Диагонализация гамильтониана / forpes.ru

Главная
Диагонализация гамильтониана

Диагонализация гамильтониана +9

08.07.2025 18:37

aleksey-dvlp 4 2200 Источник

В квантовой механике система описывается на языке состояний. То или иное состояние, в котором пребывает система, – это не число, вещественное или комплексное, не какая-либо математическая функция, это некая абстракция. Эта абстракция обозначается вот такими вот скобочками . Внутри пишут, что угодно: буквы , цифры , даже можно так |моё любимое состояние>. К сожалению, человеку не дано в своём воображении представлять, как именно выглядит какое-либо квантовое состояние заданной системы. И даже, что электрон, как планета летает, вокруг ядра – это глубоко ошибочное представление, идущее вразрез с реальностью. Речь идет именно о некотором состоянии, в котором электрон пребывает в данных условиях, как некое размытое облако, как некий сгусток энергии.

Однако систему нужно как-то описывать. Системы в физике описывают на языке математики. Так вот, оказывается, что тому или иному состоянию, назовём его |1>, можно приписать вектор:

Обратите внимание, пока никакие координаты, никакие системы отсчета не введены, это просто вектор, который висит где-то в математическом пространстве.

Далее введем понятие оператора в квантовой механике. Что такое оператор? Это может быть поворот системы, смещение системы, даже если вы предоставите систему саму себе, то через какой-то промежуток времени она может поменять состояние. Так вот, оператор переводит систему из одного состояния в другое. А на языке векторов, что делает оператор? Оператор «крутит» вектора! Т.е. пусть, например, действие оператора будет таким:

Красный вектор может оказаться любой направленности, даже в точности совпасть с зеленым. Вероятность того, что оператор, который мы обозначим как $\hat{H}$ , крутанет зеленый вектор с состоянием в сторону красного, обозначим его , записывается так (справа налево)

$|<2|\hat{H}|1>|^2$

Обычно в квантовой механике оперируют амплитудой вероятности

$<2|\hat{H}|1>$

которая в общем случае является комплексным числом, но в нашем упрощенном случае пусть это будет вещественное число. Мы можем взять эти два вектора в виде базисных состояний нашей системы. Гамильтонова матрица это не более чем перебор переходов из одного базисного вектора в тот же или другой, записанный в табличку. Тогда получим следующий вид гамильтоновой матрицы

$\begin{pmatrix} <1|\hat{H}|1> & <2|\hat{H}|1> \\ <1|\hat{H}|2> & <2|\hat{H}|2> \end{pmatrix}$

т.е. будет 4 ненулевых числа, соответствующих амплитудам вероятности переходов среди наших выбранных базисных векторов. Теперь можем выписать в матричном виде, как оператор переводит один вектор в другой. Например, если у нас есть первоначальное состояние, которое разложено по базису

то после действия оператора получим

$\begin{pmatrix} <1|\hat{H}|1> & <2|\hat{H}|1> \\ <1|\hat{H}|2> & <2|\hat{H}|2> \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} <1|\hat{H}|1>C_1+<2|\hat{H}|1>C_2 \\ <1|\hat{H}|2> C_1+<2|\hat{H}|2> C_2 \end{pmatrix}$

где после знака равно стоят координаты нового вектора. Вот так оператор «крутит» вектора, если мы хотим видеть это в матричной записи.

Но! Есть такие состояния, где каждый раз оператор $\hat{H}$ , действуя на это состояние, будет давать то же состояние:

Такие состояния называются стационарными, их будет два, назовём их и . Стационарные состояния можно взять в качестве базисных, тогда закономерно получим

$\begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & <II|\hat{H}|I> \\ <I|\hat{H}|II> & <II|\hat{H}|II> \end{pmatrix}$

Недиагональные элементы будут нулевыми, как мы уже выяснили, потому что нет перехода из стационарного состояния куда-либо ещё, тогда гамильтонова матрица примет вид

$\begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & 0 \\ 0 & <II|\hat{H}|II> \end{pmatrix}$

Вот эта процедура перехода от одного базиса к другому, где гамильтониан принимает диагональный вид, и называется диагонализацией гамильтониана.

В линейной алгебре существует стандартная процедура перехода к новому базису, где матрица оператора принимает диагональный вид. Мы не будем в неё углубляться, а попробуем перейти к новому базису исходя из простых соображений. Представим, что вектора нового базиса связаны со старым так

$|I>=|1>+|2> \\|II>=|1>-|2>$

Почему именно так – пытаемся именно угадать, т.е. выдвинули гипотезу, проверяем её.

Подставим это выражение в гамильтонову матрицу $\begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & <II|\hat{H}|I> \\ <I|\hat{H}|II> & <II|\hat{H}|II> \end{pmatrix}$ ,

получим

$\begin{pmatrix} (< 1 | + <2|) \hat{H} (|1> + | 2 >) & (<1 | - <2 |) \hat{H} (|1 > + | 2>) \\ (< 1| + < 2|) \hat{H} (| 1> - | 2>) & (< 1 | - < 2|) \hat{H} (| 1 > - | 2>) \end{pmatrix}$

