SciPy (произносится как сай пай) — это основанный на numpy математический пакет, включающий в себя также библиотеки на C и Fortran. С SciPy интерактивный сеанс Python превращается в такую же полноценную среду обработки данных, как MATLAB, IDL, Octave, R или SciLab.

В этой статье рассмотрим основные приемы математического программирования — решения задач условной оптимизации для скалярной функции нескольких переменных с помощью пакета scipy.optimize. Алгоритмы безусловной оптимизации уже рассмотрены в прошлой статье. Более подробную и актуальную справку по функциям scipy всегда можно получить с помощью команды help(), Shift+Tab или в официальной документации.

Введение

Общий интерфейс для решения задач как условной, так и безусловной оптимизации в пакете scipy.optimize предоставляется функцией minimize(). Однако известно, что универсального способа для решения всех задач не существует, поэтому выбор адекватного метода как всегда ложится на плечи исследователя.

Подходящий алгоритм оптимизации задается с помощью аргумента функции minimize(..., method="").

Для условной оптимизации функции нескольких переменных доступны реализации следующих методов:

• trust-constr — поиск локального минимума в доверительной области. Статья на wiki, статья на хабре;
• SLSQP — последовательное квадратичное программирование с ограничениями, ньютоновский метод решения системы Лагранжа. Статья на вики.
• TNC — Truncated Newton Constrained, ограниченное число итераций, хорош для нелинейных функций с большим числом независимых переменных. Статья на wiki.
• L-BFGS-B — метод от четверки Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno, реализованный с уменьшенным потреблением памяти за счет частичной загрузки векторов из матрицы Гессе. Статья на wiki, статья на хабре.
• COBYLA — КОБЫЛА Constrained Optimization By Linear Approximation, ограниченная оптимизация с линейной аппроксимацией (без вычисления градиента). Статья на wiki.

В зависимости от выбранного метода, по-разному задаются условия и ограничения для решения задачи:

• объектом класса Bounds для методов L-BFGS-B, TNC, SLSQP, trust-constr;
• списком (min, max) для этих же методов L-BFGS-B, TNC, SLSQP, trust-constr;
• объектом или списком объектов LinearConstraint, NonlinearConstraint для методов COBYLA, SLSQP, trust-constr;
• словарем или списком словарей {'type':str, 'fun':callable, 'jac':callable,opt, 'args':sequence,opt} для методов COBYLA, SLSQP.

План статьи:
1) Рассмотреть применение алгоритма условной оптимизации в доверительной области (method="trust-constr") с ограничениями, заданными в виде объектов Bounds, LinearConstraint, NonlinearConstraint ;
2) Рассмотреть последовательное программирование методом наименьших квадратов (method="SLSQP") с ограничениями, заданными в виде словаря {'type', 'fun', 'jac', 'args'};
3) Разобрать пример оптимизации выпускаемой продукции на примере веб-студии.

Условная оптимизация method="trust-constr"

Реализация метода trust-constr основана на EQSQP для задач с ограничениями вида равенства и на TRIP для задач с ограничениями в виде неравенств. Оба метода реализованы алгоритмами поиска локального минимума в доверительной области и хорошо подходят для крупномасштабных задач.

Математическая постановка задачи поиска минимума в общем виде:

$$

$$

$$

Для ограничений строгого равенства нижняя граница устанавливается равной верхней $$.
Для одностороннего ограничения верхняя или нижняя граница устанавливается np.inf с соответствующим знаком.
Пусть необходимо найти минимум известной функцию Розенброка от двух переменных:

$$

При этом заданы следующие ограничения на ее область определения:

$$

$$

$$

$$

$$

$$

В нашем случае имеется единственное решение в точке $$, для которой справедливы только первое и четвертое ограничения.
Пройдемся по ограничениям снизу вверх и рассмотрим, как можно их записать в scipy.
Ограничения $$ и $$ определим с помощью объекта Bounds.

from scipy.optimize import Bounds
bounds = Bounds ([0, -0.5], [1.0, 2.0])

Ограничения $$ и $$ запишем в линейной форме:

$$

Определим эти ограничения в виде объекта LinearConstraint:

import numpy as np
from scipy.optimize import LinearConstraint
linear_constraint = LinearConstraint ([[1, 2], [2, 1]], [-np.inf, 1], [1, 1])

И наконец нелинейное ограничение в матричной форме:

$$

Определим матрицу Якоби для этого ограничения и линейную комбинацию матрицы Гессе с произвольным вектором $$:

$$

$$

Теперь нелинейное ограничение можем определить как объект NonlinearConstraint:

from scipy.optimize import NonlinearConstraint

def cons_f(x):
     return [x[0]**2 + x[1], x[0]**2 - x[1]]

def cons_J(x):
     return [[2*x[0], 1], [2*x[0], -1]]

def cons_H(x, v):
     return v[0]*np.array([[2, 0], [0, 0]]) + v[1]*np.array([[2, 0], [0, 0]])

nonlinear_constraint = NonlinearConstraint(cons_f, -np.inf, 1, jac=cons_J, hess=cons_H)

