Статья о том, что каждая из матриц Паули — это простой геометрический объект — единичный орт обычной системы координат. Без историй про инфинитезимальные повороты и прочее квантово-механическое и прекрасное.

Так же, как и в прошлых двух статьях структура статьи такая, сначала рецепт, потом все остальное. По просьбам в комментариях прошлых статей шрифт в формулах сделал покрупнее.

Всем искренне желаю приятного чтения интересных текстов и ежедневной простоты мышления, например как в дореволюционном учебнике Клиффорда, который я недавно прочитал. (Кто не слышал про старину Клиффорда, это автор одноименных алгебр, частью которых, как выяснилось уже в 20м веке, является алгебра матриц Паули).

Называется учебник "Здравый смысл точных наук". Причем интересно, что учебник под этим названием был издан после смерти Клиффорда и переименован именно по его просьбе незадолго "до", а изначально им задуманное название было "Начала математических знаний в изложении для не-математиков".

Язык там абсолютно простой и при желании понятный любому школьнику старшего класса. И это несмотря на то, что вроде как на тот момент эта математика была одним из пиков научной мысли, а сам Клиффорд уже тогда был одним из светил, не говоря о его увековеченном имени сейчас.

Умели почему-то 100 лет назад просто объяснять сложное, а сейчас некоторые тексты, не то, что понять, открыть страшновато. Надеюсь, что изложение в тексте ниже, не-математикам интересующимся высокими материями, понравится больше, чем то, что в чисто научных статьях

Рецепт

Введем матричные операторы (матрицы Паули)

1. Разложение произвольной вещественной матрицы 2х2 по двум таким базисам. У таких матриц при транспонировании меняется только знак при t. Это формула как разделить на компоненты любую такую матрицу.

2. Базис пространства действительно задают матрицы Паули, как и обещали в учебниках, но с одним не слабым нюансом.

z*σ1 и x*σ3 задают обычные векторы (x,z), которые в матричном виде записываются вектор-столбцами, и к которым все привыкли. Задают они обычную систему координат – ось х горизонтальна, ось z вертикальна.

zc*σ0 и xc*σ13 описывают одновременно и обычные комплексные числа (a+i*b) и векторы в базисе отраженном относительно оси (1,1), то есть векторы вида (zc, xc), которые хотя и записываются тоже вектор-столбцами, имеют смысл второй отражённой системы координат, у которой ось xc вертикальна, а ось zc горизонтальна.

На картинке описание такого вектора в виде матрицы 2x2 и двух систем координат, в котором он работает.

Математика

Определим так же понятие «оператор» и «изоморфизм» (звучит не очень, но вот это все же нужно). В Википедии написано нечто. Оно либо не для людей, либо можно подумать на тему нелюбви авторов Википедии к людям. Кому как нравится.

 Простым языком.

Оператор – это объект, который совершает над вектором действие, в результате которого вектор изменяется. Один и тот же оператор и вектор может иметь несколько видов записи (представления). Например, в этой статье будут операторы и векторы в виде матриц и те же самые они в виде комплексных чисел. Если работаем с матрицами, то оператор называется матричным, если с комплексными числами, то комплексным.

 Изоморфные математические объекты – это которые одинаково меняются при одинаковых действиях над ними. Например, результат умножения оператора на вектор, в разных изоморфных представлениях, должен давать одинаковый результат. При этом сам оператор и вектор один и тот же, разные только их представления.

Кто не знает, познакомьтесь, это матричные операторы Паули, изоморфные координатам пространства ℝ^2 (Причем в некоторых учебниках даже применяется определение "эти матрицы можно отождествить с единичными ортами")

Тождественный оператор и отрицательный оператор;

Два оператора отражения: относительно осей (1,1) и (1,0);

 Два оператора поворота: изоморфный мнимой единице и противоположный ему по знаку.

.

Обратите внимание, что, в статье в Википедии матричное представление комплексного числа, знак матрицы изоморфной 1i противоположен σ31.

Свойство σ1²=-1 то же самое, что у 1i. Дело в том, что 1i изоморфно σ13= -σ31.

.

