В квантовой механике система описывается на языке состояний. То или иное состояние, в котором пребывает система, – это не число, вещественное или комплексное, не какая-либо математическая функция, это некая абстракция. Эта абстракция обозначается вот такими вот скобочками |a>. Внутри |…> пишут, что угодно: буквы |b>, цифры |1>, даже можно так |моё любимое состояние>. К сожалению, человеку не дано в своём воображении представлять, как именно выглядит какое-либо квантовое состояние заданной системы. И даже, что электрон, как планета летает, вокруг ядра – это глубоко ошибочное представление, идущее вразрез с реальностью. Речь идет именно о некотором состоянии, в котором электрон пребывает в данных условиях, как некое размытое облако, как некий сгусток энергии.

Однако систему нужно как-то описывать. Системы в физике описывают на языке математики. Так вот, оказывается, что тому или иному состоянию, назовём его |1>, можно приписать вектор:

Состояние
Состояние |1>

Обратите внимание, пока никакие координаты, никакие системы отсчета не введены, это просто вектор, который висит где-то в математическом пространстве.

Далее введем понятие оператора в квантовой механике. Что такое оператор? Это может быть поворот системы, смещение системы, даже если вы предоставите систему саму себе, то через какой-то промежуток времени она может поменять состояние. Так вот, оператор переводит систему из одного состояния в другое. А на языке векторов, что делает оператор? Оператор «крутит» вектора! Т.е. пусть, например, действие оператора будет таким:

Состояние  и
Состояние |1> и |2>

Красный вектор может оказаться любой направленности, даже в точности совпасть с зеленым. Вероятность того, что оператор, который мы обозначим как \hat{H}, крутанет зеленый вектор с состоянием |1> в сторону красного, обозначим его |2>, записывается так (справа налево)

|<2|\hat{H}|1>|^2

Обычно в квантовой механике оперируют амплитудой вероятности

<2|\hat{H}|1>

которая в общем случае является комплексным числом, но в нашем упрощенном случае пусть это будет вещественное число. Мы можем взять эти два вектора в виде базисных состояний нашей системы. Гамильтонова матрица это не более чем перебор переходов из одного базисного вектора в тот же или другой, записанный в табличку. Тогда получим следующий вид гамильтоновой матрицы

\begin{pmatrix} <1|\hat{H}|1> & <2|\hat{H}|1> \\ <1|\hat{H}|2> & <2|\hat{H}|2>  \end{pmatrix}

т.е. будет 4 ненулевых числа, соответствующих амплитудам вероятности переходов среди наших выбранных базисных векторов. Теперь можем выписать в матричном виде, как оператор переводит один вектор в другой. Например, если у нас есть первоначальное состояние, которое разложено по базису

|a>=C_1|1>+C_2|2>

то после действия оператора получим

  \begin{pmatrix} <1|\hat{H}|1> & <2|\hat{H}|1> \\ <1|\hat{H}|2> & <2|\hat{H}|2>  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix} =   \begin{pmatrix} <1|\hat{H}|1>C_1+<2|\hat{H}|1>C_2 \\ <1|\hat{H}|2> C_1+<2|\hat{H}|2> C_2 \end{pmatrix}

где после знака равно стоят координаты нового вектора. Вот так оператор «крутит» вектора, если мы хотим видеть это в матричной записи.

Но! Есть такие состояния, где каждый раз оператор \hat{H}, действуя на это состояние, будет давать то же состояние:

Стационарное состояние
Стационарное состояние |I>

Такие состояния называются стационарными, их будет два, назовём их |I> и |II> . Стационарные состояния можно взять в качестве базисных, тогда закономерно получим

\begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & <II|\hat{H}|I> \\ <I|\hat{H}|II> & <II|\hat{H}|II>  \end{pmatrix}

Недиагональные элементы будут нулевыми, как мы уже выяснили, потому что нет перехода из стационарного состояния куда-либо ещё, тогда гамильтонова матрица примет вид

\begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & 0 \\ 0 & <II|\hat{H}|II>  \end{pmatrix}

Вот эта процедура перехода от одного базиса к другому, где гамильтониан принимает диагональный вид, и называется диагонализацией гамильтониана.

В линейной алгебре существует стандартная процедура перехода к новому базису, где матрица оператора принимает диагональный вид. Мы не будем в неё углубляться, а попробуем перейти к новому базису исходя из простых соображений. Представим, что вектора нового базиса связаны со старым так

 |I>=|1>+|2> \\|II>=|1>-|2>

Почему именно так – пытаемся именно угадать, т.е. выдвинули гипотезу, проверяем её.

Подставим это выражение в гамильтонову матрицу \begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & <II|\hat{H}|I>  \\  <I|\hat{H}|II>  & <II|\hat{H}|II> \end{pmatrix},

получим

\begin{pmatrix} (< 1 | + <2|)  \hat{H} (|1>  + | 2 >) & (<1 | - <2 |) \hat{H} (|1 > + | 2>) \\ (< 1| + < 2|) \hat{H} (| 1> - | 2>) & (< 1 | - < 2|) \hat{H} (| 1 > - | 2>) \end{pmatrix}

Раскроем поэтапно скобки, «засунем» оператор \hat{H} вначале в правую скобку

\begin{pmatrix} (< 1 | + <2|)   (\hat{H}|1>  +\hat{H} | 2 >) & (<1 | - <2 |)  (\hat{H}|1 > + \hat{H}| 2>) \\ (< 1| + < 2|)  (\hat{H}| 1> - \hat{H}| 2>) & (< 1 | - < 2|)  (\hat{H}| 1 > -\hat{H} | 2>) \end{pmatrix}

и затем получим

\begin{pmatrix} (<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) + (<2| \hat{H} |2>) & (<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) \\ (<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) & (<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) \end{pmatrix}