Если размер велик, матрицы можно задавать и в разреженном виде:

from scipy.sparse import csc_matrix

def cons_H_sparse(x, v):
     return v[0]*csc_matrix([[2, 0], [0, 0]]) + v[1]*csc_matrix([[2, 0], [0, 0]])

nonlinear_constraint = NonlinearConstraint(cons_f, -np.inf, 1,
                                            jac=cons_J, hess=cons_H_sparse)

или как объект LinearOperator:

from scipy.sparse.linalg import LinearOperator

def cons_H_linear_operator(x, v):
    def matvec(p):
        return np.array([p[0]*2*(v[0]+v[1]), 0])
    return LinearOperator((2, 2), matvec=matvec)

nonlinear_constraint = NonlinearConstraint(cons_f, -np.inf, 1,
                                jac=cons_J, hess=cons_H_linear_operator)

Когда вычисление матрицы Гессе $$ требует больших затрат, можно использовать класс HessianUpdateStrategy. Доступны следующие стратегии: BFGS и SR1.

from scipy.optimize import BFGS

nonlinear_constraint = NonlinearConstraint(cons_f, -np.inf, 1, jac=cons_J, hess=BFGS())

Гессиан также может быть вычислен с помощью конечных разностей:

nonlinear_constraint = NonlinearConstraint (cons_f, -np.inf, 1, jac = cons_J, hess = '2-point')

Матрицу Якоби для ограничений также можно вычислить с помощью конечных разностей. Однако, в этом случае матрицу Гессе с помощью конечных разностей уже не вычислить. Гессиан должен быть определен в виде функции или с помощью класса HessianUpdateStrategy.

nonlinear_constraint = NonlinearConstraint (cons_f, -np.inf, 1, jac = '2-point', hess = BFGS ())

Решение оптимизационной задачи выглядит следующим образом:

from scipy.optimize import minimize
from scipy.optimize import rosen, rosen_der, rosen_hess, rosen_hess_prod

x0 = np.array([0.5, 0])
res = minimize(rosen, x0, method='trust-constr', jac=rosen_der, hess=rosen_hess,
                constraints=[linear_constraint, nonlinear_constraint],
                options={'verbose': 1}, bounds=bounds)
print(res.x)

`gtol` termination condition is satisfied.
Number of iterations: 12, function evaluations: 8, CG iterations: 7, optimality: 2.99e-09, constraint violation: 1.11e-16, execution time: 0.033 s.
[0.41494531 0.17010937]

При необходимости, функцию вычисления гессиана можно определить с помощью класса LinearOperator

def rosen_hess_linop(x):
    def matvec(p):
        return rosen_hess_prod(x, p)
    return LinearOperator((2, 2), matvec=matvec)

res = minimize(rosen, x0, method='trust-constr', jac=rosen_der, hess=rosen_hess_linop,
                 constraints=[linear_constraint, nonlinear_constraint],
                 options={'verbose': 1}, bounds=bounds)

print(res.x)

или произведение Гессиана и произвольного вектора через параметр hessp:

res = minimize(rosen, x0, method='trust-constr', jac=rosen_der, hessp=rosen_hess_prod,
                constraints=[linear_constraint, nonlinear_constraint],
                options={'verbose': 1}, bounds=bounds)
print(res.x)

Альтернативно, первая и вторая производные оптимизируемой функции могут быть вычислены приближенно. Например, гессиан может быть аппроксимирован с помощью функции SR1 (квази-Ньютоновского приближения). Градиент может быть аппроксимирован конечными разностями.

from scipy.optimize import SR1
res = minimize(rosen, x0, method='trust-constr',  jac="2-point", hess=SR1(),
               constraints=[linear_constraint, nonlinear_constraint],
               options={'verbose': 1}, bounds=bounds)
print(res.x)

Условная оптимизация method="SLSQP"

Метод SLSQP предназначен для решения задач минимизации функции в виде:

$$

$$

$$

$$

Где $$ и $$ — множества индексов выражений, описывающих ограничения в виде равенств или неравенств. $$ — множества нижних и верхних границ для области определения функции.

