Я не учился в топовом университета и тем более не учился на профессионального математика. Но когда я был студентом, меня однажды зацепила задача. Задача, которая абсолютно не имела для меня практического применения, но тем не менее захватила мое внимание. Эта статья не будет о ее решении, эту вводную часть я пишу для того, чтобы на своем примере показать красоту математики. Если говорить о задаче, у меня не получится даже толком ее сформулировать, но я попытаюсь в самой общей форме: найти коэффициенты разложения
Если же быть точнее, я не знал, чего именно ищу, в целом меня бы устроила любая информация про эти числа, конечно, исключая реккуретные соотношения. Они мое любопытство удовлетворить не могли. Как-либо подойти к решению у меня не получалось, я не знал даже с чего тут можно начать. Начинать с открытия браузера я точно не хотел и скорее предпочел бы ее забросить. Но я не сдавался и всякий раз брался за задачу, пока решение не пришло оттуда, откуда я совсем не ждал. Когда я решил исследовать оператор, как казалось, совершенно не связанный с этой задачей. Этот оператор имеет следующее достаточно оригинальное обозначение , но названия его я не знаю, по-этому на всем протяжении статьи я буду его называть просто оператор. Количество интересных результатов, о которых я слышал и о существовании которых не подозревал, и которые он слету мне позволял получать, меня поразили. И в конечном счете я получил и тот результат, который давно мне не давался.
Все общепринятые обозначения, в том числе и обозначение оператора, я нашел лишь после того, как получил удовлетворительный мне результаты. Результаты хоть и совсем скромные, но зато мои и чтобы эта статья не залеживалась в давно забытых уголках моего компьютера, я решил ее опубликовать.
Перед началом важно сделать несколько уточнений о формулах и доказательствах, чтобы не перегружать текст:
Если не указано иное, индексы во всех формулах — целые положительные числа.
Если не указано иное, нижние индексы у коэффициентов не превышают верхние.
Производные, интегралы и изменение порядка суммирования подразумеваются всякий раз, когда используются, без дополнительных упоминаний. Все ограничения, накладываемые на коэффициенты рядов можно найти в соответствующей литературе.
Определение и свойства
Чтож, давайте пристальней рассмотрим оператор, который позволяет быстро и эффективно находить ряд интересных закономерностей.
Начнем мы знакомство с самой ее бездушной части — с определения и основных свойств. Определим мы оператор, конечно же, рекуррентно.
К основным свойствам я отнес свойства, которые служат лишь вспомогательной информацией при доказательстве других утверждений:
Оператор суммы равен сумме операторов
Доказательство.
Предположим, что утверждение верно для , тогда
линейно выражается через
,
где — числа Стирлинга второго рода.
Доказательство. Реккурентное соотношение для коэффициентов.
Предположим, что равенство верно для , тогда
Отсюда же, учитывая , сразу получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов
линейно выражается через
,
где — числа Стирлинга первого рода.
Доказательство. Реккурентное соотношение для коэффициентов.
Предположим, что это верно для , тогда
Изменив порядок суммирования и прибавив , получим
И как по волшебству получаем рекурретные соотношения для
Эти коэффициенты называются числами Стирлинга первого рода.
Свет в конце туннеля
Если учесть , последнее равенство в спойлере можно записать более изящно
Если его же рекурсивно применить, можно заметить, что числа Стирлинга первого рода равны сумме произведений чисел Стирлинга второго рода
где множество чисел — это все подмножества множества целых чисел в интервале
.
Доказательство. Реккурентное соотношение для коэффициентов.
Как всегда, предположим, что это равенство верно для , тогда
Доказательство мы разделим на 3 части.
Докажем, что знак произведения верен. Действительно, знак произведения равен
, если произведению соответсвовует подмножество с четным числом элементов и
, если с нечетным. После умножения на
количество элементов в подмножестве увеличивается на
, а знак меняется на противоположный.
Докажем, что каждому подмножеству соответствует хотя бы одно произведение из результирующей суммы. Действительно, возьмем непустое подмножество
, ему соответствует произведение коэффициента
на
. Но, как видно из формулы, их произведение содержится в разложении
. Соответствие пустому подмножеству
можно найти непосредственно при
, так как
.
Докажем, что число слагаемых в разложении точно равно числу подмножеств множества
. Так как разложение
содержит
слагаемых, если
, и
, если
, то
содержит
слагаемых.
И кто бы мог подумать, что это именно та формула, которую я безрезультатно искал. И прежде, чем перейти к обоснованию этого утверждения, нам в обязательном порядке стоит познакомиться с функцией , называемая гамма функцией Эйлера.
Обобщение оператора
Давайте сделаем очевидное действие. Развернем оператор и, зная результат для степени , найдем для
Видя такую красоту перед глазами, невольно хочется заняться обобщениями, заменив на
. А для случая
непосредственно получаем
Из определения следует, что нужно искать кучу-кратный интеграл, чтобы найти оператор отрицательной степени. Это ни в какие ворота не лезет, потому стоит поискать более красивую формулу. И, после наложения некоторых ограничений на функцию, такое представление можно найти.
