Подробный разбор статьи Эйнштейна «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» / forpes.ru

Главная
Подробный разбор статьи Эйнштейна «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света»

Подробный разбор статьи Эйнштейна «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» +18

01.01.2026 15:13

avshkol 1 15000 Источник

Подробно разбираем с исследователем теории и истории энергетики @avshkol одну из самых революционных работ в истории физики: Эйнштейн доказал, что свет испускается и поглощается квантами - фотонами, чем заложил основу для квантовой физики и объяснил фотоэффект (выбивание электронов с поверхности металла под действием света), что явилось шагом к солнечной энергетике и даже цифровым камерам. А заодно он объяснил флуоресценцию и фотохимию. Эта статья (а вовсе не теория относительности!) принесла Эйнштейну Нобелевскую премию по физике 1921 года. К 120-летию «чудесного года».

Текст приводится по Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов в 4-х томах, т.3. Работы по кинетической теории, теории излучения и основам квантовой механики 1901-1955. Под ред. И.Е. Тамма, Я.А. Смородинского, Б.Г. Кузнецова

Альберт Эйнштейн

ОБ ОДНОЙ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ ЗРЕНИЯ, КАСАЮЩЕЙСЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ СВЕТА

Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. Ann. Phys., 1905, 17, 132—148.

О названии статьи

Название «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» отражает научную осторожность автора, поскольку предложенные Эйнштейном идеи - квантование света, свет как частица - были довольно нестандартны для этого времени, когда господствовала точка зрения на свет, как на волну.

«Эвристической» (нем. heuristischen — от греч. εὑρίσκω — «отыскиваю», «открываю», «нахожу»). Это самое важное слово в названии. Эйнштейн не провозглашает новую законченную теорию или закон. Он предлагает «правило для открытия», плодотворную идею, рабочий инструмент для мышления, который может привести к новым результатам. Он сам ещё не до конца уверен во всех следствиях и физической природе этого предположения, но видит, что оно замечательно работает для объяснения явлений, которые классическая физика объяснить не могла. Это слово — проявление научной скромности и одновременно гениальности.

«Точке зрения» (нем. Gesichtspunkt). Эйнштейн подчёркивает, что это не более чем новый угол зрения, способ взглянуть на старые проблемы. Он не отменяет волновую теорию света (которая прекрасно работала для интерференции и дифракции), а предлагает дополнительный, принципиально иной взгляд на свет для специфического класса явлений.

«Возникновения и превращения света». Здесь указана конкретная область применения этой «точки зрения». Речь идёт не о распространении света (где волновая теория была непоколебима), а о моментах его рождения и исчезновения: поглощение и испускание света веществом, излучение чёрного тела, выбивание электронов светом (фотоэффект), превращение света одной частоты в свет другой (фотолюминесценция), ионизация газов. Именно в этих процессах классическая физика не могла объяснить наблюдаемые явления.

Название можно перефразировать так: «Предлагаю один плодотворный способ мышления, который может помочь нам разобраться в том, как свет рождается и взаимодействует с веществом».

Состояние физики к 1905 году - моменту написания статьи

1905 год вошёл в историю как «Год чудес» Эйнштейна, когда он опубликовал работы, перевернувшие фундамент физики. Ситуация в науке на тот момент была близка к кризисной.

К концу XIX века века вроде бы наступил триумф классической физики: казалось, что физика близка к завершению. Механика Ньютона, электродинамика Максвелла и термодинамика образовывали стройную систему. Учёные считали, что осталось лишь уточнить некоторые детали.

Но появились «тучи на горизонте» — нерешённые проблемы, ряд явлений, не укладывавшихся в классическую картину мира. Вот некоторые из них:

Излучение абсолютно чёрного тела. Классическая теория предсказывала, что интенсивность излучения должна бесконечно расти с уменьшением длины волны («ультрафиолетовая катастрофа»), что противоречило опыту. Макс Планк в 1900 году предложил формулу, идеально описывавшую эксперимент, но для этого ему пришлось ввести радикальную идею о том, что энергия излучается и поглощается не непрерывно, а дискретными порциями — квантами. Однако сам Планк считал это лишь математической уловкой, а не физической реальностью.

Проблема фотоэффекта: опыты Генриха Герца и Филиппа Ленарда показали загадочные закономерности: выбивание электронов из металлов под действием света происходило только при определённой частоте света, а не при любой интенсивности. Кинетическая энергия электронов зависела от частоты, а не от интенсивности света. Классическая волновая теория не могла этого объяснить.

Между теоретическими представлениями физиков о газах или других весовых телах и максвелловской теорией электромагнитных процессов в так называемом пустом пространстве существует глубокое формальное различие. Состояние любого тела мы считаем полностью определенным, если известны координаты и скорости хотя и очень большого, но все же конечного числа атомов и электронов; напротив, для определения электромагнитного состояния пространства мы используем непрерывные функции в этом пространстве, так что для полного описания электромагнитного состояния пространства недостаточно конечного числа величин. Согласно теории Максвелла, во всех электромагнитных, а значит и световых, явлениях энергию следует считать величиной, непрерывно распределенной в пространстве, тогда как энергия весомого тела, по современным физическим представлениям, складывается из энергий атомов и электронов. Энергия весомого тела не может быть раздроблена на сколь угодно большое число произвольно малых частей, тогда как энергия пучка света, испущенного точечным источником, по максвелловской (или вообще по любой волновой) теории света, непрерывно распределяется по все возрастающему объему.

Волновая теория света, оперирующая с непрерывными функциями точки, прекрасно оправдывается при описании чисто оптических явлений и, вероятно, едва ли будет заменена какой-либо иной теорией. Но все же не следует забывать, что оптические наблюдения относятся не к мгновенным, а к средним по времени величинам. Поэтому, несмотря на полное подтверждение экспериментом теории дифракции, отражения, преломления, дисперсии и т. д., может оказаться, что теория света, оперирующая непрерывными пространственными функциями, приведет к противоречию с опытом, когда ее будут применять к явлениям возникновения и превращения света.

Я и в самом деле думаю, что опыты, касающиеся «излучения черного тела», фотолюминесценции, возникновения катодных лучей при освещении ультрафиолетовыми лучами и других групп явлений, связанных с возникновением и превращением света, лучше объясняются предположением, что энергия света распределяется по пространству дискретно. Согласно этому сделанному здесь предположению, энергия пучка света, вышедшего из некоторой точки, не распределяется непрерывно во все возрастающем объеме, а складывается из конечного числа локализованных в пространстве неделимых квантов энергии, поглощаемых или возникающих только целиком.

Ниже я излагаю ход мыслей и факты, натолкнувшие меня на этот путь, в надежде, что предлагаемая здесь точка зрения, возможно, принесет пользу и другим исследователям в их изысканиях.

Еще раз о введении и контексте статьи

Во введении Эйнштейн констатирует глубокий формальный разрыв между двумя фундаментальными физическими теориями своего времени:

Теория вещества (газов, тел) построена на том, что состояние системы описывается конечным числом дискретных частиц (молекул, атомов, электронов), а её энергия является дискретной и не может дробиться на сколь угодно малые части.
Максвелловская теория электромагнитного поля (света), наоборот, описывается непрерывными функциями, а энергия света считается непрерывно распределённой в пространстве (например, расходящаяся сфера света заполняет всё больший объём).

Заметим, что в этой статье, как и в вышедшей чуть позднее и положившей начало специальной теории относительности другой статье чудесного 1905-го года, Elektrodynamik bewegter Körper (К электродинамике движущихся тел), чтобы получить объяснения явлениям, связанным со светом, Эйнштейн сталкивает классическую механику и электродинамику Максвелла...

Эйнштейн признаёт, что волновая теория света, оперирующая непрерывностью, превосходно описывает оптические явления (дифракция, отражение и т.д.) и вряд ли будет заменена. Однако он делает ключевое замечание: эти наблюдения основаны на усреднённых по времени величинах.

Это позволяет ему выдвинуть центральный тезис введения к статье: когда речь заходит о явлениях возникновения и превращения света (излучение чёрного тела, фотолюминесценция, фотоэффект), непрерывная волновая теория может вступать в противоречие с опытом.

Он предлагает революционную гипотезу: энергия света распределяется в пространстве не непрерывно, а дискретно, в виде локализованных и неделимых квантов энергии, которые поглощаются и излучаются только целиком.

В заключение введения Эйнштейн указывает, что дальнейшее изложение будет посвящено обоснованию этой «эвристической точки зрения», которая, как он надеется, окажется полезной для других исследователей.

Эйнштейн осмелился сделать то, чего не решался сделать даже Планк. Он заявил, что свет не только излучается и поглощается порциями, но и существует в пространстве в виде дискретных квантов (позже названных фотонами).

§ 1. Об одной трудности в теории «излучения черного тела»

Оставаясь сначала на позициях теории Максвелла и теории электронов, рассмотрим следующий случай. Предположим, что в объеме, ограниченном идеально отражающими стенками, находится некоторое количество молекул газа и электронов, движущихся свободно, но взаимодействующих посредством консервативных сил при достаточном сближении, т. е. испытывающих взаимные столкновения подобно молекулам в кинетической теории газов (1)

(1) Это равнозначно предположению, что средние кинетические энергии молекул газа и электронов в тепловом равновесии равны. Как известно, на основе этого предположения Друде теоретически вывел соотношение между теплопроводностью и электропроводностью металлов.

Предположим далее, что некоторое число электронов удерживается в далеко отстоящих друг от друга точках пространства силами, направленными к этим точкам и пропорциональными отклонению от них. Между этими электронами и свободными молекулами и электронами, когда последние будут достаточно сближаться с ними, тоже должны действовать консервативные силы. Назовем эти удерживаемые в некоторых точках пространства электроны «резонаторами»; они излучают электромагнитные волны определенной длины волны и поглощают их.

Ещё раз простыми словами о модели из молекул газа и электронов:

Эйнштейн предлагает нам представить себе закрытый "ящик" с идеально зеркальными стенками (ничто из ящика не теряется - ни вещество, ни излучение). Внутри этого ящика он помещает два типа "жильцов", которые находятся в тепловом равновесии друг с другом (то есть имеют одинаковую "среднюю энергию" из-за постоянных столкновений).

1) Свободные жильцы ящика

"Свободные молекулы газа и электроны": представьте себе множество бильярдных шаров (молекул) и маленьких, очень легких шариков (электронов), которые носятся по ящику. Они постоянно сталкиваются друг с другом, как шары на бильярдном столе. При этом они не теряют общую энергию ("консервативные силы" — это абсолютно упругие столкновения).

Суть сноски (1): Главный вывод этого хаоса — в среднем, и большие молекулы, и маленькие электроны обладают одинаковой средней кинетической энергией. В результате множества хаотических столкновений кинетическая энергия равномерно "распределяется" между молекулами и электронами. См. Теория Друде.

2) "Закрепленные жильцы": резонаторы

Теперь представьте, что в нашем ящике есть несколько особых электронов. Каждый из них "привязан" к своему месту на невидимой пружинке. Если его оттянуть, пружинка стремится вернуть его обратно.

"Силы, пропорциональные отклонению": это и есть описание пружинки — чем сильнее её растянешь, тем сильнее она тянет назад.

Такой электрон на пружинке — это и есть "резонатор". Он ведёт себя как маятник или качели: если его толкнуть, он начинает колебаться с определенной частотой.

"Они излучают и поглощают волны": это важный момент! Если колеблющийся электрон-резонатор теряет энергию (например, столкнувшись с медленной свободной частицей), он испускает порцию света (электромагнитную волну). Если он получает энергию (столкнувшись с быстрой частицей или поглотив свет), он начинает колебаться сильнее.

Согласно современным воззрениям на возникновение света, излучение в рассматриваемом пространстве, найденное при применении теории Максвелла к случаю динамического равновесия, должно быть тождественным «излучению черного тела» — по крайней мере если мы считаем, что существуют резонаторы для всех рассматриваемых частот.

Объяснения абзаца выше (теория Максвелла, случай динамического равновесия, излучение чёрного тела):

Представьте, что наш мысленный «ящик» с резонаторами и газом — это идеальная модель, чтобы теоретически рассчитать, какое тепловое излучение должно в нём установиться.

«Современные воззрения» (т.е. классическая физика на 1905 год) говорят: если мы применим уравнения Максвелла (теорию электромагнитных волн) к нашей системе, где резонаторы и газ находятся в тепловом равновесии (всё имеет одну температуру, энергия переходит от частиц к излучению и обратно без потерь), то...

...расчётное излучение в ящике должно быть тождественно «излучению чёрного тела».

«Излучение чёрного тела» — это эталон теплового излучения, которое испускает любое идеально поглощающее тело (например, кусок угля).

То есть, наша теоретическая модель с резонаторами в ящике должна точно предсказывать свойства реального теплового излучения, которое физики измеряли в экспериментах.

Важное условие: это будет работать, только если в нашем ящике есть резонаторы на всех возможных частотах (т.е. «пружинки» разной жёсткости, которые могут колебаться и на низких, и на высоких «нотах»). Только тогда излучение в ящике сможет прийти в равновесие по всему спектру.

Почему Эйнштейн выбрал такую модель?

Он начинает с общепринятой классической модели, чтобы показать её тупик. Далее в статье он продемонстрирует, что применение теории Максвелла к этой модели как раз и приводит к абсурдному выводу — «ультрафиолетовой катастрофе» (когда энергия излучения на высоких частотах становится бесконечной). Это противоречие между классическим расчётом и экспериментом и станет для него отправной точкой, чтобы предложить идею о световых квантах - дискретности света.

Отвлечемся на время от испускаемого и поглощаемого резонаторами излучения и поставим вопрос об условии, налагаемом на взаимодействия (или столкновения) молекул и электронов в динамическом равновесии. Кинетическая теория газов дает для этого случая условие: средняя кинетическая энергия электрона-резонатора должна равняться средней кинетической энергии поступательного движения молекулы газа. Разлагая движение электрона-резонатора на три взаимно-перпендикулярных колебательных движения, мы получаем для средней энергии каждой одномерной колебательной степени свободы выражение

$\overline E = \frac{R}{N} T$ ,

где — универсальная газовая постоянная, — число «истинных молекул» в грамм-эквиваленте и — абсолютная температура. Энергия $\overline E$ равна 2/3 кинетической энергии свободной молекулы одноатомного газа именно вследствие равенства усредненных по времени значений кинетической и потенциальной энергий резонатора. Если же какой-нибудь процесс — в нашем случае излучение — приведет к тому, что усредненная по времени энергия резонатора окажется большей или меньшей $\overline E$ , то при столкновениях со свободными молекулами резонатор начнет в среднем отдавать энергию газу или получать ее от газа. Следовательно, в рассмотренном нами случае динамическое равновесие возможно только тогда, когда каждый резонатор обладает средней энергией $\overline E$ .

Вывод и смысл приведенной формулы для средней энергии:

Еще раз кратко повторим логику Эйнштейна:

Сначала забудем про свет. Эйнштейн предлагает на время забыть, что резонаторы излучают и поглощают свет. Сосредоточимся только на их столкновениях со свободными молекулами и электронами газа.

