Кватернионы — не только то, что мы о них думали / forpes.ru

Главная
Кватернионы — не только то, что мы о них думали

Кватернионы — не только то, что мы о них думали +15

22.09.2025 04:51

Exlt8 0 4900 Источник

Предложу сегодня подход и буду признателен, если специалисты его дополнят.

Выведу по шагам, как матрица кодирует параллелограмм на вещественной плоскости и как один параллелограмм преобразовывает второй параллелограмм. Лирику вообще не пишу. Для общего образования статья тоже может быть полезна, если вы интересуетесь математикой.

Представление этого инструментария на плоскости сделает проще изучение его же в 3D. А если надо просто ознакомиться, то пробегитесь по картинкам с пояснениями, не открывая подкаты.

Обозначения и названия введу постепенно: от простого, с первого курса, к математическому сленгу. 3D не рассматриваю, это понимания сути не добавит. Но ключевой тезис по 3D — в конце шестой части.

Содержание:

Произвольная матрица и её числа.
Матричное задание параллелограмма.
Описание матричного параллелограмма в координатах.
Построение правого и левого пространств матриц.
Алгебра с умножением.
Визуализация кватерниона на плоскости.

Начнем.

Произвольная матрица и её числа

Произвольную вещественную матрицу запишем в стандартном и разложенном виде.

$A = \begin{pmatrix} a & c \\ d & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s+z & x+y \\ x-y & s-z \end{pmatrix}$

(1.1.) Параметры разложения определяются по простым формулам.

$s= 1/2⋅(a+b) \quad z= 1/2 ⋅ (a−b)\\x= 1/2 ⋅ (c+d)\quad y= 1/2 ⋅ (c−d)$

(1.2.) Также запишем эти параметры в тригонометрическом виде.

$s=q⋅cos(φ _1 )\quad y=q⋅sin(φ _1 )\\x=v⋅cos(φ _2 )\quad z=v⋅sin(φ _2 )$

Где q, v — произвольные положительные числа.

(1.3.) Попарно они образуют два объекта со свойством, как у векторов в декартовых координатах.

$q ^2 = s ^2 + y ^2 \\v ^2 =x ^2 +z ^2$

Объекты изображены, без начала координат, намеренно, пока они не связаны.

Примечание. Я воспользовался свойством, что любую пару вещественных чисел можно представить в тригонометрическом виде. А так как матрица кодирует произвольные четыре числа, для записи четверки чисел требуется еще связать (q,v).

Матричное задание параллелограмма

Про числа написали. Что можем сказать про матрицы?

(2.1.) Наша матрица состоит теперь из двух компонент.

$A=Q+V\\Q=q⋅M _ 1 \\V=v⋅M _ 2 $ $M_1 = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_1) & \sin(\varphi_1) \\ -\sin(\varphi_1) & \cos(\varphi_1) \end{pmatrix} \quad M_2 = \begin{pmatrix} \sin(\varphi_2) & \cos(\varphi_2) \\ \cos(\varphi_2) & -\sin(\varphi_2) \end{pmatrix}$

*Тригонометрические матрицы М1, М2 — это собственное и несобственное ортогональные преобразования, если на них смотреть с точки зрения линейной алгебры. А если смотреть с точки зрения алгебр Клиффорда, то это единичный кватернион и единичный вектор.

(2.2.) Определитель матрицы А и определители Q, V.

$D = q^2 - v^2 \\ \det(Q) = q^2 \\ \det(V) = -v^2$

(2.3.) Матрица Грамма также раскладывается на sxyz, причем тождественно yg=0.

$G = A^T \cdot A = \begin{pmatrix} sg+zg & xg \\ xg & sg-zg \end{pmatrix}$ $sg = q^2 + v^2 \quad\quad yg = 0\\xg = 2 \cdot (s \cdot x + y \cdot z) = 2 \cdot q \cdot v \cdot \cos(\varphi_2 - \varphi_1)\\zg = 2 \cdot (s \cdot z - x \cdot y) = 2 \cdot q \cdot v \cdot \sin(\varphi_2 - \varphi_1)$

*Далее потребуются обе записи для (xg, zg), поэтому я записал их двумя способами.

