Аннотация. Часто в повседневной жизни ставятся нетривиальные физические задачи, которые могут получать практически невыполнимое в домашних условиях решение. Эта работа позволит людям, которым требуется выполнить похожую задачу на практике (в быту: в газопроводных, сантехнических трубах) воспользоваться итоговой программой, моделирующей систему такого рода. В спелеологических исследованиях программа также может использоваться, так как в пределы погрешности математической модели попадают габариты системы. Целевая аудитория работы – пользователи, заинтересованные в научно-популярных статьях и практические заинтересованные в компьютерной модели пользователи – инженеры различных видов производств, решающие схожие задачи.

Теоретическая база по использованию ультразвуковых расходомеров

Чтобы осознать параметр, заданный в итоговом коде как максимальная частота дискретизации, нужно понимать устройство основных ультразвуковых расходомеров. Пользователи, нуждающиеся в окончательном коде, могут сразу переходить к расчетной Python-части

Ультразвуковые расходомеры (далее - УР) 

Принцип работы УР базируется на вычислении акустического отклика, коррелирующего с расходом измеряемого вещества. Отклик возникает при прохождении ультразвуковых колебаний или ультразвуковых волн (далее – УВ) сквозь направленный поток жидкости.

Применяются два типа УР:  отслеживающие ход УВ в самом веществе и доплеровские. Наиболее распространены первые. В них УВ, создаваемые пьезоэлектриками, направлены сначала параллельно потоку жидкости, затем наоборот. Разница во времени (часто - Δt) распространения УВ между их испусканием и принятием и скорость потока пропорциональны. Сложность применения такого метода в том, что скорость УВ в реальности обязательно зависит от свойств среды (температуры, давления и т. п.). Очевидно, что скорость УВ намного больше скорости вещества в среде, так что реальная скорость волн в движущейся среде мало чем отличается от скорости в неизменной среде. Разница времени прохождения равна примерно 10^-5-10^-6 с, если скорость потока установлена в пределах10-15 м/с, погрешность может составить 10^-7-10^-8 с. Даже если поток реверсивен (направлен в обратную сторону) – приборы могут его измерить.  

Выделяют УР с одним и двумя каналами. У одноканальных пьезоэлектрики переключаются с режима излучателя на приемник и наоборот. Для меньшей погрешности, прохождения колебаний могут быть направлены и увеличены рефлекторами. Чувствительность преобразователей увеличивается с уменьшением угла между направлениями потока и ультразвука. В двухканальных УР все пьезоэлектрики работают исключительно в одном режиме. Двухканальные системы устроены значительно проще одноканальных, но их точность меньше, из-за возможной асимметрии акустики двух каналов.

Финальные результаты УР зависят от скорости потока вещества, усредненной по прохождению луча, но не по диаметру сосуда (трубы), - это характерная особенность расходомеров с излучением по потоку. В то же время, для определения объемного расхода необходимо измерение скорости усредненной по диаметру трубы. Для труб круглого сечения и даже для потоков, симметричных центральной оси, скорость потока, усредненная по ‘лучу’, не равна усредненной по ‘диаметру’. Их отношение зависит от распределения скоростей. Это обстоятельство – главный недостаток УР, вносящий наибольшую составляющую погрешности.

Существует три способа измерить время прохождения УВ между приемником и излучателем. Исходя из них, выделяют фазовые, времяимпульсные и частотные расходомеры.

В фазовых расходомерах (далее - ФР) вычисляется разность фаз УВ частотой, распространяющихся против потока и по нему. Недостаток ФР — нежелательная зависимость показаний от изменения прохождения звука.

Принцип работы доплеровских ультразвуковых расходомеров построен на  отражении УВ движущимися частицами в самом потоке.  Доплеровские расходомеры измеряют локальную скорость звука. В трубах с малым или средним поперечным сечением такие расходомеры измеряют среднюю скорость по диаметру или сектору трубы. В трубах больше, на прямых участках достаточной длины отражатель может работать только на расстоянии 0,12 D от стены сосуда (трубы), где скорость примерно совпадает со средней скоростью потока.

Времяимпульсные расходомеры регулярно измеряют УВ периодами по 0,1 - 0,2*10 ^-6 с, которые определяют расход в объеме (часто - G₀). Такие УР разработаны для измерения расхода воды, устанавливаются в трубах, диаметр которых составляет 15-1600 мм.

В частотных расходомерах (далее - ЧР) каждое последующее колебание излучается исключительно после достижения предыдущим колебанием приемника-пьезоэлектрика.

Разность частот прохода колебаний, основанная на дифференциальной системе, определяется скоростью и расходом в объеме.

Показания ЧР не зависят от скорости прохождения УВ в статичной среде, а, значит, и от параметров среды. Это – главное достоинство ЧР.                     

В датчиках расхода общеизвестный эффект Доплера используется, чтобы определить время прохождения флуктуациями между сдвинутыми по трубе преобразователями. Процессор обрабатывает сигналов, поступивших в приемники УВ каждого из сечений. Скорость потока определяется временем, определяемым максимумом функции, приравнивающей сигналы, поступившие на приемники.

Использование УР

УР используются для определения расхода жидкости (в основном, диэлектрические жидкости, нефтепродукты). Газы же обладают малым акустическим сопротивлением, и определение УВ там затруднено.

Наиболее используемы расходомеры, основанные на неравномерном прохождении акустических колебаний. УР, работающие на эффекте Доплера, часто используются  для измерений локальных скоростей потока. Также коротковолновые расходомеры могут использоваться в медицине, например, при измерении скорости крови в коронарной артерии [8].УР с относительно большой длиной волны были созданы не так давно, и пока у них нет широкого спектра применения.