Итак, в ящике, где всё перемешалось и устаканилось (наступило динамическое равновесие), единственный способ обмена энергией — это удары (соударения частиц).

При таких столкновениях средняя кинетическая энергия резонатора должна сравняться со средней кинетической энергией молекулы газа.

Резонатор, повторим, колеблется на пружинке. Но это не одномерная пружинка... Его полное движение можно разложить на три независимых колебания (вперед-назад, вверх-вниз, влево-вправо). Каждое такое колебание — это "одна степень свободы".

Известно, что в состоянии равновесия на каждую такую одномерную колебательную степень свободы приходится в среднем одна и та же энергия.

Эта энергия — это средняя полная энергия одного колебания. Для резонатора на пружинке полная энергия складывается из 2 составляющих: кинетической (когда он пролетает через положение равновесия) и потенциальной (когда он максимально отклонен). В среднем за время эти две энергии равны друг другу. Именно поэтому средняя энергия колебания равна 2/3 от средней кинетической энергии свободной молекулы (у которой есть только кинетическая энергия и 3 степени свободы).

Если в результате какого-то процесса (например, излучения света) средняя энергия резонатора станет больше , то при столкновениях с молекулами газа он будет в среднем отдавать им свою избыточную энергию. Если его энергия станет меньше , то при столкновениях он будет в среднем получать энергию от более быстрых молекул. Следовательно, равновесие возможно только тогда, когда средняя энергия каждого резонатора в точности равна .

Итак, эта формула говорит нам, какое количество "тепловой энергии" приходится в среднем на один элементарный колебательный процесс (на одну "ступеньку", на которой может храниться энергия) при данной температуре T.

(это постоянная Больцмана ) — это универсальный "коэффициент", переводящий макроскопическую температуру в микроскопическую энергию на одну степень свободы.

Это — первая часть пазла (напомним, без излучения). Эйнштейн устанавливает, какой должна быть средняя энергия резонатора, чтобы в системе поддерживалось равновесие за счет столкновений (механического взаимодействия).

На следующем шаге (в следующем абзаце) он рассмотрит вторую часть пазла — условие равновесия за счет излучения, которое вывел Планк. И тогда он сможет сравнить эти два условия и показать, что классическая теория приводит к противоречию (ультрафиолетовой катастрофе), в то время как квантовая гипотеза Планка это противоречие снимает.

Проведем теперь аналогичное рассуждение для взаимодействия резонаторов с находящимся в пространстве излучением. Для этого случая Планк (2) вывел условие динамического равновесия, предполагая, что излучение можно рассматривать как наиболее хаотический процесс. (3)

(2) M. Planck. Ann. Phys., 1900, 1, 99.

(3) Это предположение можно сформулировать следующим образом. Разложим -компоненту напряженности электрического поля () в произвольной точке данного объема в промежутке времени от до (где — время, очень большое по сравнению со всеми рассматриваемыми периодами колебаний) в ряд Фурье:

$Z = \sum_{\nu=1}^{\nu=\infty} A_\nu \sin \left( 2\pi \nu \frac{t}{T} + \alpha_\nu \right)$ ,

причем $A_\nu \geq 0$ и $0 \leq \alpha_\nu \leq 2\pi$ . Если подобное разложение будем производить в той же точке пространства как угодно часто при взятых наугад начальных моментах времени, то для величин $A_\nu$ и $\alpha_\nu$ будут получаться разные наборы значений. Тогда для частот повторения разных комбинаций значений величин $A_\nu$ и $\alpha_\nu$ будут существовать (статистические) вероятности вида:

$dW = f(A_1, A_2, \ldots, \alpha_1, \alpha_2, \ldots) dA_1 dA_2 \ldots d\alpha_1 d\alpha_2 \ldots$

Излучение будет наиболее хаотическим из всех возможных в том случае, если

$f(A_1, A_2, \ldots, \alpha_1, \alpha_2, \ldots) = F_1(A_1) F_2(A_2) \ldots f_1(\alpha_1) f_2(\alpha_2) \ldots,$

т. е. если вероятность заданного значения одной из величин или $\alpha$ не зависит от значений, которые принимают остальные величины или $\alpha$ . Чем лучше выполняется условие, что каждая пара величин $A_\nu$ и $\alpha_\nu$ зависит от процессов излучения и поглощения некоторой особой группой резонаторов, с тем большим основанием, следовательно, можно считать излучение в нашем случае «наиболее хаотическим из всех возможных».

О Планке и его работе

Эйнштейн переходит ко второй части своей логики, которая теперь касается не столкновений, а излучения.

Ранее он установил условие равновесия для механических столкновений: вывел среднюю энергию резонатора .

Теперь он ищет условие равновесия для взаимодействия резонаторов с излучением.

Теперь резонаторы не только сталкиваются с частицами, но и "общаются" с электромагнитным полем внутри ящика: они поглощают излучение и сами его испускают.

Для динамического равновесия процесс поглощения и испускания света также должен быть сбалансирован.

Эйнштейн апеллирует к новому, революционному на тот момент результату Макса Планка (1900 г.), который математически вывел связь между средней энергией резонатора и плотностью энергии окружающего его излучения . В сноске (2) ссылка на основополагающую работу Планка "К теории распределения энергии излучения нормального спектра", где он впервые вывел свою формулу для излучения черного тела, введя квант действия.

"...предполагая, что излучение можно рассматривать как наиболее хаотический процесс..."

Это ключевое допущение, на котором основан вывод Планка. Эйнштейн поясняет его в сноске (3).

О сноске (3)

Эйнштейн поясняет, что значит фраза «излучение можно рассматривать как наиболее хаотический процесс». Это ключевое допущение, которое Планк использовал для вывода своего закона излучения. По сути, это попытка описать свет с помощью статистической физики, аналогично тому, как описывают газ из хаотически движущихся молекул.

1) Разложение поля на частоты (Фурье-анализ)

"Разложим z-компоненту напряженности электрического поля (z) в произвольной точке... в ряд Фурье"

Эйнштейн предлагает представить себе сложное, хаотическое колебание электрического поля в одной точке пространства. Это колебание можно разложить на сумму простых, чистых синусоидальных волн (гармоник) с разными частотами . Это стандартная математическая процедура — анализ Фурье.

Представьте сложный музыкальный аккорд. Ваш слух (или компьютерная программа) может разложить его на отдельные ноты разной высоты (частоты) и громкости (амплитуды). Здесь происходит то же самое с колебанием поля.

2) Условие "наибольшего хаоса"

"Если подобное разложение будем производить... при взятых наугад начальных моментах времени, то для величин и будут получаться разные наборы значений... Тогда для частот повторения разных комбинаций... будут существовать (статистические) вероятности ..."

Что это всё значит? Если мы будем многократно "подслушивать" поле в случайные моменты времени, каждый раз мы будем получать новый, случайный набор амплитуд и фаз . Существует некая вероятность обнаружить конкретную комбинацию всех этих значений.

Условие "наибольшего хаоса" формулируется так:

Это уравнение говорит, что вероятность любой комбинации амплитуд и фаз распадается на произведение независимых вероятностей.

Другими словами, значение амплитуды на одной частоте никак не влияет на значение амплитуды на другой частоте . Фаза на одной частоте не влияет ни на фазу на другой, ни на амплитуды. Все эти параметры статистически независимы.

3) Физическая интерпретация и связь с резонаторами

"Чем лучше выполняется условие, что каждая пара величин и зависит от процессов излучения и поглощения некоторой особой группой резонаторов, с тем большим основанием... можно считать излучение... наиболее хаотическим"

Это физическое обоснование математического условия. Представьте, что у нас есть множество независимых резонаторов, каждый настроен на свою частоту .

Резонатор на частоте излучает и поглощает, влияя только на компоненту поля с частотой (т.е. на и ).

Резонатор на частоте делает то же самое для и , и так далее.

Поскольку резонаторы работают независимо друг от друга, то и параметры поля на разных частотах будут независимыми случайными величинами.

4) Итог и значение сноски (3)

"Наиболее хаотическое излучение" — это аналог идеального газа в теории излучения.

Это такое состояние поля, когда:

Его можно разложить на независимые моды (частоты).
Амплитуда и фаза на каждой моде являются статистически независимыми случайными величинами, не скоррелированными с другими модами.

Это допущение является самым простым и "естественным" с точки зрения статистики. Оно позволяет применить к излучению методы статистической физики и вывести для него функцию распределения (закон излучения), что Планк и сделал. Это максимально возможное упрощение, которое всё же приводит к правильному (планковскому) закону, но только если в его основе лежит квантование света.

Он получил:

$\overline E_\nu = \frac{L^3}{8\pi \nu^2} \rho_\nu$ .

Здесь $\overline E_\nu$ означает среднюю энергию резонатора с собственной частотой $\nu$ (на каждую колебательную степень свободы), — скорость света, $\nu$ — частоту и $\rho_\nu d\nu$ — объемную плотность энергии той части излучения, частоты колебаний которой расположены в интервале от $\nu$ до $\nu + d\nu$ .

О физическом смысле формулы для средней энергии резонатора

Представим, что у нас в ящике есть два «агента», которые должны прийти к равновесию (как два торгующихся человека, которые в итоге сходятся на одной цене):

1) Резонатор, «электрон на пружинке», который колеблется с определенной частотой .

2) Излучение вокруг него — «море света» разных частот.

Формула Планка, которую цитирует Эйнштейн, — это связь между ними. Она говорит:

«Средняя энергия резонатора прямо пропорциональна плотности энергии окружающего его света на его собственной частоте».

Ещё раз взглянем на формулу:

— это средняя энергия нашего «электрона на пружинке» (резонатора), который колеблется с частотой ;

— это плотность энергии излучения в ящике. Грубо говоря, это «сколько энергии света» накоплено в единице объема для волн с частотой от до. Если большое, значит, в ящике много света именно этой частоты;

— скорость света;

— частота резонатора и излучения.

в знаменателе — своего рода «коэффициент пересчета». Он учитывает, как именно энергия света «перекачивается» в энергию колебаний резонатора. Этот коэффициент зависит от частоты: для резонаторов разной «настройки» (разной частоты) этот «обменный курс» разный, при этом энергия уменьшается пропорционально квадрату частоты.

Итак, эта формула — условие равновесия. Она показывает, какой должна быть средняя энергия резонатора, чтобы он не "перегревался" и не "остывал" от взаимодействия с окружающим его светом определенной плотности. Именно это равенство Эйнштейн позже сравнит с условием равновесия от столкновений и покажет "катастрофу", которая была неразрешима в классической физике.

Если энергия излучения с частотой $\nu$ в целом не может ни уменьшаться, ни увеличиваться монотонно, то должно выполняться условие

$\frac{R}{N} T = \overline E = \overline E_\nu = \frac{L^3}{8\pi \nu^2} \rho_\nu$ ,

$\rho_\nu = \frac{R}{N} \frac{8\pi \nu^2}{L^3} T$ .

Ещё раз о формулах выше:

Итак, Эйнштейн описывает состояние динамического равновесия внутри ящика.

"...Не может ни уменьшаться, ни увеличиваться монотонно" — это означает, что система пришла в стабильное состояние. Энергия не перетекает постоянно от вещества к излучению (тогда бы излучение постоянно усиливалось, а движение атомов и электронов прекратилось), и не перетекает постоянно от излучения к веществу (тогда бы излучение исчезло).

В равновесии процессы идут в обе стороны, но в среднем компенсируют друг друга. Резонаторы поглощают ровно столько же энергии, сколько и излучают.

Вывод: поскольку система в равновесии, то средняя энергия резонатора , установившаяся за счет столкновений с частицами газа, должна быть равна средней энергии резонатора , установившейся за счет обмена излучением с полем.

Эйнштейн сводит воедино два условия равновесия, которые он получил ранее:

То есть:

— это условие механического равновесия от столкновений (из предыдущего шага рассуждений). Средняя энергия резонатора равна средней энергии частицы газа.

— это утверждение о том, что в полном равновесии резонатор имеет одну и ту же среднюю энергию, независимо от того, рассматриваем мы его столкновения или взаимодействие с излучением.

— это условие радиационного равновесия, выведенное Планком (которое мы только что разбирали).

Все три величины равны. Это и есть математическая формулировка полного теплового равновесия в системе.

Далее Эйнштейн просто выражает из первой формулы плотность излучения . Это "катастрофический" вывод классической физики:

Это соотношение, найденное как условие динамического равновесия, не только противоречит опыту, но и утверждает, что в нашей картине не может быть и речи о каком-либо однозначном распределении энергии между эфиром и веществом. В самом деле, чем шире выбирается интервал частот колебаний, тем больше возрастает энергия излучения в пространстве, и в пределе мы получаем

$\int_0^\infty \rho_\nu d\nu = \frac{R}{N} \frac{8\pi}{L^3} T \int_0^\infty \nu^2 d\nu = \infty$ .

Об ультрафиолетовой катастрофе, описываемой формулой выше:

Эйнштейн показывает, к чему приводит последовательное применение классической физики (электромагнитной теории Максвелла + статистической механики).

Эта формула не совпадает с экспериментальными данными для больших частот (ультрафиолета). Опыт показывает, что падает на высоких частотах, а эта формула предсказывает ее бесконечный рост.

Это было названо "Ультрафиолетовая катастрофа". Эйнштейн показывает её, интегрируя формулу по всем частотам, чтобы найти полную энергию излучения в ящике. Результат — бесконечность! Согласно классической теории, любое горячее тело должно излучать бесконечное количество энергии, что абсурдно.

Итак, Эйнштейн показывает, что даже самая последовательная классическая модель приводит к выводу, который противоречит и опыту, и здравому смыслу. Этим он подготавливает почву для изложения идеи о световых квантах, идеи, которая смогла разрешить это противоречие.

Промежуточный итог: краткое резюме § 1

Итак, цель первого параграфа — показать, что классическая физика (теория Максвелла + статистическая механика) приводит к абсурдному выводу о бесконечно большом излучении черного тела.

Рассматривается замкнутая система (ящик с зеркальными стенками), содержащая:

Свободные молекулы и электроны (газ).
«Резонаторы» (электроны на пружинках), которые поглощают и испускают излучение.

Условие равновесия (от столкновений): из статистической механики следует, что средняя энергия E резонатора должна быть равна средней энергии частицы газа:

Условие равновесия (от излучения): из теории Максвелла (по Планку) следует, что эта же средняя энергия резонатора связана с плотностью энергии окружающего излучения :

Катастрофа: в состоянии полного равновесия эти две энергии должны быть равны: . Объединяя формулы, Эйнштейн получает закон излучения (Рэлея-Джинса):

Этот закон противоречит опыту: если просуммировать энергию по всем частотам, получается бесконечность («ультрафиолетовая катастрофа»). Это доказывает, что классическая теория неприменима для объяснения излучения черного тела.

Таким образом, первый параграф — это "критика основ", демонстрирующая, что последовательное применение классической физики приводит к фундаментальному противоречию, требующему новой теории.

§ 2. О планковском определении элементарных квантов

Теперь мы покажем, что определение элементарных квантов, данное Планком, является до известной степени независимым от созданной им теории «излучения черного тела».

