Здравствуйте, уважаемые читатели Хабра!

Представьте себе мир, где каждое ваше слово, каждая мысль – открытая книга. Жутковато, правда? На протяжении веков человечество стремилось сохранить свои тайны, и криптография всегда была тем мощным инструментом, что помогал это делать.

Сегодня мы, команда проекта Большой математической мастерской (БММ) – уникального образовательного события, где школьники, студенты и педагоги работают над общими проектами – хотим поделиться нашим погружением в этот увлекательный мир. Мы не профессиональные криптографы, но наш проект «Как превратить математику в игру с шифрами» доказывает: математика – это не только «сухая наука», но и захватывающая игра, особенно когда дело касается шифров и секретных сообщений.

В рамках этого проекта мы создаем сборник криптографических задач для научно-популярной книги, ориентированной на школьников 8-11 классов. Наш подход на БММ основан на непрерывном обучении, умении задавать правильные вопросы и создавать работающие, интересные решения, опираясь на авторитетные источники и консультации специалистов. Именно этим мы и занимались, исследуя мир шифров.

Мы надеемся, что статья будет интересна не только тем, кто уже знаком с криптографией, но и преподавателям, методистам, а также просто любопытным читателям, которые хотят взглянуть на математику под другим углом.

О чём вы узнаете из статьи?

В основной части мы подробно расскажем:

• Основы криптографии: что это за наука и как она работает.

• Изученные шифры: с какими методами шифрования мы познакомились на практике.

• Создание задач: как мы разрабатывали уникальные задания по криптографии и на что обращали внимание.

• Трудности и решения: с какими сложностями столкнулись при составлении задач и как их преодолевали.

• Работа команды: как была организована наша деятельность над проектом.

Что такое криптография: кратко и понятно

Криптография — это наука, которая учит нас сохранять секреты и защищать информацию. Она помогает сделать так, чтобы ваши данные никто не мог прочитать, изменить или подделать, если они не предназначены для него.

Основная задача криптографии – преобразовывать обычный текст в нечитаемый набор символов. Этот процесс называется шифрованием. Зашифрованное сообщение становится понятным только тем, у кого есть специальный ключ – секретный код, слово или набор символов. Представьте себе обычный замок: без нужного ключа его не открыть. Точно так же и с зашифрованными данными.

Когда секретное сообщение нужно прочитать, происходит обратный процесс – дешифрование. Для него тоже требуется ключ.

В мире криптографии существуют разные шифры – это специальные алгоритмы, которые используют для шифрования и дешифрования данных. Например, знаменитый шифр Цезаря или более сложный шифр Виженера.

Мы изучали два основных типа шифрования:

• Симметричное шифрование: Здесь и отправитель, и получатель используют один и тот же ключ. Это как если бы у вас с другом был один уникальный ключ от сейфа, и вы им делились заранее.

• Асимметричное шифрование: Этот метод интереснее – он использует два разных ключа: открытый (которым можно делиться со всеми) и закрытый (который вы храните в секрете). То, что зашифровано открытым ключом, можно расшифровать только соответствующим закрытым. Это позволяет безопасно обмениваться информацией, даже если вы никогда не встречались с собеседником.

Изученные шифры: как мы прятали сообщения

Когда мы начали копать глубже в мир шифров, мы обнаружили целую сокровищницу методов. Для нашего сборника мы выбирали те, что четко иллюстрируют, как работает криптография, и при этом доступны для понимания школьникам.

Вот несколько самых интересных из них:

Шифр Цезаря: это один из старейших и простейших шифров. Его суть – каждая буква в сообщении сдвигается на фиксированное количество позиций в алфавите. Идеально подходит для начала изучения, так как позволяет понять базовый принцип шифрования и, обратный ему, принцип дешифрования.

Пример: Если сдвиг равен 3, то буква "А" превратится в "Г", а "Б" – в "Д". Так, слово "ПРИВЕТ" может стать "СУЛЕЗХ".

Шифр Виженера: это более продвинутый шифр, использующий ключевое слово. Каждая буква сообщения шифруется с помощью своей буквы из ключевого слова. Сдвиг для каждой буквы сообщения меняется в зависимости от соответствующей буквы ключа.

Пример: Чтобы зашифровать "КОД" ключом "КЛЮЧ", мы берем первую букву "К" (Код) и первую букву "К" (Ключ), суммируем их позиции, получаем новую букву, и так далее по циклу ключа. Это намного сложнее для взлома, чем шифр Цезаря!

Шифр Атбаш: здесь буквы меняются местами на симметричных позициях в алфавите. То есть, первая буква алфавита заменяется последней, вторая – предпоследней и так далее.

Пример: В русском алфавите "А" станет "Я", "Б" – "Ю". Слово "КОТ" превратится в "ФРМ".

Шифр Тритемиуса: этот шифр похож на Цезаря, но здесь сдвиг для каждой буквы сообщения определяется функцией, зависящей от её позиции в слове. Например, сдвиг для первой буквы может быть 1, для второй – 2, для третьей – 3 и так далее (самый простой случай — линейная функция). Но функция может быть и другой!