Выбор и применение метода

Наиболее простым в использовании, но учитывающим все принципиально важные факторы системы, методом, а, следовательно, формулой, будет следующая: 

Где v – искомая скорость потока, м\с;

t_u –  время прохождения УЗ  вверх по потоку, м\с;

t_d –  время прохождения УЗ  вниз по потоку, м\с;

α – угол между потоком и датчиками;

L – расстояние между приемником и излучателем УЗ.

На рисунке 1 схематично представлена исследуемая система, где D – диаметр трубы. Кроме того, система рассматривает симметричную относительно оси, находящейся в центре, трубу. Следовательно, так как статья на сайте habr.com предназначена не только для русскоязычной аудитории, названия были переведены на глобальный английский язык. Из рисунка 1 понятно, что flow direction – направление потока, указанное стрелкой; upstream transducer и downstream transducer – передатчик выше по потоку и передатчик ниже по потоку, соответственно.

Ниже предоставлен ее подробный вывод, строго доказывающий справедливость формулы и ее эффективность:

Представим t_u и t_uв виде:

Тогда можно представить разницу времен как,введя для удобства новую переменную Х =Lcos(α);

Так как v во много раз меньше с, то можно сказать, что

Тогда

Выразим с через t_u и t_d, поскольку она значительно опирается на другие факторы, будь то температура или наличие взвешенных частиц:

Тогда с примет вид

Следовательно стало возможным выражение v через Х и L, учитывая, что времена t_u и t_dизмерены с высокой точностью

Текущую формулу лучше представить алгебраически как

В заключение, мы можем выразить скорость потока v как

Проведем обратную замену Х =Lcos(α) и получим искомое выражение.

Попытка конструкции физической модели в домашних условиях

Однако, оказалось, что в домашних условиях невозможно построить модель, отображающую это уравнение. Доказывая строго, это происходит, так как погрешность будет значительно превышать измерения.

Максимальная точность измерения будет связана, безусловно, с точностью измерения времени. Это уже было продемонстрировано в выводе формул, так как, зная исключительно t_u  и t_d, мы способны выразить искомую скорость.

Минимальная погрешность при измерении времени, которую возможно получить связана с точностью запуска звуковых сигналов и точностью их записи. «Домашние условия», оно же  - оборудование, которое легко приобрести, даёт максимальную частоту дискретизации 48000 Гц для звуковых волн. В таком случае, мы можем измерять промежутки времени с погрешностью в 1/48000 секунды ≈ 2*10^(-5) секунды. Это подтверждается в теоретической справке, так как минимальный предел погрешности попадает примерно в это значение вне зависимости от вида расходомера.

Максимальная длина трубы, которую мы можем получить в «домашних условиях» для измерения скорости – не более 10 метров. Очевидно, что этим ограничивается множитель L/cosα, если мы устремим cosα к 1.

Важно помнить, что скорость звука в воде составляет порядка 1500 м/с.
Тогда звук проходит расстояние 10 м по воде за 10/1500≈1/150 секунды.

Чтобы создать разницу времён в двух направлениях (конечно, по течению и против течения) сопоставимую с погрешностью измерения времени микрофона нам необходимо создать в трубе скорость около 3 м/с. При этом, это будет минимально возможная для измерения скорость; но даже она будет иметь погрешность 200% величины.

Согласно СНиП 2.0401-85 скорость в реальном трубопроводе не может составлять значение больше 2 м/с. Очевидно, что для измерения такой величины скорости в трубе выбранным методом, необходимо сделать промежуток измерения в несколько десятков раз больше. Противоречие легко заметить, но требуется записать его строго математически.

Тогда выражение принимает вид:

2*1/48000 ∨ -10*(1/(1500+v) -1/(1500-v))

(коэффициент перед частотой существует, потому что измерения два – вверх и вниз по потоку).

Таким образом, график 1 отображает зависимость отношения погрешности к искомой величине (ось 0у) от самой скорости потока (ось 0х). Понятно, что

Для скорости в 10 м/с мы достигнем погрешности в 50% от величины. Минимальное же значение скорости, для которого будет иметь смысл расчет – ≈3 метра.

Итак, в текущем параграфе было строго доказано, что физический эксперимент в «домашних» условиях невозможен, так что придется перейти к его аналогам.

Расчётное уравнение физической модели на Python

Исходя из уравнений выше, простейшее уравнение физической модели для скорости потока на Python выглядит как:

import math

alpha = float(input('введите угол между потоком и приемником, в радианах - '))

time_up = float(input('введите время прохождения ультразвука вверх по потоку, в c - '))

time_down = float(input('введите время прохождения ультразвука вниз по потоку, в c - '))

L = float(input('введите расстояние между источником и приемником УЗ, в м - '))

v = int((L/2*math.cos(alpha))*((time_up - time_down)/(time_up*time_down)))

print("искомая скорость потока, в м/с - ", v)

А для минимального расстояния между сенсорами с учетом погрешности:

D = float(input("введите диаметр трубы в м - "))

err = float(input("введите желаемую погрешность в % - "))

freq = float(input("введите максимальную частоту дискретитизации в Гц - "))

sound = float(input("введите принимаемую скорость звука в м\с - "))

flow = float(input("введите скорость потока в м\с - "))

res = float((((err * freq / 2 * (1/(sound - flow) - 1/(sound + flow))) ** 2) - D**2) ** 0.5)

print('итоговое минимальное расстояние в метрах - ', res)

Заключение

1. Измерение скорости жидкости в закрытом сосуде без физического проникновения внутрь него практически невозможно на уровне точных физических измерений такой системы в «домашних» условиях

2. Однако, разработанная программа способна выполнять такие вычисления, увеличения набора параметров влечет за собой полный пересмотр мат. модели, однако для большинства оценок такой набор параметров в модели достаточен

Над статьей работали А. Полянский и Я. Некрашевич