Введение: Звучащие кувалды
Представьте, что вы часто ходите мимо кузницы. Кузнецы бьют молотами по наковальне, и вдруг вы замечаете странную вещь: одни молоты звучат вместе красиво, слитно, а другие — противно, вразнобой. Так, согласно легенде, Пифагор пришёл к открытию, которое положило начало теории музыки . Он принёс молоты в лабораторию и взвесил их. Оказалось, что веса молотов, дающих красивое сочетание (консонанс), соотносятся как простые числа 2:1, 3:2 и 4:3 . Так родилась главная идея западной музыки: «Красивое звучание — это простое математическое отношение».
Связь музыки и математики оказалась на удивление прочной. На протяжении всей истории она вдохновляла не только теоретиков, но и практиков. Иоганн Кеплер пытался найти музыкальную гармонию в движении планет, связывая геометрию, музыку и астрономию. Иоганн Себастьян Бах своей музыкой и самим названием сборника «Хорошо темперированный клавир» закрепил победу нового строя. А в XX веке композитор и архитектор Янис Ксенакис переносил в музыку теорию множеств и случайных процессов. Даже великий оперный певец Джером Хайнс публиковал математические работы.
Исследования в этой области продолжаются и сегодня, в том числе в России. Например, современные российские исследователи разрабатывают комплексные математические модели музыки, используя теорию множеств, теорию вероятностей и теорию групп для анализа и моделирования музыкального творчества.
Проследим эту историю шаг за шагом и посмотрим, как математика постепенно формировала то, что мы сегодня называем музыкальной гармонией.
1. Пифагорова гамма: рождение 12 звуков
Пифагор взял струну и стал экспериментировать. Он заметил: если взять половину струны (1/2), звук становится ровно вдвое выше. Он назвал это октавой.
Если взять 2/3 струны, звук становится выше. Он назвал это квинтой. Если взять 3/4 струны, это кварта. Все эти интервалы выражаются простыми дробями.
Затем Пифагор решил построить весь музыкальный ряд, двигаясь от одной ноты к другой по квинтам. От исходной ноты он брал квинту вверх, получал новую ноту. От неё — снова квинту вверх. И так далее.
Сделав 12 таких шагов, он обнаружил удивительную вещь: 12-я нота почти совпала с исходной, но взятой на 7 октав выше. Почти, но не точно. Это совпадение (пусть и неидеальное) подсказало идею: октаву можно разделить на 12 шагов — по числу квинт в квинтовом круге.
Каждый из этих 12 шагов назвали полутоном. Им присвоили имена: До, До-диез, Ре, Ми-бемоль, Ми, Фа, Фа-диез, Соль, Соль-диез, Ля, Си-бемоль, Си. Так появились 12 звуков, которые легли в основу всей западной музыки. (Для справки: индийская октава делится на 22 шрути - там использовались другие принципы).
Но здесь возникла проблема.
2. Математическая невозможность: Пифагорова комма
Пифагор заметил удивительную вещь. С одной стороны, если 7 раз подряд подняться на октаву (каждый раз удваивая частоту), мы получим соотношение:
2⁷ = 128
С другой стороны, если 12 раз подряд подняться на квинту (каждый раз умножая частоту на 3/2), мы получим соотношение:
(3/2)¹² = 531441 / 4096 ≈ 129,75
Эти два числа должны были бы совпадать, чтобы музыкальный строй замкнулся сам на себя. В идеальном мире 12 чистых квинт должны были бы равняться 7 чистым октавам. Но они не равны.
129,75 ≠ 128
Это расхождение — математический факт. Оно означает, что невозможно построить замкнутую музыкальную систему, в которой все интервалы были бы одновременно чистыми и выраженными простыми дробями. Этот «зазор» музыканты называют пифагоровой коммой.
3. В поисках компромисса: от чистого строя к темперации
Две тысячи лет эта нестыковка мешала музыкантам. Идеального строя не существовало. Приходилось выбирать: либо играть чисто, но только в одной тональности, либо терпеть фальшь ради универсальности.
