03.10.2024 09:16
Chi_cha 3 4300 Источник

В геометрии для описания параметров геометрических фигур в обычной Евклидовой геометрии используются такие параметры, как длина и угол. Но как только мы переходим из плоскости нашей Евклидовой геометрии в другие модели описания точек в пространстве, то замечаем, что для описания параметр длины описывается через понятия метрики или нормы. И именно метрические параметры дают нам более общие связи, хотя для их описания применяются более сложные модели.

В геодезии очень важной моделью определения местоположения в пространстве является метод триангуляции, который использует как метрические параметры, так и угловые параметры. Но можем ли мы описать положение точки с помощью только метрических параметров?

Начнем с описание задачи:

Есть у нас метрические параметры треугольника (стороны) a,b,c. Есть у нас расстояния от точки до вершин f,g,h. Опишите связь между метрическими координатами точек между собой

Рисунок условия
Рисунок условия

Предварительный анализ

Рассмотрим задачу с точки зрения Геометрических Мест Точек(ГМТ). В классической задаче геометрии про пересечении двух окружностей можем точно сказать, что ГМТ находящихся на расстоянии f и g от точек A и B - это точки пересечения окружностей (A, f) и (B, g), а это всего 2 точки, симметричные относительно соединяющей центры прямой. Ещё одна метрическая координата задает в случае треугольника положение точки однозначно. Но это также говорит о том, что существует формула, связывающая все 3 метрические координаты.

рисунок ГМТ точекс с метрическими координатами f,g,h
рисунок ГМТ точекс с метрическими координатами f,g,h

Теперь стоит выбрать стратегию решения. Варианты такие:

  1. Через формулу Герона и сумму площадей

  2. Через теорему Ван-Обеля и теорему Стюарта

  3. Через косинуса суммы углов и теоремы косинусов

  4. через задачу о пересечении окружностей

Описание решения будет по 3-му пункту. По остальным пунктам готов поделиться описанием в комментариях.

Вспомогательная лемма

\text{Формула косинуса суммы углов:}\\ cos^2(\alpha) +cos^2(\beta) + cos^2(\gamma) - 2cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma) = 1

Начнем решение с известной нам формулы:

cos(\gamma) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)

Перенесем косинусы на левую часть, а синусы на правую. Преобразуем синусы:

sin(\alpha)sin(\beta) = \sqrt{(1 - cos^2(\alpha))(1 - cos^2(\beta))}

или:

\sqrt{1 - cos^2(\alpha) - cos^2(\beta) + cos^2(\alpha)cos^2(\beta)}

Как видим здесь есть радикал. Значит придется обе части возводить в квадрат. Посмотрим что происходит с косинусами:

(cos(\alpha)cos(\beta) - cos(\gamma))^2 = cos^2(\alpha)cos^2(\beta) + cos^2(\gamma) - 2cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)

Приравнивая обе части мы получаем формулу выше.

P.S.: Нам важно в этой формуле то, что исходная формула косинуса суммы углов работает и в этой формуле, не смотря на то, что и другое соотношение работает в этой формуле

Основная задача

Теперь применим теорему косинусов. Для упрощения восприятие формул квадраты длин заменим на заглавные буквы (в дальнейшем убедимся, что строчных букв не останется):

\frac{(H + F - B)^2}{4FH} + \frac{(G + H - A)^2}{4GH} + \frac{(F + G - C)^2}{4FG} -\\ -\frac{(G + H - A)(H + F - B)(F + G - C)}{4FGH} = 1

Теперь приводим к общему знаменателю:

G(H + F -B)^2 + F(G + H - A)^2 + H(F +G - C)^2 = \\ =(G + H - A)(H + F - B)(F + G - C) + 4FGH

И раскрываем скобки и группируем:

[(G + F)H^2 + (G + H)F^2 + (F + H) G^2+ 6GFH] + [GB^2 + FA^2 + HC^2] - \\ - 2AF(G + H) - 2BG(H + F) - 2CH(F+G) = \\ = [(F + G)H^2 + (G +H)F^2 + (H + F)G^2 + 2FGH] - A(H + F)(F + G) -\\- B(G +H)(F +G) - C(G +H)(H + F) + AB(F + G) + AC(H + F) + \\+ BC(G + H) - ABC + 4 FGH

