Привет, Хабр!

Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями.

А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть.

Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда, также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D.

Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения.

________________________________________________________________

Шаг 1: Готовим сцену — Алгебра, где векторы можно перемножать

Что такое алгебра Клиффорда Cl(3,0)? Не пугайтесь названия. В основе — всего три базовых вектора из нашего родного 3D-пространства: e1,e2,e3. У них всего два правила жизни:

1. Квадрат любого базового вектора равен +1: 

   .

2. Они антикоммутируют: 

   

Главное отличие от стандартной векторной алгебры в том, что здесь введено геометрическое произведение. Мы можем перемножать векторы и получать не просто число (скалярное произведение) или другой вектор (векторное произведение), а нечто более общее. Подробнее про данную операцию читайте в статье @master_program "Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше".

Для тех, кто любит матрицы, есть отличные новости. Эта алгебра изоморфна (то есть, структурно идентична) алгебре комплексных матриц 2×2. Мы можем просто сказать:

Именно поэтому любой 3D-вектор v=(x,y,z) можно представить как матрицу :

Это наш мост между абстрактной алгеброй и чем-то, что можно потрогать в коде.

Шаг 2: Великая формула представления

Давайте расшифруем этот шифр:

•  — это любой элемент алгебры Клиффорда. Не просто вектор, а вообще что угодно — сумма скаляра, вектора, чего-то еще... Наш главный герой.

•  — это какой-то фиксированный единичный вектор. Он как холст, на котором оператор рисует свою геометрию.

• — это оператор, который мы конструируем из двух произвольных 3D-векторов, v1 и v2:

• — это его эрмитово-сопряженная версия: .

• геометрическое произведение здесь идентично матричному произведению.

Формула утверждает нечто поразительное: геометрию любого элемента A можно полностью описать, найдя всего два вектора, v1 и v2, которые определяют его действие.

Но как именно они действуют?

___________________________________________________________________

Шаг 3: Вскрываем оператор T — танец реальной и мнимой геометрии

Забудем на секунду про матрицы и посмотрим, что происходит на уровне самой геометрии. Мы разберем, как каждая часть оператора T преобразует произвольный вектор v через геометрическое произведение.

Часть I: Действие «реального» вектора v1 — Кватернионы в действии

Что такое v1v? Это не точка и не крестик. Это геометрическое произведение, которое всегда можно разложить на две части:

• Скалярная часть S=(v1⋅v): Это просто проекция v на направление v1. Она говорит нам, "насколько v смотрит в ту же сторону, что и v1". Это элемент масштабирования.

• Бивекторная часть B=(v1∧v): Это самое интересное. Бивектор — это не вектор, а ориентированная плоскость, в которой лежат v1 и v. Его "величина" — это площадь параллелограмма, а "ориентация" — направление вращения от v1 к v. Бивекторы — это прирожденные генераторы вращений. Это работает почти как задание вектора в полярных координатах.

Смотрите, что получилось: скаляр + бивектор. Да это же в точности структура кватерниона! Поэтому назовем это действие "кватернионным". Вектор v1 отвечает за вращения и масштабирование.

Часть II: Действие «мнимого» вектора i⋅v2 — Магия дуальности

Теперь очередь i(v2v). Снова раскладываем произведение. Здесь и далее будем использовать I (псевдоскаляр e1e2e3) вместо i, чтобы быть ближе к геометрии:

• Псевдоскалярная часть (I(v2⋅v)): Скалярное произведение — это число. Умноженное на I, оно становится элементом, описывающим объем или ориентацию (правое/левое). Но так же это проекция v на направление бивектора i⋅v2, заданное нормалью к плоскости бивектора.

• Векторная часть (I(v2∧v)): Бивектор v2∧v — это плоскость. Умножение на I в 3D — это операция дуальности: она превращает плоскость в перпендикулярный ей вектор.

Итак, вектор v2 отвечает за преобразования, связанные с ориентацией и построением нормалей.

Итог:

Действие оператора  на вектор v порождает сразу все четыре типа элементов алгебры:

Один оператор — четыре разных геометрических сущности. Чувствуете мощь?

Шаг 4: Реконструкция — как из двух векторов рождается целая вселенная

Теперь давайте погрузимся глубже и докажем, что эта система не просто красива, но и жестко определена.

Именно здесь и кроется самая элегантная идея. Мы покажем, что, зная лишь "осколки" — результаты преобразования — мы можем однозначно восстановить всю систему целиком.

Часть I: Введение мультивектора А в общем виде

Прежде всего, давайте запишем наш мультивектор A в самом общем виде. Любой мультивектор A можно разложить на "реальную" и "мнимую" кватернионные части:

Обозначим эти части как S1,v1′ и S2,v2′.