Линейные и нелинейные ограничения описываются в виде словарей с ключами type, fun и jac.

ineq_cons = {'type': 'ineq',
             'fun': lambda x: np.array ([1 - x [0] - 2 * x [1],
                                          1 - x [0] ** 2 - x [1],
                                          1 - x [0] ** 2 + x [1]]),
             'jac': lambda x: np.array ([[- 1.0, -2.0],
                                          [-2 * x [0], -1.0],
                                          [-2 * x [0], 1.0]])
            }

eq_cons = {'type': 'eq',
           'fun': lambda x: np.array ([2 * x [0] + x [1] - 1]),
           'jac': lambda x: np.array ([2.0, 1.0])
          }

Поиск минимума осуществляется следующим образом:

x0 = np.array([0.5, 0])
res = minimize(rosen, x0, method='SLSQP', jac=rosen_der,
               constraints=[eq_cons, ineq_cons], options={'ftol': 1e-9, 'disp': True},
               bounds=bounds)

print(res.x)

Optimization terminated successfully.    (Exit mode 0)
            Current function value: 0.34271757499419825
            Iterations: 4
            Function evaluations: 5
            Gradient evaluations: 4
[0.41494475 0.1701105 ]

Пример оптимизации

В связи с переходом к пятому технологическому укладу, рассмотрим оптимизацию производства на примере веб-студии, которая приносит нам небольшой, но стабильный доход. Представим себя директором галеры, на которой производится три вида продукции:

• x0 — продающие лэндинги, от 10 т.р.
• x1 — корпоративные сайты, от 20 т.р.
• x2 — интернет магазины, от 30 т.р.

Наш дружный рабочий коллектив включает в себя четырех джунов, двух мидлов и одного сеньора. Фонд их рабочего времени на месяц:

• джуны: 4 * 150 = 600 чел * час,
• мидлы: 2 * 150 = 300 чел * час,
• сеньор: 150 чел * час.

Пусть на разработку и деплой одного сайта типа (x0, x1, x2) первый попавшийся джуниор должен потратить (10, 20, 30) часов, мидл — (7, 15, 20), сеньор — (5, 10, 15) часов лучшего времени своей жизни.

Как любому нормальному директору, нам хочется максимизировать ежемесячную прибыль. Первый шаг к успеху — записываем целевую функцию value как сумму доходов от произведенной за месяц продукции:

def value(x):
    return - 10*x[0] - 20*x[1] - 30*x[2]

Это не ошибка, при поиске максимума целевая функция минимизируется с обратным знаком.

Следующий шаг — запрещаем перерабатывать своим сотрудникам и вводим ограничения на фонд рабочего времени:

$$

Что эквивалентно:

$$

ineq_cons = {'type': 'ineq',
             'fun': lambda x: np.array ([600 - 10 * x [0] - 20 * x [1] - 30 * x[2],
                                         300 - 7  * x [0] - 15 * x [1] - 20 * x[2],
                                         150 - 5  * x [0] - 10 * x [1] - 15 * x[2]])
            }

Формальное ограничение — выпуск продукции должен быть только положительным:

bnds = Bounds ([0, 0, 0], [np.inf, np.inf, np.inf])

И наконец самое радужное допущение — из-за низкой цены и высокого качества к нам постоянно выстраивается очередь из довольных клиентов. Мы можем сами выбирать ежемесячные объемы производства продукции, исходя из решения задачи условной оптимизации с scipy.optimize:

x0 = np.array([10, 10, 10])
res = minimize(value, x0, method='SLSQP', constraints=ineq_cons, bounds=bnds)
print(res.x)

[7.85714286 5.71428571 3.57142857]

Нестрого округлим до целых и посчитаем месячную загрузку гребцов при оптимальном раскладе продукции x = (8, 6, 3) :

• джуны: 8 * 10 + 6 * 20 + 3 * 30 = 290 чел * час;
• мидлы: 8 * 7 + 6 * 15 + 3 * 20 = 206 чел * час;
• сеньор: 8 * 5 + 6 * 10 + 3 * 15 = 145 чел * час.

Вывод: чтобы директор получал свой заслуженный максимум, оптимально делать в месяц по 8 лэндингов, 6 средних сайтов и 3 магазина. Сеньор при этом должен пахать не отрываясь от станка, загрузка мидлов составит примерно 2/3, джунов меньше половины.

Заключение

В статье изложены основные приемы работы с пакетом scipy.optimize, используемые для решения задач условной минимизации. Лично я использую scipy чисто в академических целях, поэтому приведенный пример носит такой шуточный характер.

Много теории и винрарных примеров можно найти, например, в книге И.Л.Акулича "Математическое программирование в примерах и задачах". Более хардкорное применение scipy.optimize для построения 3D структуры по набору изображений (статья на хабре) можно посмотреть в scipy-cookbook.

Основной источник информации — docs.scipy.org, желающие поконтрибьютить в перевод этого и других разделов scipy добро пожаловать на GitHub.

Спасибо mephistopheies за участие в подготовке публикации.