Привет, Хабр!

Сегодня расскажу, как нейросеть DeepSeek-R1, несмотря на свои ограничения, помогла вывести обобщённое уравнение плоскости и поверхности второго порядка в геометрической алгебре (GA) через матрицы Паули. Это не просто история про «ИИ vs математика» — это пример симбиоза, где человек направляет, а машина предлагает идеи, которые иначе могли бы остаться незамеченными. Это пример того, как технологии расширяют возможности исследователя, а критическое мышление превращает сырые идеи в строгие математические конструкции.

___________________________________________________________________________

1. Введение: Почему геометрическая алгебра и матрицы Паули?

Геометрическая алгебра (GA) объединяет векторы, бивекторы и другие объекты в единую систему, заменяя классические координатные подходы. Например:

• Бивектор плоскости кодирует не только ориентацию, но и "площадь" через внешнее произведение.

• Дуальность в GA позволяет преобразовывать бивектор в вектор (нормаль) через умножение на псевдоскаляр i·σ0, где i обычная мнимая единица.

Матрицы Паули (σx,σy,σz​) обычно используются в квантовой механике, но их структура идеально подходит для представления 3D-векторов в GA:

Именно здесь начался наш диалог с DeepSeek-R1.

_______________________________________________________________________

2. Как DeepSeek-R1 «ломали» и что из этого вышло

Проблема 1: Уравнение плоскости в GA

Исходный запрос:
«Напиши уравнение плоскости через матрицы Паули в GA».

Первая попытка ИИ:
DeepSeek выдал каноническое уравнение плоскости n⋅r=d, но попытался перемножить матрицы покомпонентно, что привело к ошибке:

!Ошибочный вывод!: 

Что не так: В GA скалярное произведение n⋅r=(n·r+r·n)/2 — это антикоммутатор, а не покомпонентное умножение.

Хоть преобразования и были не верны, но за то какая идея! На этом моменте поставил себе цель довести DeepSeek до правильного ответа.

Решение после 7 попыток:

2.1 Обобщённое уравнение плоскости в GA

В геометрической алгебре уравнение плоскости задаётся через геометрическое произведение вектора нормали n и направляющего вектора r:

где n⋅r=(nr+rn)/2 скалярное произведение (антикоммутатор), n∧r=(nr-rn)/2 внешнее произведение (коммутатор).

Это равенство объединяет:

1. Скалярную часть: n⋅r=d (расстояние до плоскости),

2. Бивекторную часть: n∧r (ориентация плоскости).

На этом перестал мучать DeepSeek и далее сформулировал всю основную математику, попросив его, как соавтора исправить мое изложение.

Обобщённый вектор r и нормаль n включают дуальные компоненты через матрицы Паули:

Коэффициенты:

• a,b,c,nx​,ny​,nz​ — «реальные» параметры,

• a′,b′,c′,nx′​,ny′​,nz′​ — «дуальные» параметры, связанные с мнимыми компонентами.

Физический смысл:

• Скалярная часть n⋅r=d задаёт классическое расстояние до плоскости.

• Бивекторная часть n∧r кодирует ориентацию и «скручивание» плоскости в дуальном пространстве.

___________________________________________________________________________

2.2 Пример: Уравнение плоскости без дуальности

Если a′=b′=c′=0, уравнение сводится к классическому виду:

n⋅r=au​⋅σ0​, где au​ — задает действительное расстояние.

При подстановке матриц Паули:

​(nr+rn)/2=nx​⋅​a​⋅x+ny​⋅​b​⋅y+nz​​⋅c​⋅z=au​.

Это каноническое уравнение плоскости Ax+By+Cz=D, где A=nx​⋅a, B=ny​⋅b, C=nz​⋅c, D=au​.

2.3. Новизна:

• Введение мнимой компоненты i​⋅bu​ позволяет разделить «реальное» расстояние до плоскости и «дуальное» смещение, связанное с ориентацией.

• Дуальная часть бивектора плоскости n задаётся через "−i​⋅n", что сохраняет связь с классической нормалью.

___________________________________________________________________________

Проблема 2: Поверхности второго порядка

Цель: Получить уравнение конуса/квадрики через GA.

Сначала я дал пару запросов, ответ не устроил, но меня озарило от этого ответа!

Если направляющий вектор сам является нормалью к образующей плоскости, то уравнение приобретает очень красивый вид.

Решение DeepSeek-R1 (после исправлений):

где r^2 раскрывается как:

Как это работает:

• Уравнение задает все поверхности второго порядка.

• При пересечении с плоскостью z=−Ax/C−By/C−D/C уравнение даёт кривые второго порядка (эллипс, гиперболу). Требуется только подставить z в уравнение.

• Мнимые коэффициенты a′,b′,c′ управляют «скручиванием» поверхности в дуальном пространстве.

Пример:
Для a′=b′=c′=0 получаем классический конус:

_______________________________________________________________________

3. Новизна: Что не встречалось в учебниках?

1. Матричное представление плоскости с дуальными параметрами:
   Стандартные уравнения GA (например n∧r=d) не включают мнимые компоненты для разделения реального/дуального пространств.

2. Квадрики через матрицы Паули:
   Использование r^2=u​⋅σ0​ с комплексным u — это новый способ параметризации поверхностей, удобный например для анализа данных (см. п. 4).

3. Явная связь с коммутаторами:

   • Скалярное произведение = антикоммутатор ​(nr+rn)/2,

   • Внешнее произведение = коммутатор ​(nr−rn)/2.

   Это объединяет GA с алгеброй Ли, что редко подчёркивается в базовых курсах.

   ____________________________________________________________________

4. Практическое применение: Аппроксимация данных

Идея: Восстановление поверхности второго порядка по 10 точкам через СЛАУ:

1. Подставить координаты точек в r^2=u​⋅σ0​.

2. Решить систему для a,b,c,a′,b′,c′,d,x0,y0,z0.

Преимущество: Учёт «дуальных» параметров a′,b′,c′ позволяет аппроксимировать не только форму, но и ориентацию поверхности.

_________________________________________________________________________

5. Почему DeepSeek-R1 — не панацея, но прорыв

• Минусы:

  • Путает коммутаторы/антикоммутаторы.

  • Не может раскрывать скобки в длинных выражениях.

  • Переходит на английский без запроса.

• Плюсы:

  • Предлагает неочевидные аналогии (например, связь бивектора и дуальной нормали).

  • Генерирует «каркас» формул, который человек может интерпретировать и доработать.

_________________________________________________________________________

6. Заключение

DeepSeek-R1 не заменит математика, но станет идеальным «коллегой» для исследований:

• Помогает преодолеть когнитивную инерцию.

• Автоматизирует рутинные выкладки (если дать чёткие инструкции).

Что дальше:

• Проверка гипотезы об аппроксимации квадриками. Применение подхода в машинном обучении для аппроксимации сложных поверхностей.

• Сравнение с методами машинного обучения (например, нейросетями с loss-функцией на основе GA).

• Исследование дуальных коэффициентов в задачах компьютерного зрения.

Спасибо вам за внимание! И спасибо DeepSeek-R1! Книга для погружения в тему: «Геометрическая алгебра для физиков» (Крис Дорнан, Энтони Ласенби).

P.S. Если вы встречали похожие уравнения в литературе — напишите в комментариях! Пока что мои поиски не дали результатов, но это может быть связано с узостью темы.  Совместными усилиями можно раскрыть потенциал этого подхода.