Формула Планка (4)

(4) M. Planck. Ann. Phys., 1901, 4, 561.

для $\rho_\nu$ , согласующаяся со всеми проведенными до сих пор экспериментами, гласит

$\rho_\nu = \frac{\alpha \nu^3}{e^{\frac{\beta \nu}{T}} - 1}$ ,

где

$\alpha = 6,10 \cdot 10^{-56}$ ,

$\beta = 4,866 \cdot 10^{-11}$ .

О формуле Планка, приведенной выше:

Эйнштейн говорит: Планк ввёл понятие "кванта энергии" не просто как технический трюк для объяснения излучения чёрного тела, а как нечто более глубокое и универсальное, и это понятие сохраняет смысл даже вне самой теории чёрного тела. То есть, даже если бы у нас не было задачи про "чёрное тело", идея квантов всё равно была бы ценной и полезной.

Формула Планка описывает, как энергия излучается (или поглощается) при определённой частоте $\nu$ (читается "ню"). Она выглядит так (в современных обозначениях):

$E = \frac{h\nu}{e^{h\nu / kT} - 1}$

Но в статье Эйнштейна она приведена в эквивалентной форме через коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ , которые связаны с фундаментальными константами и .

Как сказано в статье, формула Планка согласуется со всеми известными на тот момент экспериментами, она работает на практике.

При этом Планк изначально ввёл кванты как математический приём, чтобы "подогнать" формулу под экспериментальные данные по излучению чёрного тела.

Но Эйнштейн увидел в этом физический смысл: энергия света действительно может быть "разбита" на отдельные порции — кванты. И теперь он хочет показать: эти кванты объясняют и другие явления (например, фотоэффект, который будет рассмотрен дальше), а значит, они — реальность, а не просто математический фокус.

У Эйнштейна формула Планка записана в следующем виде:

$\rho_\nu = \frac{\alpha \nu^3}{e^{\beta \nu / T} - 1}$ ,

где:

$\rho_\nu$ — объёмная плотность энергии излучения на частоте $\nu$ (то есть сколько энергии излучения приходится на единицу объёма и на единичный интервал частот вокруг $\nu$ );
$\nu$ — частота электромагнитного излучения;
— абсолютная температура (в кельвинах);
$\alpha$ и $\beta$ — постоянные, определённые Планком на основе согласования с экспериментом. В тексте указаны их численные значения (в системе единиц, принятой в то время).

Итак, формула Планка описывает, сколько энергии излучает абсолютно чёрное тело при заданной температуре на каждой частоте $\nu$ .

Она показывает, что:

при низких частотах (длинных волнах) излучение ведёт себя почти как в классической физике (формула переходит в закон Рэлея–Джинса),
при высоких частотах (коротких волнах) энергия резко падает, потому что экспонента в знаменателе растёт очень быстро — это и есть проявление квантового эффекта: чтобы излучить высокочастотный свет, нужны «дорогие», высокоэнергетические кванты энергии ( $E = h\nu$ ), и при низкой температуре их просто статистически «не хватает».

Эйнштейн подчёркивает, что формула Планка не просто подгоночное уравнение для чёрного тела, а указывает на фундаментальную дискретность энергии света. Из неё можно извлечь величину «элементарного кванта» энергии на частоте $\nu$ , который Планк неявно ввёл как $\varepsilon = \beta \nu$ (что в современных обозначениях есть $h\nu$ , где — постоянная Планка).

Таким образом, смысл формулы Планка в статье — это мост от эмпирического описания излучения к гипотезе о существовании световых квантов, которые позже станут называться фотонами.

Для больших значений $T/\nu$ , т. е. для больших длин волн и больших плотностей излучения, эта формула переходит в пределе в следующую:

$\rho_\nu = \frac{\alpha}{\beta} \nu^2 T$ .

Легко видеть, что эта формула совпадает с формулой, выведенной в § 1 из теории Максвелла и электронной теории. Приравнивая коэффициенты этих двух формул, получим

$\frac{R}{N} \frac{8\pi}{L^3} = \frac{\alpha}{\beta}$

или

$N = \frac{\beta}{\alpha} \frac{8\pi R}{L^3} = 6,17 \cdot 10^{23}$ .

Таким образом, атом водорода весит грамм $= 1,62 \cdot 10^{-24}$ г. Это есть в точности то же значение, которое получил Планк, и оно удовлетворительно совпадает с другими значениями этой величины, найденными иными способами.

Подробнее о формулах выше и массе атома водорода

В предыдущих разделах Эйнштейн использует формулу Планка для плотности энергии излучения чёрного тела:

$\rho_\nu = \frac{\alpha \nu^3}{e^{\beta \nu / T} - 1}$

Планк получил эту формулу эмпирически, чтобы она совпадала с экспериментом.

Теперь Эйнштейн говорит:

Если мы рассмотрим длинные волны (малые частоты ) и высокие температуры (т.е. когда мало), то экспоненту можно приблизить: . Тогда знаменатель превращается просто в , и формула упрощается:

Это и есть предельный случай формулы Планка — так называемый закон Рэлея–Джинса.

Оказывается, классическая физика (теория Максвелла + электронная теория материи) тоже предсказывает такую же зависимость для плотности энергии при длинных волнах:

Это та самая «формула из §1», упомянутая в тексте.

Теперь Эйнштейн приравнивает коэффициенты у этих двух выражений:

Из Планка (в пределе):

Из Максвелла:

Значит:

⇒

При этом постоянная Больцмана связана с постоянной Авогадро и универсальной газовой постоянной :

А значит, можно вычислить постоянную Авогадро :

Эйнштейн подставляет известные значения и (из экспериментов Планка) и вычисляет:

$N≈6,17⋅10^{23}$

И вот здесь появляется атом водорода!

Постоянная Авогадро — это число частиц (атомов или молекул) в одном моле вещества.

Масса 1 моля водорода ≈ 1 грамм.
Значит, масса одного атома водорода = 1 г/N.

Итак, масса атома водорода $= 1/N≈1/6,17⋅10^{23} ≈ 1,62⋅10^{−24}$ г

Это и есть то самое значение, которое упоминается в статье, и оно совпадает с другими экспериментальными оценками массы атома водорода!

Так Эйштейн проверяет свою гипотезу о квантах света через согласованность с другими областями физики. Если из его подхода можно вывести реалистичное значение массы атома, то это — сильный аргумент в пользу правильности идеи квантования света!

Мы приходим поэтому к заключению: чем больше плотность энергии и длина волны излучения, тем лучше оправдываются наши теоретические предпосылки; однако для малых длин волн и малых плотностей излучения они оказываются совершенно непригодными.

В дальнейшем «излучение черного тела» будет рассматриваться в связи с опытом, а не на основе каких-либо представлений о возникновении и распространении излучения.

Как понимать эти фразы?

Итак, «чем больше плотность энергии и длина волны — тем лучше оправдываются предпосылки»:

Большая длина волны = малая частота.
При малых частотах и высокой плотности излучения (например, в инфракрасной области при высокой температуре) классическая физика (теория Максвелла, закон Рэлея–Джинса) и квантовая гипотеза Эйнштейна дают почти одинаковые предсказания.

Эйнштейн показал, что в этом случае его формула (основанная на квантах) плавно переходит в классическую, и даже позволяет вычислить массу атома водорода, как мы уже обсуждали.

А почему «для малых длин волн и малых плотностей излучения они оказываются совершенно непригодными»?

Малые длины волн = большие частоты (ультрафиолет, рентген).
При этом энергия одного кванта становится очень большой по сравнению с тепловой энергией .
Классическая теория (непрерывное распределение энергии) полностью проваливается: она предсказывает «ультрафиолетовую катастрофу», бесконечную энергию излучения.
Но и простые попытки описать всё только через кванты, без полной квантовой теории (которой ещё не существовало), тоже не всегда работают напрямую в этом диапазоне — особенно если пытаться объяснить всё только статистикой «частиц света» без учёта волновых свойств.

«В дальнейшем «излучение черного тела» будет рассматриваться в связи с опытом, а не на основе каких-либо представлений о возникновении и распространении излучения».

Это важный методологический поворот: вместо того чтобы строить теорию «от первых принципов» (как возникает свет, как распространяется и т.п.), Эйнштейн говорит:

«Давайте смотреть на то, что измерено в опыте — и выводить законы из этого».

Он отказывается от попыток понять «механизм» излучения (ведь в 1905 г. квантовой электродинамики ещё нет!) и фокусируется на термодинамике и статистике.

Это и есть эвристический подход — использовать смелую гипотезу (кванты света), чтобы объяснить эксперимент, даже если полной теории пока нет.

Еще один момент: эта фраза — не отказ от идеи квантов, а признание границ её применимости на тот момент и заявка на новый, более осторожный, опытный путь.

Краткий итог § 2

Еще раз повторим логику Эйнштейна в § 2:

Он сравнивает два выражения для средней энергии резонатора (атома, излучающего свет определённой частоты): классическое (из кинетической теории газов и электронной теории), где энергия зависит только от температуры:

и квантовое (из формулы Планка, применимой к излучению чёрного тела), которое в для больших длин волн (малых ) выражение переходит в классическое:

Приравнивая коэффициенты, Эйнштейн получает значение постоянной Больцмана и далее — постоянную Авогадро .

Подставляя экспериментальные значения и из работы Планка, он вычисляет:

$N≈6,17⋅10^{23}$

и, соответственно, массу атома водорода:

$m_H=1/N≈1,62⋅10{−24}$ г.

Это значение хорошо согласуется с другими независимыми оценками — значит, квантовый подход физически оправдан.

§ 3. Об энтропии излучения

Последующее рассмотрение содержится в знаменитой работе В. Вина и приводится здесь только в целях полноты изложения.

Представим себе излучение, занимающее объем . Предположим, что наблюдаемые свойства этого излучения полностью определены, если задана плотность излучения $\rho(\nu)$ для всех частот (5).

(5) Это предположение произвольное. Естественно, мы будем придерживаться этого простейшего предположения до тех пор, пока опыт не вынудит отказаться от него.

Поскольку разные частоты в излучении можно считать взаимно отделяемыми без совершения работы и без подвода тепла, то энтропию излучения можно выразить формулой:

$S = v \int_{0}^{\infty} \varphi(\rho, \nu) d\nu$ ,

где $\varphi$ — функция двух переменных $\rho$ и $\nu$ . Функцию $\varphi$ можно свести к функции только одной переменной, формулируя требование, чтобы при адиабатическом сжатии излучения между зеркальными стенками энтропия не изменялась. Однако вместо этого мы посмотрим сразу, каким образом функцию $\varphi$ можно вывести из закона излучения черного тела.

Подробнее о формуле для энтропии

«Представим себе излучение, занимающее объём …»

Мы говорим об излучении чёрного тела — то есть о свете (или тепловом излучении), которое находится в тепловом равновесии с окружающими стенками (например, внутри закрытой полости с зеркальными стенками).

Мы хотим понять, как зависит энтропия (мера беспорядка, или "степень распределённости энергии") этого излучения от его частоты.

Эйнштейн говорит: давайте считать, что всё излучение можно описать, если мы знаем плотность энергии $\rho(\nu)$ для каждой частоты $\nu$ . То есть: сколько энергии приходится на волны с частотой от $\nu$ до $\nu + d\nu$ .

Это упрощение, но разумное: мы пока считаем, что других скрытых параметров нет. Если эксперимент покажет обратное — откажемся.

Почему энтропию можно записать отдельно по частотам?

«Разные частоты можно считать взаимно отделяемыми без совершения работы и без подвода тепла…»

Эту идею можно изложить, например, так:

Ультрафиолетовое излучение и инфракрасное не смешиваются друг с другом в закрытом ящике.
Их можно мысленно разделить, и при этом не нужно затрачивать энергию и не выделяется тепло.

Это означает, что энтропия всего излучения — просто сумма энтропий по каждой частоте.

$S = v \int_{0}^{\infty} \varphi(\rho, \nu) d\nu$

где:

— полная энтропия излучения,
$\varphi(\rho, \nu)$ — удельная энтропия при частоте $\nu$ , зависящая от плотности энергии $\rho$ и самой частоты $\nu$ .

Это как сказать: «энтропия красного света плюс энтропия синего света... — и так по всем цветам».

Эйнштейн говорит: в принципе, можно было бы упростить $\varphi(\rho, \nu)$ , исходя из термодинамики, например, из свойства адиабатического сжатия:

Если сжимать излучение между идеальными зеркалами (без потерь тепла),
То энтропия не должна меняться (это определение адиабатического процесса).

Далее, вместо того, чтобы выводить формулу из общих принципов, Эйнштейн возьмёт известный эмпирический закон излучения чёрного тела (закон Вина или Планка) и через него найдёт вид функции $\varphi(\rho, \nu)$ .

Для «излучения черного тела» $\rho$ есть такая функция $\nu$ , что энтропия при заданной энергии максимальна, т. е. что

$\delta \int_{0}^{\infty} \varphi(\rho, \nu) d\nu = 0$ ,

если

$\delta \int_{0}^{\infty} \rho d\nu = 0$ .

Отсюда следует, что при любом выборе функции от $\nu$ для $\delta \rho$ выполняется равенство

$\int_{0}^{\infty} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} - \lambda \right) \delta \rho d\nu = 0$ ,

причем $\lambda$ не зависит от $\nu$ . Таким образом, для излучения черного тела $\partial \varphi / \partial \rho$ не зависит от $\nu$ .

О выводах выше:

Мы рассматриваем излучение чёрного тела — это идеальное тепловое излучение, которое находится в равновесии с окружающими стенками (например, внутри закрытой полости).

Главное свойство чёрного тела:

При фиксированной общей энергии его энтропия максимальна.

Почему? Потому что равновесие = состояние с наибольшим беспорядком, которое можно достичь при данной энергии.

Эйнштейн записывает энтропию излучения как:

$S = v \int_{0}^{\infty} \varphi(\rho, \nu) d\nu$

То есть энтропия — это сумма (интеграл) по всем частотам, и для каждой частоты она зависит от того, сколько энергии приходится на эту частоту.

Мы хотим, чтобы при заданной общей энергии

$E=\int_{0}^{\infty}ρ(ν) dν=const$

энтропия была максимальной.

Это — классическая задача на условный экстремум (как в школьной задаче: «при фиксированной площади найти фигуру с наименьшим периметром»).

Математически это решается методом вариаций:
меняем чуть-чуть распределение , но так, чтобы общая энергия не изменилась — и смотрим, когда энтропия перестаёт расти.

Чтобы энтропия была максимальной, производная функции $\varphi(ρ,ν)$ по должна быть одинаковой для всех частот (иначе можно было бы перераспределить энергию между частотами и увеличить энтропию).

Формально это записывается так:

$∂\varphi∂ρ$ = одна и та же величина для всех

Обозначим эту величину как (это — так называемый множитель Лагранжа, связанный с температурой).

Поскольку $∂\varphi∂ρ = λ$ не зависит от частоты , это значит, что форма функции $\varphi$ такова, что её производная по везде одинакова.

Отсюда и следует утверждение из текста:

При любом малом изменении ρ(ν), не меняющем полную энергию, вариация энтропии равна нулю — только если $∂\varphi/∂ρ$ не зависит от частоты .

