30.08.2025 02:25
baxmax 26 9700 Источник

И это всё, что вам нужно о них знать

Как-то раз на глаза попалась программа некоего видеокурса, что-то типа "Математика для анализа данных". И там одним из первых пунктов фигурировали "ряды Тейлора". "Какие ряды Тейлора, если речь идёт о функциях действительного переменного (а никакие другие в курсе и не рассматривались)", - подумал я. И решил написать статью об этих самых рядах Тейлора, которых в действительном анализе, как надёжного инструмента, на самом деле, попросту не существует .

Почему так? Давайте разберёмся.

Формальное определение

Начнём с определений. Пусть f(x) — бесконечно дифференцируемая в точке x_0 функция (действительного или комплексного переменного). Тогда мы можем формально написать ряд

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n

который и называется рядом Тейлора этой функции в точке x_0. Это обычный степенной ряд, коэффициенты которого определяются по соответствующим производным исходной функции. То есть, формально составить ряд Тейлора можно для произвольной бесконечно дифференцируемой действительной или комплексной функции. Коэффициенты такого ряда вычисляются по формулам

(1) \text { } a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}

Однако что можно делать с этим рядом? Что о нём можно утверждать? Вот тут и начинаются проблемы.

Но сначала посмотрим на понятие сходимости. Сходимость числового ряда понимается как наличие (конечного) предела последовательности его числовых сумм. Поточечная сходимость функционального ряда - это сходимость числового ряда при каждом фиксированном x из некоторого множества X. То есть

g(x) = lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_k (x - x_0)^k

Подчеркнём, что в этой записи фигурирует предел при n \to \infty, тогда как x остаётся фиксированным и никуда не стремится.
В дальнейшем для компактности записи мы будем предполагать, что x_0=0. Все результаты обобщаются на случай произвольного x_0 очевидным образом.

Степенные ряды

Кратко пробежимся по свойствам произвольных степенных рядов, необходимым для дальнейшего.
Областью сходимости степенного ряда является "круг" (в "одномерном" случае - интервал, симметричный относительно центральной точки x_0). Точнее, внутри этого круга ряд сходится, снаружи - расходится, а в граничных точках требуется особое исследование. Для простоты будем рассматривать только внутренние точки круга сходимости.
Внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно (т.е. ряд из модулей также сходится). Это даёт возможность совершать арифметические операции (сложение, умножение) со сходящимися степенными рядами, а также произвольно перегруппировывать его члены.
Также, внутри своего круга сходимости степенной ряд сходится равномерно. Не останавливаясь на рассмотрении этого понятия, отметим лишь, что это свойство позволяет почленно дифференцировать степенной ряд. Отсюда несложно вывести, что всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора своей суммы. В частности, это даёт единственность представления некоторой функции в заданной точке x_0 в виде степенного ряда: если такое представление возможно, то коэффициенты этого ряда определяются по формулам (1).
Наконец, приведём формулу для радиуса сходимости R степенного ряда:

\frac{1}{R} = \bar {\lim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}

Здесь \bar {\lim} означает "верхний предел" последовательности, который всегда существует, в отличие от обычного предела. Это формула Коши-Адамара, она позволяет теоретически вычислить радиус сходимости по последовательности a_n коэффициентов степенного ряда.
В то же время, для известных комплексных функций нет необходимости вычислять радиус сходимости по формуле Коши-Адамара. Согласно общей теории аналитических функций, ряды Тейлора таких функций сходятся до тех пор, пока не встретят "препятствие" - особую точку, в которой предел данной функции бесконечен или вообще не существует. (В некоторых случаях могут быть и другие типы "препятствий"). Расстояние до такой точки от точки x_0 и будет определять радиус сходимости.

Чуть позже мы увидим, что ряд Тейлора произвольной функции действительного переменного может вообще нигде не сходиться (кроме центральной точки x_0), а в случае сходимости его сумма может быть никак не связана с исходной функцией, по которой этот ряд построен. Такое непредсказуемое поведение ряда Тейлора, по нашему мнению, равнозначно отсутствию смысла в таком понятии для функций действительного переменного. Чтобы по-настоящему почувствовать всю мощь рядов Тейлора, изучайте комплексный анализ?.

Что же тогда существует?