Компоненты матрицы Грамма совместно с определителем кодируют характеристики обещанного параллелограмма.

Заметили что то?

Квадраты длин сторон кодируются через множитель скаляра Sg и определитель, квадраты длин диагоналей кодируются через множитель скаляра Sg и множитель вектора Xg. Площадь кодируется через множитель вектора Zg. Почему и какого вектора, смотрите ниже.

$q^2 = \frac{sg+D}{2} \quad\quad v^2 = \frac{sg-D}{2} \\ d1 = sg+xg \quad \quad d2 = sg-xg \quad\quad F=zg$

Делаем вывод, что матрицу можно сопоставить параллелограмму, параметры которого описываются этими простейшими формулами. Но мы понимаем, что кодируется, но не понимаем пока, как конкретно расположены компоненты. Как неабстрактно направлены sxyz?

*Соответственно в таком виде случаю D=0 соответствует ромб (q=v).

Описание матричного параллелограмма в координатах

Задание координат для этого параллелограмма, в привязке к какому-то конкретному базису в виде нарисованных на плоскости стрелочек, — вопрос, вообще говоря, относительный. Что относительно чего координировать?

(3.1.) Запишем еще раз наши матрицы:

$Q = q \cdot (\sigma_0 \cdot \cos(\varphi_1) + \sigma_{31} \cdot \sin(\varphi_1)) \quad V = v \cdot (\sigma_1 \cdot \cos(\varphi_2) + \sigma_3 \cdot \sin(\varphi_2))$ $\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \sigma_{31} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Это два объекта, записанные в своих базисах из сигма-матриц (базис алгебры Клиффорда). В отличии от вектор-столбцов, на плоскости не два, а четыре линейно независимых объекта.

Про алгебраические свойства и выбор базиса на всякий случай убрал подкат. Мало ли кто не любит усложнение терминологии и много букв. Но тут интересное по математике. (Вставил частично в виде картинок, так как большие блоки текста с формулами в подкат вставлять не удобно).

(3.2.1.) Назовем величины следующим образом:

(3.2.2.) Продолжение.

Если вдруг забыли какие-то правила, то всегда можно себя перепроверить через матричное представление. Для плоскости это не очень актуально, а вот в больших размерностях...! Также в любых размерностях удобно пользоваться свойством антикоммутативности σij=-σji.

На плоскости данный базис существует только в виде одного 0-вектора σ0, одного бивектора σ31 (2-вектора) и двух 1-векторов. Пишу только про плоскость. Про более высокие размерности не пишу, про это на Хабре много статей.

(3.3.) Мне видится логичным зацепиться за базис (z,x).

(3.4.) Как записать кватернион в координатах (x,z)?

Построение правого и левого пространств матриц

(4.1.) Запишу "квадраты" всех матриц.

(4.2.) Мы обнаружили некий класс подобъектов.

(4.3.) Возврат к четверке независимых чисел.

(4.4.) Определение параметра r для объектов с нулевым определителем.

Алгебра с умножением

(5.1.) Со сложением мы разобрались, теперь разберемся с умножением. Пусть один объект преобразует второй умножением на транспонированную матрицу, по аналогии с произведением для формирования матрицы Грамма.

$A' = \begin{pmatrix} s'+z' & x'+y' \\ x'-y' & s'-z' \end{pmatrix} \quad\quad\quad\quad B = \frac{P}{\det(A)}\\ A' = B^T \cdot A \quad\quad B = (A' \cdot A^{-1})^T \quad\quad \det(A) \ne 0$

где P — матрица проекций компонентов A на A', которая тоже образует параллелограмм в разложении sxyz. Также в скалярной части — скалярные произведения компонент, в векторной части — псевдоскалярные.

$sp = (x \cdot x' + z \cdot z') - (s \cdot s' + y \cdot y')\\yp = (x' \cdot z - x \cdot z') + (s \cdot y' - s' \cdot y)\\xp = (s' \cdot x - s \cdot x') + (y \cdot z' - y' \cdot z)\\zp = (s' \cdot z - s \cdot z') + (x \cdot y' - x' \cdot y)$

В случае если v_|_v` и q_|_q` получаем матрицу с нулевым скаляром (бесследовую).

