Тензор пространства - звучит очень загадочно и очень непонятно. Но на самом деле ничего сложного. Тензор пространства - матрица, набор чисел, которые определяют структуру пространства. Они буквально задают каким будет пространство, что и как в нём должно двигаться. Все изменения, которые мы видим вокруг, начиная от падения яблока до столкновения черных дыр определяет небольшой набор чисел. Причем числа эти нули и единицы, подобранны таким образом, что мы оказываемся заточенными в бесконечном пузыре, из которого не выбраться. Как рыбки в аквариуме. Ну у рыбок есть шанс удрать из аквариума, а вот у нас его скорее всего нет. Но давайте по порядку. 

2500 лет назад один древний грек, первым назвавший себя философом, рисуя палкой на песке квадраты, и подумать не мог какими словами его будут вспоминать бесконечные поколения школьников. Разбуди любого бывшего школьника среди ночи и спроси про теорему Пифагора, и он сразу же ответит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. И хоть мнемонически ее легко запомнить смысл теоремы не совсем понятен. В школе, где нас учат просто нагромождению фактов и практически никогда связям между ними, теорема Пифагора кажется одной из зазубренных непонятных формул из пятого класса. А ведь теорема Пифагора определяет и постулирует структуру нашего пространства, именно из нее вытекают синусы, косинусы, вся геометрия с алгеброй, а затем и классическая механика, классическая физика и дальше квантовая физика с теорией относительности. 

Теорема Пифагора одна из основ всей науки, которую мы построили. Из нее следуют настолько нетривиальные представления о мире, в котором мы существуем, что начинаешь завидовать аквариумным рыбкам. Ведь они не поймут ничего про тензор. Я постараюсь максимально упростить изложение и начнем мы с конечно же с нее - теоремы Пифагора.

Итак, нарисуем плоское двухмерное пространство и вектор в нем:

 

Нам нужно вычислить длину вектора. Конечно, можно сразу применить теорему Пифагора, но мы сначала немного все усложним чтобы потом получилось понятнее. 

Для расчета длины вектора вектор нужно скалярно умножить на самого себя. Для скалярного умножения векторов нужно координаты одного вектора умножить на координаты другого с некими коэффициентами. В самом общем виде получаем следующее выражение: 

R^2=a(x,x)X^2+a(x,y)XY+a(y,x)YX+a(y,y)Y^2

Коэффициенты перемножения можно представить в виде матрицы:

a(x,x)   a(x,y)

a(y,x)   a(y,y)

Которая и называется тензором пространства. Чтобы получить теорему Пифагора нужно чтобы диагональные коэффициенты равнялись единице, а остальные нулям. Тогда тензор двухмерного евклидова пространства будет выглядеть очень просто

10

01

И соответственно при расчете длины вектора мы получаем теорему Пифагора.

R^2= X^2 + Y^2

Вот так мы получили знаменитые квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Тензор пространства позволяет понять в каком пространстве мы находимся. Если по диагонали единички, то это простое евклидовое, если вместо единичек другие цифры, то наше пространство является тором. А вот если у вас по диагонали нули, а остальные коэффициенты разные, то вы в многообразие «Калаби-Яу» и лучше вам там не быть.  Видите, как нам всем школьникам бывшим и будущим повезло что тензор евклидова пространства выглядит так просто. А как бы мы проклинали товарища Пифагора даже думать не хочется. 

Для трехмерной версии тензор пространства будет выглядеть аналогично 

1 0 0

0 1 0

0 0 1 

Соответственно теорема Пифагора запишется следующим образом: 

R^2= X^2 + Y^2 + Z^2 

Но мы живем не в трехмерном, а четырехмерном пространстве. Поэтому кроме привычных осей нужно добавить и еще ось времени. Чтобы размеренность всех осей совпадала вместо оси t используют ось ct. Где с - скорость света. У любого вектора теперь четыре координаты ct x y z

 Соответственно продолжая аналогию на четырехмерное пространство, мы ожидаем что тензор нашего четырехмерного пространства будет выглядеть следующим образом: 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 

Но нет. Оказывается, наш мир не так прост, он неевклидовый и тензор его пространства выглядит вот так: 

1 0 0 0

0-1 0 0

0 0-1 0

0 0 0-1

 Соответственно длина вектора или теорема Пифагора перепишутся следующим образом: 

R^2=(cT)^2 - X^2 - Y^2 - Z^2 

Казалось бы, подумаешь плюсы на минусы поменялись, но прямым результатом этого факта является невозможность двигаться со скоростью большей скорости света. Скорость света является фундаментальным пределом, прописанным в структуре нашего пространства. Если бы наше пространство было евклидовым, то таких ограничений не было бы. Но мы существуем в пространстве Минковского, и тут жесткие ограничения на скорость передвижения. 

Как мы помним из теории относительности объект с ненулевой массой не может достичь скорости света. Данное утверждение верно для трехмерного пространства. Но давайте посчитаем величину 4-скорости для произвольного объекта. Для этого 4-скорость скалярно умножим на саму себя. Чтобы не загромождать текст простыми, но длинными вычислениями приведу сразу же результат: 

V^2=c^2 

Все верно, любой объект в 4-мерном пространстве двигается со скоростью света. В том числе и любой из нас. Даже если мы никуда не двигаемся в трехмерном пространстве, в 4-мерном мы несемся со скоростью света. Причем чем меньше скорость трехмерная, тем быстрее мы скользим вдоль оси времени. 

Поворот в 4-мерном пространстве означает изменение скорости в 3-мерном пространстве. Частицы с массой поворачивать могут. Соответственно у них может быть 3-мерная скорость, которая никогда не достигнет скорости света.  А у света ее не может быть. Безмассовые частицы, в том числе и фотоны, не могут поворачивать так как не обладают массой. Поэтому свет распространяться по прямой. 

Все эти физические факты - следствие тех самых минусов в тензоре. Смотрите как интересно получается все что мы знаем о движении материи в пространстве определяется структурой пространства - ее тензором. 16 чисел матрицы определяют какой объект, где окажется в следующее мгновение времени. Нужно понимать, что тензор такой простой только для не искривлённого пространства. При наличии массы и взаимодействий все становится намного сложнее. Но принцип остается тем же – 16 чисел настоящего в каждой точке пространства определяют будущее. И навечно запечатывают нас в бесконечном пузыре четырехмерной реальности. 

Только 4-скорость не совсем скорость. Обычная скорость, которую мы знаем она трехмерная и определяется как изменение координат в пространстве, поделенное на время изменения. Но в 4-мерном пространстве время у нас одно из измерений. И правильнее утверждать не то, что все куда-то движется со скоростью света, а реальность обновляется с частотой по значению равной скорости света. То есть у нас есть 4-мерное пространство, в котором ничего никуда не движется, но в каждой точке оно обновляется с определенной частотой, затирая предыдущие значение тензора и выставляя текущие, которые зависят от предыдущих. Ничего не напоминает? 

А вот еще один вопрос: если бы вы программировали пространство на компьютере и не хотели бы возиться с бесконечно большими числами, какой тензор вы бы выбрали? 

1 0 0 0                         1 0 0 0

0 1 0 0             или      0-1 0 0

0 0 1 0                         0 0-1 0

0 0 0 1                         0 0 0-1 

Думаю, ответ очевиден, ну а выводы делайте сами. Или не делайте. Ведь аквариумным рыбкам прекрасно живется без всяких тензоров. Это их предназначение прекрасно жить в аквариуме.