Разложение я такое получил, собственно, использовав матрицы Паули как базис разложения и следом получил ну очень много математических бонусов, например то, чем здесь делюсь.

Любая матрица 2х2 (и не только вещественная и не только 2х2) разлагается в UVWT базис Клиффорда-Паули. Для 4х4 UVWT мы получили, но теория обещает все размерности 2^n, мне лично дико интересно что получится. И с вами, дорогие хабровчане, начнем с простого, про матрицы, как гибридные числа на плоскости.

Собственно, базис для плоскости состоит из четырех элементов. Подробно про свойства элементов, и геометрическую алгебру на их основе, в книге по ссылке в конце статьи. Так же в конец статьи добавил мою интерпретацию геометрического смысла UVWT на плоскости.

Для 3D, если упрощенно, все элементы базиса умножаются на "-1i", и используются вместе с вещественными элементами, в составе гибридного числа из двух кватернионов H=H1+1i*H2. Про геометрический смысл в объеме потом постараюсь написать.

На плоскости (про эти объекты, для Habr, много писал @samsergey, ему за этот цикл отдельно спасибо. Сопоставление гиперкомплексных чисел и UVWT:

u,t - соответствует комплексным (эллиптическим) числам (u - вещественное, t - мнимое).
v,w - соответствуют двум гиперболическим (двойным) числам.
Каждая пара образует свой ортогональный базис, два базиса дуальны друг другу.
Параболические (дуальные) числа - это линейная комбинация пар ut и vw, с det(A)=0.
uvwt - если упрощенно, вместе они образуют конструкцию типа эллиптической системы координат.

Главный профит статьи.

Любая функция от матрицы 2х2 (а соответственно и от гибридного числа) задается таким выражением:

На данный момент знаю три способа получить формулу: через спектральное разложение, через теорему Гамильтона-Келли, через формулу Сильвестра. Формула, в общем, не новая, но в базисе Клиффорда-Паули с этим всем несравнимо проще работать.

Например, для любой матрицы, или гибридного числа, если интерпретировать матрицу так аналог числа, подставляем вместо буквы f нужное выражение, получаем:

И, например, для комплексных чисел и всех функций комплексного переменного (p=1i*t) будет верно:

Так как элемент -1i*σ31 означает в геометрии Клиффорда единичный вектор оси ортогональной вещественной плоскости, то это можно интерпретировать, что функция от комплексного числа дает отображение плоскости на три измерения, что как-то сложно выглядит.

Сложность разрешается если сделать так:

Перейдем в форму гибридного числа, где UT изоморфно u+1it, σ0 изоморфно 1, изоморфизм -1i*σ31 обозначим k.

Дополнительный профит статьи

Геометрический смысл UVWT на плоскости для случая умножения матрицы на вектор (1,1).

Можно видеть, что вектор, на который умножена матрица, задал направление всей этой координатной системе.

Преобразования и расчет координат UVWT

Преобразуемый вектор формально можно выбрать любой, но у меня упорно всплывали в других расчетах только четыре вектора: этот вектор из единиц, два ему ортогональные и противоположный ему.

Косинус и синус угла между ними для случая преобразования вектора (1,1) через скалярное и внешнее произведение:

Если матрица бес-следовая (u=0), то нужно задать, в контексте задачи, бесконечно малое приращение u в нужную сторону, и определить величины через предел.

Смысл матричного умножения

C ним удобно работать в смешанном представлении. Мы разобрались с принципом, по которым меняются координаты в матрице.

Матричное умножение образует из четырех координат старого базиса четыре прямые, с коэффициентами abcd, по которым после умножения будут меняться новые координаты, в зависимости от старых. Статья про нормальное уравнение прямой в Википедии.

В общем пользуйтесь на здоровье. Думаю, здесь не мало тех, кто не знал, что так можно было. И думаю, я так, из-за того, что знаю, что даже профессиональные математики не все слышали про сам факт существования алгебр Клиффорда.

Я примерно год потратил, чтобы разобраться по обрывкам информации в книгах, статьях и т.д., неимоверный объем исписал.

P.S.

Преподаватели, пожалуйста, включите наконец для физмат направлений комплексные числа в программу школы, а Клиффорда в программу первого курса, хотя бы факультативом. Так людям реально проще будет с линейной алгеброй и аналитической геометрией разбираться и потом применять. Кто не верит, попробуйте проверить теоремы из Гантмахера на матрицах 2х2 в UVWT представлении.

Главная книга, которая мне помогла в основах этого всего:
Гастон Казанова "От алгебры Клиффорда до атома водорода"

А главная статья, которая помогла с геометрическим смыслом:
Harkin`s "Geometry of Generalized Complex Numbers"

Отдельно, для тех кто захочет нырнуть максимально глубоко под капот мат-аппарата:

Наберите в поиске "Широков алгебры Клиффорда". Вам понравится периодичность Картана-Ботта, она как раз для работы с представлениями многомерных матриц, ну и не только она конечно. Кроме видео лекций, например есть его конспекты лекций "Алгебры Клиффорда и спиноры".

P.P.S.

Эта вся история перспективна, например, для нейросетей, потому что видел математические выкладки, что наш мозг работает в конструкции алгебр Клиффорда