Разложение произвольного матричного оператора 2х2 по базису вещественных матриц Паули

Можете проверить, что произвольная матрица оператора разложима в следующую конструкцию из матриц Паули с оператором поворота изоморфным мнимой единице.

Можете видеть, что при транспонировании сопрягается только оператор поворота, то есть умножение на сопряженное для комплексных чисел то же самое, что умножение на транспонированный оператор для векторов матричном виде.

Так же можете видеть, что в составе исходного «А», у оператора поворота знак минус.

.

Соответствие векторов пространства ℝ^2, комплексных чисел ℂ и вещественных матриц 2х2

Вектор в представлении матрицы 2*1 и в представлении комплексного числа запишем в таком виде (буква "v" в середине rvc означает вектор-столбец, буквы "с" в конце rvc, xc,zc означают соответствие комплексным числам ℂ).

Знак минус у комплексного числа принят по причине, изложенной выше.

предположим, что они изоморфны, значит должны быть два оператора в двух представлениях, которые одинаково действуют на эти векторы. Возьмем оператор который действует своими базисными строками на вектор-столбец, и компонентах столбца получим произведения "строка матрицы на столбец".

Сопоставим элементы для x и z в этих двух представлениях.

матрица оператора существует, ее определитель равен квадрату модуля комплексного числа, но так как это не все матрицы 2х2, то можно сделать вывод, что

не все векторы ℝ^2 изоморфны комплексным числам.

Так же, тогда это все означает, что векторы данного типа изоморфны не только комплексным числам, но и некоторым матрицам 2х2, а именно

Тогда умножение такого транспонированного оператора на вектор, в элементах вектор-
столбца, дает скалярное и векторное произведение.

Про сопряженные и обратные

Для проверки идентичным образом сопоставим умножение на сопряженное комплексное число действию над матрицами

Умножение на обратный такой оператор изоморфно умножению на обратное комплексное число.

И значит должны существовать векторы, которые дополняют пространство векторов, изоморфных комплексным числам, до полного пространства. Эти векторы должны быть изоморфны чему-то еще.

Конструкция, полученная для матричного представления вектора Rvс, соответствует компонентам u,t.

Тогда векторы неизоморфные комплексным числам описываются матрицами.

Эта матрица получается действием на Rvс оператором отражения относительно оси (1,1).

Запишем все вместе:

Что означает, что в привычном двумерном пространстве, на самом деле, действует не один, а два базиса. У каждого своя собственная система координат, причем одна получается из другой отражением относительно (1,1).

Аналогу комплексного числа для обычных векторов соответствует собственно обычный вектор из линейной алгебры.

Еще такая система векторов должна удовлетворять условию, что при действии R на некий вектор re, должны получаться изоморфные re` и R`. Учтем, что мы теперь знаем, что вектору-столбцу, соответствующему комплексным числам, нужно менять знак при транспонировании.

Тогда все вещественные матрицы 2х2:

И они изоморфны векторам:

Что означает, что в привычном двумерном пространстве, на самом деле, действует не один, а два базиса. У каждого своя собственная система координат, причем одна получается из другой отражением относительно (1,1).

 Еще такая система векторов должна удовлетворять условию, что при действии R на некий вектор re, должны получаться изоморфные re` и R`. Учтем, что мы теперь знаем, что умножать нужно на транспонированный оператор (вектор-столбец после транспонирования тоже становится оператором)

Действительно изменяются одинаково, но только чем меньше матриц 2x2 участвует, тем больше информации теряется. Поэтому предпочтительно всетаки работать не с вектор-столбцами, а с матрицами 2х2.

И тогда сопоставляя координаты в матричном представлении вектора и оператора:

Получили стандартное скалярное произведение в компоненте zc`, скалярное произведение из сонаправленных координат в компоненте x`, и векторное произведение из ортогональных координат в компоненте z`.

Причем интересно, что стандартное скалярное произведение обычных векторов получается именно в том базисе в котором x,y отражены относительно (1,1) в базис соответствующий комплексным числам.

Выражаясь более конкретно, скалярное произведение вектора на самого себя из базиса "r" дает отображение в ось zc базиса "rvс", при этом никаких дополнительных пространств придумывать не нужно.

 Изложил на столько просто, на сколько смог.