В общем, зная, что был за объект и что за объект получили, однозначно воссоздаём, каким способом мы это сделали.

Алгебра Клиффорда удобна тем, что в ней все равно, что через что выражать. Суммой, умножением, или даже делением. С векторами в виде столбцов 2х1 так не получится.

(5.2.) Отдельно разберем случай, когда параллелограмм преобразуем в ромб (или наоборот).

Пусть A' является ромбом. И пусть ее скаляр положителен. Тогда она описывается кратко так:

$det(A') = 0 \quad\quad s' = \sqrt{x'^2 + z'^2 - y'^2}$

Что будет за матрица проекций, получаем по тем же формулам выше, подставляя s'. Про новую матрицу мы также знаем, что ее определитель будет равен нулю. Но еще есть матрица Грамма, компоненты которой мы теперь знаем, как вычислять и что они означают. Соответственно, можем построить этот ромб без ограничений на умножение матриц с нулевым определителем.

Визуализация кватерниона на плоскости

(6.1.) В подкате выше мы выяснили, что удобное для визуализации представление матрицы такое:

$A^+ = d \cdot \left(\frac{1}{2r} \cdot M_1 + r \cdot M_2\right) \quad \quad A^- = d \cdot \left(\frac{1}{2r} \cdot M_1 - r \cdot M_2\right) \quad \\Q = d \cdot \frac{1}{2r} \cdot M_1 \quad\quad \quad \quad V = d \cdot r \cdot M_2$ $M_1 = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_1-\varphi_2) & -\sin(\varphi_1-\varphi_2) \\ \sin(\varphi_1-\varphi_2) & \cos(\varphi_1-\varphi_2) \end{pmatrix} \quad M_2 = \begin{pmatrix} \cos(\varphi_2) & \sin(\varphi_2) \\ \cos(\varphi_2) & -\sin(\varphi_2) \end{pmatrix}$

Угол ф2 из начала статьи заменен на угол ф1-ф2. Матрица М1 из начала статьи заменена на транспонированную себя.

В формуле: d - означает единый масштаб всех элементов параллелограмма, r - задает длины объектов, ф1,ф2 - обычные углы на плоскости. Начало отсчета ф1 лежит на векторе V. Так же теперь появилось начало координат.

Длины обоих объектов оказались связаны, и существует два типа объектов алгебры Клиффорда на плоскости.

Положение кватерниона Q, задаваемого матрицей M1, отсчитывается от вектора V.

Картину дополняет союзная матрица.

$A = S + P_o \quad\quad A_c = A^{-1}\cdot{\det(A)} = S - P_o \quad \\S = s \cdot \sigma_0 \quad \quad \quad P_o = x \cdot \sigma_1 + z \cdot \sigma_3 + y \cdot \sigma_{31}$

Союзная матрица, задает вторую сторону параллелограмма, получаемую двумя последовательными отражениями относительно осей (x, z).

Сумма исходной и союзной матриц дает чистый скаляр, их разность дает бесследовую матрицу, что тоже можно использовать как косоугольный базис, что и сделано в модели кватернионов.

Также удобно, что в такой записи ноль-объекты тоже имеют направление, если приравнять d не математическому, а машинному нулю (ϵ ).

Ну и, наверное, главное по математической теории. Если спроецировать рассмотренную плоскость на любую из неиспользованных здесь матриц Паули (на σ2 — третий базисный вектор, или на σ123 — тривектор), то получим мы объект на плоскости, ортогональной к рассмотренной.

И если сложить объекты на этих двух плоскостях, то мы получим произвольные четыре грани некоего объекта в трехмерном объёме, заданных произвольной комплексной матрицей 2x2. Что означает, что математически восьмимерный объект соответствует трем физическим измерениям. Каждое из восьми математических измерений алгебры Клиффорда линейно независимо в отличии от модели из линейной алгебры, построенной на вектор-столбцах.

А вот окажется ли этот трехмерный объект произвольным восьмигранником или какой-то штукой похитрее, я не знаю. Это тема для хорошей научной статьи, что уже совсем не для формата «Хабра».