Итак, попробуем выразить это короче:

Излучение чёрного тела — это состояние, в котором при заданной энергии энтропия максимально возможная.
Чтобы это правило выполнялось, чувствительность энтропии к добавлению энергии ( $∂\varphi/∂ρ$ ) должна быть одинаковой для всех частот.
А это возможно, если только $∂\varphi/∂ρ$ не зависит от частоты .
Значит, для излучения чёрного тела эта производная — универсальная величина, связанная с температурой, но не с частотой.

И, еще раз:

В состоянии теплового равновесия (чёрное тело) природа «распределяет» энергию по частотам так, чтобы выгода в энтропии от добавления энергии была одинаковой везде.

Это невозможно, если распределение зависит от частоты — поэтому производная $∂\varphi/∂ρ$ не может зависеть от .

Для прироста на температуры излучения черного тела в объеме выполняется уравнение

$dS = \int_{\nu=0}^{\nu=\infty} \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} d\rho d\nu$ ,

или, поскольку $\partial \varphi / \partial \rho$ не зависит от $\nu$ ,

$dS = \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} dE$ .

Так как равняется подведенному теплу и процесс является обратимым, то выполняется также равенство

$dS = \frac{1}{T} dE$ .

Из сравнения получаем

$\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = \frac{1}{T}$ .

Это и есть закон излучения черного тела. Следовательно, по функции $\varphi$ можно определить закон излучения черного тела и, наоборот, интегрируя этот закон и учитывая, что $\varphi = 0$ при $\rho = 0$ , можно получить функцию $\varphi$ .

Ещё раз о выводе закона излучения черного тела:

Итак, мы рассматриваем излучение чёрного тела — равновесное тепловое излучение в некотором объёме v.

Ранее Эйнштейн установил, что энтропию этого излучения можно записать как:

$S = \int_0^\infty \varphi(\rho, \nu) d\nu$

где:

$\rho = \rho(\nu)$ — плотность энергии излучения на частоте $\nu$ ,
$\varphi(\rho, \nu)$ — вклад в энтропию от частоты $\nu$ .

А из условия максимума энтропии при фиксированной энергии он вывел важный факт:

Производная $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho}$ не зависит от частоты $\nu$ .

То есть: $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = f(T)$ — функция только температуры.

На этом строится весь дальнейший вывод.

Теперь перейдем к связи с термодинамикой.

Эйнштейн рассматривает малое изменение температуры чёрного тела () при фиксированном объёме v = 1 (для простоты).

Рассмотрим вызванное изменением температуры изменение энтропии, а именно, при малом изменении плотности энергии $\rho$ , вызванном ростом температуры :

$dS = \int_{\nu=0}^{\nu=\infty} \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} d\rho d\nu$

Но $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho}$ не зависит от $\nu$ — это уже установлено выше. Обозначим это общее значение как некоторая функция температуры, скажем, $\Lambda(T)$ .

Тогда:

$dS = \Lambda(T) \int d\rho(\nu) d\nu = \Lambda(T) dE$ ,

где $E = \int \rho(\nu) d\nu$ — полная энергия излучения в выбранном объёме.

Это и есть первая формула:

$dS = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} \right) dE$ .

(Объём v = 1, поэтому энергия и плотность энергии численно совпадают.)

Далее, с точки зрения термодинамики, для любого обратимого процесса (а равновесное нагревание — обратимо) справедливо:

$dS = \frac{\delta Q}{T}$ .

А поскольку в нашем случае вся подведённая теплота идёт на увеличение внутренней энергии (объём фиксирован, работа не совершается), то:

$\delta Q = dE$ .

Следовательно:

$dS = \frac{dE}{T}$ .

Это — вторая формула в тексте.

Сравниваем два выражения для :

Из статистики излучения: $dS = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} \right) dE$ ,
Из термодинамики: $dS = \frac{1}{T} dE$ .

Поскольку ( $dE \ne 0$ ), его можно сократить и получить:

$\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = \frac{1}{T}$ .

Теперь вспомним, что:

$\varphi = \varphi(\rho, \nu)$ ,
Но $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = \frac{1}{T}$ не зависит от частоты $\nu$ ,
А температура связана с распределением энергии $\rho(\nu)$ через закон излучения чёрного тела (например, формулу Планка или Вина).

А значит, если мы знаем функцию $\varphi(\rho, \nu)$ → мы можем вычислить $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho}$ → приравнять её к → получить связь между $\rho$ и → найти закон излучения.

И наоборот:

Если мы знаем закон излучения (например, $\rho = \rho(\nu, T)$ ), то можем проинтегрировать $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = \frac{1}{T}$ по $\rho$ , чтобы найти $\varphi(\rho, \nu)$ (с учётом условия $\varphi = 0$ при $\rho = 0$ , т.е. при отсутствии излучения нет и энтропии).

Повторим ещё раз эту логику:

Эйнштейн связывает энтропию излучения с его энергией через производную $\partial\varphi/\partial\rho$ .
Из условия равновесия он выводит: эта производная не зависит от частоты.
Из термодинамики он выводит: при обратимом нагреве .
Сравнивая оба выражения, получает: $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = \frac{1}{T}$ .
Это уравнение связывает распределение энергии по частотам с температурой — то есть это и есть закон излучения чёрного тела (в неявной форме).
Следовательно, если знать $\varphi$ , можно вывести закон излучения, и если знать закон излучения, можно восстановить $\varphi$ .

Эта взаимосвязь между термодинамикой и статистикой излучения, которая и позволяет Эйнштейну дальше анализировать поведение света как "газа из квантов".

Краткое резюме § 3

Эйнштейн показывает, как можно вывести закон излучения чёрного тела, исходя из термодинамического условия максимальной энтропии и связи между энтропией и энергией излучения.

Основные шаги:

Предполагается, что энтропия излучения аддитивна (то есть суммируется) по частотам:

$S = \int \varphi(\rho, \nu) d\nu$ ,

где $\rho(\nu)$ — плотность энергии на частоте $\nu$ .
Из условия, что в состоянии равновесия энтропия максимальна при фиксированной энергии, следует, что

$\frac{\partial \varphi}{\partial \rho}$ не зависит от частоты $\nu$ .
$dS = \left( \frac{\partial \varphi}{\partial \rho} \right) dE$ выводится из статистики излучения.
С другой стороны, из термодинамики обратимого процесса:

$dS = \frac{dE}{T}$ .
Сравнивая оба выражения, получаем:

$\frac{\partial \varphi}{\partial \rho} = \frac{1}{T}$ .
Это уравнение устанавливает связь между распределением энергии $\rho(\nu, T)$ и температурой — то есть задаёт закон излучения чёрного тела.
Итоговый вывод:

Зная функцию $\varphi(\rho, \nu)$ , можно вывести закон излучения,
и наоборот — зная закон излучения, можно восстановить $\varphi$ (с учётом условия $\varphi = 0$ при $\rho = 0$ ) .

Этот параграф устанавливает связь между термодинамикой и квантовой гипотезой. Показывается, что закон излучения может быть переформулирован как условие на энтропию, что в дальнейшем позволит Эйнштейну сравнить излучение с газом независимых частиц (квантов) и обосновать корпускулярную природу света.

§ 4. Предельный закон для энтропии монохроматического излучения при малой плотности излучения

Из опытов, которые сделаны до настоящего времени, следует, что найденный Вином закон «излучения черного тела»

$\rho = \alpha \nu^3 e^{-\frac{\beta \nu}{T}}$

точно не выполняется. Однако для больших значений отношения $\nu/T$ этот закон подтверждается экспериментом очень хорошо. Эту формулу мы все же положим в основу наших вычислений, имея, однако, в виду, что наши результаты будут справедливыми только в известных пределах.

Из этой формулы сначала получаем

$\frac{1}{T} = -\frac{1}{\beta \nu} \ln \frac{\rho}{\alpha \nu^3}$

и далее, используя соотношение, полученное в предыдущем параграфе,

$\varphi(\rho, \nu) = -\frac{\rho}{\beta \nu} \left( \ln \frac{\rho}{\alpha \nu^3} - 1 \right)$ .

Предположим теперь, что задано излучение с энергией , частоты которого расположены в интервале от $\nu$ до $\nu + d\nu$ . Пусть это излучение занимает объем . Энтропия этого излучения есть

$S = v \varphi(\rho, \nu) d\nu = - \frac{E}{\beta \nu} \left( \ln \frac{E}{v \alpha \nu^3 d\nu} - 1 \right)$ .

Ограничиваясь исследованием зависимости энтропии от объема, занимаемого излучением, и обозначая через энтропию излучения, занимающего объем , мы получаем

$S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \ln \left( \frac{v}{v_0} \right)$ .

Это равенство показывает, что энтропия монохроматического излучения достаточно малой плотности зависит от объема так же, как энтропия идеального газа или разбавленного раствора. Это уравнение далее будет интерпретироваться на основе введенного в физику Больцманом принципа, согласно которому энтропия некоторой системы есть определенная функция вероятности состояния этой системы.

О формулах и логике § 4

Здесь Эйнштейн исследует, как зависит энтропия света (монохроматического) от объёма, в котором он заключён. Он делает это для случая очень слабого излучения, когда его плотность мала.

Основная цель — сравнить поведение такого излучения с поведением газа или разбавленного раствора, чтобы понять: а не ведёт ли себя свет так, как будто он состоит из частиц?

Что такое монохроматическое излучение? Это свет одной частоты $\nu$ (или одной длины волны), например, идеальный лазерный луч. Эйнштейн рассматривает такое "чистое" излучение.

Как Эйнштейн находит связь между энтропией и объёмом? Он исходит из закона излучения чёрного тела, а именно — из формулы Вина, которая хорошо работает для высоких частот и малых плотностей излучения:

$\rho = a \nu^3 e^{-\beta \nu / T}$

где:

$\rho$ — плотность энергии излучения,
$\nu$ — частота,
— температура,
$a, \beta$ — постоянные, выведенные из опыта.

Из этой формулы он выводит функцию $\varphi(\rho, \nu)$ , связанную с энтропией.

Сначала математически из него он выражает , которое в предыдущем параграфе мы знаем, равно $\frac{\partial \varphi}{\partial \rho}$ .

Далее интегрируем и получаем:

$\varphi(\rho, \nu) = -\frac{\rho}{\beta \nu} \left( \ln \frac{\rho}{\alpha \nu^3} - 1 \right)$

Он получает выражение для энтропии излучения, занимающего объём v , для чего нужно $\varphi(\rho, \nu)$ умножить на объем v и на $d\nu$ :

$S = -\frac{E}{\beta \nu} \left( \ln \frac{E}{va \nu^3d\nu } - 1 \right)$

где ( E ) — полная энергия излучения в этом объёме.

Но как энтропия зависит от объёма? Эйнштейн смотрит, как изменится энтропия, если тот же свет (та же энергия ) окажется не в объёме , а в меньшем объёме . Он находит разность энтропий для этих объёмов:

$S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{v_0}{v}$

Это очень похоже на формулу для энтропии идеального газа или разбавленного раствора:

$S - S_0 = n k \ln \frac{v_0}{v}$

где — число частиц, — постоянная Больцмана.

Другими словами, мы можем сказать, что свет при малой плотности ведёт себя (зависит от занимаемого объема) так, будто он состоит из независимых частиц («квантов»), и энтропия меняется точно так же, как у газа.

§ 5. Исследование зависимости энтропии газов и разбавленных растворов от объема в молекулярной теории

При вычислении энтропии методами молекулярной теории слово «вероятность» часто употребляется в смысле, не совпадающем с определением, даваемом ему в теории вероятности. Особенно часто предполагается «случай равной вероятности» там, где с теоретической стороны задача является достаточно определенной, чтобы не вводить гипотез и рассуждать по дедукции. В специальной работе я покажу, что при рассмотрении тепловых процессов вполне достаточно исходить из так называемой «статистической вероятности», и надеюсь тем самым устранить логическую трудность, еще стоящую на пути применения принципа Больцмана. Здесь же будет приведена только общая формулировка этого принципа с применением его к весьма частным случаям.

Если имеет смысл говорить о вероятности некоторого состояния системы и если, кроме того, всякое приращение энтропии можно понимать как переход к более вероятному состоянию, то энтропия системы будет функцией вероятности мгновенного состояния этой системы. Следовательно, для двух невзаимодействующих друг с другом систем можно положить

$S_1 = \varphi_1(W_1)$ ,

$S_2 = \varphi_2(W_2)$ .

Рассматривая эти две системы как одну единую систему с энтропией и вероятностью , мы должны заключить, что

$S = S_1 + S_2 = \varphi(W)$

$W = W_1 \cdot W_2$ .

Последнее условие отражает тот факт, что состояния обеих систем взаимно независимы. Из этих соотношений следует

$\varphi(W_1 \cdot W_2) = \varphi_1(W_1) + \varphi_2(W_2)$

и, наконец,

$\varphi_1(W_1) = C \ln W_1 + \text{const}$ ,

$\varphi_2(W_2) = C \ln W_2 + \text{const}$ ,

$\varphi(W) = C \ln W + \text{const}$ .

Подробнее о вероятностях и энтропиях:

Эйнштейн хочет связать энтропию с вероятностью какого-либо состояния системы (например, газа). Это необходимо, чтобы применить статистический подход Больцмана к новым явлениям, в том числе к свету.

Но перед этим он делает важное методологическое замечание о том, как часто неправильно используют понятие «вероятность» в физике.

«При вычислении энтропии методами молекулярной теории слово „вероятность“ часто употребляется в смысле, не совпадающем с определением, даваемым ему в теории вероятности.»

В начале XX века (статья написана в 1905 г.) многие физики использовали термин «вероятность» в упрощённом, интуитивном смысле: «Если у нас есть газ, и частицы могут быть в любом месте — будем считать, что все положения равновероятны».

Но с точки зрения математической теории вероятностей, это — допущение, а не следствие из уравнений. Часто в задаче всё уже определено уравнениями движения (ньютоновская механика, уравнения Максвелла и т.д.), и тогда не нужно вводить гипотезу о «равной вероятности».

Например, если мы точно знаем начальные скорости и положения всех молекул в газе, то всё их будущее поведение детерминировано (в классической физике). Тогда «вероятность» появляется не из физики, а из нашего незнания. Это — статистический приём, а не фундаментальный закон.

Что же предлагает Эйнштейн?

«В специальной работе я покажу, что при рассмотрении тепловых процессов вполне достаточно исходить из так называемой „статистической вероятности“...»

«Статистическая вероятность» — это не вероятность в смысле "случайности природы", а мера того, сколько микроскопических состояний (распределений частиц) соответствует одному макроскопическому состоянию (например, заданному объёму, давлению, температуре).

Это то, что позже стало называться энтропией Больцмана:

$S = k \ln W$

где — число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию.

Эйнштейн говорит: «Мы не обязаны предполагать "равную вероятность" всех состояний как постулат. Достаточно использовать статистическую вероятность — и тогда принцип Больцмана становится логически строгим».

Он надеется устранить логическую трудность, связанную с тем, что ранее принцип Больцмана казался недоказанным предположением, а не следствием из более фундаментальных идей.