Одним из важнейших результатов дифференциального исчисления функций действительного переменного является формула Тейлора. Пусть f(x) - n раз дифференцируемая в точке x_0=0 функция. Тогда

f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + r_n(x)

где r_n(x) некоторый остаток. Понятно, что такая формула абсолютно бесполезна, если мы не укажем какую-то информацию об этом остаточном члене. Наиболее простой вариант записи остаточного члена - такой:

r_n(x)=o(x^n)

Это означает, что

\frac{r_n(x)}{x^n} \to 0 \text { при } x \to 0

Такая форма записи иногда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. При n=1 эта формула превращается просто в определение дифференцируемости функции в точке. А сама формула Тейлора становится обобщением свойства дифференцируемости на произвольное число n последовательных производных.

Существуют и другие формы записи остаточного члена формулы Тейлора, позволяющие, в частности, оценивать величину остатка и выполнять приближённые вычисления с заданной точностью. Мы не будем на этом останавливаться.

Правая часть формулы Тейлора, на первый взгляд, очень похожа на частичную сумму ряда Тейлора, рассмотренного выше. Вероятно, этим и обусловлена путаница между этими двумя понятиями. Однако есть одно принципиальное отличие. Ранее мы отметили, что в определении сходимости ряда Тейлора n \to \infty, тогда как x фиксирован и "никуда не стремится". В формуле же Тейлора, напротив, n фиксировано, а x \to 0.
Формулу Тейлора можно применять для нахождения сложных пределов. Например, найдём

l = lim_{x \to 0} \frac{e^x sin x - x(1 + x)}{x^3}

Из формулы Тейлора:

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

Перемножая эти равенства и убирая степени x выше третьей под знак o(x^3), получим:

e^x \sin x = x - \frac{x^3}{6} + x^2 + \frac{x^3}{2} + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)

Таким образом,

\frac{e^x \sin x - x(1 + x)}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3} + o(1)

и окончательно

l = lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} + o(1)) = \frac{1}{3}

Неаналитичность

Функцию, представимую своим рядом Тейлора в некоторой области, называют аналитической в этой области. Из теории функций комплексного переменного хорошо известно, что всякая функция, дифференцируемая в некоторой области, аналитична в ней. То есть, в принципе любая функция комплексного переменного, дифференцируемая в некоторой окрестности, представима рядом Тейлора.

В действительном анализе всё совсем не так. Принадлежность классу C^\infty означает, что у функции есть производные любого порядка, но это вовсе не значит, что она равна сумме своего ряда Тейлора.
Чтобы это показать, достаточно рассмотреть "классическую" функцию

\varphi(x) =\left\{\begin{array}{ll} e^{-1/x^2}, & \text{ при } x\neq0 \\ 0, & \text{ при } x = 0\end{array}\right.

Несложно понять, что функция \varphi(x) является бесконечно-дифференцируемой в точке x_0=0, и все её производные в этой точке равны 0. В соответствии с основным определением, её ряд Тейлора в этой точке - тождественно нулевой, тогда как сама функция не является тождественным нулём.
Этот пример можно обобщить, положив при x \ne 0

\varphi(x) = R(x)e^{-|Q(x)|}

где R(x) и Q(x) - некоторые рациональные функции (представимые в виде частного двух многочленов). Из правил дифференцирования следует, что любая производная такой функции будет иметь такой же вид, при этом под знаком экспоненты останется тот же аргумент -|Q(x)|. Условия

Q(x) \to \infty \text { при } x \to 0

достаточно для того, чтобы её производные всех порядков были равны 0 в точке x_0=0. Аналогично, ряд Тейлора тождественно нулевой, а функция - нет. Прибавляя такую функцию к любой аналитической функции, получаем неаналитическую функцию, ряд Тейлора которой тождественно равен ряду Тейлора исходной аналитической функции. Видим, что существует бесконечно много неаналитических бесконечно-дифференцируемых в нуле функций действительного переменного. Их ряд Тейлора сойдётся не к той функции, которая его породила.