Раскроем поэтапно скобки, «засунем» оператор $\hat{H}$ вначале в правую скобку

$\begin{pmatrix} (< 1 | + <2|) (\hat{H}|1> +\hat{H} | 2 >) & (<1 | - <2 |) (\hat{H}|1 > + \hat{H}| 2>) \\ (< 1| + < 2|) (\hat{H}| 1> - \hat{H}| 2>) & (< 1 | - < 2|) (\hat{H}| 1 > -\hat{H} | 2>) \end{pmatrix}$

и затем получим

$\begin{pmatrix} (<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) + (<2| \hat{H} |2>) & (<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) \\ (<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) & (<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) \end{pmatrix}$

И действительно, исходя из симметрии, т.е. того, что амплитуды вероятности перехода из состояния в и из в равны, т.е. $<1| \hat{H} |2> = <2| \hat{H} |1>$ , а также, что амплитуда вероятности остаться в базисном векторе и в одинакова, т.е. $<1| \hat{H} |1> = <2| \hat{H} |2>$ , получается

$(<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>)=0$

$(<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) =0$

При этом видно, что диагональные элементы в ноль не обращаются. Т.е гамильтонова матрица принимает диагональный вид

$\begin{pmatrix} (<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) + (<2| \hat{H} |2>) & 0 \\ 0 & (<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) \end{pmatrix}$

ну или что то же самое

$\begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & 0 \\ 0 & <II|\hat{H}|II> \end{pmatrix}$

Вот мы и выполнили переход к новому базису, в котором гамильтонова матрица приняла диагональный вид, т.е. осуществили диагонализацию гамильтониана. А фраза «переход к новому базису», по факту означает, что мы дали формулу связи базисных векторов нового и старого базисов.

Отметим, можно подобрать и другие формулы связи нового и старого базисов, например ничто не запрещает взять базис в таком виде

$|I>=|1>-|2> \\|II>=|1>+|2>$

и кроме того, если всё делать формально, нужно ещё учитывать нормировку состояний, дабы вероятности переходов в сумме не превышали 1. Но это уже детали, которые не так нужны для понимания концепции диагонализации гамильтониана.

Отметим также, что физический смысл коэффициентов гамильтоновой матрицы – это энергия перехода. Как только мы получили гамильтонову матрицу в диагональном виде, мы сразу имеем перед собой энергии стационарных состояний системы, поиск которых в квантовой механике осуществляется очень часто. Тогда встаёт вопрос, а что же тогда сразу не брать такой базис, где гамильтонова матрица будет диагональной? А дело в том, что не всегда при ознакомлении с квантовой системой сразу очевидно, как такой базис взять. Очевидными могут оказаться состояния, где, например, в одном спин вверх, в другом спин вниз, далеко не факт, что данные состояния будут стационарными. Далее на них строится базис, а уже потом дело раскручивается до перехода к базису стационарных состояний, который зачастую оказывается смесью этих двух первоначальных очевидных состояний. Примерно то же самое с базисами делали Гелл-Манн и Пайс, когда исследуя поведение двухуровневой системы с K-мезоном, сделали крупное открытие в мире странных частиц.

Математически аккуратно, т.е. с нормировкой, сделана процедура диагонализации гамильтониана для молекулы аммиака в главе 7, параграфе 1, томе 8, Квантовая механика I, в учебнике Фейнмана «Фейнмановские лекции по физике».

P.S. Часто, когда мы берём книгу по квантовой механике, мы с первых страниц часто читаем: «выпишем уравнение Шрёдингера» (на что я лично очень сетую, т.к. пропущена такая пропасть объяснений, как это вообще так получается):

$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

На самом деле, это то же самое, что мы выписывали выше. Только мы находили величины и , соответствующие вероятности нахождения в том или ином энергетическом состоянии системы, здесь ищутся вероятности нахождения системы в той или иной точке пространства. Если совсем упростить, то гамильтонова матрица записывалась бы как-то так

$\begin{pmatrix} \langle x_1 | \hat{H} | x_1 \rangle & \langle x_1 | \hat{H} | x_2 \rangle & \langle x_1 | \hat{H} | x_3 \rangle & \cdots \\ \langle x_2 | \hat{H} | x_1 \rangle & \langle x_2 | \hat{H} | x_2 \rangle & \langle x_2 | \hat{H} | x_3 \rangle & \cdots \\ \langle x_3 | \hat{H} | x_1 \rangle & \langle x_3 | \hat{H} | x_2 \rangle & \langle x_3 | \hat{H} | x_3 \rangle & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$

где нужно перебрать бесконечное множество точек на координатной прямой и где означает состояние системы, в которой она находится в точке пространства , а , не более чем коэффициент, соответствующий вероятности определенного состояния находиться в точке , ровно, как наши коэффициенты и быть в базисных состояниях. Получается, что весь этот бесконечный набор состояний и есть базис. Именно из-за того, что амплитуды вероятности принимают непрерывный ряд значений и возникает дифференциальное уравнение. И ещё это уравнение можно выписать в дифференциальном виде, потому что при удалённых и амплитуда вероятности такого перехода $<x_i|\hat{H}|x_j>$ равна нулю, т.е. "телепортация" невозможна в квантовой теории.

Итак, выводы

Коэффициенты гамильтоновой матрицы зависят от выбранного базиса
Можно выбрать базис так, что гамильтонова матрица примет диагональный вид, эта процедура перехода и называется диагонализацией гамильтониана
Сам переход – это значит, что мы указываем формулы связи векторов нового базиса и старого
В гамильтоновой матрице в диагональном виде на диагонали стоят энергии стационарных состояний