«Если имеет смысл говорить о вероятности некоторого состояния системы и если... всякое приращение энтропии можно понимать как переход к более вероятному состоянию, то энтропия системы будет функцией вероятности мгновенного состояния этой системы.»

Эта идея может быть объяснена так:

Когда система самопроизвольно переходит из одного состояния в другое (например, газ расширяется), она всегда движется в сторону большей энтропии.
Это происходит потому, что новое состояние соответствует большему числу микроскопических конфигураций, то есть оно более вероятно.
Значит, энтропия — это функция вероятности: чем выше , тем выше .

Аддитивность энтропии и мультипликативность вероятности

Следовательно, для двух невзаимодействующих друг с другом систем можно положить:

$S = S_1 + S_2, \quad W = W_1 \cdot W_2$

Это логическое следствие: есть две независимые системы, и

Их полная энтропия — сумма энтропий: (энтропия — аддитивная величина),
Их общая вероятность — произведение: $W = W_1 \cdot W_2$ (потому что события независимы, поэтому вероятности перемножаются).

Теперь ищем функцию , такую что:

$S(W_1 \cdot W_2) = S(W_1) + S(W_2)$

Единственная (с точностью до константы) функция, обладающая этим свойством — логарифм:

$S = k \ln W + \text{const}$

Позже он использует эту связь, чтобы сравнить энтропию газа и энтропию света — и показать, что свет ведёт себя так, будто состоит из частиц.

Таким образом величина является универсальной постоянной; как следует из кинетической теории газов, ее значение равно , причем постоянные и имеют смысл, указанный выше. Обозначая через энтропию известного начального состояния рассматриваемой системы и через — относительную вероятность состояния с энтропией , мы получаем в общем случае

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln W$ .

О полученной формуле разности энтропий

Эйнштейн показывает, что коэффициент пропорциональности между энтропией и логарифмом вероятности — это универсальная физическая постоянная, одинаковая для всех систем.

Из кинетической теории газов известно, что эта постоянная равна:

$C = \frac{R}{N}$

где:

— газовая постоянная,
— число Авогадро (число молекул в моле).

Затем он вводит обозначения:

— энтропия какого-то начального (эталонного) состояния,
— относительная вероятность другого состояния по сравнению с этим начальным.

И получает общую формулу связи энтропии и вероятности:

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln W$

Это и есть статистическое определение энтропии по Больцману (в обозначениях Эйнштейна), где разность энтропий пропорциональна логарифму того, насколько более (или менее) вероятно данное состояние по сравнению с исходным.

Рассмотрим сначала следующий частный случай. Предположим, что в объеме содержится некоторое число движущихся частиц (например, молекул). Кроме них в пространстве может находиться сколь угодно много каких-либо других движущихся частиц. О законе, по которому движутся в пространстве рассматриваемые частицы, не делается никаких предположений, за исключением того, что по отношению к этому движению все части пространства (и направления) равноправны. Предположим, что число рассматриваемых (упомянутых первыми) движущихся частиц так мало, что взаимодействием этих частиц друг с другом можно пренебречь. Рассматриваемой системе, которая может представлять собой, например, идеальный газ или разбавленный раствор, соответствует определенное значение энтропии . Представим себе, что в некоторую часть объема собрались все движущихся частиц, причем в системе не произошло никаких других изменений. Этому состоянию соответствует, очевидно, другое значение энтропии , и мы будем искать разность значений энтропии с помощью принципа Больцмана.

Мы спрашиваем: какова вероятность последнего состояния по отношению к первоначальному? Или: какова вероятность того, что в случайно выбранный момент времени все точек, движущихся взаимно независимо в заданном объеме , окажутся (случайно) в объеме ?

Очевидно, для этой вероятности, являющейся «статистической вероятностью», получается значение:

$W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^n$ ;

отсюда, в соответствии с принципом Больцмана, получается

$S - S_0 = R \frac{n}{N} \ln \frac{v}{v_0}$ .

Примечательно, что для вывода этого соотношения, из которого легко получается термодинамическим путем закон Бойля — Гей-Люссака и аналогичный закон осмотического давления (7), не требуется делать никаких предположений о законе движения молекул.

(7) Если — энергия системы, то получаем

$-d(E - TS) = p dv = T dS = \frac{R n}{N} \frac{dv}{v}$ ;

следовательно,

$p v = R \frac{n}{N} T$ .

О соотношениях выше:

Эйнштейн рассматривает простейшую модель:

В большом объёме хаотично движутся частиц (например, молекул газа или молекул растворённого вещества).
Эти частицы не взаимодействуют друг с другом — их так мало, что сталкиваются редко (это характерно для идеального газа или очень разбавленного раствора).
Вокруг них может быть что угодно (другие частицы, поля и т.п.), но на наше рассмотрение это не влияет.

Он предполагает крайний случай:

«А что, если все частиц вдруг окажутся в малой части объёма — в подобъёме — просто случайно, без каких-либо других изменений в системе?»

Это состояние возможно, но гораздо менее вероятно, чем обычное — когда частицы размазаны по всему .

Но как найти вероятность такого события?

Поскольку:

Частицы движутся независимо,
Пространство однородно (все места одинаковы, нет «привилегированных» зон),
То вероятность того, что одна частица находится в объёме (v), равна просто:

$\frac{v}{V_0}$

А вероятность того, что все частиц сразу окажутся в , равна:

$W = \left( \frac{v}{V_0} \right)^n$

Это и есть «статистическая вероятность» — не вероятность какого-то случайного эксперимента, а мера того, насколько редко такое состояние встречается в фазовом пространстве.

Как связать это с энтропией? Используется принцип Больцмана (в той форме, которую Эйнштейн обосновал ранее):

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln W$

где:

— энтропия в исходном состоянии (частицы по всему ),
— энтропия в «сжатом» состоянии (все частицы в ),
— газовая постоянная,
— число Авогадро,
— относительная вероятность нового состояния.

Подставляя , получаем:

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln \left( \frac{v}{V_0} \right)^n = \frac{nR}{N} \ln \frac{v}{V_0} = -\frac{nR}{N} \ln \frac{V_0}{v}$

Это и есть формула из текста:

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln \left( \frac{v}{V_0} \right)^n$

Что даёт эта формула? Эйнштейн подчеркивает:

Для вывода этой формулы не нужно знать, как именно движутся молекулы!

Т.е. не нужно предполагать, что они подчиняются законам Ньютона, что у них есть определённая скорость, температура и т.д. Достаточно лишь:

независимого движения,
однородности пространства,
и статистического принципа Больцмана.

Как отсюда получить закон Бойля–Мариотта (или Бойля–Гей-Люссака)?

В примечании (7):

Если — энергия системы, то:

Это уравнение из термодинамики:

— свободная энергия,
При постоянной температуре T: $p = -\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_T = T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_E$

Из найденного выражения: $S = S_0 - \frac{nR}{N} \ln \frac{V_0}{V} = \text{const} + \frac{nR}{N} \ln V$

Тогда: $\frac{\partial S}{\partial V} = \frac{nR}{N} \cdot \frac{1}{V}$

И при $T = \text{const}$ : $p = T \cdot \frac{nR}{N} \cdot \frac{1}{V} = \frac{n}{N} R T \cdot \frac{1}{V}$

Но — это число молей ( $\nu$ ), так что:

$pV = \nu R T$

— это и есть уравнение состояния идеального газа, из которого следует закон Бойля–Мариотта $pV = \text{const}$ при $T = \text{const}$ .

Аналогично выводится закон осмотического давления для разбавленных растворов (он формально совпадает с уравнением для идеального газа).

Краткое резюме § 5

В этом параграфе Эйнштейн показывает, как энтропия газа или разбавленного раствора зависит от объёма, используя статистический подход Больцмана, и готовит основу для сравнения с поведением света.

Вот ключевые шаги:

Система:
- независимых частиц в объёме ,
- взаимодействием пренебрегаем (идеальный газ / разбавленный раствор).
Редкое состояние:
- все частиц случайно оказываются в меньшем объёме .
Вероятность этого состояния:
- Для одной частицы: .
- Для всех :

$W = \left( \frac{v}{V_0} \right)^n$
Связь с энтропией (принцип Больцмана):
- Разность энтропий:

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln W = -\frac{nR}{N} \ln \frac{V_0}{v}$
Вывод:
- Эта зависимость не требует знания деталей движения частиц — достаточно независимости вероятностей и однородности пространства.
- Из неё термодинамически выводятся закон Бойля–Мариотта для газов и закон осмотического давления для растворов.

Эта формула станет эталоном сравнения в §4 и §6: если энтропия света зависит от объёма так же, значит — свет ведёт себя как газ из частиц (квантов энергии).

§ 6. Интерпретация выражения для зависимости энтропии монохроматического излучения от объема, полученной на основе принципа Больцмана

В § 4 мы нашли для зависимости энтропии монохроматического излучения от объема следующее выражение:

$S - S_0 = \frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{v}{v_0}$ .

Переписывая это выражение в виде

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln \left[ \left( \frac{v}{v_0} \right)^{\frac{N}{R} \frac{E}{\beta \nu}} \right]$

и сравнивая его с общей формулой, выражающей принцип Больцмана:

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln W$ ,

мы приходим к следующему выводу:

Если монохроматическое излучение с частотой $\nu$ и энергией заключено в объеме (ограниченном зеркальными стенками), то вероятность того, что в любой заданный момент времени вся энергия излучения будет находиться в части объема , дается выражением

$W = \left( \frac{v}{v_0} \right)^{\frac{N}{R} \frac{E}{\beta \nu}}$ .

Подробнее о логике вывода W:

В §4 Эйнштейн вывел, как энтропия монохроматического света (то есть света одной частоты $\nu$ ) зависит от объёма , в котором он заключён (например, в ящике с зеркальными стенками):

$S - S_0 = -\frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{V_0}{V}$

где:

— полная энергия излучения,
$\nu$ — его частота,
$\beta$ — постоянная, связанная с постоянной Планка,
— исходный объём,
— новый (меньший) объём.

В §6 Эйнштейн переписывает эту формулу, чтобы она выглядела как формула Больцмана:

$S - S_0 = k \ln W$

где:

— вероятность (в статистическом смысле) некоторого состояния,
— постоянная Больцмана.

Для этого он просто алгебраически преобразует формулу из §4:

$S - S_0 = -\frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{V_0}{V} = \frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{V}{V_0} = k \ln \left( \frac{V}{V_0} \right)^{E/(\beta \nu k)}$

А так как , то

$\frac{E}{\beta \nu k} = \frac{N E}{R \beta \nu}$

Это и есть "число квантов", как позже покажет Эйнштейн.

Если мы сравним поведение энтропии света с поведением энтропии газа (где $S - S_0 = k \ln W$ , а , то получается, что

Свет ведёт себя так, будто его энергия состоит из некоторого числа $n = \frac{N E}{R \beta \nu}$ независимых частиц, каждая из которых несёт энергию $\frac{R \beta \nu}{N}$ (то есть пропорциональную частоте).

Поэтому:

Вероятность того, что вся энергия света (как будто состоящая из этих "частиц") окажется в части объёма — это то же самое, что вероятность того, что все частиц окажутся в этом маленьком объёме.
А это даёт знакомую формулу: $W = \left( \frac{v}{V_0} \right)^n = \left( \frac{v}{V_0} \right)^{NE/(R \beta \nu)}$

Это сильный намёк на то, что свет состоит из частиц энергии (квантов) — и именно это он и утверждает дальше.

Отсюда мы заключаем далее.
Монохроматическое излучение малой плотности (в пределах области применимости закона излучения Вина) в смысле теории теплоты ведет себя так, как будто оно состоит из независимых друг от друга квантов энергии величиной $R \beta \nu / N$ .

О полученном заключении:

Эйнштейн сравнивает, как ведёт себя монохроматическое излучение (свет одной частоты) при малой плотности — то есть когда энергии в нём немного, например, у коротковолнового света (ультрафиолет и т.п.).

Он ограничивается областью, где справедлив закон излучения Вина — это приближение, хорошо работающее на высоких частотах и малых энергиях, но не во всём диапазоне.

Он показал, что энтропия такого излучения зависит от объёма точно так же, как энтропия разреженного газа из независимых частиц.

А это означает:

С точки зрения термодинамики (теории теплоты), такое излучение ведёт себя так, будто оно состоит не из непрерывной волны, а из отдельных «частиц» энергии — квантов.

Из сравнения формул вытекает, что каждый такой «кусочек» (квант) несёт энергию:

$\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu$

где:

$\nu$ — частота света,
— газовая постоянная,
— число Авогадро,
$\beta$ — постоянная из закона Вина (на самом деле $\beta = h/k$ , где — постоянная Планка).

Позже это было записано как знаменитая формула зависимости энергии света от его частоты:

$\varepsilon = h \nu$

Сравним еще для одинаковых температур среднюю энергию квантов энергии «излучения черного тела» и среднюю кинетическую энергию движения центра тяжести молекулы. Последняя равна $\frac{3}{2} (R/N) T$ , тогда как для средней величины кванта энергии в соответствии с формулой Вина получаем

$\frac{ \int_{0}^{\infty} \alpha \nu^3 e^{-\frac{\beta \nu}{T}} d\nu }{ \int_{0}^{\infty} \frac{N}{R \beta \nu} \alpha \nu^3 e^{-\frac{\beta \nu}{T}} d\nu } = 3 \frac{R}{N} T$ .

Но если монохроматическое излучение (достаточно малой плотности) в смысле зависимости энтропии от объема ведет себя как дискретная среда, состоящая из квантов энергии величиной $R \beta \nu / N$ , то напрашивается вопрос, не являются ли и законы возникновения и превращения света такими, как будто свет состоит из подобных же квантов энергии. Этим вопросом мы займемся далее.

О формуле выше и логике размышлений:

Эйнштейн сравнивает при одинаковой температуре:

Среднюю кинетическую энергию одной молекулы газа:

$\frac{3}{2} \cdot \frac{R}{N} T$

— это известный результат из кинетической теории газов.
Среднюю энергию одного кванта света (электромагнитного излучения) в чёрном теле — полученную из формулы Вина:

что-то вроде $\frac{R}{N} \beta \nu \quad$ пропорционально частоте $\nu$

(В тексте приведён интеграл, но суть в том, что энергия кванта растёт с частотой, в отличие от молекулы, чья энергия зависит только от температуры.)

Мы уже видели, что энтропия света зависит от объёма точно так же, как у газа из независимых частиц (квантов энергии). Значит, в термодинамике свет ведёт себя как частицы. Но тогда встаёт вопрос:

А может, во всех процессах — не только в термодинамике, но и при излучении, поглощении, преобразовании света — он тоже ведёт себя как поток частиц-квантов?

Именно это Эйнштейн и предлагает проверить дальше — например, на примере фотоэффекта и правила Стокса.

Подводим итог § 6

Цель этого параграфа — интерпретировать формулу зависимости энтропии монохроматического излучения от объёма (полученную в §4) в терминах статистической механики, как если бы свет состоял из частиц (квантов) энергии.