Что к этому добавить? Разве что следующее утверждение:

Для любой последовательности чисел a_n существует функция f \in C^{\infty}(\mathbb{R}), такая, что f^{(n)}(0) = a_n для всех n \ge 0

Это теорема Бореля.
Взяв, например a_n=(n!)^2, получим, согласно этой теореме, бесконечно-дифференцируемую функцию, ряд Тейлора которой -

\sum_{n=0}^{\infty} {n!} x^n

расходится всюду, кроме точки x_0=0 (поскольку его общий член n!x^n не стремится к нулю, не выполнено необходимое условие сходимости ряда).

Таким образом, мы построили как функции, ряд Тейлора которых всюду расходится, так и функции, значение ряд Тейлора которых не равно им самим ни в одной точке (разумеется, кроме самой точки x_0=0). Это ли не повод перестать говорить о "рядах Тейлора" в контексте действительного анализа?

А как же всем известные разложения?

Из приведённых выше рассуждений совсем не следует, что аналитических функций действительного переменного не существует. Наиболее известные из них, а также вид соответствующих рядов Тейлора, приведены далее:

  1. e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

  2. \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

  3. \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}{}}{(2n)!}

  4. \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n при |x|<1

  5. \ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} при |x|<1

Да, эти формулы действительно справедливы. Но следует заметить, что эти соотношения не могут быть доказаны ссылкой на то, что справа стоят ряды Тейлора указанных функций. Каждое из них требует особого доказательства (если не прибегать к результатам комплексного анализа). Например, ряд для экспоненты может быть выведен из формулы (1+\frac{x}{n})^n \to e^x ("второй замечательный предел"), а ряды для синуса и косинуса - из тесной связи этих функций с самой экспонентой ("формула Эйлера"): e^{ix} = \cos x + i\sin x

При этом, учитывая "хорошие" свойства степенных рядов, отмеченные ранее, мы можем не сомневаться в возможности выполнения арифметических действий над приведёнными равенствами, а также, например, подстановок. Поэтому не следует сомневаться в аналитичности таких функций, как

e^x \sin x^3 - ln(1+x^2) \text { при } |x|<1

Однако и тут не обойдётся без нюансов. Например, если выполнить подстановку x=\frac{у + у^2}{6} в разложение номер 5, раскрыть скобки и привести подобные, получим ряд по степеням y для функции \ln(1-(y+y^2)/6). Но где будет сходиться этот ряд? Поскольку исходный ряд сходился при |x|<1, следовало бы ожидать сходимости полученного ряда на множестве |y+y^2|<6. Однако решение этого неравенства даёт интервал y \in (-3; 2), а как мы знаем, интервал сходимости степенного ряда должен быть симметричен относительно нуля. В действительности радиус сходимости этого ряда равен 2, и на интервале (-3; -2) сходимости нет. Справедливость этого утверждения можно было бы установить, непосредственно вычисляя коэффициенты полученного ряда и применяя формулу Коши-Адамара, но проще заметить, что при y=2 аргумент логарифма становится равным нулю, а эта точка является как раз "препятствием" для комплексного логарифма, так что при её достижении сходимость обрывается. Поэтому и в действительном случае не будет сходимости и в левой части множества |y| \gt 2.

В качестве ещё одного интересного примера возьмём такую функцию класса C^{\infty}(\mathbb{R}):

f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}

A priori неясно, будет ли эта функция аналитической в нуле, и на каком множестве. Однако с соответствующей функцией комплексного переменного f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} всё ясно: она аналитична, и "препятствие" она встречает в точках x=\pm i (i - "мнимая единица). Расстояние от 0 до \pm i равно 1, так что радиус сходимости R=1 Поэтому и соответствующий ряд в действительном случае сходится на множестве (-1; 1)

Вывод

В действительном анализе ряды Тейлора ненадёжны. Функция может быть гладкой до бесконечности, но её ряд Тейлора в точке окажется пустышкой, которая не сходится ни к чему, или к чему угодно, но только не к исходной функции.

Однако стоит взглянуть на функции комплексного переменного — и мир становится гораздо стройнее. Именно поэтому комплексный анализ является одной из самых красивых областей математики.

Функции комплексного переменного не только ведут себя более "регулярно", но и позволяют, в некоторой степени, установить поведение соответствующих функций действительного переменного.

Спасибо, что дочитали до конца!

Комментарии (26)


  1. zkutch
    30.08.2025 04:15
    #28773894

    И как все это связанно с заглавием статьи?