Как видим одночлены 3-ей степени сокращаются и остается многочлен 3-ей степени (если A, B и C - константы). Теперь надо представить многочлен в каноническом виде:

[AF^2 + (A^2 - AB - AC)F] + [BG^2 + (B^2 - AB - BC)G] + \\ + [CH^2 + (C^2 - AC - BC)H] + (A - C - B)HG + (C - A - B)FG +\\+ (B - A - C)HF + ABC = 0

Теперь для упрощения попробуем заменить константы:

X = B + C - A \\ Y = A + C - B \\ Z = A + B - C

И обратная замена:

A = \frac{Y + Z}{2} \\ B = \frac{Z + X}{2} \\ C = \frac{X + Y}{2}

Теперь можем посмотреть что получится (умножив обе части на 8):

[4(Y + Z)F^2 - 4X(Y + Z)F] + [4(Z + X)G^2 - 4Y(Z + X)G] + \\ + [4(X + Y)H^2 - 4Z(X+ Y)H] - 8XHG -8ZFG - 8YFH +\\ + (X+Y)(Y + Z)(Z + X) = 0

Теперь раскроем скобки и сгруппируем для того, чтобы получить сумму квадратов:

4Y(F - H)^2 + 4X(H - G)^2 + 4Z(G - F)^2 - \\ - 4X(Y + Z)F - 4Y(Z + X)G - 4Z(X + Y)H - \\ -3(Y + Z) X^2 - 3(Z + X)Y^2 - 3(X+Y)Z^2 + 2XYZ = 0

Или преобразуем так:

4Y(F - H)^2 + 4X(H - G)^2 + 4Z(G - F)^2 + 6XYZ =\\ = 4X(Y + Z)F + 4Y(Z + X)G + 4Z(X + Y)H + 3(X+Y)(Y + Z)(Z + X)

И пока это наиболее красивый вариант в представлении зависимости. Возможно можно ещё больше упростить, если подобрать такую формулу для зависимости косинусов углов треугольника.

P.S. Эта формула работает и для точек снаружи треугольника. Почему? Рисунок объяснит визуально, а с формулой попробуйте разобраться):

рисунок для двух одинаково соответствующего выражению выше
рисунок для двух одинаково соответствующего выражению выше

Комментарии (3)


  1. wataru
    03.10.2024 10:13
    #27371870
    +4

    Есть решение в одно действие через детерминант Cayley-Menger'а.

    Допустим, что треугольник на плоскости, а четвертая точка - где угодно в 3D пространстве. 4 точки образуют тертаидр. Объем тетраидра в квадрате пропорцианален определителю вот этой вот матрицы:

    \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & F & G & H\\ 1 & F & 0 & C & B\\ 1 & G & C & 0 & A\\ 1 & H & B & A & 0 \end{vmatrix}

    Но четвертая точка же на плоскости с треугольником, а значит объем равен 0. Итого вся формула становится: приравнять определитель к 0. И она очевидно работает для точки и вне треугольника.

    Надо только в каждую строку и столбец матрицы выписать длины рядом с одной и той же вершиной - даже запоминать порядок особо не надо.

    Мне кажется, это самый короткий и запоминающийся способ записать эту формулу. И для использования он проще - подставьте имеющиеся у вас числа в матрицу и решайте определитель, чтобы найти оставшуюся неизвестную, приводя ее к треугольному виду методом гаусса. Даже не надо запоминать изменение знаков или коэффициенты, ведь потом определитель все-равно к 0 приравнивается. Если расписывать определитель по всем минорам, то будет больно, да.


    1. garryq
      03.10.2024 10:13
      #27372284

      Тока тетра... это...


    1. Chi_cha Автор
      03.10.2024 10:13
      #27373572

      Не отрицаю - это интересный вариант. Особенно если представить эту матрицу в виде блоков размеров 2x2, 2x3(с переменными расстояний) и 3x3(та самая матрица Герона)