(6.2.) Осталось разобраться, что же образует в таком представлении произведение матриц.

Посмотрим на образование матрицы C преобразованием матрицы A матрицей A', без множителей d.

$C = A'^T \cdot A = \begin{pmatrix} sc+zc & xc+yc \\ xc-yc & sc-zc \end{pmatrix}$

Выражения для параметров также не сложны, как и для исходных объектов. Причем можно отдельно видеть, как изменяются масштабы и углы, как у комплексных чисел в форме Эйлера.

$sc = r \cdot r' \cdot \cos(\varphi_2-\varphi'_2) + \frac{1}{4 \cdot r \cdot r'} \cdot \cos((\varphi_2-\varphi'_2)-(\varphi_1-\varphi'_1))\\yc = \frac{1}{4 \cdot r \cdot r'} \cdot \sin((\varphi_2-\varphi'_2)-(\varphi_1-\varphi'_1))\\xc = \frac{r}{2r'} \cos((\varphi_2-\varphi'_2)+\varphi'_1) + \frac{r'}{2r} \cos((\varphi_2-\varphi'_2)-\varphi_1)\\xc = \frac{r}{2r'} \cos((\varphi_2-\varphi'_2)+\varphi'_1) + \frac{r'}{2r} \cos((\varphi_2-\varphi'_2)-\varphi_1)$

Пользоваться можно любым из описанных представлений, в зависимости от задачи, а визуализировать полученное можно только последним. Представление получилось формально четырехмерное, но два измерения — это просто степени свободы системы из двух объектов.

Это сдвинутая окружность, изображаемая кватернионом Q.

(6.3.) Например, вот такая фигура рисуется кватернионом Qc, если свободным параметром выбрать φ1, а остальные зафиксировать.

А вектор Vc рисует просто прямую, если свободным параметром сделать только r=t.

В фиксированные параметры подставлены случайные числа.

Спасибо за внимание!

P.S. Большое спасибо @master_program за конструктивную критику первых версий этого материала, они были написаны сильно сложнее, и без его предложений я бы шел к тому, что здесь гораздо дольше.

P.P.S. Понятно, что все то же самое можно получить в абстрактной форме. Но есть нюанс, и он в том, что, во-первых, символьная математика, например MathCAD, не умеет работать с абстрактной формой, а глазами очень легко пропустить, например, это.

Комментарии (0)

riv9231
22.09.2025 05:07
#28865566
У вас же нет ни одной формулы нормально отрендереной. Или это статья уже не для людей, а для ИИ?
1. Exlt8 Автор
  22.09.2025 05:07
  #28865610
  Не вполне понял комментарий. Вроде я специально поднапрягся и ввел все основные формулы как формулы, а не как картинки, как делал раньше.
  1. riv9231
    22.09.2025 05:07
    #28865924
    Вот сейчас стало все нормально.
    
    aamonster
    22.09.2025 05:07
    #28866002
    Вероятно, приколы движка Хабра – он формулы очень не сразу рендерит, не раз замечал.

Jijiki
22.09.2025 05:07
#28867110
спасибо интересно, из кватерниона можно получить матрицу (там большая формула)(по памяти пишу вроде 3х3 или 4х4 ) и тут можно через этот мостик захватить по этой теме двойные кватернионы тоже, кватернионы можно встретить в блендере в консольке если лень писать разбираться с нуля(двойные кватернионы советуют на первых парах в скелетной анимации 3д dqs оптимизация типо, в теории можно камеру сделать на двойном или простом-я тестил только на простом, двойной пока только тестил скорость)
1. Exlt8 Автор
  22.09.2025 05:07
  #28867234
  Тут нюанс, я рассмотрел прием в применении к плоскости. А для 3D, на сколько я понимаю, ничего подобного вообще никто не создавал. В классике да, кватернионами удобно работать в смысле поворотов, двойные кватернионы по идее должны дать двойной объект с раздельными вращениями. Не изучал, не могу особо ничего сказать.
  1. Jijiki
    22.09.2025 05:07
    #28867940
    у плоскости есть точка(опорой может быть либо угол либо центр или любая другая относительная точка), и предположительно 4 или 6 вершин, допустим центр это позиция, и к центру применяем трансформации, на низких уровнях мы отправляем базовые функции(поворот, перемещение, масштаб) в 3д или 2д в вектора, и там по итогу этих трёх операций в её форме получаем итоговую матрицу(этого обьекта где в шейдере произойдёт этот пайплайн применимый ко всем вершинам и произойдёт трасформация в кратце ) на этом пайплайне проще понять роль поворотной матрицы или кватерниона или двойного кватерниона
    
