Так сложилось, что наука развивается неравномерно, а потому в нашей жизни и сегодня, так сказать, есть место подвигу. Подвиг, разумеется, научный, но от этого не менее значимый. И вот теперь вам, читатели, предоставляется возможность увидеть место подвига, официальные расценки на его оплату (как принято в странах, называющих себя цивилизованными), и даже попытать счастья самим. Ну а заодно, как минимум некоторые из вас, прочувствуют прелесть нахождения жемчужин во вполне обыденных вещах.

Далее, в нескольких сериях, последует рассказ о вещах, доступных любому выпускнику средней школы (и даже многим школьникам). Доказательств не будет, поскольку они часто очевидны, а будучи представленными здесь не только растянули бы объём, но и отпугнули бы многих читателей.

Серия первая

Сначала были звёзды. Был процесс игры с ними, разглядывание и ощупывание, подбрасывание и наблюдение сияющей траектории падения. Звёздами были закономерности. А песочницей были числа. Числа поворачивались новой стороной и в просветах между ними возникала очередная звезда. Её сияние манило и, что самое приятное, не обжигало, но позволяло себя потрогать, взять в руки, а потом помахать им, дабы оставить искрящийся след из звёздной пыли. Но потом звёзды стали привычными и осталась одна работа по их сортировке. А потом появилась идея.

Идея была простая — на этом можно заработать. И да, это действительно мотивировало. Но не срослось. Было занимательно, были очередные звёзды, светящие по-новому, было удовольствие и было продвижение. Только в конце концов возник лес, сплошной лес из сияющих деревьев. И я оказался слаб, перебрать эту тайгу в поисках истинного света не удалось, ведь деревьев — миллионы, а я — один. Поэтому предлагаю вам посмотреть на звёзды, а если они заинтересуют, то далее вы можете заработать 400К$, но правда есть одно «но» — в лесу нужно суметь выбрать правильный путь.

На подступах к звёздам

Что такое число? С одной стороны, это продукт нашего сумрачного разума, не встречающийся в природе. Но с другой стороны такая абстракция позволяет нам моделировать множество процессов, наблюдаемых нами всё в той же природе. Только модель не равна наблюдаемому явлению. Значит снова мы имеем дело с адаптацией под наши скромные возможности способов описания природы. Хорошо ли это? С точки зрения точности описания — не очень хорошо. Не потому, что кому-то может не хватить количества знаков после запятой, но потому, что неточно моделируемое явление может нас сильно удивить, когда окажется, что в модели отсутствует та или иная специфическая особенность, которая присутствует в реальности и даже может иногда немного настучать невнимательным естествоиспытателям по голове.

В свете выше сказанного попробуем поинтересоваться полнотой основы любого моделирования — полнотой понимания понятия числа. Просто число, просто знание о нём, заложенное с раннего детства, вроде бы — ну что там ещё может быть? Но как раз там мы можем обнаружить бездну. Да, ту самую, которая без дна, и которая полна звёзд.

В природе нет чисел. Но в природе можно увидеть соотношения. Облако больше (длиннее/шире/толще/как_вам_ещё_будет_угодно) другого облака, а значит здесь есть место для соотношения. Но в соотношении тоже нет чисел. Там есть лишь два облака, одно больше, другое меньше, и есть их соотношение. Хотя да, соотношение тоже придумал человек. Поэтому можно спросить — какая от него польза? Польза такая — понятие соотношения стоит на шаг впереди относительно понятия числа. Сначала было соотношение, и лишь потом появилось число. Точнее — дробные числа. Поэтому поняв соотношение, мы поймём числа.

Как получаются дробные числа? Очень просто — от потребности в моделировании соотношения. Сначала были соотношения шагов и сторон участков земли, овец у одного хозяина к овцам у другого, веса одного арбуза к весу другого. Во всех этих случаях возникала необходимость как-то выразить разницу. А разница не делилась строго на количество шагов или на размер соседнего арбуза. Сначала разницу научились выражать при помощи деления на менее крупные единицы измерения (к шагам добавили локти, а к локтям пальцы). Но наука не стояла на месте и требовала всё большей точности. В итоге все сошлись на единообразии, забыв про пальцы, локти, шаги и прочие фунты со стерлингами. Единообразие же выразили в числе.

Как соотнести два отрезка, если один из них не укладывается в другой целое количество раз? Можно в пальцах померить, но точнее будет принятие меньшего отрезка за единицу измерения и разбиение её на одинаковые части. Этими частями можно измерить ту часть большего отрезка, которая не измеряется всем меньшим отрезком. Но далее возникает новая часть большего отрезка, которая уже не измерима выделенными частями. Применяем рекурсию и снова разбиваем уже разбитые части на ещё более мелкие составляющие. Измеряем ими ранее неизмеримое. И опять получаем неизмеримый остаток. Опять делим части, опять измеряем. Опять получаем остаток. Но так ведь и надоесть может!