И действительно, исходя из симметрии, т.е. того, что амплитуды вероятности перехода из состояния |1> в |2> и из |2> в |1> равны, т.е. <1| \hat{H} |2>  = <2| \hat{H} |1>, а также, что амплитуда вероятности остаться в базисном векторе |1> и в |2> одинакова, т.е. <1| \hat{H} |1>  = <2| \hat{H} |2>, получается

(<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>)=0

и

(<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) =0

При этом видно, что диагональные элементы в ноль не обращаются. Т.е гамильтонова матрица принимает диагональный вид

\begin{pmatrix} (<1| \hat{H} |1>) + (<1| \hat{H} |2>) + (<2| \hat{H} |1>) + (<2| \hat{H} |2>) & 0 \\ 0 & (<1| \hat{H} |1>) - (<1| \hat{H} |2>) - (<2| \hat{H} |1>) - (<2| \hat{H} |2>) \end{pmatrix}

ну или что то же самое

\begin{pmatrix} <I|\hat{H}|I> & 0  \\  0  & <II|\hat{H}|II> \end{pmatrix}

Вот мы и выполнили переход к новому базису, в котором гамильтонова матрица приняла диагональный вид, т.е. осуществили диагонализацию гамильтониана. А фраза «переход к новому базису», по факту означает, что мы дали формулу связи базисных векторов нового и старого базисов.

Отметим, можно подобрать и другие формулы связи нового и старого базисов, например ничто не запрещает взять базис в таком виде

 |I>=|1>-|2> \\|II>=|1>+|2>

и кроме того, если всё делать формально, нужно ещё учитывать нормировку состояний, дабы вероятности переходов в сумме не превышали 1. Но это уже детали, которые не так нужны для понимания концепции диагонализации гамильтониана.

Отметим также, что физический смысл коэффициентов гамильтоновой матрицы – это энергия перехода. Как только мы получили гамильтонову матрицу в диагональном виде, мы сразу имеем перед собой энергии стационарных состояний системы, поиск которых в квантовой механике осуществляется очень часто. Тогда встаёт вопрос, а что же тогда сразу не брать такой базис, где гамильтонова матрица будет диагональной? А дело в том, что не всегда при ознакомлении с квантовой системой сразу очевидно, как такой базис взять. Очевидными могут оказаться состояния, где, например, в одном спин вверх, в другом спин вниз, далеко не факт, что данные состояния будут стационарными. Далее на них строится базис, а уже потом дело раскручивается до перехода к базису стационарных состояний, который зачастую оказывается смесью этих двух первоначальных очевидных состояний. Примерно то же самое с базисами делали Гелл-Манн и Пайс, когда исследуя поведение двухуровневой системы с K-мезоном, сделали крупное открытие в мире странных частиц.

Математически аккуратно, т.е. с нормировкой, сделана процедура диагонализации гамильтониана для молекулы аммиака в главе 7, параграфе 1, томе 8, Квантовая механика I, в учебнике Фейнмана «Фейнмановские лекции по физике».

P.S. Часто, когда мы берём книгу по квантовой механике, мы с первых страниц часто читаем: «выпишем уравнение Шрёдингера» (на что я лично очень сетую, т.к. пропущена такая пропасть объяснений, как это вообще так получается):

-\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x)

На самом деле, это то же самое, что мы выписывали выше. Только мы находили величины C_1 и C_2, соответствующие вероятности нахождения в том или ином энергетическом состоянии системы, здесь ищутся вероятности нахождения системы в той или иной точке пространства. Если совсем упростить, то гамильтонова матрица записывалась бы как-то так

\begin{pmatrix} \langle x_1 | \hat{H} | x_1 \rangle & \langle x_1 | \hat{H} | x_2 \rangle & \langle x_1 | \hat{H} | x_3 \rangle & \cdots \\ \langle x_2 | \hat{H} | x_1 \rangle & \langle x_2 | \hat{H} | x_2 \rangle & \langle x_2 | \hat{H} | x_3 \rangle & \cdots \\ \langle x_3 | \hat{H} | x_1 \rangle & \langle x_3 | \hat{H} | x_2 \rangle & \langle x_3 | \hat{H} | x_3 \rangle & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}

где нужно перебрать бесконечное множество точек на координатной прямой и где |x> означает состояние системы, в которой она находится в точке пространства x, а ψ(x)= <x|a>, не более чем коэффициент, соответствующий вероятности определенного состояния находиться в точке x, ровно, как наши коэффициенты C_1 и C_2 быть в базисных состояниях. Получается, что весь этот бесконечный набор состояний |x> и есть базис. Именно из-за того, что амплитуды вероятности <x|a> принимают непрерывный ряд значений и возникает дифференциальное уравнение. И ещё это уравнение можно выписать в дифференциальном виде, потому что при удалённых x_i и x_j амплитуда вероятности такого перехода <x_i|\hat{H}|x_j> равна нулю, т.е. "телепортация" невозможна в квантовой теории.

Итак, выводы

  • Коэффициенты гамильтоновой матрицы зависят от выбранного базиса

  • Можно выбрать базис так, что гамильтонова матрица примет диагональный вид, эта процедура перехода и называется диагонализацией гамильтониана

  • Сам переход –  это значит, что мы указываем формулы связи векторов нового базиса и старого

  • В гамильтоновой матрице в диагональном виде на диагонали стоят энергии стационарных состояний

     

Комментарии (2)


  1. Tzimie
    08.07.2025 18:49

    А у нейтрино какие стационарные состояния? Mass eigenstates, как я понимаю? Flavor eigenstates краткосрочные...


  1. dmitry78
    08.07.2025 18:49

    не особо наглядно ;-(
    не особо наглядно ;-(