В эпоху Возрождения появился чистый строй. В него добавили ещё одно простое число — 5. Это позволило получить интервал, который называется большой терцией (например, от ноты До до ноты Ми). Его отношение — 5:4. Этот интервал делает аккорды мажорными и придаёт им яркое, радостное звучание… Но это сделало проблему ещё хуже: инструмент, настроенный в До-мажоре, в Ре-мажоре звучал ужасно. Модуляции (смена тональности) были практически невозможны.
Нужен был компромисс. И он появился в эпоху барокко. Немецкий органист и теоретик Андреас Веркмейстер в конце XVII века предложил гениально простое и «варварское» решение: «Давайте просто подстроим (темперируем) квинты». Так появился современный темперированный строй.
4. Равномерно темперированный строй: не вся математика дискретна.
Идея оказалась проста и гениальна одновременно. Если 12 чистых квинт не могут точно влезть в 7 октав, давайте просто подстроим их. Октаву оставили неприкосновенной (2:1). А все 12 полутонов внутри октавы сделали строго одинаковыми.
Что это значит? Представьте себе пианино. Вы нажимаете клавишу Ми. Её частота — 329,6 Гц. Затем вы нажимаете следующую клавишу — Фа. Это один полутон.
В равномерно темперированном строе Фа звучит ровно во столько же раз выше Ми, во сколько Ми-бемоль выше Ре, и так далее. Обозначим это число — отношение частот между двумя соседними полутонами — буквой x.
Попробуем вычислить x.
Через 12 таких шагов мы вернёмся к ноте Ми, но на октаву выше. А частота через октаву, как мы знаем, ровно в 2 раза больше исходной: частота Ми (на октаву выше) = 329,6 × 2 = 659,2 Гц.
Значит, x, умноженный сам на себя 12 раз, должен равняться 2:
x¹² = 2
Отсюда: x = ¹²√2 ≈ 1,059463
Это число — множитель, показывающий, во сколько раз частота следующего полутона выше предыдущего.
Тогда:
Частота Фа = частота Ми (329,6 Гц) × x = 329,6 × 1,059463 ≈ 349,2 Гц
Частота Фа-диез = частота Фа (349,2 Гц) × x = 329,6 × x² ≈ 369,9 Гц
И так далее. В этом равномерно темперированном строе нет ни одной чистой квинты (3:2) и ни одной чистой терции (5:4). Квинты стали чуть-чуть уже, терции — чуть шире. Но эта фальшь настолько мала, что ухо её почти не замечает. Зато исчезла главная проблема: на таком инструменте можно играть в любой тональности, и всё будет звучать приемлемо.
5. Триумф темперации
Иоганн Себастьян Бах был в восторге от этой идеи. В 1722 году он написал свой легендарный сборник«Das Wohltemperierte Klavier» (в оригинале — «Das Wohltemperirte Clavier») - 48 прелюдий и фуг, чтобы доказать: на инструменте с равномерной темперацией можно играть в любой из 24 тональностей (12 мажорных и 12 минорных), и всё будет звучать божественно . Современный равномерно темперированный строй — это великий компромисс.
С математической точки зрения: это не натуральные интервалы 3:2 или 5:4, а иррациональные числа (корень 12-й степени из двух). Чистая квинта (3:2) превратилась в 2⁷⁄¹² ≈ 1,4983, а чистая большая терция (5:4) — в 2⁴⁄¹² ≈ 1,2599.
С философско-практической точки зрения: это победа гармонии над дискретностью. Мы можем играть джаз, рок, классику, модулировать куда угодно, использовать все 12 нот.
Современная музыка (в частности джаз с его блюзовыми нотами и хроматизмами) стала возможна именно благодаря темперированному строю. Математики и музыканты признали: идеальной системы не существует, но можно создать такую, которая будет работать всегда и звучать гармонично.