Пример: Слово "СЕКРЕТ" при шифровании шифром Тритемиуса со сдвигом x+1 (x – позиция буквы в слове, нумерация начинается с нуля), превратится в "ТЖНФЙШ".

Шифр Хилла: один из самых сложных симметричных шифров, основанный на линейной алгебре и матрицах. Хотя мы не углублялись в его детальное изучение для наших задач, важно понимать его принцип: он шифрует не отдельные буквы, а целые блоки букв, используя сложную математическую “сетку" (матрицу) и ключ. Это делает его очень надежным, но и трудным для ручного расшифрования.

Для каждого метода мы создали задачи: зашифровать, расшифровать или угадать способ шифрования по тексту. Это тренирует логику и делает изучение похожим на игру.

Как мы разрабатывали задачи: секреты создания криптографических головоломок

При создании наших задач по криптографии мы стремились сделать их не просто интересными, но и максимально полезными для развития логического мышления и глубокого понимания принципов шифрования. Мы тщательно продумывали каждый аспект, руководствуясь набором строгих критериев.

Вот на что мы обращали внимание при разработке каждой задачи:

• 1 задача = 1 сюжет: Каждая головоломка должна быть вплетена в увлекательную, законченную историю с персонажами. Мы убедились, что погружение в мини-рассказ, а не решение разрозненных примеров, делает процесс захватывающим и помогает лучше запомнить материал.

• Минимум 1 герой с именем: Наличие конкретного персонажа, например, детектива или шпиона, вводит элемент игры и позволяет читателю легче соотнести себя с ситуацией.

• Доступность и ясность: Задачи должны быть понятны школьникам 8-11 классов. Мы избегали избыточной академической терминологии и стремились к максимальной прозрачности условий.

• Невозможность найти в интернете: Это был один из важнейших критериев! Мы создавали задачи так, чтобы их решение нельзя было просто найти в интернете. Для этого мы могли изменять алфавиты, использовать нестандартные ключи или комбинировать методы, побуждая к самостоятельному мышлению.

• Математическая корректность и однозначность: Каждая задача должна быть безупречно сформулирована с математической точки зрения и иметь единственно верное решение. Путанные или неоднозначные условия приводят лишь к разочарованию и потере интереса.

• Явное указание на алфавит: Поскольку в задачах могут использоваться различные алфавиты, мы всегда четко указывали используемый алфавит. Это исключает догадки и помогает сосредоточиться на шифровании.

Вот несколько примеров головоломок, которые мы создали, руководствуясь нашими критериями:

• Задача 1 (Аффинный шифр):
  Агент 007 получил перехваченное сообщение от организации SPECTRE, зашифрованное аффинным шифром. Известно, что они используют английский алфавит и параметры a = 7 и b = 3. Сообщение: "HQFU VFUU". Расшифруйте сообщение и определите, какую операцию планирует SPECTRE.

• Задача 2 (Шифр железнодорожной изгороди):
  Ира и Максим учатся в разных сменах и редко видятся. Они договорились оставлять зашифрованные сообщения друг другу в колонке объявлений школьной газеты, используя шифр железнодорожной изгороди. Максим зашифровал сообщение: "Жду тебя сегодня у фонтана в 6" с ключом 4, запишите зашифрованный текст.

Мы также разработали критерии для идеального решения, чтобы обеспечить максимальную понятность и полноту ответов:

• Наличие "дано": Четкое перечисление всех исходных данных – ключей, шифра, используемых алфавитов.

• Детальное объяснение: Подробное пошаговое описание процесса шифрования/дешифрования для одной буквы, затем краткое объяснение для остальных.

• Схематичная запись: Визуальная или табличная запись всего процесса шифрования для слова/фразы.

• Итоговое обобщение: Краткий вывод, суммирующий полученный результат и его значение.

Главный принцип, которым мы руководствовались при составлении решений – это их понятность. Эти внутренние стандарты помогли нам создавать задачи и ответы, которые действительно обучают и увлекают.

Какие сложности возникали: путь от идеи к готовым задачам

Создание задач для книги по криптографии, которые были бы одновременно увлекательными, обучающими и неуязвимыми для быстрого "гугления", оказалось непросто, но захватывающе. На пути от идеи к готовым головоломкам мы столкнулись с рядом проблем:

• Поиск идеального баланса сложности: задачи должны были бросать вызов, но при этом оставаться доступными для школьников 8-11 классов. Мы проводили многократное внутреннее тестирование и собирали обратную связь от сверстников и наставников. Например, иногда приходилось упрощать математическую часть или, наоборот, усложнять сюжет, чтобы задача оставалась увлекательной, но не требовала энциклопедических знаний.

• Борьба с желанием "погуглить": одна из самых больших проблем – как сделать задачу уникальной, чтобы её решение нельзя было мгновенно найти в интернете. Мы экспериментировали с использованием нестандартных алфавитов (например, не только русский или английский), комбинациями шифров, а также придумывали авторские сюжеты, которые никак не связаны с известными примерами. Это потребовало креативности и тщательной проверки.