    тоесть для всего комплекса(это математика тоже и при добавлении некоторых переменных и физика) нам придётся определить (праворукая/леворукая) систему, определить перспективную матрицу(в идеале 2 штуки орто и 3д), видовую матрицу, и тогда обьект представленный вершинами, имеющий матрицу будет управляться собственной матрицей, соотв сколько матриц столько и обьектов, вид это камера условно, перспектива(ортогональная 2д в 3д, или 3д в 3д) пирамида или усеченная пирамида или паралельный перенос в ортогональном виде это уи или 2д

domix32
22.09.2025 05:07
#28867128
Произвольная матрица и её числа.

Если матрица произвольная, то почему оно только для 2х2? Хоть бы за вектора сначала упомянули.

Матрица Грамма также раскладывается

А зачем она раскладывается и какое это имеет отношение к остальной части статьи?

Построение правого и левого пространств матриц.

снова - зачем мы это делаем и какое это имеет отношение к остальной части?

Со сложением мы разобрались,

сложением чего с чем? вектор с вектором? параллелограм с параллеограммом? или просто двух вещественных чисел? У вас до этого абзаца про сложение буквально 0 упоминаний.

В общем, зная, что был за объект и что за объект получили, однозначно воссоздаём, каким способом мы это сделали.

а зачем нам знать процесс трансформации, когда казалось бы нас обычно интересуют состояния объекта и как перейти к следующему. Или из этого как-то следует гарантия, что некоторая ? Кажется, что поворот повороту рознь и способ для каждого из переходов будет отличаться некоторым набором коэффициентов.

Как-то с пропущенной лирикой вы пропустили половину логических связей между кусками статьи.

Отдельно стоит отметить некоторое количество опечаток. Ну и нумерация, которая у вас зачем-то в скобках по итогу никак не упоминается при воспоминании о "подкате".
1. Exlt8 Автор
  22.09.2025 05:07
  #28867336
  "Произвольная матрица и её числа. " Матрица размера 2х2 в алгебре Клиффорда сопоставлена 1-векторам (обычным декартовым), 2-векторам (бивекторам), кватернионам. Поищите поиском, на Хабре по тегам к статье много всего найдется. В статье рассмотрен подход для обобщения на вообще все вещественные матрицы через sxyz разложение.
  
  Матрица Грамма также раскладывается. Не вполне понял вопрос. Вроде из следующей картинки следует ответ зачем...
  
  Построение правого и левого пространств матриц. По другому не свяжутся единственным образом параметры abcd и то что в подкате (4).
  
  Со сложением мы разобрались. Матриц и параллелограммов.
  
  В общем, зная, что был за объект... История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.
  
  В сухом остатке подумаю дорабатывать статью или нет, и если дорабатывать, то как.
  
  Мне возможно показалось, но все ваши вопросы связаны с тем, что для много кого геометрическая Алгебра туманна...

flx0
22.09.2025 05:07
#28867964
(1.3.) Попарно они образуют два объекта со свойством, как у векторов в декартовых координатах.

Кажется вы начали самостоятельно приходить к идее спиноров)
Только не хотите ее обобщать.

История про то, что в Алгебре Клиффорда нет разделения на операторы и векторы, объекты выполняют обе функции.

Сорт оф есть. Это не очень видно в кватернионах, потому что в них нет делителей нуля. Но там где они есть, есть и 3 разных типа действий: левое, правое и двухстроннее. И в зависимости от того, какое именно действие на элемент алгебры вы рассматриваете, вы получите существенную разницу между мультивекторами и спинорами (а потом внезапно заметите, что и в этом плане особенные, но это совсем отдельная история).
1. Exlt8 Автор
  22.09.2025 05:07
  #28868054
  Только не хотите ее обобщать.
  