Комментарии (19)
andyudol
19.04.2026 03:38…инструмент, настроенный в До-мажоре, в Ре-мажоре звучал ужасно. Модуляции (смена тональности) были практически невозможны.
В принципе для электронного инструмента это не проблема?
Botcompot
19.04.2026 03:38Ровно такая же проблема.
В электронном инструменте теоретически было бы возможно сменить во время смены аккорда натуральный строй С на натуральный строй D, но в какой темперации отсчитывать С от D и далее? Игра в D была бы так же чиста, как в С, но вот как воспринимался бы сам переход.
Также в электронном инструменте возможно моделировать звук с меньшими гармониками (призвуки с кратными частотами от основного тона : x2, x3, x4 итд), наложения которых и создают биения и диссонансы. Но это будет другая музыка: фактически на синусоидах, с неравными, непривычными и от того режущими интервалами.
Moog_Prodigy
19.04.2026 03:38Для midi клавиатуры и должным образом настроенного компа это не проблема. Есть кучи различных строев, заложенных в тот же кубейз. Можно создать свои. Это проблема уже музыканта, как играть на таком инструменте =)
Можно пентатонику так настроить, что любое нажатие на клавишу будет гармонировать с предыдущим, на этом можно делать прикольные шоу но однообразные.
Botcompot
19.04.2026 03:38И все же "Хорошо темперированный клавир", а не "Равномерно". Именно потому, что появились темперации, позволявшие использовать все тональности, а не потому, что появилась равномерная. К примеру, темперации Веркмейстера.
Еще в доказательства, что Бах, скорее всего, не подразумевал и не использовал равномерный строй см. комменарий переводчика "О темперации" к книге сына Баха "Опыт истинного искусства клавирной игры" (с. 144).
В триальном Пианотеке можно сравнить третью темперацию Веркмейстера с другими, играя прямо с компьютерной клавиатуры.
le2
19.04.2026 03:38“Чешский математик Эразм Горицкий” - ноль совпадений в Яндексе и Гугле на этот нейрослоп. он не мог его придумать, потому что эту идею преподавали на приборе - монохороде, в гимназиях с древности. Также дрянь почти в каждом предложении.
intdif Автор
19.04.2026 03:38Я убрал малоизвестного Эразма Горицкого. Другой пример - Иоганн Кеплер. Надеюсь против Джерома Хайнса возражений не будет?
IlyasA74
19.04.2026 03:38В анналах истории фигурирует такой математик:
https://musiklexikon.ac.at/ml/musik_H/Heritius_Erasmus.xml
Даже работа вполне по теме, судя по названию - "Musica speculativa". Текст работы не нашел, но есть упоминания и ссылки.
intdif Автор
19.04.2026 03:38Здесь показано, о чем его работа Musica speculativa: https://www.musicologie.org/Biographies/h/heritius_erasmus.html
sci_nov
19.04.2026 03:38Спасибо. Интересно написано. Хоть узнал откуда эти цифры берутся. Оказывается, никакой магии нет, просто аппроксимация.
Shpankov
19.04.2026 03:38В юности как-то пришлось подрабатывать настройщиком фортепиано. И с первым пианино провозился довольно долго - начал настраивать по квинтам, идеальное совпадение по частотным характеристикам, чистейшие квинты, вот только с удивлением выяснил, что октавы перестали строить. Вообще. И пришлось своим умом, по наитию, догадываться, что квинты должны быть чуть расстроенными - это позволило не только сохранить строй всего пианино, но и получить более сочный, насыщенный едва уловимыми гармониками звук.
И никакой математики, приборов, всё на слух...
Moog_Prodigy
19.04.2026 03:38Такая же петрушка. Настраивал, в основном свое. Октавы должны строить, а квинты не особо. Тут есть аналогия с замыканием размерной цепочки в конструировании механизмов.
Но потом увлекся, цифровой частотомер, таблица точных частот, искусство заменилось технической работой. Ну и хорошо. Как вспомню так вздрогну.