    1. baxmax Автор
      30.08.2025 04:15
      #28776512

      Как-то "связанно". Возможно, верёвками


  1. oliva80
    30.08.2025 04:15
    #28774236

    Рядов Тейлора не существует

    Кликбейтных заголовков не существует


  1. wataru
    30.08.2025 04:15
    #28774338

    Какой же кликбейтный заголовок.

    Суть статьи: для некоторых действительных функций ряд тейлора в некоторых точках имеет радиус сходимости 0, и мало чего дает. Поэтому надо забить на ряды тейлора для вещественных функций. Используйте комплексные функции! Я все правильно понял?

    Но, скажите мне, а вот если взять вот ту классическую функцию e^{\frac{1}{-x^2}}, но рассматривать ее как фукнцию комплексной переменной, то как она раскладывается в ряд тейлора в нуле? Ой, там тоже какая-то фигня происходит? Т.е. что получается, "рядов тейлора и для комплексных функций не существует", потому что у некоторых функций в некоторых точках ряд тейлора не существует или имеет радиус схождения 0? Или "это другое"?


    1. Lgleb
      30.08.2025 04:15
      #28776518

      Эта функция ведёт себя очень плохо около 0 в комплексной плоскости. Например подходя к 0 по мнимой оси (ia a-> 0) мы получим бесконечность...


      1. baxmax Автор
        30.08.2025 04:15
        #28776520

        Можно было бы сказать проще: эта функция не имеет предела в 0


    1. baxmax Автор
      30.08.2025 04:15
      #28776528

      Это не просто "другое", это "совсем-совсем другое". Смотрите: указанная функция, рассматриваемая как функция комплексного переменного, не имеет предела в нуле, и следовательно, ни одной производной. Потому и её ряд Тейлора в нуле не может быть построен. Это не просто "какая-то фигня", это чёткое и честное указание на неаналитичность.

      А вот её ограничение на\mathbb{R}ведёт себя по-хамски: "прикидывается" хорошей, бесконечно-гладкой функцией, но в итоге путает все карты. Тут комплексный анализ выступает в роли фильтра, "отбраковывая" все такие "нечестные" псевдо-аналитические функции.

      Кстати, интересное замечание. Я думаю, оно заслуживает включения в основной текст статьи


  1. Emelian
    30.08.2025 04:15
    #28774386

    Однако стоит взглянуть на функции комплексного переменного — и мир становится гораздо стройнее. Именно поэтому комплексный анализ является одной из самых красивых областей математики.

    Это так, но есть ещё кватернионный анализ, в рамках которого я, когда-то очень давно, написал статью: «Интегральная формула Коши для кватернионов» :
    https://scholium.narod.ru/Math/Scholium001-IntegralFormulaOfCauchyForQuaternions.pdf .


    1. GospodinKolhoznik
      30.08.2025 04:15
      #28774952

      А эти системы чисел, такие как комплексные числа, кватернионы, они ограничены, или их бесконечно много?

      Если их неограничено много, то на любое утверждение про кватернионы, всегда можно сказать, что это всё фигня, и лишь частный случай гораздо более сильного и важного утверждения для более замороченый системы чисел.

      И насколько мат. анализ, построенный на таких системах чисел плодородный? Например в ТФКП есть киллер фича - теорема о вычетах. А в кватернионном анализе есть такие крутые результаты?


      1. wataru
        30.08.2025 04:15
        #28774972

        Можно их бесконечно расширять, конечно. Но чем дальше, тем больше свойства теряются. Например, перемножение кватернионов уже некоммутативно (a*b != b*a). При переходе к комплексным числам потерялся порядок. Какие-то новые свойства вроде и возникают, но в целом, чем дальше - тем менее полезной оказывается система. После комплексных чисел слишком много арифметических свойств теряется, чтобы какой-то анализ строить.


      1. ermouth
        30.08.2025 04:15
        #28775192

        https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Процедура_Кэли_—_Диксона


      1. Emelian
        30.08.2025 04:15
        #28775574

        А эти системы чисел, такие как комплексные числа, кватернионы, они ограничены, или их бесконечно много?

        «Хороших – мало, плохих – много!». После кватернионов, размерности –четыре, идут числа (алгебра) Кэли, размерности восемь. Затем – алгебры Кэли-Диксона, размерности степени двойки. Там уже возникает много плохих свойств. Сначала, теряется коммутативность, потом ассоциативность, после чего возникают делители нуля, из-за чего эти числовые алгебры уже малоинтересны.


