Задача по механике.

Рассмотрим следующую интересную задачу по теоретической механике (из сборника Мещёрского, страница 231, задача 31.22), сформулированную своими словами.

Задача:Тело массы m находится на вершине гладкой полусферы радиуса R в поле тяжести Земли g. Ему сообщают некоторую начальную горизонтальную скорость v0. Требуется определить угол φ при котором тело оторвётся от поверхности сферы(угол отрыва).

Размерами и формой тела пренебречь.

Решение: сделаем рисунок, поясняющий условие данной задачи.

  Предложу несколько решений данной задачи:

1. Школьное(эта задача уровня ЕГЭ по физике):Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленной к центру O полусферы:

, где

 центростремительное ускорение,v- касательная скорость тела, N-сила реакции опоры(в момент отрыва N=0).Учитывая это и сократив на m, получим

Теперь запишем закон сохранения энергии( ЗСЭ):

или

Подставив первое соотношение, получим:

откуда

 . При

 тело оторвётся сразу(то есть φ=0).

2. Не школьное: Пусть в этой задаче нельзя сразу записать закон сохранения энергии, тогда его необходимо вывести. Так как пройденный путь s=φR, то

 или

.Теперь запишем второй закон ньютона в проекции на касательную(тангенциальную ось:

Поделив данное уравнение на первое уравнение и разделив переменные, получим  

 . Проинтегрировав, и подставив начальное условие, имеем:

. Дальнейшее решение описано.

3. Обобщение. Пусть в этой задаче не полусфера, а произвольная выпуклая вниз поверхность y(x)(то есть y”(x)<0).

Выберем прямоугольную декартову систему координат X0Yтак, чтобы вершина находилась в точке (0,H), тогда y(0)=H, y’(0)=0(

Так как это точка максимума y(x)). Пусть тело оторвётся в точке (x,y), тогда N=0 и второй закон Ньютона в проекции на центростремительную ось запишется как

Где R- радиус кривизны траектории в точке (x,y), φ угол между осью 0Y и aц.

Перепишем это равенство в виде

, где h- расстояние между мгновенным центром вращения O’(xO’,yO’) и проекцией положения тела на ось , параллельную 0Y, h=y-yO’.

. С другой стороны, из закона сохранения энергии,

откуда

Решая задачу Коши(y(0)=H, y’(0)=0) для полученного дифференциального уравнения при помощи Wolfram Alpha, получим

 то есть координаты точки отрыва находятся как другая точка(кроме вершины) пересечения кривой y(x) и параболы

. Если же такой точки нет или y(x) является этой параболой, то тело соскользнёт сразу же, на вершине. Задача решена.

4.1Другое обобщение: Добавим в исходную задачу с полусферой

силу трения скольжения, прямо пропорциональную силе реакции опоры N: Fтр=μN, где μ коэффициент трения. Сделаем рисунок:

Запишем второй закон Ньютона в проекции на центростремительную и касательную оси соответственно:

 Выражая из первого уравнения N и подставив во второе, приходим к уравнению:

. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно

.Решая его методом Бернулли(или с помощью Wolfram Alpha), а также учитывая начальные условия(v(0)=v0), получим:

В момент отрыва N=0, значит

Подставив в первое, получим уравнение:

, решая которое относительно φ,

находим его(ограничение 0<φ<90º). Если у уравнения нет других решений кроме φ=0, то тело соскользнёт сразу же. Задача решена.

4.2 Замечание к этому обобщению. Самое интересное в этой задаче то, что даже если кроме силы трения мы добавим ещё и сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости

, то решение не усложнится:мы придём к дифференциальному уравнению  

, которое решается абсолютно также.

                                                Список литературы:

1.Мещёрский И. В. Сборник задач по теоретической механике,1980 г

2.Е. А. Батяев Теоретическая механика

3. А. А. Яблонский Курс теоретической механики

4. С. М. Тарг Краткий курс теоретической механики