Кстати немногие знают. что две струны из трех в клавише должны на центы быть расстроены из диапазона в стороны - именно это дает такой богатый обертонами звук.
Shpankov
19.04.2026 03:38Кстати немногие знают. что две струны из трех в клавише должны на центы быть расстроены из диапазона в стороны - именно это дает такой богатый обертонами звук.
Да, совершенно верно. Я настройкой занялся просто с нуля - подработка для студента. Вообще ничего не читал, не узнавал, не консультировался, чисто по наитию приходил ко всем правильным решениям.
vkrasikov
19.04.2026 03:38Писал я как-то по школе в 1999 году на Турбо Паскале 7.0 музыкальный редактор. Там с помощью процедуры sound можно на встроенном динамике включить любую частоту. Тогда компы ещё были 286, 386, 486 и Пентиумы.(Образование муз. школы тоже имеется, кстати)
Так вот, тоже заметил, что при увеличении частоты в 2 раза получается октава. Ну и чисто по логике понял, что раз в октаве 12 нот, то частота с каждой следующей нотой должна увеличиваться в корень 12-й степени из 2 раз.
Sandoker
19.04.2026 03:38...математика постепенно формировала то, что мы сегодня называем музыкальной гармонией.
Математика не формировала музыкальную гармонию, она описывала её в виде чисел. Музыкальная гармония существовала до математических исследований. Гармонию формирует мозг посредством своей способности воспринимать разночастотность звуков и соотносить между собой эти разночастотные звуки, создавая в восприятии звуков либо гармонию, либо дисгармонию. Т.е. формировать музыкальную гармонию в сознании - это свойство мозга, а не математики. Математика только описывает гармонию числами.
intdif Автор
19.04.2026 03:38Ну конечно, дело не в математике. Стремление описывать мир — такое же естественное свойство человека, как и восприятие гармонии. И именно математический язык описания дал нам возможность записывать музыку, развивать производство инструментов, строить темперированный строй. Описывая гармонию, математика не создавала её, но сделала её воспроизводимой и универсальной. А заголовок статьи - пусть остается.
jerom
19.04.2026 03:38Между Пифагором и названиями нот разрыв в полторы тысячи лет, а написано так, как будто сам Пифагор лично исполнял этот гимн Иоанну Крестителю (который тоже лично там был).
Да и от 7 нот до однозначного понимания диезов-бемолей тоже прошли века.
intdif Автор
19.04.2026 03:38Ну тогда спой:
Ut queant laxis
Resonare fibris
Mira gestorum
Famuli tuorum,
Solve polluti
Labii reatum,
Sancte Ioannes.
и возрадуйся :-). Статья о гармонии, а не о названиях нот.
neword
Изобретателем равнотемперированного в музыке был Чжу Цзайюй, опубликовавший свое изобретение в 1584 г. Первое упоминание об изобретении Чу Цай-Юя содержится в неопубликованных работах великого математика Саймона Стевина (умер в 1620 г.). Принц династии Мин Чжу Цзайюй родился в 1536 году. Но он отвернулся от своего княжеского звания и вместо этого сосредоточился на изучении музыки, математики и календарной науки. Его система равного темперамента появилась в его книге «Новое изложение науки о звуковых трубах», опубликованной в 1584 году. Китайцы не обратили особого внимания на новую систему, но европейцы быстро заметили ее преимущества.
Первую опубликованную ссылку на математическую основу равного темперамента в Европе сделал Мерсенн в одной из своих многочисленных книг по теории музыки, озаглавленной «Вселенская гармония», вышедшей в 1636 году. Позже Веркмейстер популяризировал равную темперацию, а Иоганн Себастьян Бах взялся за дело и сочинив серию пьес под общим названием Das Wohltemperierte Klavier («Хорошо темперированный клавир»), состоящую из «прелюдий и фуг всех тонов и полутонов… для использования и практики молодыми музыкантами, желающими поучиться, а также в качестве развлечения для тех, кто уже имеет опыт в этом исследовании».