Доказательство
Без ограничения общности, примем . Предположим, что равенство верно для всех
, тогда нам нужно доказать
Если учесть базу индукции, первый интеграл можно переписать
Его мы получили с помощью замены . И после вопиющей замены
, получим интеграл, с которым поприятнее работать
Обратим внимание на следующее очевидное свойство
Оно наталкивает на мысль, что стоит попробовать доказать следующее равенство
Ограничим верхние пределы большим, но все же конечным числом . Найдем интеграл по частям
В пределе при получается искомое утверждение. Последовательно воспользовавшись им можно получить такую вот красоту
Конечный результат получается после применения идентичных интегрированию по частям преобразований.
Ряд Маклорена
В течение статьи в роли себя попробуют многие функции. Но хотелось бы начать с особенной —
. Эта функция для оператора играет ту же роль, что и
для производной — изменяет коэффициент перед функцией, не меняя саму функцию
И сразу же применим его на рядах Маклорена.
Эта формула верна для любых целых степеней. А что, если и степень оператора будет вещественной? Ведь ничего не ограничивает степень в разложении. Более того, такой оператор можно представить в интегральной форме, для этого рассмотрим отношение
Где последний интеграл есть функция, известная, как та самая гамма функция Эйлера.
Осталось немного преобразовать оператор и подставить верхнее отношение
Точно такую же формулу мы получили выше, рассматривая оператор от отрицательных чисел, с одним лишь отличием — факториал заменен на гамма функцию. Откуда, если взять , сразу получаем замечательное свойство гамма функции
Гамма функция Эйлера
Что нам дает эта замечательная функция? Зачем она была так нужна для продвижения в решении той самой задачи, что пришлось написать столько текста? Нам она дает более красивое представление вопроса. Поглядите сами
Было
Стало
Ну разве не красота?
Решение найдено!
Вновь возьмём функцию , но теперь подставим ее в формулы для прямого и обратного представления оператора
Откуда и следуют долгожданные утверждения
Числа Стирлинга второго рода оказались именно тем, что я искал. Ну, почти. Превратим одно в другое
Так как , то числа
имеют знак
.
Или еще не совсем?
Не смотря на то, что от рекуррентности получилось избавиться для чисел , представив их, как сумму произведений
, сами эти числа все еще находятся рекуррентно. Аналитическое представление
можно найти многими путями, я покажу 2 из них.
Через ряды. Рассмотрим функцию и запишем основные формулы
Назовем полиномами Стирлинга.
Реккурентное соотношение для полинома.
Без лишних слов.
Не очень красивый способ, но зато дает интересный результат — . Его можно было бы получить и с помощью реккурентных соотношений, но здесь результат получается непосредственно.
Через полином Ньютона. Покажем действительно красивый способ получить тот же результат. Возьмем функцию .
Приравнивая оба выражения и взяв , получим:
Числа Бернулли
Возьмем теперь непримечательную функцию . Почему именно ее? Да все просто, если
, мы придем к числам Бернулли
Но ведь можно легко получить и другое разложение
Кажется, есть связь?
Еще немного магии
Как уже известно, соответствующее отношение гамма функций — это полиномы от , подставив и изменив порядок суммирования, получим
Связь есть!
Еще немного о рядах
Операторы тесно связаны с производной функции от переменной .
Доказательсво.
Предположим, что равенство верно для , тогда
Из этого следует
Конкретные примеры.
Если взять , а результат разделить на
, получим производящую функцию полиномов Стирлинга
Если взять предыдущую функцию , получим
Продифференцировав по и, найдя предел при
, получим
Где полиномы Бернулли
В частном случае, при , получим
Последний ряд наталкивает на мысль рассмотреть функцию . И оказывается, здесь тоже есть, за что зацепиться.
Подставив в ряд по операторам при , получим
С другой стороны, можно воспользоваться расходящимся рядом
Приравняв два равенства и сократив на, получим удивительный результат
Финиш
Почему я захотел написать эту статью? Наверное, я даже не хотел, просто само получалось. Каждый результат был получен естественным путем, без построения трехэтажных лемм и вводных данных. Сложно было только собрать структуру так, чтобы все было связано, каждый результат появлялся своевременно. Надеюсь, я с этой задачей справился.
Ну и на последок оставил разложение в ряд Маклорена функций вида , если известно разложение
Доказательство.
Оно вам надо? Лучше посмотрите на случай, когда .
В последнем равенстве при замене , где
— функция Ламберта обратная к
, получим
Комментарии (6)
wataru
03.02.2025 04:35За статью спасибо - интересные факты вылезли в выкладках.
Но странно, что вы в процессе решения вышли на числа Стирлинга, хотя интересующие вас коэффициенты как раз и есть числа Стирлинга первого рода (беззнаковые). Если бы вы не отказывались смотреть на рекуррентные соотношения, то это можно было бы быстрее заметить.
Еще, интересно было бы откопать тут связь с перестановками. Ведь числа стирлинга первого рода - это сколько есть перестановок с заданным количеством циклов.
Naf2000
03.02.2025 04:35Похоже вы открыли для себя алгебру Вейля: https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_algebra
Portnov
Если такие штуки нравятся, см. обязательно книку "Конкретная математика" (Грэхем, Кнут, Поташник). Там много такого и около. В частности, ваша формула там это формула 6.11 :)