Привет Хабр!

В основе многих законов физики лежит простой принцип: ничто не возникает из ниоткуда и не исчезает в никуда. Этот принцип сохранения находит своё выражение в уравнениях неразрывности, описывающих, как текут реки, перемещаются заряды или распределяются вероятности в квантовом мире. Представленный здесь вывод обобщённого уравнения неразрывности начинается с элементарной геометрии — бесконечно малого треугольника — и через язык комплексных чисел приходит к удивительно универсальному результату. Это уравнение сохраняет свою форму в пространствах любой размерности и оказывается полностью совместимым с продвинутыми алгебраическими системами, такими как алгебры Клиффорда, предлагая тем самым единый и элегантный формализм для описания законов сохранения в классической физике, квантовой теории и за их пределами. Эта работа демонстрирует, как глубокие физические истины могут проистекать из простых геометрических рассуждений.

Геометрия как основа закона

Пояснение: Представьте крошечный участок потока жидкости или поля. Этот треугольник — наш «микроскоп», чтобы рассмотреть, как величина (например, масса или энергия) переносится через границу маленькой области.

Рассмотрим бесконечно малый треугольник с вершинами в точках 0, 1, 2. Его стороны образованы векторами -r, r˚ и (r - r˚). В вершинах зададим скорости v и вещественные плотности ρ. На каждой стороне треугольника определим средние значения:

Пояснение: Поскольку значения в вершинах могут различаться, для оценки потока через грань мы берём усреднённое значение — как если бы свойство плавно менялось от одной точки к другой.

От потоков к дифференциалам

Сумма потоков импульса через замкнутый контур равна нулю. Записывая это условие для нашего треугольника и раскрывая средние значения, получаем начальное уравнение:

Пояснение: Это уравнение — математическая «бухгалтерия» течения. Оно скрупулёзно учитывает всё: что втекает и вытекает через границу, а также что циркулирует вдоль самого контура. Проекции на направления сторон треугольника отслеживают круговорот величины по периметру, а проекции на перпендикулярные им направления — чистый приток или отток через границу области.

Скорости и плотности в точках 1 и 2 выражены через приращения:

Пояснение: Здесь в игру вступает математический анализ. Бесконечно малые приращения dv и dρ показывают, как немного меняются скорость и плотность при смещении от точки 0 к точкам 1 или 2.

После раскрытия скобок и отбрасывания членов второго порядка малости уравнение упрощается до более простой формы:

Пояснение: «Отбрасывание членов второго порядка» — это стандартный приём при работе с бесконечно малыми. Он аналогичен пренебрежению тем, что капля дождя изменит траекторию корабля: влияние есть, но в первом приближении им можно пренебречь.

Финальная форма и её универсальность

Вводя скорости как производные v₁ = dr/dt, v₂ = dr˚/dt и выполняя преобразования, приходим к ключевому уравнению:

А так как суммы в скобках это дифференциалы произведения величин в направлении 1 или 2, получаем наиболее компактную и изящную форму:

Пояснение: Это сердце вывода. Уравнение говорит, что разница в изменении импульса (d(ρv)), взвешенная по соседним скоростям, должна уравновешиваться. Его можно интерпретировать как строгий закон баланса компонент потока.

Значение результата

Это уравнение представляет собой внешнее произведение дифференциала импульса на скорость. Проекции дифференциалов импульсов на скорости здесь нужно понимать в смысле геометрического произведения, не важно понимать ли скорости как векторы на плоскости, заданной комплексными числами, или в пространстве, заданном более сложными объектами. Его универсальность в трёх аспектах:

1. Комплексность: скорости могут быть комплексными числами (что удобно для описания двумерных течений и вращений)*. Но так же скорости могут быть элементами и более сложных пространств.

2. Некоммутативность: вывод не использует коммутативность умножения (то есть a·b не обязательно равно b·a, что важно в продвинутой алгебре и квантовой механике)*.

3. Размерность: форма инвариантна к размерности пространства (работает как на плоскости, так и в многомерных пространствах)*.

*Благодаря этому уравнение готово к работе в алгебрах Клиффорда — языке, описывающем физические законы от гидродинамики до квантовой теории поля. Оно становится мостом между фундаментальной геометрией и прикладными теориями, предлагая единый каркас для описания законов сохранения.

Пояснение: Алгебры Клиффорда — это мощный математический инструмент, обобщающий комплексные числа и векторы. Совместимость с ними означает, что данное уравнение потенциально применимо в самых современных разделах физики.

Геометрическое произведение, это основной инструмент данной дисциплины. В частности, оно позволяет при помощи проекций сравнивать не со направленные векторные величины, как это было рассмотрено здесь.

Заключение: Геометрическая ясность против классической формы

Представленный геометрический вывод предлагает принципиально иной взгляд на закон сохранения — не интегральный, а контурно-дифференциальный. Если классическое уравнение (∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0) описывает баланс внутри объёма, то новая форма (d(ρ₂v₂)·v₁ − d(ρ₁v₁)·v₂ = 0) непосредственно анализирует перенос и циркуляцию вдоль его границы.

Преимущества такого подхода:

1. Адаптивность к сложным геометриям. Уравнение, построенное на векторах сторон, естественно работает в криволинейных и неевклидовых пространствах без дополнительных модификаций.

2. Явное разделение течений. Форма органично разделяет циркуляцию величины вдоль контура и её поток через границу, что ценно для анализа вихревых течений.

3. Готовность к обобщениям. Вывод не использует коммутативность или специфику размерности, делая уравнение идеальной основой для обобщений в некоммутативные алгебры и алгебры Клиффорда.

4. Связь дискретного и непрерывного. Геометрический вывод напрямую связывает дифференциальный закон с его дискретными аналогами, упрощая построение точных численных методов.

Таким образом, новая форма служит мощным дополнением классическому уравнению, предлагая более гибкий и геометрически прозрачный язык для описания сохранения в современных физических моделях.

Спасибо за внимание!