      1. Daddy_Cool
        30.08.2025 04:15
        #28776314

        Грусть начинается быстро - основная теорема алгебры не выполняется для кватернионов.


        1. baxmax Автор
          30.08.2025 04:15
          #28776558

          Следовало бы выражаться более определённо. Основная теорема алгебры не имеет "входящих параметров", она просто есть, и она выполняется (потому она и "теорема").
          Выражения типа "ОТА для кватернионов" и тп. смысла не имеют. Можно говорить лишь "аналог ОТА для кватернионов". Но проще (и точнее) сказать так: "тело кватернионов не является алгебраически замкнутым". Хотя, опять же, понятие "алгебраической замкнутости" вводится только для полей, с телами всё сильно сложнее из-за некоммутативности. Например, даже обычное понятие полинома уже не так очевидно в некоммутативном случае: коэффициенты могут умножаться на степени неизвестного слева, справа, или с двух сторон. Можно говорить о "левых" и "правых" корнях и тп. Крч, уже тут начинаются "дебри". Но эта статья была немного не об алгебре)


  1. MasterMentor
    30.08.2025 04:15
    #28774798

    О! В комментариях знакомые всё лица! Рад поприветствовать, коллеги!

    По делу.

    Статья/карма +/+, от подписки пока воздержался.

    Плюсы: оригинальное исследование.

    Минусы: - всегда, если это возможно, нужна демонстрация на геометрии (её нет); - не сравнены ФКП и ФВП и не сделаны выводы об их поведении, вытекающие из их свойств.

    Одноместная ФКП - определена на плоскости (если отображать её геометрически), одноместная ФВП - на прямой. В то же время такая ФКП может "схлопываться" и до прямых (одномерный объект), и до точек (нульмерный), а ФВП - только до точек. (уходы в бесконечности - опускаю).

    Вот такое бы исследование рядов - с дельтами, и построениями на геометрии - было бы ИМХО куда интереснее, чем просто алгебраистика, которую мы имеем в статье.

    А ещё веселее было бы затем распространить исследование и обобщить результаты на многоместные функции. :)


    1. baxmax Автор
      30.08.2025 04:15
      #28776536

      Благодарю за позитивный отзыв.

      Да, в статье может многого не хватать. Но она не имела целью "объять необъятное". Цель была простая - призвать не использовать понятие "рядов Тейлора", когда речь о действительном анализе. Хотите Тейлоровости - вот вам формула Тейлора, и на этом всё.


  1. cpud47
    30.08.2025 04:15
    #28776246

    Вы просто выбираете удобные задачи

    Функции комплексного переменного не только ведут себя более "регулярно", но и позволяют, в некоторой степени, установить поведение соответствующих функций действительного переменного.

    Аналитические функции (что вещественные, что комплексные) ведут себя "более регулярно". Другое дело, что аналитичность у ФКП проверяется сильно проще, но на этом всё.

    Как только Вы выйдете за рамки удобных (аналитических) функций, всё сразу становится нерегулярно (а ТФКП превращается в тыкву). И если Вам кажется, что неаналитические функции неинтересны, то это сильно не так.

    Например, есть важные теоретические конструкции, которые опираются на существование бесконечнодифференцируемых функций, которые не являются аналитическими (например, интеграл по многообразию).

    Анализ не становится красивым, от того что Вы затребуете кучу свойств от своего объекта изучения. Анализ красив именно когда Вы требуете минимум свойств. В этом смысле, ТФКП — одна из самых скучных областей анализа (как раз ввиду своей регулярности).


    1. MasterMentor
      30.08.2025 04:15
      #28776346

      С этим соглашусь:

      Анализ не становится красивым, от того что Вы затребуете кучу свойств от своего объекта изучения. Анализ красив именно когда Вы требуете минимум свойств.

      А вот с этим - нет:

      ТФКП — одна из самых скучных областей анализа

      В ФКП сходится алгебра над элементарными множествами (количествами), алгебра над треугольником, и - соответствнно - геометрия. Люблю ТФКП. :)


    1. baxmax Автор
      30.08.2025 04:15
      #28776554

      И если Вам кажется, что неаналитические функции неинтересны

      Нет, мне так не кажется. Я просто не стремлюсь охватить абсолютно все вопросы в одной маленькой статье. И не вижу смысла цепляться к словам.