Основные шаги :

Из §4 известно:

$S - S_0 = -\frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{V_0}{V}$
Эйнштейн переписывает это в виде:

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln \left( \frac{V}{V_0} \right)^{NE/(R\beta\nu)}$
Сравнивает с принципом Больцмана:

$S - S_0 = \frac{R}{N} \ln W \quad \Rightarrow \quad W = \left( \frac{V}{V_0} \right)^{NE/(R\beta\nu)}$
Интерпретирует результат:
Вероятность того, что вся энергия излучения окажется в части объёма , точно такая же, как если бы свет состоял из

$n = \frac{N E}{R \beta \nu}$

независимых частиц.
Вывод:

Монохроматическое излучение малой плотности (в области применимости закона Вина) ведёт себя термодинамически как газ из независимых квантов энергии, каждый из которых имеет энергию

$\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu \quad$ то есть энергия пропорциональна частоте $\nu$ .
Формулирует гипотезу:
Если свет ведёт себя как набор квантов в термодинамике, то, возможно, и в процессах излучения и поглощения (фотоэффект, люминесценция и др.) он тоже состоит из таких квантов.

§ 7. О правиле Стокса

Пусть монохроматический свет превращается в процессе фотолюминесценции в свет другой частоты; в согласии с только что полученным результатом предположим, что как поглощаемый, так и возбуждаемый свет состоит из квантов энергии величиной $(R/N) \beta \nu$ , где $\nu$ — соответствующая частота. Тогда процесс превращения можно использовать следующим образом. Каждый возникший квант энергии с частотой $\nu_1$ поглощается и — по крайней мере при достаточно малой плотности распределения квантов энергии — в свою очередь, является причиной появления светового кванта частотой $\nu_2$ . Возможно, что при поглощении светового кванта одновременно будут возникать и световые кванты с частотами $\nu_3 , \nu_4$ и т. д., а также энергия другого вида (например, тепло). При этом безразлично, через какие промежуточные процессы осуществляется этот конечный результат. Если люминесцирующее вещество не является стационарным источником энергии, то энергия возникающего кванта в соответствии с законом сохранения энергии не может быть больше энергии поглощенного светового кванта; таким образом, должно выполняться соотношение

$\frac{R}{N} \beta \nu_2 \leq \frac{R}{N} \beta \nu_1, \quad \text{или} \quad \nu_2 \leq \nu_1$ .

Это и есть известное правило Стокса.

Подробнее о правиле Стокса

Эйнштейн объясняет явление фотолюминесценции (правило Стокса) — когда вещество поглощает свет одной частоты (например, ультрафиолетовый) и излучает свет другой частоты (часто — видимый, например, зелёный или синий).

Он предполагает, что свет состоит из квантов энергии, и энергия каждого кванта равна:

$\varepsilon = h \nu$

(в его обозначениях: $\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu$ , но это то же самое — энергия пропорциональна частоте $\nu$ ).

Как происходит люминесценция по Эйнштейну?

Поглощается один квант света с частотой $\nu_1$ , его энергия: $h \nu_1$ .
Эта энергия передаётся веществу.
Затем вещество излучает один или несколько новых квантов — например, с частотой $\nu_2$ , или даже $\nu_3$ , $\nu_4$ ... , а также может выделить тепло (т.е. энергию, не идущую на свет).

Но главное, что общая энергия всего излучённого не может превысить энергию поглощённого кванта, потому что:

Энергия не берётся из ниоткуда.

Пример:

Ультрафиолет ( $\nu_1$ высокая) попадает на флуоресцентную краску.
Краска поглощает УФ-квант.
Затем излучает зелёный свет ( $\nu_2 < \nu_1$ ) — потому что часть энергии ушла на тепло или внутренние колебания.
Но никогда такая краска не излучит ультрафиолет, если её освещать, скажем, красным светом — это нарушило бы правило Стокса (и закон сохранения энергии!).

До Эйнштейна правило Стокса было эмпирическим фактом (замечено в опытах, но не объяснено).

Эйнштейн вывел его из гипотезы о квантах света — и тем самым показал, что квантовая модель не только математически удобна, но и физически реальна.

Особо следует подчеркнуть, что, по нашему мнению, при слабом освещении количество возбуждаемого света при прочих равных условиях должно быть пропорциональным интенсивности возбуждающего света, так как каждый возбуждающий квант энергии будет вызывать один из элементарных процессов, перечисленных выше, независимо от действия других возбуждающих квантов. В частности, для интенсивности возбуждающего света нельзя указать нижней границы, за которой свет не мог бы вызывать люминесценцию.

В соответствии с изложенными здесь представлениями отклонения от правила Стокса возможны в следующих случаях:

Когда число квантов в единице объема, одновременно участвующих в процессе, так велико, что один квант возбуждаемого света может получить свою энергию от многих возбуждающих квантов.
Когда возбуждающий (или возбуждаемый) свет обладает энергетическими характеристиками, отличными от характеристик «излучения черного тела» в области применимости закона Вина, т. е., например, когда возбуждающий свет испускается телом такой высокой температуры, что для рассматриваемой длины волны закон Вина уже не выполняется.

Последняя возможность заслуживает особого внимания. Согласно развиваемым здесь представлениям, не исключено, что «невиновское» излучение даже при малой интенсивности обладает иными энергетическими свойствами, чем «излучение черного тела» в области применимости закона Вина.

Ещё раз о рассуждениях выше:

Эйнштейн развивает свою гипотезу о квантах света:

Свет состоит из отдельных «пакетов» энергии (квантов), и каждый квант действует независимо от других.

На этой основе он делает два важных вывода:

Люминесценция при слабом свете

При слабом освещении интенсивность люминесценции прямо пропорциональна интенсивности падающего света.

Каждый поглощённый квант возбуждает один элементарный процесс (например, испускание одного кванта света или выделение тепла).
Эти процессы независимы: квант 1 не влияет на квант 2.
Значит, вдвое больше квантов → вдвое больше люминесценции.

Нет «порога интенсивности»: даже один квант может вызвать люминесценцию, если у него достаточно энергии ( $h\nu_1 \geq h\nu_2$ ).

Это резко отличается от волновой теории, где энергия непрерывно распределена и «слишком слабый» свет не смог бы накопить достаточно энергии для излучения.

2.Когда правило Стокса может нарушаться?

Правило Стокса гласит:

Частота излучаемого света ≤ частоты поглощённого света
(т.е. $\nu_2 \leq \nu_1$ , потому что $h\nu_2 \leq h\nu_1$ ) .

Но Эйнштейн указывает: это правило может нарушаться.

Случай 1: Много квантов одновременно

Если свет очень интенсивный, то один атом может поглотить энергию сразу от нескольких квантов.
Тогда суммарная энергия: $h\nu_1 + h\nu_1 + \dots = nh\nu_1$
И он может испустить квант с частотой

$\nu_2 > \nu_1$ , например, если $nh\nu_1 > h\nu_2$ .

Случай 2: Свет не «тепловой» (не от чёрного тела)

Гипотеза квантов была выведена из закона излучения Вина, который описывает тепловое излучение (свет от горячих тел).
Но если свет искусственный (например, лазер, разряд в газе, люминесценция и т.п.), то его энергетическая структура может отличаться.
Такой свет не обязан подчиняться правилу Стокса, потому что его кванты не описываются статистикой чёрного тела.

Эйнштейн подчёркивает: даже при малой интенсивности такой «невиновский» свет может вести себя иначе!

Краткое резюме § 7

В §7 объясняется Правило Стокса в фотолюминесценции с точки зрения квантовой гипотезы.

Гипотеза:
Свет состоит из квантов энергии $\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu$ энергия которых пропорциональна частоте $\nu$ .

Фотолюминесценция:
— Поглощается квант частоты $\nu_1$ ,
— Излучается квант частоты $\nu_2$ (и, возможно, тепло или другие кванты).

Закон сохранения энергии:
Если вещество не является источником энергии, то

$h\nu_2 \leq h\nu_1 \quad \Rightarrow \quad \nu_2 \leq \nu_1.$

Это и есть правило Стокса — излучаемый свет не может быть более «энергичным» (высокочастотным), чем поглощённый.

Дополнительные следствия:

-При слабом свете интенсивность люминесценции пропорциональна интенсивности возбуждающего света, потому что каждый квант действует независимо.

-Нет порога интенсивности: даже один квант может вызвать люминесценцию.
Когда правило Стокса может нарушаться?

-Если одновременно участвует много квантов (многофотонное поглощение).

-Если свет не является «тепловым» (не подчиняется закону Вина), например, испускается при очень высокой температуре или искусственным источником.

Правило Стокса — не только эмпирическое наблюдение, а прямое следствие квантовой природы света и закона сохранения энергии. Вывод Эйнштейном этого правила стал подтверждением гипотезы о световых квантах.

§ 8. О возбуждении катодных лучей при освещении твердых тел

Обычное представление о том, что энергия света распределяется в облучаемом пространстве непрерывно, при попытке объяснить фотоэлектрические явления сталкивается с особенно большими трудностями, изложение которых можно найти в известной работе Ленарда (8).

(8) P. Lenard. Ann. Phys., 1902, 8, 169 и 170.

Представление о том, что возбуждающий свет состоит из квантов с энергией $(R/N) \beta \nu$ , позволяет объяснить возникновение катодных лучей следующим образом. В поверхностный слой тела проникают кванты, и энергия их по крайней мере частично превращается в кинетическую энергию электронов. Простейшим будет случай, когда один световой квант отдает всю свою энергию одному электрону; мы будем предполагать, что это и происходит в действительности. Однако нельзя исключить и того, что электроны воспринимают энергию световых квантов лишь частично. Электрон внутри тела, обладающий кинетической энергией, в случае попадания на поверхность лишается части своей кинетической энергии. Кроме того, мы предполагаем, что каждый электрон, покидая тело, должен совершить некоторую работу (характерную для данного тела). С наибольшей нормальной составляющей скорости будут покидать тело те электроны, которые возбуждены у самой поверхности и получили только нормальную компоненту скорости. Кинетическая энергия этих электронов равна

$\frac{R}{N} \beta \nu - P$ .

О выводе формулы кинетической энергии электронов

Проблема с классической теорией света:

Согласно классической (волновой) теории, свет — это непрерывная волна, и его энергия равномерно распределена по всему пространству.

Но при попытке объяснить фотоэлектрический эффект (когда свет выбивает электроны из металла), такая модель полностью проваливается: она предсказывает, что интенсивность света определяет энергию выбитых электронов.

Но эксперименты (в частности, Ленарда, 1902) показывают: энергия электронов зависит только от частоты света, а не от его яркости.

Более того, даже очень слабый, но высокочастотный свет (например, ультрафиолет) мгновенно выбивает электроны. Этого не может объяснить волновая модель (в ней электрону нужно «набрать энергию» со временем).

Как квантовая гипотеза Эйнштейна объясняет фотоэффект?

Квант света падает на металл и проникает в поверхностный слой.
Он отдаёт всю свою энергию одному электрону (Эйнштейн принимает это за простейший и реальный случай).
Этот электрон получает кинетическую энергию, но:

-Чтобы покинуть тело, ему нужно «выбраться» из металла — на это тратится работа выхода (в зависимости от материала).

-Если электрон находился глубоко внутри, он может потерять часть энергии при движении к поверхности (из-за столкновений).
Самые быстрые электроны — те, что:

-Получили энергию прямо у поверхности (не теряют её по дороге),

-И направление их движения — перпендикулярно поверхности (максимальная нормальная компонента скорости).

Для таких «идеальных» электронов:

$\text{Кинетическая энергия} = \text{Энергия кванта} - \text{Работа выхода}$

или:

$E_{\text{кин}} = \frac{R}{N} \beta \nu - P$

(в современных обозначениях: $\frac{1}{2}mv^2 = h\nu - \phi$ ).

Это стало первым правильным объяснением фотоэффекта, которое качественно и количественно согласуется с опытами Ленарда.

Оно предсказывает линейную зависимость энергии электронов от частоты света — что позже подтвердил Милликен.

Но это объяснение требует, чтобы свет был квантован, даже если это противоречит волновой теории!

Это — рождение квантовой теории фотоэффекта, за которую Эйнштейн получил Нобелевскую премию.

Если тело заряжено до положительного потенциала $\Pi$ и окружено проводниками, находящимися при нулевом потенциале, и потенциал $\Pi$ таков, что он препятствует потере заряда телом, то должно выполняться условие:

$\Pi \epsilon = \frac{R}{N} \beta \nu - P$ ,

где $\epsilon$ — заряд электрона, или

$\Pi E = R \beta \nu - P'$ ,

причем означает заряд грамм-эквивалента однозарядных ионов и — потенциал этого количества отрицательного электричества относительно тела (9).

(9) Если предположить, что отдельный электрон должен отрываться светом от нейтральной молекулы с затратой некоторой работы, то выведенное соотношение не изменится; в этом случае необходимо только рассматривать ( P' ) как сумму двух слагаемых.

О формулах потенциала

Эйнштейн только что вывел, что максимальная кинетическая энергия электрона, выбитого светом из тела, равна:

$E_{\text{кин}} = \frac{R}{N} \beta \nu - P$

где:

$\frac{R}{N} \beta \nu$ — энергия поглощённого кванта света,
— работа выхода, то есть минимальная энергия, необходимая, чтобы вырвать электрон из вещества.

Теперь он хочет связать это с измеряемой величиной — потенциалом, который может остановить вылет электронов (так называемый запирающий потенциал).

Физически это выглядит так:

Тело (например, металлическая пластина) заряжено положительно до потенциала $\Pi$ .
Оно окружено проводниками с нулевым потенциалом (например, заземлённой металлической камерой).
Если электрон попытается вылететь из тела, он должен преодолеть электростатическое притяжение к положительному телу.
Чтобы выйти наружу и долететь до проводника, электрон должен обладать кинетической энергией не меньше, чем $e \Pi$ , где — заряд электрона.

Если его энергия меньше $e \Pi$ , он не улетит, а вернётся обратно. Если же равна или больше — сможет выйти.

Чтобы заряд тела не уменьшался (то есть электроны не улетали), нужно, чтобы даже самые быстрые электроны (с максимальной кинетической энергией) не могли преодолеть потенциальный барьер.

Значит, должно выполняться:

$e \Pi \geq \frac{R}{N} \beta \nu - P$

В предельном случае (когда электроны едва-едва не улетают) — равенство:

$e \Pi = \frac{R}{N} \beta \nu - P$

Это уравнение, связывающее измеряемый потенциал $\Pi$ с частотой света $\nu$ .

Эйнштейн записывает это же уравнение в более привычных для химиков единицах: вместо заряда одного электрона он использует заряд грамм-эквивалента однозарядных ионов.

Это величина (заряд одного моля электронов), известная из электролиза (закон Фарадея).

Тогда уравнение переписывается как:

$E \Pi = R \beta \nu - P'$

где:

— заряд одного грамм-эквивалента (≈ 96 500 Кл/моль),
— теперь работа выхода, выраженная на моль (а не на один электрон), то есть .

Это позволяет сравнить теорию с экспериментами, в которых измеряются макроскопические потенциалы и частоты света.

