X мы уже вытащили красную звезду из 1-ой пары, то красная звезда из 2-ой пары отображается в ту же самую красную звезду из 1-ой пары.

Причем с помощью морфизма h не обязательно отображать другие две пары, так как с помощью канонических проекций можем получить все элементы X и Y. То есть не возможность получить с помощью h пар (красная звезда, зеленое сердце) и (фиолетовое сердце, красная звезда) ни на что не влияет.

Выводы

В этом введение мы ознакомились с такими понятиями как: категория, какими свойствами должна обладать категория, изоморфизм, сумма и произведение категорий. Надеюсь, примеры и упрощенные замечания помогли лучше закрепить основные идеи этой теории.

Источники

Ершов А. В. Категории и функторы, Учебное пособие //Ершов АВ–Саратов: ООО Издательский центр “Наука. – 2012. - вся “строгая” математика была взята отсюда.