      Рассуждения о "красоте" - это лирика, и вообще очень субъективное понятие. Кому как.

      Да, процитированные вами слова слишком размыты, чтобы делать из них какие-либо более точные выводы. Это скорее описание "ощущений", чем строгая формулировка. И всё же она имеет под собой некоторое основание. Как я ответил другому комментатору, зачастую ФКП выступает в роли "фильтра", более чётко отделяя по-настоящему "хорошие" функции от тех, которые только пытаются "притвориться" таковыми. Вовсе не имел в виду всего того, что вы за меня "додумали". А выбор задач для рассмотрения в статье всегда остаётся за автором и зависит от основной мысли публикации, которая состоит в том, что не следует рассматривать "ряды Тейлора" в контексте действительного анализа, и на этом всё.


      1. Pshir
        30.08.2025 04:15
        #28777036

        А выбор задач для рассмотрения в статье всегда остаётся за автором и зависит от основной мысли публикации, которая состоит в том, что не следует рассматривать "ряды Тейлора" в контексте действительного анализа, и на этом всё.

        В статье эта мысль так и не раскрыта. Вы предлагаете отказаться от рядов Тейлора, просто из-за того, что бесконечно дифференцируемая функция в действительном анализе не обязательно является аналитической? На примерно таком же основании можно вообще отказаться от рядов, потому что не все ряды сходятся.


  1. IuliusCaesar753
    30.08.2025 04:15
    #28777254

    Если честно хотел поставить дизлайк только за факт существования статьи в моих рекомендациях в данный момент, ибо сейчас активно готовлюсь к пересдаче комплана и тут вот это, среди развлекательных статей про авто, космос, компы и тд. Мне половину из называемых теорем доказывать надо, в том числе и "единственность разложения по формуле Тейлора"

    Ввиду этого по-диагонали прочитал, возможно нашел ошибку, но сейчас точно не буду проверять

    Ну и определение аналитичности у вас дано в обратную сторону. Аналитическая функция это та, что дифференцируема в этой области, а не та, что раскладывается в Тейлора.


    1. fujinon
      30.08.2025 04:15
      #28779350

      Классическим определением аналитичности является разложимость в ряд Тейлора. Дифференцируемость в точке - это дифференцируемость. Дифференцируемость "в области" называется голоморфностью. Весь комплексный анализ строится вокруг того факта, что из голоморфности вытекает аналитичность.


      1. Daddy_Cool
        30.08.2025 04:15
        #28780654

        "...разложимость в ряд Тейлора..." в окрестности любой точки?
        Вот какой-нибудь sin(1/x) раскладывается в области нуля?


        1. fujinon
          30.08.2025 04:15
          #28782136

          Нет, мы говорим про аналитичность в точке (степенной ряд в этой точке существует и сходится к функции в некоторой окрестности этой точки). Можно говорить об аналитичности в области - это когда функция аналитична в каждой точке этой области.
          sin(1/x) просто не определена в 0, поэтому ее степенной ряд в 0 тоже не определен. С точки зрения комплексного анализа в 0 она имеет "существенно особую точку". В области C \ { 0 } эта функция аналитична.


  1. Sovenok-Hacker
    30.08.2025 04:15
    #28779230

    Интересная статья, после прочтения понял, что я не так много знаю о рядах :)

    Насчёт ТФКП согласен, сам изучаю, там ряд Тейлора вообще обобщается до ряда Лорана и появляются надёжные инструменты для его исследования.


  1. Asterris
    30.08.2025 04:15
    #28779398

    Честно говоря, статья ни о чём, просто цитата доказательств из учебников.

    Если же говорить про аналитиков, то первое знание, которое осваивает правильный аналитик - это понимание граничных условий применимости инструментов, с которыми он работает. И точности, которую они дают. Банальное разложение Фурье так-то тоже работает только для непрерывных и периодических функций. Но этим можно пренебречь в случае каких-то реальных расчетов. Также и любая аппроксимация ряда́ми - где-то её хватает, чтобы просто прикинуть порядок величины - и этого может быть уже достаточно.