В первой части мы поговорили о том, что такое Кубинг (если вкратце - сборка родственников известного кубика Рубика) и какими бывают пазлы (т.е. головоломки, от англ. "puzzle"). В этой и следующих статьях я чуть более подробно освещу тему многомерных пазлов.
Перед тем, как сразу ударяться в кубинг, следует в принципе поговорить немного о многомерном пространстве. Я не стану писать ни про четвертую ось в Декартовой Системе, ни про время (которое типа четвертая ось), ни про вот весь этот баян, которым кормит интернет на каждом углу. А начну я с развенчивания некоторых мифов об обычном (для начального уровня) Гиперкубе.
Во-первых, есть миф, что гиперкуб - это 4д куб. Слово "гипер" означает лишь переход, отношение объекта одной мерности (большей) к объекту другой мерности (меньшей). Так, можно сказать, куб - это гиперкуб для квадрата. Говорить гипергипергиперкуб для 6д-куба не имеет особого смысла - достаточно лишь одного "гипер".
Во-вторых, есть миф, что гиперкуб - это вот эти картинки, которые показывают детям в книжках или интернете (как на картинке слева). Это не совсем миф, просто я довольно часто натыкаюсь на то, что люди не понимают, почему именно это гиперкуб. Ведь правда: если я сделаю из картона известную модель гиперкуба - не значит же это, что он вдруг вылез из нашего мира и сразу стал 4д? В конце концов, мы и сами 4д, а то и куда больше, но это уже физика, и оставлю эту тему для комментариев.
Также есть еще миф, что гиперкуб - это куб, у которого видны все грани. На данный момент статьи нам не совсем понятно, что такое "грань" куба, который еще и большей мерности, чем то, что умещается у нас в окружении и голове. А также не понятно, какую, собственно, мерность будут иметь эти "грани"? И сколько их вообще у гиперкубов, и как с этим связана их мерность?.. Об этом ниже.
Как говорят математики, "давайте рассмотрим систему на маленьких числах". Как мы рисуем "куб"-2д (квадрат)? Так же, как и у 3д куба, у 2д (квадрата) есть своя развертка. Выглядит она как просто цепочка из 4х звеньев. Я буду называть их "1д-гранями". Этот объект имеет только одно измерение - т.к. двигаться по этой цепочке можно лишь вперед-назад. Чтобы получить квадрат, надо свернуть эти 4 1д звена в двумерном пространстве и включить все то, что оказалось внутри этой конструкции.
Развертка куба (3д) имеет уже на 2 грани больше (6 шт.), и мерность каждой из них = 2 (грани - квадраты). Соответственно, чтобы получить 3д-куб надо свернуть эту 2д-развертку в 3д пространстве и опять же, включить все то, что очутилось внутри.
Развертка 4д-куба имеет опять на 2 грани больше (8), и выглядит вот так (картинка). Опять же, каждая грань этого гиперкуба (4д) имеет мерность на 1 больше предыдущего случая = 3 (грани - кубы). То есть можно с уверенностью сказать, что грани гиперкуба (4д) - это обычные кубы (8 шт.) Грани 3д-куба = квадраты (6 шт.), грани 2д = 1д отрезки (4 шт.) Думаю, продолжать не требуется, закономерность ясна.
Остается понять, что такое "скрутить в Nd-пространстве" и как это может выглядеть. Во всех предыдущих случаях результатом свертки оказывалось, что дальние вершины становятся соседними путем их перемещения в пространстве. У квадрата мы двигали крайние вершины звеньев, и они соприкасались в одном месте. У куба грани встречались позади, опять же, путем перемещения углов в пространстве. Значит, и для окончательного создания 4д куба из его развертки, надо передвинуть её вершины. Выглядит это так:
Как вы можете видеть, последняя грань "обволакивает пазл кожей", и, как это говорят некоторые из знакомых мне математиков, "уходит в бесконечность". Я начинаю знакомство с гиперкубом именно с этого, и отмечаю на этом особое внимание - так как на мой взгляд именно это является наиболее корректным пониманием. Когда люди объясняют гиперкуб иначе, из под прицела уходит та часть, что у куба на самом деле 8 граней, и некоторые вообще не лежат в 3д.
Итак:
1.мы хотим создать ND-куб
2.для этого мы делаем его (N-1)d развертку
3.Каждая грань развертки имеет (N-1)d мерность
4.Чтобы получить ND-куб, следует "скрутить" (N-1)-мерную развертку в (N-1)d пространстве
5.При этом самое важное, если мы смотрим на происходящее из (N-1)d мира, где, собственно и лежит развертка, некая часть развертки "выпрыгнет" из него.
Опять на маленьких примерах: если мы берем 2д-развертку куба, его тыльная сторона уходит на обратную сторону плоскости, из которой мы наблюдаем за происходящим. То есть, будь это кубик Рубика, все элементы на задней стороне "выпрыгивают" с картинке на экране.
Напомню, что даже ND-многомерные пазлы мы видим все еще с экрана монитора, а он, ясно-понятно, 2д. То есть сначала мы проецируем 4д в 3д модель симулятора (ссылки ниже), а он проецирует это на экран. Но есть один хитрый способ отобразить (N+1)-мерный объект в N-мерном мире. Так, бутылка Клейна живет в 4д, но в 3д её рисуют как бутылку, проходящую сквозь себя. В этом и есть магия. И снова на маленьких числах - ленту Мёбиуса невозможно нарисовать на плоском экране без её самопересечения.
И вот теперь становится ясно, почему гиперкуб != куб, у которого "видны все грани":
В Кубинге каждому пазлу соответствует некая нотация, азбука вращений, и гиперкубы тут не исключение. 6 граней очевидным образом называются U, D, F, B, R, L, а две последние - KATA (К, внешняя) и ANA (А, внутренняя). При этом элементы KATA, очевидным образом перестают быть видны, так как уходят в 4х-мерную составляющую гиперпространства и оказываются "позади нашего 3д".
Итак, мы разобрали некоторые мифы о многомерных телах, и было решено разорвать статью на несколько частей. В следующих мы поговорим о многомерных телах, какие они в основном бывают, почему и сколько есть Платоновых политопов (или многоячейников) бывает в ND-мире, а также разберем еще пару мифов.
Ссылки
4д лабиринт где стены можно буквально потрогать перед любым экраном без очков. Вот инструкция о том, как эту магию проявить
Немного другое видение 4д лабиринта на хабре
Кубинг в геометрии Лобачевского
Многомерный Кубинг-2 (вплоть до 7д)