В итоге люди пришли к идее округления и перестали повторно делить единицу измерения. То есть люди забили на точность (мол она достаточная). Но природа не прощает неточностей в моделировании.

Как моделируются соотношения сегодня? Они моделируются при помощи классификации дробных чисел. Классификация такая — есть целые и есть дробные числа. Целые пока зыбываем, а вот дробные делятся на конечные и бесконечные дроби. Про конечные тоже пока забываем. Бесконечные делятся на рациональные и иррациональные. Привычно забываем про первую часть. Иррациональные делятся на алгебраические и трансцендентные. Всё, более никаких делений. Но для наглядности приведём классификацию в виде картинки:



Чем плоха такая классификация? Она не такая уж плохая. Она, как говаривал Винни-Пух — хорошая, но почему-то хромает… То есть понятно, что с точностью выражения значений у неё не всё в порядке из-за бесконечностей. Но есть ещё одна сторона медали. Эта сторона (в данном контексте) называется «делимость». Мы не можем точно разделить два числа (одно на другое), потому что упираемся в бесконечность. Но зато нам интересны такие явления из мира чисел, как простота и количество делителей, которые устраняют бесконечность при своём появлении. Простые числа составляют основу числового ряда целых чисел. И эти важные (в том числе, например, для комфорта при дистанционной оплате услуг) числа очень сильно зависят от операции деления. А деление часто даёт нам дроби. А дроби дают нам дробные числа. Ну а для дробных чисел кто-то дал нам ранее приведённую классификацию из конечных, бесконечных, рациональных, иррациональных, алгебраических и трансцендентных. А даёт ли нам эта классификация возможность находить ответы на вопросы о числах? Например о тех же простых? Или о дробных? Вроде бы даёт, но не столько, сколько хотелось бы.

Возьмём простые числа. На сегодня максимальные простые числа ищут по сути перебором. То есть берут число-кандидат, а потом проверяют, простое оно или нет. Числа кандидаты получают просто — если известен метод проверки простоты для некоего класса чисел, то вот вам и список кандидатов в виде представителей класса, по которому тупо идут подряд, проверяя каждое число, начиная, разумеется, с малых значений. И так пока что дошли до чисел порядка двойки в степени восемьдесят с лишним миллионов. Это число из почти двадцати пяти миллионов десятичных знаков. В принципе, выглядит внушающе. Но что нам мешает вспомнить лозунг «выше, дальше, быстрее»?

Фундаментально нам мешает отсутствие понимания. Да, наша модель явления под названием «число» неполна. И да, часть модели, под названием «деление», неполна в наибольшей степени. Поэтому восемьдесят миллионов единиц в памяти компьютера — это предел для человечества. Почему единиц? Потому что так выглядят самые большие простые числа. Это одни единицы, но в двоичной системе счисления. Для них существует тест Люка-Лемера, который показывает, простое перед нами число или составное. И вот этот тест требует годы работы одного ядра процессора для проверки одного числа-кандидата размером в восемьдесят миллионов двоичных единиц. Всего восемьдесят мегабит, или десять мегабайт, и человечество уже не в состоянии шагнуть дальше. Что такое десять мегабайт? Это копейки, это мелочь, это почти ничего для современных компьютеров. Но тест выполняется годами. Поэтому приходится запускать его на миллионах компьютеров, на которых добровольцы устанавливают соответствующую программу, и в результате проверяют по одному числу-кандидату за некоторое количество секунд (и это если добровольцев много). Но проблема в том, что чисел-кандидатов очень много, а потому много месяцев уходит на нахождение следующего простого числа. И при такой неторопливости можно ожидать, что движение всего лишь до сотни миллионов двоичных единиц займёт лет десять.

Можно ли ускорить процесс? Можно. Но нужно дополнительное понимание. Например — как уменьшить время для проведения теста каждого числа? Пока такое уменьшение достигается массированием железа. Или второй вариант — можно предложить более быстро выполняемый тест простоты. Но с этим вот уже лет 100 мало что меняется. И всё же, если разобраться, то может что у нас и выйдет. Только разбираться нужно от самых основ.