Примечание (9): а что если электрон вырывают не из металла, а из нейтральной молекулы? Здесь Эйнштейн замечает:

Даже если фотоэффект происходит не в металле, а, скажем, в газе — когда свет вырывает электрон из нейтральной молекулы, то уравнение остаётся тем же, потому что всё равно нужно затратить некоторую энергию, чтобы отделить электрон.

В этом случае просто состоит из двух частей:

энергия ионизации молекулы,
дополнительная энергия (если молекула не на поверхности и т.п.).

Но форма уравнения не меняется, что подчёркивает универсальность гипотезы квантов.

Это уравнение позже подтвердил Милликен и именно за него Эйнштейн получил Нобелевскую премию, поскольку оно доказало: свет действительно состоит из квантов энергии.

Положим $E = 9,6 \cdot 10^3$ , тогда $\Pi \cdot 10^{-8}$ будет значением потенциала в вольтах, который тело принимает при облучении в вакууме. Чтобы увидеть, согласуется ли с опытом по порядку величины выведенное соотношение, мы положим , $\nu = 1,03 \cdot 10^{15}$ (что соответствует ультрафиолетовой границе солнечного спектра) и $\beta = 4,866 \cdot 10^{-11}$ . Тогда получаем $\Pi \cdot 10^{-8} = 4,3$ вольта, что по порядку величины согласуется с результатами Ленарда (10)

(10) P. Lenard. Ann. Phys., 1902, 8, 165 и 184, табл. 1, фиг. 2.

О расчете потенциала

Здесь Эйнштейн проверяет, правдоподобно ли его уравнение фотоэффекта — то есть согласуется ли оно не просто по форме, а по порядку величины с реальными экспериментальными данными (в данном случае — работами Филиппа Ленарда от 1902 года).

Из предыдущего абзаца у него есть соотношение:

$E \Pi = R \beta \nu - P'$

где:

— заряд грамм-эквивалента однозарядных ионов (≈ 96 500 Кл/моль),
$\Pi$ — запирающий потенциал (в вольтах), до которого заряжается тело при облучении,
$\nu$ — частота падающего света,
— газовая постоянная,
$\beta$ — постоянная из закона Вина (связана с постоянной Планка так: $\beta = h/k$ ),
— работа выхода на моль.

Если положить (то есть предположить, что работа выхода мала или энергия кванта намного больше неё), то:

$E \Pi = R \beta \nu \quad \Rightarrow \quad \Pi = \frac{R \beta \nu}{E}$

Это и есть максимально возможный потенциал, до которого может зарядиться тело при облучении светом частоты $\nu$ .

Какие числа он подставляет?

Частота: $\nu = 1{,}03 \cdot 10^{15}$ Гц — соответствует ультрафиолетовой границе солнечного спектра (длина волны примерно 290 нм).
Постоянная: $\beta = 4{,}866 \cdot 10^{-11}$ (в системе единиц, принятой в то время).
Работа выхода: положена равной нулю () — это даёт верхнюю оценку потенциала.

Подставляя эти значения в формулу, Эйнштейн получает:

$\Pi \approx 4{,}3$ вольта

Что значит «по порядку величины согласуется с опытами Ленарда»?

В экспериментах Ленарда (1902) измерялось, до какого потенциала заряжаются металлические пластины при облучении ультрафиолетом.

Полученные значения были в пределах нескольких вольт — например, 1–5 В, в зависимости от материала и условий.

Эйнштейн получил 4,3 В — не точное совпадение, но того же порядка (не 0,01 В и не 100 В).

Учитывая, что он пренебрег работой выхода (а она может быть значительной — 2–5 эВ для металлов), такое совпадение очень обнадёживает.

То есть: даже грубая оценка на основе квантовой гипотезы попадает в правильный диапазон (в отличие от волновой теории, которая вообще не могла объяснить появление какого-либо конечного потенциала, зависящего от частоты).

Это одно из первых количественных подтверждений квантовой природы света.

Если выведенная формула правильна, то $\Pi$ как функция частоты возбуждающего света, изображается в декартовых координатах в виде прямой, наклон которой не зависит от природы исследуемого вещества.

Насколько мне известно, наше представление о фотоэлектрических процессах не противоречит наблюдениям Ленарда. Если каждый квант возбуждающего света отдает свою энергию электронам независимо от всех прочих квантов, то распределение электронов по скоростям, т. е. свойство возникших катодных лучей, не должно зависеть от интенсивности возбуждающего света; с другой стороны, количество электронов, покидающих тело, при прочих равных условиях должно быть пропорционально интенсивности возбуждающего света (11).

(11) P. Lenard. Ann. Phys., 1902, 8, 150 и 166—168.

О предполагаемой области применимости упомянутых выше закономерностей можно было бы сделать такие же замечания, какие были высказаны по поводу предполагаемых отклонений от правила Стокса.

Об утверждениях выше

Эйнштейн описывает предсказания своей квантовой теории фотоэффекта и сопоставляет их с экспериментальными данными Ленарда.

И главное предсказание: линейная зависимость от частоты!

Из его формулы фотоэффекта:

$e\Pi = \frac{R}{N} \beta \nu - P$

следует, что запирающий потенциал $\Pi$ (или максимальная кинетическая энергия электронов) линейно зависит от частоты $\nu$ падающего света.

Важно: эта прямая имеет один и тот же наклон (угловую константу $\frac{R\beta}{Ne}$ ) для любого вещества. Разные материалы будут давать разные сдвиги вниз (из-за разной работы выхода (P)), но наклон прямой — универсален.

Это ключевое отличие от классической волновой теории, которая вообще не предсказывает зависимости энергии электронов от частоты.

Согласование с экспериментами Ленарда.

Эйнштейн отмечает:

«Моя модель не противоречит данным Ленарда»

Это важно, потому что Ленард уже установил два странных факта:

Энергия (скорость) вылетающих электронов не зависит от яркости (интенсивности) света. (Эйнштейн объясняет это тем, что каждый электрон получает энергию от одного кванта, а энергия кванта зависит только от частоты, а не от интенсивности).
Число вылетающих электронов пропорционально интенсивности света. (Эйнштейн объясняет это как: больше света = больше квантов = больше электронов, но каждый квант по-прежнему отдаёт ту же энергию).

Таким образом, распределение электронов по скоростям (т.е. их энергия) не меняется при изменении яркости, но общее число растёт — что и наблюдал Ленард.

В последнем предложении Эйнштейн говорит о границах применимости квантовой теории:

Мы не утверждаем, что эти законы верны всегда. Как и в случае с правилом Стокса, могут быть исключения, если:

свет не подчиняется закону Вина (например, при очень высоких температурах источника),
или один электрон получает энергию от нескольких квантов (при очень высокой интенсивности света). В таких случаях поведение может отклоняться от предсказанного.

Это показывает научную честность Эйнштейна: он чётко указывает, в каких условиях его гипотеза применима, и допускает, что при экстремальных условиях (например, с лазером, которого тогда не было) могут наблюдаться отклонения.

Выше мы предполагали, что энергия по крайней мере некоторой части квантов возбуждающего света полностью передается одному единственному для каждого кванта электрону. Отказываясь от этого напрашивающегося предположения, мы получаем вместо выведенного ранее уравнения следующее соотношение:

$\Pi E + P' \leq R \beta \nu$ .

Для катодной люминесценции, представляющей собой процесс, обратный рассмотренному, аналогичным образом получим

$\Pi E + P' \geq R \beta \nu$ .

Для веществ, исследованных Ленардом, произведение $\Pi E$ всегда было значительно больше $R \beta \nu$ , так что пороговое напряжение ускорения катодных лучей, необходимое для получения видимого света, достигало в одних случаях сотен, в других — тысяч вольт (12).

(12) P. Lenard. Ann. Phys., 1903, 12, 469.

Поэтому следует предполагать, что кинетическая энергия одного электрона расходовалась на рождение большого числа световых квантов.

О выведенных формулах и утверждениях

Эйнштейн ранее предположил, что при фотоэффекте один квант света (с энергией $\frac{R}{N}\beta\nu$ ) полностью отдаёт всю свою энергию одному электрону. Это привело к уравнению:

$e\Pi = \frac{R}{N}\beta\nu - P$

где:

$e\Pi$ — максимальная кинетическая энергия выбитого электрона,
— работа выхода.

Теперь Эйнштейн рассматривает противоположный процесс — катодную люминесценцию:

Электроны ускоряются и ударяются о вещество → возникает свет.

И он ставит под сомнение своё же предположение: а что, если энергия кванта не всегда вся переходит одному электрону? Или наоборот — один электрон может создать не один, а много квантов?

Отказ от постулата «один квант → один электрон»

Если квант света не передаёт всю энергию одному электрону, то электрон получит меньше энергии, чем $\frac{R}{N}\beta\nu$ .

Значит, максимальная энергия электрона не может превышать эту величину:

$e\Pi + P \leq \frac{R}{N}\beta\nu$

2.Обратный процесс: электрон → свет (катодная люминесценция)

Теперь представим обратное:

Электрон с кинетической энергией $e\Pi$ попадает в вещество.
Он теряет энергию, излучая световые кванты (люминесценция).
Если весь процесс обратим, то максимальная энергия одного излучённого кванта не может превышать энергию электрона + работу выхода (или то, что нужно для возбуждения):

$e\Pi + P' \geq \frac{R}{N}\beta\nu$

(Здесь — аналог работы выхода, но для процесса излучения.)

3.Что показывают опыты Ленарда?

Ленард бомбардировал катодные лучи (электроны) на вещество и измерял:

Напряжение ускорения электронов (сотни–тысячи вольт!),
Частоту (цвет) излучаемого света (обычно — видимый свет, низкочастотный).

Пример: Чтобы получить фиолетовый свет ( $\nu \sim 7{,}5 \cdot 10^{14}$ Гц), нужно ускорить электроны до тысяч вольт.

Но энергия одного кванта видимого света всего около 2–3 эВ (то есть ~2–3 вольта). А ускоряющее напряжение 1000 В и больше, преобразованное в энергию одного электрона в сотни раз больше, чем энергия одного кванта!

Вывод Эйнштейна таков: если один электрон несёт энергию, в сотни или тысячи раз превышающую энергию одного кванта света, то он не может излучить только один квант — он должен излучить много квантов сразу!

То есть кинетическая энергия одного электрона расходуется на рождение большого числа световых квантов.

Этот вывод показывает гибкость и универсальность квантовой гипотезы: она работает и для поглощения света, и для его испускания.

Краткий итог § 8

Основная цель §8 - объяснить фотоэлектрический эффект (выбивание электронов из твёрдого тела под действием света), используя гипотезу о квантах света.

Ключевые шаги:

1. Провал классической (волновой) теории

Согласно Максвеллу, энергия света непрерывно распределена по пространству.
Тогда при слабом свете электрону нужно время, чтобы «накопить» энергию для выбивания.
Но в опытах Ленарда показано:
- Электроны вылетают мгновенно, даже при очень слабом свете,
- Их максимальная энергия зависит только от частоты света, а не от его интенсивности.
Классическая теория не может этого объяснить.

2. Гипотеза Эйнштейна

Свет состоит из квантов энергии $\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu$ пропорциональной частоте $\nu$ .
Один квант полностью передаёт свою энергию одному электрону.

3. Уравнение фотоэффекта

Максимальная кинетическая энергия выбитого электрона:

$E_{\text{кин}} = \frac{R}{N} \beta \nu - P$

где:

$\frac{R}{N} \beta \nu$ — энергия кванта (пропорциональна частоте),
— работа выхода (энергия, нужная, чтобы вырваться из тела).

4. Связь с измеряемым потенциалом

Если тело заряжено до потенциала $\Pi$ , он удерживает электроны, если:

$e \Pi \geq E_{\text{кин}} = \frac{R}{N} \beta \nu - P$

В пределе:

$e \Pi = \frac{R}{N} \beta \nu - P$

Это означает, что график $\Pi(\nu)$ — прямая линия, причём наклон одинаков для всех материалов.

5. Проверка по порядку величины

Подставляя $\nu$ ультрафиолетовой границы солнечного спектра,
И пренебрегая ,
Эйнштейн получает $\Pi \approx 4{,}3$ В,
Что по порядку величины согласуется с экспериментами Ленарда.

6. Дальнейшие предсказания

Энергия электронов не зависит от интенсивности света (только от частоты).
Число электронов пропорционально интенсивности (больше квантов → больше выбитых электронов).
Нет порога интенсивности: даже один квант может вызвать фотоэффект — если его энергии хватает.

7. Обратный процесс — катодная люминесценция

При бомбардировке вещества электронами высокой энергии возникает свет.
Опыты Ленарда: для видимого света нужны сотни–тысячи вольт ускорения.
Значит, один электрон порождает много квантов света, потому что его энергия во много раз превышает энергию одного кванта.

Итог §8:

Фотоэффект можно объяснить, только если принять, что свет состоит из квантов энергии, пропорциональных частоте. Это противоречит волновой теории, но количественно и качественно согласуется с опытами — и предсказывает новые, проверяемые закономерности.

Эта логика легла в основу квантовой теории света и принесла Эйнштейну Нобелевскую премию в 1921 году.

§ 9. Об ионизации газов ультрафиолетовым светом

Мы будем предполагать, что при ионизации газа ультрафиолетовым светом каждый поглощенный квант вызывает ионизацию одной молекулы газа. Отсюда сразу следует, что энергия ионизации (т. е. энергия, теоретически необходимая для ионизации) молекулы не может быть больше, чем энергия поглощенного ионизирующего кванта. Обозначая через (теоретическую) энергию ионизации на грамм-эквивалент, мы должны, таким образом, иметь

$R \beta \nu \geq J$ .

По измерениям же Ленарда наибольшая ионизирующая длина волны для воздуха составляет около $1,9 \cdot 10^{-5}$ см; следовательно,

$R \beta \nu = 6,4 \cdot 10^{12} \ \text{эрг} \geq J$ .

Верхнюю границу для энергии ионизации можно определить также из измерений ионизационных потенциалов в разреженных газах. Согласно И. Штарку (13), наименьший измеренный потенциал ионизации (на платиновых анодах) для воздуха составляет около 10 вольт (14).

(13) J. Stark. Die Elektrizität in Gasen. Leipzig, 1902, S. 57.

(14) Внутри газа потенциал ионизации для отрицательных ионов по меньшей мере в пять раз выше.

О соотношениях выше:

Эйнштейн применяет свою гипотезу о квантах света к явлению фотоионизации газа: когда ультрафиолетовый свет вырывает электрон из молекулы газа, превращая её в ион.

1. Гипотеза: один квант → одна молекула

«Предположим, что каждый поглощённый квант ультрафиолетового света вызывает ионизацию ровно одной молекулы газа».

2. Следствие: ограничение на энергию ионизации

Чтобы ионизировать молекулу, нужно минимум столько энергии, сколько составляет работа ионизации .

Но квант несёт конечную энергию $\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu$ .