  Такое устройство головы, пока сам путь не пройду и не увижу созданные своими руками картинки, не могу хотеть)
  
  и в этом плане особенные, но это совсем отдельная история)
  
  Согласен про другую историю, и тут нюанс следующий - наверное для всех в высокой науке эта история очевидна, но интересный факт, что где то между моментом изучения линейной алгебры первого курса и моментом наступления в жизни этой высокой науки случился незадокументированный мост, построенный путем наставничества. По крайней мере мне не заумное объяснение в литературе, как все работает, не попадалось. Есть шанс, что кто то учебник напишет в какой то перспективе. А пока для себя начал с плоскости.
  1. Jijiki
    22.09.2025 05:07
    #28868606
    Jerk_(physics) вот, по итогу там на кватернионе по зависимости вся базовая математика получается, можно еще посмотреть что такое rigidbody
  1. flx0
    22.09.2025 05:07
    #28868692
    По крайней мере мне не заумное объяснение в литературе, как все работает, не попадалось.
    
    Это, кстати, действительно проблема. То как в алгебры Клиффорда заходят в литературе, зачастую вызывает недоумение. Я лишь могу порекомендовать каналы sudgy, eigenchris и bivector (все на английском), а также мою собственную статью про спиноры, которую я накатал потому что нигде больше не видел нормальных пояснений про них.
    
    С тех пор я, кстати, узнал про спиноры еще много чего интересного, но совершенно не вижу как это оформить в нормальную статью, которая была бы интересна хоть кому-то.
    
    Jijiki
    22.09.2025 05:07
    #28868750
    From symplectic geometry to Hamilton's equations их соединяет кватернион(наверное) и Гамильтоновы уравнения(раздел Гамильтонова механика как я понял), в которых упоминается Lie algebra, а у кватерниона упоминается алгебра Клиффорда ну если по вики смотреть
    
    так то проще понять квартернион - крутить)
    
    Exlt8 Автор
    22.09.2025 05:07
    #28868780
    Но вот получилось, что кватернион это не только про "крутить"
    
    Jijiki
    22.09.2025 05:07
    #28869534
    ну там дальше только моменты(тоесть в физике как я понимаю это моменты когда произойдёт событие наверное, дело в том что я диллетант и изучаю от обратного, произошел момент столкновения взяли нормали направили по формуле кинули в векторку что надо сделать в нормированном пространстве получили матрицу шарики разлетелись наверное), основная составляющая крутить в сферических координатах тоесть направлять, так то если смотреть какойнить учебник(гайд)
    
    Constraint Solving
    
    Introduction
    
    Framework introduction
    
    Raycast sphere
    
    Raycast bounding box
    
    Raycast plane and triangle
    
    Physics system
    
    Integrating particles
    
    Solving constraints
    
    Verlet integration
    
    Manifolds and Impulses
    
    Introduction
    
    Manifold for spheres
    
    Manifold for boxes
    
    Rigid body modifications
    
    Linera velocity
    
    Linear impulse
    
    Physics system update
    
    Angular velocity
    
    Angular impulse
    
    это я подсмотрел
    
    может быть достаточно матеши + дерево + рейкаст в иерархию, но тут террайн(по террейну там тоже много исследований всякие сглаживания, проходы и прочее, интерполяции), кароче да зависит от потребностей
    
    Exlt8 Автор
    22.09.2025 05:07
    #28868758
    Поэтому и писал про плоскость, то, что здесь кажется громоздким, по сравнению с формулами для объема очень даже миленько и компактно выглядит. А за напоминание про ту статью, спасибо, надо будет переосмыслить в свете истории про плоскость, на ней как то попроще все
1. master_program
  22.09.2025 05:07
  #28870978
  В вашей статье про спиноры нет понятной связи с тем, как это в физике используется. Там спиноры - это векторы (матрицы 2 на 1), а операторы - это комплексные матрицы 2 на 2.
  