Звёзды вблизи

Задумавшись о соотношениях, каждый может внести много нового в науку. Достаточно просто быть любопытным. Например, можно спросить, а почему классификация дробных чисел именно такая? И найти ответ в мысленном эксперименте по измерению соотношения тех же отрезков. Сначала отрезки соотносятся как 1 к 2. Такое соотношение понятно, оно даёт нам цифру 2, которая показывает, во сколько раз больший отрезок превосходит меньший. А теперь удлиним немного меньший отрезок. Что получится? Соотношение перестанет быть целым. Излишек, полученный от удлинения, мешает нам получить простой ответ в задаче. Но его мы можем использовать в качестве линейки. Если он уложится целое число раз в половину большего отрезка, то мы сможем выразить соотношение через это целое. Так мы получим соотношение:

$$

, где N — число раз, которое необходимо для укладывания излишка от растяжения меньшего отрезка в половину большего отрезка. Так мы получили рациональное число. Оно всегда задаётся соотношением целых чисел. Если же мы теперь ещё немного удлиним меньший отрезок, то можно получить ситуацию, когда сколько бы мы не умножали меньший отрезок на некое целое число, получить точное соответствие с некоторым количеством длин большего отрезка не получится. Так мы получили иррациональное число, характеризующее новое соотношение. Обратим внимание — микроскопический сдвиг границы отрезка приводит к бесконечному процессу выявления соотношения длин. Один шаг для скромного исследователя и огромное изменение для теории чисел — требуется новый элемент в классификации. Один шаг и — от микро-размера сразу к бесконечности. От одной категории чисел к совершенно новой, принципиально не совместимой с предыдущей. Ну разве не звезда?

Но на самом деле мы всего лишь чуть-чуть изменили один отрезок. Так откуда взялась принципиально новая категория? Вообще, классификация важна своей способностью точно соответствовать реальности. Но что за точность появилась вместе с иррациональными числами? Они позволяют моделировать любое соотношение, а не только соотношения целых чисел, поэтому действительно есть смысл разделять такие классы. Но это не вся точность, ведь хочется понимать все эти бесконечности, как они появляются, что означают и зачем вообще существуют. Правда с бесконечностями всё непросто, а потому пока займёмся конечными соотношениями. Вроде с ними всё просто, берём N, делим его на M, и получаем дробное число. Очень хорошо будет, если число получится короткое, например 2.5 или 3.25. Но чаще миру являются соотношения вида 4.12(3456), то есть опять с бесконечностями, но это бесконечности «в периоде». Просто заметив повторяющиеся цифры можно очень просто и компактно записать число из бесконечного количества знаков. Вот так мы лихо совладали с бесконечностью. Тоже небольшая звёздочка. Но это лишь поверхностный взгляд.

Теперь давайте включим любопытство и будем задавать вопросы. А почему одни дробные числа конечные, а другие бесконечные? А почему одни виды бесконечных бесконечно длинные, а другие — с периодом? А почему перед периодом в числе 4.12(3456) мы видим цифры 1 и 2? А почему вообще существует предпериод? А почему в периоде мы видим цифры 3 и 4? А почему длина периода в данном примере равна четырём? А почему количество чисел перед периодом равно двум? И это мы лишь поверхностно окинули любопытным взором всего лишь одно дробное число. А для других чисел вопросы будут ещё интереснее.

Попробуем ответить. Почему дробные числа бывают конечными? Очень просто — на самом деле это «оптический обман». Точнее — мы воспользовались одним трюком. Например, что бы получить число 2.5 можно поделить 5 на 2. И для этого мы все в школе учили метод деления «уголком». Но давайте чуть внимательнее присмотримся к этому методу. И тогда мы обнаружим, что факир действует следующим образом — он домножает делимое число на константу, содержащую делитель, либо его множители. А потом сокращает именно множители из константы на множители делителя. Выглядит это так:

$$

Вот и все чудеса — двойка из делителя сократилась с двойкой из константы $$, которая равна $$, а осталась в результате одна пятёрка, которая и записана в после десятичного разделителя. Число же $$ так и не поделилось на $$, оно так и домножается на $$ из суммы $$. Но мы его не видим, благодаря тому самому «оптическому обману», который мы натренировались со школы самостоятельно создавать при каждой операции деления уголком. Ну вот разве не звезда? Стоило только раздвинуть листву над замшелыми со времён начальной школы представлениями, как мы увидели свет чего-то нового, не вполне обычного, чему в школе не учат (а зря).

Объясним теперь «оптический обман» на немного более высоком уровне. Мы просто перевели результат деления в формат, удобный для хранения и восприятия. Само число от формата никак не зависит. И количество знаков в нём — тоже. Мы уже наблюдали возможность поставить скобки вокруг периода, и тем самым сократить бесконечность до длины периода и двух скобок. И это тоже формат данных, но применяемый для периодических дробей. А формат конечных дробей прячет бесконечность за сокращением на множители из основания десятичной системы счисления. Если мы возьмём, например, троичную систему счисления, то в ней деление 5 на 2 будет выглядеть так:

$$

$$

То есть мы получили бесконечность в виде периодической дроби, ведь теперь мы использовали другую константу, которая не содержит множителей, допускающих сокращение с числом 2. А вот в шестиричной системе результат опять стал бы конечным — 2.3. Но само число так и остаётся где-то в тени, и наверное лучшей записью для него будет такая — 5/2, а всё остальное — дело выбора формата представления данного числа.