Давайте будем следовать этой логике. Пусть:

•  — скалярная часть.

•  — бивекторная часть.

•  — псевдоскалярная часть.

•  — векторная часть (дуальная бивектору B2).

Тогда наш мультивектор A — это просто их сумма:

Теперь мы хотим доказать, что этот A в точности равен .

Часть II: Восстановление исходной системы

Предположим, мы не знаем исходный "пробный" вектор v, но знаем результаты его преобразования: бивекторы B1 и B2, которые породил наш оператор.

• Бивектор B1=v1∧v представляет плоскость, содержащую v1 и v.

• Бивектор B2=v2∧v представляет плоскость, содержащую v2 и v.

В 3D каждый бивектор имеет дуальный вектор, который ему ортогонален. Давайте назовем их V′1 и V′2:

• 

• 

Как нам найти направление v?

Вектор V′1 по определению ортогонален и v1, и v. Аналогично, V′2 ортогонален и v2, и v.

Это значит, что оба вектора, V′1 и V′2, лежат в плоскости, ортогональной вектору v.

А векторное произведение двух векторов, лежащих в одной плоскости, дает вектор, ортогональный этой плоскости. Следовательно:

параллелен v

Чтобы получить единичный вектор , нам остается только нормализовать результат:

Это доказывает, что система геометрически замкнута. Если мы знаем, как оператор подействовал на вектор, мы можем однозначно восстановить направление этого вектора. Геометрия не разваливается.

Часть III: Получение главной формулы сведения к (1)

(2)

Что здесь происходит? Это просто хитрая алгебраическая перегруппировка. Давайте сначала посмотрим на выражение в скобках. Для любого вектора v в Cl(3,0) его обратный элемент

  

Если v единичный, тогда

 .

Умножение на  справа — это способ "извлечь" оператор преобразования. Если , тогда 

Давайте применим это к нашему разложению A на четыре части:

Сгруппируем их по-другому:

Теперь вспомним, что:

• Первая скобка — это просто .

• Вторая скобка — это .

Следовательно,

А для сопряженного оператора, как в исходной формуле (1), все будет аналогично:

Формула показывает, что если мы возьмем полный мультивектор A, "разделим" его на v (умножив на ), чтобы получить оператор, а затем снова "соберем" (умножив на v), то мы, естественно, вернемся к исходному A.

К этому моменту у вас наверное должен был закрасться вопрос : "А зачем нам сопряженный оператор?". Ответ прост - он необходим для согласованности с матрицей Грамма, одним из базовых понятий линейной алгебры. Именно за счет умножения на эрмитово-сопряженный элемент, в частном случае мы получаем модуль кватерниона. А эрмитово-сопряженный к вектору равен самому вектору, поэтому для определения модуля вектора, как правило, про необходимость этой операции "забывают".

Это может показаться тавтологией, но все это доказывает самосогласованность: представление мультивектора A через оператор T и его действие на вектор v — это не приближение и не аналогия, а точное и обратимое математическое тождество.

А теперь давайте сгруппируем члены по их рангу (или "типу"):

• Ранг 0 (Скаляр): 

• Ранг 1 (Вектор): 

• Ранг 2 (Бивектор): 

• Ранг 3 (Псевдоскаляр): 

Вот оно!

Итак, мультивектор A — это сумма четырех геометрически осмысленных частей, каждая из которых рождается из взаимодействия векторов  и  с вектором , выступающим в роли "холста".

Это и есть тот самый "универсальный солдат": один объект, хранящий в себе сразу четыре типа геометрической информации.

___________________________________________________________

Шаг 5: Универсальный солдат — почему это обобщение всего?

Теперь мы готовы понять, почему этот подход так крут. Он не просто описывает что-то одно, он содержит в себе всё. Полный базис алгебры Cl(3,0) состоит из  элементов:

• 1 (один скаляр)

•  (три вектора)

•  (три бивектора)

•  (один псевдоскаляр)

Любой элемент алгебры A (его называют мультивектором) — это просто сумма этих базовых элементов с какими-то коэффициентами.

Вместо того чтобы таскать за собой восемь коэффициентов, мы представляем A через его геометрическое действие. Это и есть фундаментальный сдвиг в мышлении. Мы не спрашиваем "из чего он состоит?", мы спрашиваем "что он делает?".

__________________________________________________________________________

Шаг 6: Частные случаи — Зоопарк математики в одном вольере

Давайте посмотрим, как из нашего общего мультивектора A получить все те инструменты, к которым мы так привыкли.

Где здесь кватернионы?