Значит, ионизация возможна, только если:

$\varepsilon \geq J \quad \Rightarrow \quad J \leq \frac{R}{N} \beta \nu$

Или, в пересчёте на моль (грамм-эквивалент):

$J \leq R \beta \nu$

3. Проверка по экспериментальным данным Ленарда

Ленард измерил наибольшую длину волны $\lambda$ , которая ещё способна ионизировать воздух: $\lambda \approx 1{,}9 \cdot 10^{-5}~\text{см} = 190~\text{нм}$ (это ультрафиолет).
Большая длина волны → меньшая частота → меньшая энергия кванта.
Значит, это — пороговая энергия: если квант имеет меньше энергии, ионизация не происходит.
Подставляя $\nu = c / \lambda$ в формулу, Эйнштейн получает: $R \beta \nu \approx 6{,}4 \cdot 10^{12}~\text{эрг}$ Это — верхняя граница энергии ионизации .

4. Независимая проверка: ионизационный потенциал

Из электрических измерений в разреженных газах известно: чтобы вырвать электрон из молекулы воздуха, нужно ускорить электрон до потенциала ≈10 вольт.
Энергия, соответствующая 10 В на один электрон: $e \cdot 10~\text{В} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-12}~\text{эрг}$
На моль (умножая на ): $J \approx 96,500~\text{Дж/моль} \approx 9{,}6 \cdot 10^{12}~\text{эрг}$
Это значение согласуется по порядку величины с оценкой из фотоионизации ( $6{,}4 \cdot 10^{12} эрг$ ).
Небольшое расхождение объясняется неточностями измерений и тем, что в газе могут быть примеси, разные молекулы и т.д.

Эйнштейн показывает, что одну и ту же энергию ионизации можно получить двумя независимыми способами:

Оптически — через пороговую длину волны и кванты света,
Электрически — через ионизационный потенциал.

И они согласуются, если принять, что свет состоит из квантов.

Если бы свет был непрерывной волной, то не существовало бы пороговой длины волны — достаточно было бы подождать, пока молекула «накопит» энергию. Но опыт показывает: ниже определённой частоты ионизация не происходит, сколь бы долго ни светили.

Таким образом, для получается верхняя граница $9,6 \cdot 10^{12}$ эрг, что почти равно найденному выше значению. Есть и другое следствие, проверка которого на опыте представляется мне чрезвычайно важной. Если ионизируется каждая молекула, поглотившая световой квант, то между количеством поглощенного света и числом ионизированных при этом грамм-молекул должно существовать соотношение

$j = \frac{L}{R \beta \nu}$ .

Если наше представление соответствует действительности, это соотношение должно выполняться для каждого газа, в котором не происходит заметного поглощения (для заданной частоты), не сопровождаемого ионизацией.

О найденном соотношении

Эйнштейн рассматривает фотоионизацию газа: ультрафиолетовый свет падает на газ, и каждый поглощённый квант может выбить электрон из одной молекулы, превратив её в ион.

Ранее он уже:

Оценил максимальную энергию ионизации через пороговую длину волны (из опытов Ленарда): $J \leq R\beta\nu \approx 6{,}4 \cdot 10^{12}$ эрг/грамм-эквивалент.
Сравнил это со значением, полученным из измерений ионизационного потенциала (~10 В), и нашёл хорошее совпадение.

Теперь он делает следующий логический шаг: если каждый поглощённый квант вызывает ионизацию ровно одной молекулы, то между:

Количеством поглощённого света (в эргах),
Числом ионизированных грамм-молекул ,

должна существовать чёткая количественная связь:

$L = j \cdot R\beta\nu$

Поскольку:

Один квант несёт энергию $\frac{R}{N}\beta\nu$ .
Чтобы ионизировать одну молекулу, нужно один квант, энергия на одну молекулу = $\frac{R}{N}\beta\nu$ .
Тогда на один моль (грамм-молекулу) нужно: $N \cdot \frac{R}{N}\beta\nu = R\beta\nu$ .
Значит, чтобы ионизировать молей, нужно энергии: $L = j \cdot R\beta\nu$ .

Важно, что это проверяемое предсказание:

Если гипотеза верна (один квант → одна молекула), то в чистом газе, где всё поглощение вызывает ионизацию (а не просто нагрев или другое поглощение), энергия поглощённого света должна быть строго пропорциональна числу ионов, с коэффициентом $R\beta\nu$ , зависящим только от частоты света.

Это приводит к возможности сделать прямой количественный тест квантовой гипотезы:

Волновая теория: поглощение энергии непрерывно, ионизация зависит от суммарной энергии и времени → нет фиксированного соотношения.
Квантовая теория: каждый квант «работает» независимо и вызывает один акт ионизации → фиксированное соотношение обязательно.

Уточнение: «где не происходит заметного поглощения без ионизации».

Эйнштейн понимает: если часть света поглощается без ионизации (например, переходит в тепло или возбуждение), то соотношение нарушится.

Поэтому он уточняет: предсказание верно только для тех газов и частот, где всё поглощение → ионизация. В таких условиях соотношение должно выполняться точно.

Этот параграф завершает цепь аргументов в пользу квантовой природы света — от энтропии и фотоэффекта до ионизации газов.

Краткий итог § 8

Проблема: классическая (волновая) теория света не может объяснить фотоэлектрический эффект:

Энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности света,
Но линейно растёт с частотой,
И электроны вылетают мгновенно, даже при слабом свете.

Гипотеза Эйнштейна: Свет состоит из квантов энергии $\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu$ пропорциональной частоте $\nu$ .

Предположим также, что вся энергия одного кванта передаётся одному электрону.

Уравнение фотоэффекта: Максимальная кинетическая энергия электрона:

$E_{\text{кин}} = \frac{R}{N} \beta \nu - P,$

где — работа выхода (энергия, нужная для покидания тела).

При измерении через запирающий потенциал $\Pi$ :

$e \Pi = \frac{R}{N} \beta \nu - P$ ,

график $\Pi(\nu)$ — прямая, наклон одинаков для всех веществ.

Согласование с опытом:

Оценка по ультрафиолетовой границе солнечного спектра даёт $\Pi \approx 4{,}3$ В — по порядку величины совпадает с данными Ленарда.
Объясняется, почему интенсивность влияет только на число электронов, а не на их энергию.
Нет порога интенсивности: даже один квант может вызвать фотоэффект, если $\nu$ достаточно велика.

Обратный процесс — катодная люминесценция:

Электроны с энергией в тысячи эВ создают видимый свет (~2–3 эВ).
Следовательно, один электрон рождает много квантов света — что тоже согласуется с квантовой гипотезой.

Главный вывод §8:

Фотоэлектрический эффект можно объяснить только если признать квантовую природу света. Это — прямое свидетельство, что энергия света не непрерывна, а дискретна.

Этот вывод стал основой для Нобелевской премии Эйнштейна и привел к рождению квантовой физики.

Еще раз о ходе размышлений Эйнштейна в этой статье:

Давайте ещё раз последовательно пройдём по логике рассуждений Альберта Эйнштейна в статье «Об эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» (1905), по параграфам и ключевым идеям.

Общая цель статьи

Показать, что многие оптические и тепловые явления, связанные со светом, нельзя корректно объяснить в рамках классической (волновой) теории, но они естественно и количественно согласуются с опытом, если предположить, что свет состоит из дискретных квантов энергии, пропорциональных частоте:

$\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu \quad$ (позже: $\varepsilon = h\nu$ ).

Это — эвристическая гипотеза (не строгое доказательство, но мощный аргумент), которая объединяет термодинамику, статистику и оптику.

§1–§3: Контраст между материей и полем

В классической физике:
- Материя (газы, твёрдые тела) описывается дискретно: через положения и скорости атомов/электронов.
- Свет и электромагнитное поле описываются непрерывно, через непрерывные функции в пространстве (по Максвеллу).
По Максвеллу, энергия света распределена непрерывно и размазывается по всё большему объёму — в отличие от энергии вещества, которая локализована.
Проблема: в явлениях излучения и поглощения (особенно при высоких частотах) эта картина не работает.
Вывод: возможно, свет не так уж непрерывен, как кажется.

§4: Энтропия света и закон Вина

Эйнштейн рассматривает монохроматическое излучение малой плотности (где применим закон излучения Вина).
Он вычисляет, как энтропия этого излучения зависит от объёма : $S - S_0 = -\frac{E}{\beta \nu} \ln \frac{V_0}{V}$
Это выражение математически идентично зависимости энтропии идеального газа или разбавленного раствора от объёма.

Важно: если бы свет был непрерывной волной, такого поведения энтропии не было бы.

§5: Принцип Больцмана и статистическая вероятность

Эйнштейн формулирует принцип Больцмана: $S - S_0 = \frac{R}{N} \ln W$ где — статистическая вероятность состояния (число микросостояний).
Для газа: если все частиц внезапно оказываются в объёме , то $W = \left( \frac{v}{V_0} \right)^n, \quad S - S_0 = -\frac{nR}{N} \ln \frac{V_0}{v}$
Это то же самое, что получено в §4 для света — с точностью до обозначений.

Вывод: свет ведёт себя термодинамически как газ из частиц!

§6: Квантовая интерпретация света

Сравнивая формулы из §4 и §5, Эйнштейн устанавливает:
- Энергия одного «кванта» света: $\varepsilon = \frac{R}{N} \beta \nu$
- Число квантов в излучении энергии : $n = \frac{N E}{R \beta \nu}$
Вероятность того, что вся энергия света окажется в части объёма , равна:

$W = \left( \frac{v}{V_0} \right)^{NE/(R\beta\nu)}$
Это возможно только если свет состоит из независимых квантов.

Гипотеза: «Монохроматическое излучение малой плотности ведёт себя как дискретная среда из квантов энергии».

§7: Правило Стокса и фотолюминесценция

Эйнштейн применяет квантовую гипотезу к фотолюминесценции: поглощение света одной частоты и излучение другой частоты.
Каждый поглощённый квант ( $h\nu_1$ ) может вызвать излучение одного или нескольких квантов ( $h\nu_2, h\nu_3$ , ...) + тепло.
По закону сохранения энергии: $h\nu_2 \leq h\nu_1 \quad \Rightarrow \quad \nu_2 \leq \nu_1$ — это и есть правило Стокса.
При слабом свете:
- Интенсивность люминесценции ∝ интенсивности возбуждающего света,
- Нет порога: даже один квант может вызвать свечение (если $\nu_1$ достаточно велика).
Исключения возможны, если:
- участвуют много квантов сразу (многофотонные процессы),
- свет не «тепловой» (не подчиняется закону Вина).

§8: Фотоэлектрический эффект

Классическая теория не объясняет:
- мгновенное вылетание электронов,
- зависимость их энергии от частоты, а не от интенсивности.
Квантовая модель:
- Один квант → один электрон.
- Энергия электрона: $E_{\text{кин}} = h\nu - P$ где — работа выхода.
Через запирающий потенциал $\Pi$ : $e\Pi = h\nu - P$ → график $\Pi(\nu)$ — прямая, наклон одинаков для всех материалов.
Подстановка ультрафиолетовой границы солнечного спектра даёт $\Pi \approx 4{,}3$ В — по порядку величины совпадает с Ленардом.
Обратный процесс — катодная люминесценция:
- Электроны с энергией в тысячи эВ создают видимый свет (~2–3 эВ),
- Значит, один электрон → много квантов света.

Это и стало подтверждением квантовой гипотезы через объяснение фотоэффекта.

§9: Фотоионизация газов

Квант света в ультрафиолетовом спектре → ионизация одной молекулы газа.
Энергия ионизации не может превышать энергию кванта: $J \leq R\beta\nu$
По пороговой длине волны ( $\lambda \approx 190 нм$ ) получаем: $J \leq 6{,}4 \cdot 10^{12}~\text{эрг/моль}$
Из ионизационного потенциала (~10 В) получаем: $J \approx 9{,}6 \cdot 10^{12}~\text{эрг/моль}$
Совпадение по порядку величины — ещё одно подтверждение.
Количественное предсказание: $L = j \cdot R\beta\nu$ где — поглощённая энергия, — число ионизированных молей.
Это соотношение позволяет провести тест на подтверждение или опровержение теории: если свет — кванты, оно обязано выполняться.

Общий вывод всей статьи

Классическая волновая теория света не в состоянии объяснить термодинамические и квантовые явления, связанные с излучением, поглощением и превращением света.
Однако если предположить, что свет состоит из квантов энергии, пропорциональных частоте, то:

фотоэффект,
люминесценция,
фотоионизация,
зависимость энтропии от объёма — все они естественно, последовательно и количественно объясняются.

Следовательно, энергия света не непрерывна, а дискретна.

Историческое значение статьи

Эта статья:

Ввела понятие светового кванта (позже — фотона),
Объяснила фотоэффект (за что Эйнштейн получил Нобелевскую премию 1921 г.),
Заложила основы квантовой физики,
Стала первым шагом к корпускулярно-волновому дуализму.

Берн, 17 марта 1905 г.

Поступила 18 марта 1905 г.

Другие статьи "чудесного года" Эйнштейна с комментариями @avshkol:

О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты, 11 мая 1905 г.

Зависит ли инерция тела от содержащейся в нём энергии? от 27 сентября 1905 г.

Комментарии (1)

abcdsash
02.01.2026 05:27
#29330316
Люблю такие посты )))) Даже не знаю, почему ))))

У меня брат младший подвержен всяким теориям заговора, может поэтому ) тут хоть математика есть )

Подробный разбор статьи Эйнштейна «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света» +18

ОБ ОДНОЙ ЭВРИСТИЧЕСКОЙ ТОЧКЕ ЗРЕНИЯ, КАСАЮЩЕЙСЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ СВЕТА

§ 1. Об одной трудности в теории «излучения черного тела»

§ 2. О планковском определении элементарных квантов

И вот здесь появляется атом водорода!

§ 3. Об энтропии излучения

Основные шаги:

§ 4. Предельный закон для энтропии монохроматического излучения при малой плотности излучения

§ 5. Исследование зависимости энтропии газов и разбавленных растворов от объема в молекулярной теории

Как связать это с энтропией? Используется принцип Больцмана (в той форме, которую Эйнштейн обосновал ранее):

§ 6. Интерпретация выражения для зависимости энтропии монохроматического излучения от объема, полученной на основе принципа Больцмана

§ 7. О правиле Стокса

§ 8. О возбуждении катодных лучей при освещении твердых тел

1. Провал классической (волновой) теории

2. Гипотеза Эйнштейна

3. Уравнение фотоэффекта

4. Связь с измеряемым потенциалом

5. Проверка по порядку величины

6. Дальнейшие предсказания

7. Обратный процесс — катодная люминесценция

§ 9. Об ионизации газов ультрафиолетовым светом

1. Гипотеза: один квант → одна молекула

2. Следствие: ограничение на энергию ионизации

3. Проверка по экспериментальным данным Ленарда

4. Независимая проверка: ионизационный потенциал

Общая цель статьи

§1–§3: Контраст между материей и полем

§4: Энтропия света и закон Вина

§5: Принцип Больцмана и статистическая вероятность

§6: Квантовая интерпретация света

§7: Правило Стокса и фотолюминесценция

§8: Фотоэлектрический эффект

§9: Фотоионизация газов

Общий вывод всей статьи

Историческое значение статьи

Комментарии (1)

abcdsash