Теперь про бесконечные дроби. Периодические получаются в результате деления целых чисел, а иррациональные (с бесконечной длиной периода) получаются при вычислении корня некоторой степени из целого числа. То есть из абстракции целых чисел люди вывели две категории деления — с разными множителями и с одинаковыми. Первый вариант позволяет делить любое целое на любое другое целое, но иногда даёт дробный результат. Второй вариант позволяет делить числа лишь на такие, которые в точности равны результату деления (в том числе многократного для корней больших степеней). В целом имеем одно и то же деление, но без ограничения на результат и с ограничением. Ограничение ведёт нас к двум вариантам — либо сократить делитель с множителем из делимого (и тогда можно получить целое, равное делителю), либо делить несократимое делимое на некое число. Каким тогда может быть «некое число»? Если оно целое, то в результате получим дробь (ведь делимое и делитель несократимы), которая не равна целому числу. Поэтому, раз целые не подходят, нужно искать дробь, которая была бы равна результату. Конечные дроби тоже отпадают, ведь они на самом деле представляют число вида $$, которое при умножении само на себя дало бы нам новую дробь вида $$, которая даст нам опять конечную или периодическую дробь, а не целое число. Поэтому приходится подбирать такую дробь, которая бы при бесконечном росте N и M сводила бы соотношение их квадратов к целому числу. Почему для бесконечных целых соотношение $$ можно сделать целым, а для конечных нет? Потому что чем больше числа, тем меньшее влияние на результат оказывает их дискретность. Целое число, следующее за любым выбранным, обязательно отличается от него на единицу. И эта единица не даёт точно задать необходимый результат, потому что, например, между 1/1000 и 2/1000 находится бесконечно много чисел, например 11/10000 или 145/100000 и т.д. Поэтому, увеличивая длину числа, можно в бесконечности получить любой результат с любой точностью. А потом умножить его на самого себя и получить целое число. И при этом период такой дроби действительно становится бесконечным, в чём мы убедимся несколько позднее. А бесконечный период — это и есть свойство иррационального числа, к которому мы перешли от вполне рациональных чисел. Вот такое вот звёздное сияние, плавно переходящее в темноту бесконечности.

Но зачем нам этот стык между двух классов чисел? Может достаточно одного? Давайте попробуем помоделировать. Вот получили мы в точности корень из целого числа, нашли два стремящихся к бесконечности больших целых, которые при возведении в квадрат и делении друг на друга дают целое. А теперь прибавим к любому из этих бесконечно больших чисел единицу. Что тогда будет? На привычном нам языке мы получили определение для нового числа, которое не является периодическим (ведь у него бесконечный период) и одновременно не является корнем из целого. То есть новое число не укладывается в данную нам классификацию из рациональных и иррациональных чисел. И вот все такие числа математики назвали трансцендентными, ведь надо же куда-то их деть. Но интересный момент — сначала были корни из целых чисел, названные иррациональными числами, а потом появились «другие» числа. То есть сначала в угоду древнегреческой традиции завышения значимости целых чисел всё классифицировали именно на основе способов получения из целых чисел. Первым способом было деление и происходящие от него рациональные числа. Потом люди встретились с корнями. Так появились иррациональные числа. И вот помимо рациональных и иррациональных возникла третья категория. Причём третья категория поначалу была ужасной редкостью, которую открыл Эйлер, а кроме Эйлеровского открытия других таких просто не было. И было решено разделить иррациональные на два класса — алгебраические (то есть растущие от корней) и трансцендентные (особенные, выдающиеся, выходящие за пределы, ведь один лишь Эйлер смог их найти). Но в дальнейшем не происходящие из корней числа стали массовыми, и математики даже определили, что их много больше, чем алгебраических. Поэтому трансцендентность (особенность) таких чисел стала лишь данью традиции. Хотя если мы вспомним понятие соотношения, то все эти рациональные, иррациональные, алгебраические и трансцендентные сразу становятся искусственными названиями для весьма условного деления чисел, получающихся при простом смещении конца одного из сопоставляемых отрезков. Ну а трансцендентные числа при таком подходе становятся просто «остальными», то есть если из соотношений отрезков, в угоду сохранения традиции выделения целых чисел, выделить классы, получающиеся операциями деления и извлечения корня из целых чисел, мы получим лишь рациональные и алгебраические, а все остальные — это и есть трансцендентные. То есть в сумме всего три категории бесконечных дробей. Поэтому название «трансцендентные» становится несколько натянутым, вы не находите? Ну да ладно, ведь традиция — наше всё, даже в такой точной науке, как математика.

Пока всё. В следующей серии поговорим о рациональных звёздах.