• Достижение уникальности и однозначности решений: иногда задачи, на первый взгляд, могли иметь несколько путей решения. Наша цель была – привести пользователя к одному, логичному и математически корректному ответу. Мы добивались этого за счет максимально точных формулировок условий и строгой проверки каждого шага в предлагаемых решениях, часто консультируясь с нашими наставниками.

• Эффективное тестирование: Проверка задач на понятность, отсутствие ошибок и корректность формулировок требовала значительных усилий. Мы разработали систему взаимного рецензирования внутри команды: каждый участник не только создавал, но и тестировал задачи других, задавая вопросы, которые мог бы задать школьник. Это помогло выявить и устранить множество недочетов.

• Генерация оригинальных сюжетов: Мы не хотели просто пересказывать известные криптографические истории. Задача состояла в том, чтобы придумать уникальные, захватывающие сюжеты и персонажей, которые сделали бы процесс решения настоящим приключением. Это требовало фантазии и постоянного брейншторминга.

• Адаптация криптографической терминологии: Криптография – наука со своим специфическим языком. Нам пришлось "переводить" сложные термины и концепции на простой, понятный школьникам язык, не теряя при этом их смысла. Например, объяснить "матричное умножение" для шифра Хилла на очень базовом уровне.

• Временные ограничения: Работа над проектом в рамках БММ имеет свои временные рамки, что требовало эффективного планирования и управления процессом разработки.

Каждая из этих сложностей стала для нас ценным уроком, показав, что путь от идеи до готового продукта требует не только знаний, но и умения работать в команде, решать проблемы и постоянно учиться.

Как была организована наша работа: командный подход к криптографии

Для реализации такого амбициозного проекта наша команда выбрала гибкий и итеративный подход, который позволил нам эффективно управлять задачами и оперативно реагировать на все вызовы.

Наш рабочий процесс выглядел так:

1. Начальный брейншторм: все начиналось с совместных мозговых штурмов, где каждый участник мог свободно предлагать идеи для сюжетов, шифров и общих концепций задач. Это позволяло нам генерировать множество свежих идей и отбирать лучшие.

2. Распределение ролей: после формирования общего видения мы четко распределяли роли. У нас были команды, ответственные за углубленное изучение криптографической теории, разработчики задач, создающие сюжеты и математическую основу, а также тестировщики, проверяющие понятность и корректность головоломок.

3. Параллельное выполнение задач: ключевым элементом нашей эффективности стало параллельное выполнение задач. Например, пока одна часть команды изучала особенности нового, сложного шифра, другая уже активно работала над придумыванием увлекательных сюжетов для будущих заданий. Такой подход значительно ускорил процесс разработки и позволил нам максимально использовать время.

4. Итеративный процесс и обратная связь: мы регулярно проводили внутренние встречи и ревью. На этих встречах мы обсуждали текущий прогресс, делились возникшими проблемами и совместно искали оптимальные решения. Это не только помогало нам быстро устранять недочеты, но и постоянно улучшать качество и содержание задач на каждой стадии разработки. Отзывы и предложения каждого участника были ценным вкладом в общее дело.

Благодаря такой слаженной работе, постоянному взаимодействию и возможности быстро адаптироваться, мы смогли создать сборник задач, который полностью соответствует нашим требованиям.

Заключение: ключ к новым открытиям

Наш проект «Как превратить математику в игру с шифрами» стал для всей команды не просто академической работой, а настоящим приключением, полным открытий и преодолений. Мы смогли не только глубоко погрузиться в мир криптографии, изучив её принципы и методы, но и, что самое важное, превратить эти знания в увлекательные и доступные задачи для школьников.

Этот опыт наглядно показал нам, что математика – это гораздо больше, чем набор формул и теорем. Это мощный инструмент для решения реальных задач, для создания чего-то нового и, конечно, для захватывающей интеллектуальной игры. Мы, школьники и студенты, убедились: для того, чтобы делать настоящие научные проекты и вносить свой вклад, не обязательно быть уже признанным экспертом – достаточно любопытства, готовности учиться и работать в команде.

Мы искренне надеемся, что эта статья вдохновит вас, наших читателей, взглянуть на математику и криптографию под новым углом. Возможно, кто-то из вас тоже захочет разгадать свои собственные криптографические тайны, создать шифр или даже стать будущим специалистом по кибербезопасности. Ведь мир, где математика становится ключом к разгадке приключений, ждет каждого, кто готов к новым открытиям!

Оставайтесь любопытными, исследуйте и помните: иногда самые сложные тайны скрывают самые простые и увлекательные решения.

Об авторах

Над проектом работали:

• Серёгина Арина – разработчик заданий, редактор, представитель проекта.

• Белавин Сергей – разработчик заданий, эксперт асимметричным по шифрам.

• Батунин Никита – разработчик заданий, автор большинства иллюстрированных задач.

• Червоткин Семён – разработчик заданий, главный редактор, специалист по математической корректности.

• Степаненкова Дарья — разработчик заданий, дизайнер, главная по формам обратной связи.

Куратор проекта: 

Боткина Мария — математик, специалист по информационной безопасности, наставник.