Продолжим наш цикл статей по задаче внешней баллистики исследованием лобового сопротивления воздуха[11,12,13,14]. Предложенная задача является очень непростой , но важной с практической точки зрения, поскольку точный расчёт траекторий снарядов без учёта сопротивления воздуха невозможен. Работа очень актуальна, особенно в военное время

для артиллеристов, миномётчиков, расчётов САУ и ПВО.

В этой статье мы разберём несколько вариантов зависимости силы лобового сопротивления воздуха от скорости летящего тела, а также поймём, какой вариант является наиболее практически применимым при расчётах траекторий спутников, артиллерийских снарядов, баллистических ракет.

Первый случай: При небольших скоростях (0-40 м/с) и тяжёлых снарядах сопротивлением воздуха можно пренебречь: Fc=0. Такой вариант, конечно, сильно облегчает все расчёты, но при больших скоростях расхождение получается чудовищным: в 4-5 раза больше, чем в реальности. Поэтому этот вариант отпадает и применим только в школьных задачах по механике, а все расчёты для него были сделаны ещё до нашей эры.

Второй случай: Закон сопротивления Стокса. В 1851 году английский математик Джордж Стокс получил для закона сопротивления выражение

Где μ - динамическая вязкость, r- радиус объекта, v- скорость.

То есть для небольших тел каплевидной формы сопротивление воздуха можно считать прямо пропорциональным скорости. В этом случае уравнения движения хорошо интегрируются аналитически.[9]

Третий случай: В 17 веке Исааком Ньютоном была предложена формула для сопротивления воздуха:

Где c- некоторый постоянный коэффициент формы, ρ - плотность воздуха, S- эффективная площадь снаряда.

То есть сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Этот случай применим для тел дозвуковой скорости(0-250 м/с), а уравнения движения были проинтегрированы Леонардом Эйлером в 18 веке.[8]

Четвёртый случай: В общем случае коэффициент лобового сопротивления сам зависит от скорости c(v), для определения этой зависимости для конкретного снаряда производят стрельбу под нулевым углом возвышения, измеряют скорости v1 и v2 на расстоянии L друг от друга и находят vср=0,5(v1+v2). Затем определяют c(vср) по формуле:

Проводя стрельбы при различных скоростях, получают зависимость c(v), затем аппроксимируют её различными функциями, чтобы было как можно точнее.[7]

Пятый случай: В конце 19 века Маевским и Забудским на основании опытных данных был предложен следующий закон сопротивления:

В таком случае уравнения движения можно интегрировать аналитически. Так как такую зависимость невозможно сделать на всём диапазоне скоростей, Маевский и Забудский разбили его на несколько участков:

Таблица 1. закон Маевского-Забудского. Участки скоростей.

Коэффициент k на каждом участке подбирался так, чтобы Fc(v) не имела разрывов. Недостатком закона Маевского-Забудского является наличие угловых точек на графике, а также этот закон сопротивления относится к снарядам старой формы. По этой причине сейчас от не применяется.[7]

Шестой случай: Отто Сиаччи объединил результаты опытов со снарядами старой формы и вывел

следующую эмпирическую формулу для аппроксимации силы сопротивления воздуха:

Предложенная формула не имеет угловых точек, но она крайне громоздка. При маленьких скоростях закон Сиаччи близок к квадратичному, а при больших- к линейному.[2]

Седьмой случай: в 1930 году Гарнье и Дюпюи был предложен новый закон сопротивления. Он выглядел так:

где a и b некоторые постоянные, зависящие от формы снаряда.

Если v<v звука, то

Если же v>v звука, то

При v=v звука(341 м/с) получается угловая точка на графиках c(v) и Fc(v).

Закон 1930 года Гарнье-Дюпюи действовал до 1943 года.[7]

Восьмой случай: В самый разгар Великой Отечественной войны, в 1943 году был предложен новый закон сопротивления воздуха. Функции были выбраны так, чтобы коэффициент формы у снарядов был близок к единице.

Для скоростей v, меньших 256 м/с или больших 1410 м/с

Для промежуточных значений скорости пересчёт идёт с закона Сиаччи со средним коэффициентом 0,896.[7] Полная таблица закона 1943 года есть в источнике [5].

Также были предложены различные аппроксимации закона 1943 года при помощи квадратных и кубических многочленов. [10]

Закон 1943 года используют и по сей день при изготовлении снарядов и пуль.

Девятый случай: В 1958 году был предложен новый закон сопротивления для оперённых снарядов и пуль.

Таким образом, в данной статье представлены различные варианты аппроксимации законов сопротивления воздуха, определены математические модели и теории, выдвигаемые разными учёными на протяжении нескольких столетий.

Зависимость лобового сопротивления очень важна при расчётах движения объектов в воздушной среде.

Литература:

1. Окунев Б. Н. «Решение основной задачи внешней баллистики при квадратичном законе сопротивления воздуха» (1932).

2. Окунев Б. Н. «Основная задача внешней баллистики и аналитические методы её решения» (1934).

3. Дмитриевский А. А., Лысенко Л. Н. «Внешняя баллистика» (2005).

4. Лысенко А. Н. «Внешняя баллистика» (2024).

5. Шапиро Я. М. «Внешняя баллистика» (1946).

6. Беляева С. Д. «Внешняя баллистика с примерами и задачами» (2023).

7. https://docviewer.yandex.ru/view/1034483224/?*=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%3D%3D&lang=ru

8. Мандрыка А. П. «Баллистические исследования Леонарда Эйлера» (2017) 

9. https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion#Time_of_flight_with_air_resistance

10. https://cyberleninka.ru/article/n/approksimatsiya-zakona-soprotivleniya-vozduha-1943-g/viewer

11. https://habr.com/p/1016454/

12. https://habr.com/p/1019390/

13. https://habr.com/p/1020176/

14. https://habr.com/p/1027282/