Всем нам, технарям, да и не только, глубоко известны в узких кругах такие магические вундервафли как фракталы. Но есть миф о том, что понять всю их математическую подоплеку под силу лишь исчезающе малому числу гениев с 5-тизначным IQ. Сегодня я попытаюсь развеять этот миф без занудной математики на юмористическом языке Кроликов, Сусликов и Пауканов, понятному среднему Спиногрызу в вакууме.

На всякий случай, мало ли кто еще не в курсе. Вундервафля выглядит вот так. Если никогда не слышали о множестве Мандельброта, смело идите на ютуб и гуглите. А еще можно сделать это по ссылкам под статьей.

Чаще всего об этой вундервафле отмечают следующее свойство: она самоподобна. То есть, если вы станете увеличивать её много-много-много, получите её саму. Таким же свойством обладают Снежинка Коха, Полотно Серпинского, Кривая Дракона и много, чего еще...

Наше знакомство с фракталом Мандельброта пройдет в 4 этапа:

1. Преобразование "комплексной простыни"

2. О Кролике Жюлиа

3. Рычажок, "управляющий" фракталом-Кроликом Жюлиа

4. Жук Мандельброта

Обычно, когда начинают делать вступление на тему фракталов, разговор сперва заходит с понимания комплексных чисел. В данной статье нет необходимости знать, что это такое, но, если вы уже большие дяди с детьми, домами памяти и деревьями Пифагора и шарите за комплексные числа, вам будет проще :)

И все же небольшой вираж в эту сторону придется сделать.

Не вдаваясь особенно в подробности, комплексные числа - это эдакие изгои математики такие, что одна привычная нам еще со школьной скамьи числовая прямая оказалась слишком мала для них всех, из-за чего эти самые комплексные числа выперли на плоскость. Короче, это числа, живущие не на 1д-прямой - а на 2д-плоскости.

А теперь внезапно. Представьте себе простыню. Возьмем баллончик для граффити и малость попортим её клетчатой разлиновкой. Теперь немного сомнем её в рандомных местах. Клеточки скукожились. Если нарисовать на простыне ваш портрет, он станет похож на отражение в комнате кривых зеркал. Поздравляю, мы свершили первое преобразование комплексной плоскости!

Практическая польза от подобного вандализма может быть такой. Наверняка вы помните этот эффект из знаменитой кинокартины про световые сабли и космические корабли, бороздящие просторы космоса, когда тысячелетний сокол прыгает в гиперпространство со скоростью света, и звезды начинает размазывать во все стороны по экрану. Так вот это и есть преобразование комплексной простыни - а точнее её растягивание во все стороны, как будто она резиновая.

Вводим новую сущность: множество Жюлиа. Это может быть немного больно, но без этого, к сожалению, никуда. Постараюсь, чтобы все было "чик - и все".

Множество Жюлиа получается как раз из таких "колбасящихся" комплексных простыней. Это можно упрощенно представить как круг, который тоже размазали рандомно по плоскости с некоторой отдаленной долей симметричности. Кому интересно увидеть это воотчую - ссылки на все будут внизу. Кстати, в них же лектор называет это множество Кроликом, так как есть неочевидное сходство. Я последую его примеру и буду говорить так же.

Но на самом деле множество Жюлиа многолико. От чего это зависит? Давайте представим себе, что у нас есть некий рычажок. Но не тумблер с двумя состояниями 1 и 0, а именно рычажок, так сказать, аналоговый. И вот мы возим этот рычаг туда-сюда, и Кролик меняется. Вот он только что спокойно сидел, притаившись в траве, а вот уже бежит и прыгает. Иногда его рвет на тысячу маленьких медвежат, которые незамедлительно утараканивают в бесконечность. Это звучит именно так, и нам это еще пригодится, но пока что я буду понятно говорить "Кролик сделал большой прыг и улетел за горизонт".

Проблема в том, что рычаг можно возить не только вверх-вниз, но еще и вправо-влево, по диагонали, по кругу, сикось накось, и вообще, абы как хош. Но! только по плоскости. Ничего не напоминает?.. (комплексные точки и числа вошли в чат). Мне это напоминает вот этот, возможно, немного обидный мем:

Аллилуйя! Мы можем с головой удариться во множество Мандельброта! Бенуа Мандельброт, на сколько я помню, работающий в IBM на крутых-крутых контуперах (по тем временам), пришел и изрек: "хочу видеть все множества Жюлиа!" (до него тоже были попытки это сделать, но не хватало вычислительных мощностей, чем не был обделен Мандельброт) Но как же нарисовать их все на одном листе бумаги? И тут Бенуа придумал рисовать не самого Кролика Жюлиа, а все такие положения нашего рычага, когда Кролик еще не убежал и виден невооруженным взглядом. Вспоминаем ту самую формулировку: когда Кролика еще не разорвало на тысячу маленьких медвежат, незамедлительно утараканивших в бесконечность.

И получился Жук Мандельброта.

Еще раз, медленно: Бенуа хотел видеть все те значения, когда Кролик есть. И получился Жук. То есть, пока рычаг внутри Жука, Кролик есть. А как только вышел - то все, улетел. При этом у этого Жука нет четкой границы, это похоже на ту модель, через которую мне в школе пытались объяснить геометрию Лобачевского: чем ближе вы к границе, тем тяжелее вам идти. В математике такие штуки называются открытыми множествами.

То есть еще раз, внимательно: Бенуа интересовала именно черная зона! Не окрестность с вот этими вот красивыми цветными протуберанцами - а именно скучная черная часть. И вообще, изначально она была белая.

Остается последний вопрос: откуда же берутся те самые красочные протуберанцы?.. А это, друзья мои, то, с какой скоростью Кролика рвет на части. Да, он нам уже не виден. Но дело в том, что он может быть нам не виден "с разной скоростью"! Где быстрее - там красное, где по-черепеашьи медленно (нулевая скорость, Кролик виден) - там кромешно черное. Тут место скучной математики сменяет творческий полет мысли, и принципов окраски может быть столько же, сколько множеств Мандельброта бывает во множестве Мандельброта.

Вывод-анекдот: поэтому есть простой способ узнать специальность человека, как будто вы Шерлок Холмс. Покажите ему Жука Мандельброта и спросите, что здесь самое важное: черное или цветное. Если вам скажут "цветное", значит ваш оппонент скорей всего дизайнер. А если "черное" - то самый настоящий занудный математик :)

Как и обещал, ссылки:

13 минут предисловия к фракталам, не много о комплексном "бегунке" и о том, где он живет

13 минут о фракталах наглядно

Немного фрактального юмора

Передача "Фракталы: поиск новых размерностей"

Фрактальная реальность (симуляция)

Сайт, с которого взяты картинки прочих фракталов в начале