Кватернионы — это элементы, состоящие из скалярной и бивекторной частей. В нашей алгебре они образуют так называемую "четную подалгебру" — если перемножить два таких элемента, результат снова будет кватернионом. Если мы хотим, чтобы наш A был чисто кватернионным, мы просто обнуляем его векторную и псевдоскалярную части. Таким образом, кватернионы - это частный случай нашего оператора при .

Например, ротор  — это кватернион, который вращает объекты вокруг оси бивектора B (нормали к B) на угол θ.

Где здесь спиноры?

Это самый тонкий момент. В стандартной физике спинор (например, описывающий электрон) — это нечто странное, что при повороте на 360° меняет знак. В алгебре Клиффорда спиноры — это элементы специального "отфильтрованного" подпространства.

Чтобы его получить, всю алгебру умножают на проектор P (элемент, для которого . Например, в физике используют . Это как надеть специальные очки, которые позволяют видеть только часть мира.

Наш подход более общий. Мы работаем с полным элементом A. Нам не нужны "очки". Если нам понадобится спинор, мы просто возьмем наш A и умножим его на проектор P. Мы не теряем информацию, мы просто выбираем, на что смотреть.

Где здесь комплексные числа? Элемент вида  (сумма скаляра и псевдоскаляра) ведет себя в точности как комплексное число, где роль мнимой единицы i играет псевдоскаляр I. Мы можем это легко проверить: .

Если положить и  параллельными v, мы можем получить те самые элементы вида s+ip, которые ведут себя как комплексные числа.

Где здесь векторы?

Если мы хотим, чтобы наш элемент A был просто вектором, нам нужно подобрать  и  так, чтобы после умножения на v остались только векторные компоненты. А именно надо сделать , ортогональным v.

Таким образом, наш общий мультивектор A — это "материнская" структура, из которой все остальные объекты получаются как частные случаи или проекции.

Заключение: Зачем все это нужно?

Эта красивая теория — не просто гимнастика для ума. Она имеет глубокие практические следствия.

1. Для 3D-графики и разработки игр: Представьте, что вместо отдельных классов для Vector3, Quaternion, Matrix4x4 у вас есть один-единственный объект Multivector. Вращения, отражения, масштабирования, определение положений — все это делается через одно унифицированное геометрическое произведение. Код становится чище, интуитивнее и потенциально быстрее. Библиотеки вроде ganja.js уже показывают, как это может выглядеть.

2. Для физики и робототехники: Алгебра Клиффорда позволяет записывать уравнения электромагнетизма, механики и даже квантовой теории в невероятно компактной и элегантной форме, свободной от координат. Она напрямую кодирует геометрию, а не ее проекции на оси X, Y, Z.

3. Для понимания: Самое главное — это дает интуицию. За сложными формулами вращений и преобразований скрывается простая геометрия проекций и плоскостей.

Таким образом, мы обнаружили новый мощный способ мышления:

1. Любой элемент алгебры Клиффорда Cl(3,0) можно представить как оператор T=v1+iv2, действующий на базовый единичный вектор.

2. Этот оператор имеет "реальную" часть v1, которая отвечает за кватернионные преобразования (проекции и вращения), и "мнимую" часть iv2, которая отвечает за преобразования, связанные с дуальностью (создание псевдоскаляров и векторов из бивекторов).

3. Этот подход объединяет все математические сущности (векторы, кватернионы, спиноры) в единой структуре полного мультивектора, показывая, что они являются лишь разными проявлениями одного и того же геометрического объекта.

Здесь мы увидели ключ к двери в мир, где геометрия и алгебра — это одно и то же. Мир, где один объект может быть всем, что нам нужно. И, возможно, это самый элегантный способ думать о геометрии из всех, что мы когда-либо изобретали.

Надеюсь, это путешествие было для вас таким же захватывающим, как и для меня. Спасибо за внимание

---

Другие наши статьи на тему геометрической алгебры:

@master_program:

Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше - великолепная статься для введения читателя в смыслы геометрической алгебры. Где подробно описан смысл геометрического произведения и удобства от такого описания.

Вывод ОТО в геометрической алгебре - кейс практического применения этого математического аппарата, к теории относительности.

О формализме матриц Паули и геометрической алгебры в нерелятивистской квантовой механике - статья расшифровывающая смысл формализма квантовой механики, устраняющая смысловой разрыв между геометрией и свойствами ее элементов с формулами высокой физики.

@Exlt8

Кватернионы — не только то, что мы о них думали - статья про то как на плоскости можно напрямую проассоциировать скаляр и бивектор с обычными векторами, чтобы использовать для математического описания плоскости двойной базис. Про развитие той идеи вы прочитали здесь.

Функция гиперкомплексного переменного и UVWT базис Клиффорда-Паули - о том как представить функцию от любого элемента Клиффорда, напрямую без применения разложений в ряды от матриц.