  То, что вы там описали - это спиновое (проективное) разложение пространств. Но в общем понять, как от этого перейти к тому, что используется в физике - не так просто.
  1. flx0
    22.09.2025 05:07
    #28871228
    Да, есть такое. Грубо говоря, каждый левый идеал соответствует одному столбцу в матричном представлении алгебры Клиффорда по соответствующему базису, каждый правый - строке.
    То есть линейная оболочка "физических"
    
    $\left| \uparrow \right>, \left| \downarrow \right>$ - это идеал, образованный $\frac{1}{2}(1+e_z)$ или $\frac{1}{2}(1-e_z)$ на ваш выбор. Ну а действующие на него матрицы - это просто мультивекторы (как правило, роторы, но есть варианты).
    
    ~~А вообще, физики сами нихрена не знают про спиноры.~~ Это, наверное, не так, но мне стало интересно, вы, как физик, сходу сможете сказать какова была бы размерность спиноров Вейля в 5+1 мерном пространстве? А в 6+1?
    Спрашиваю потому что ни разу не видел вменяемого ответа на этот довольно простой вопрос в литературе.
    
    master_program
    22.09.2025 05:07
    #28871428
    Я комментарий написал к вашей статье, где обозначил эту связь. К сожалению, физикам преподают сразу готовый формализм. То есть на уровне: вот есть конкретные матрицы Паули, спиноры - это векторы, в гамильтониан засовываем так, энергию получаем вот так.
    
    master_program
    22.09.2025 05:07
    #28871466
    Вообще-то есть формула для размерности спиноров Вейля.
    
    Пусть пространство имеет размерность n = 2*x или 2*x+1
    
    Тогда у спинора Вейля размерность 2^x.
    
    Соответственно, для 5+1 и 6+1 будет один и тот же ответ. Это 8.
    
    flx0
    22.09.2025 05:07
    #28871560
    Неа, в 5+1, 8 - это размерность спиноров Дирака (то есть размерность пространства представлений для full-spin representation группы $Spin_{\mathbb{C}}(6)$ ). А спиноры Вейля соответствуют неприводимым представлениям, т.е. в этом случае - это разбиение спиноров Дирака на четные и нечетные, и те и те размерности 4.
    А в 6+1 не будет спиноров Вейля вообще, только спиноры Дирака размерности 8. Потому что действие Spin-группы в нечетномерном пространстве не разбивает спиноры на четные и нечетные. Что, в свою очередь, происходит из-за нечетности проектора в минимальный идеал алгебры Клиффорда. 8-мерные спиноры Вейля появятся только в 7+1.
    Кстати, chatgpt на удивление справился с ответом. То есть где-то это всё же написано)
    
    К сожалению, физикам преподают сразу готовый формализм. То есть на уровне: вот есть конкретные матрицы Паули, спиноры - это векторы, в гамильтониан засовываем так, энергию получаем вот так.
    
    Да, и это мне очень сильно не нравится. Типа Дирак придумал свои гамма-матрицы - а ты заткнить и считай, не задавай вопросов откуда они появились. А ведь история про то как их получить для любого измерения очень красивая.
    
    master_program
    22.09.2025 05:07
    #28872556
    Гамма-матрицы - это универсальный способ писать матричные представления для алгебр Клиффорда. Там сначала матрицы 2 на 2, потом блочные из таких матриц делаются 4 на 4, и так далее. У Широкова из ВШЭ в лекциях есть про это на странице 32 https://www.mi-ras.ru/noc/11_12/cllifalg10.12.11.pdf , причем довольно просто и доступно. А вот в книгах для физиков ничего внятного по этому поводу, к сожалению, не найти.
    
    Да, спиноры Вейля только для пространств четной размерности.
    
    Подозреваю, написано в хороших англоязычных источниках. Например, даже если просто википедию посмотреть по этим темам, на английском намного больше конкретной информации.

Кватернионы — не только то, что мы о них думали +15

Содержание:

Произвольная матрица и её числа

Матричное задание параллелограмма

Описание матричного параллелограмма в координатах

Построение правого и левого пространств матриц

Алгебра с умножением

Визуализация кватерниона на плоскости

Комментарии (0)

Exlt8 Автор

Exlt8 Автор

Exlt8 Автор

Exlt8 Автор

Exlt8 Автор

Exlt8 Автор