В двухмерном пространстве два одномерных отрезка имеют общую точку, взаимное расположение таких отрезков определяется обычным углом. На видео показан поворот одного отрезка вокруг общей точки, при этом угол меняется от 0 до 360 градусов.
В трёхмерном пространстве два двухмерных многоугольника имеют общее ребро, взаимное расположение таких многоугольников определяется двугранным углом, т.е. углом между двумерными гранями. На видео показан поворот одной грани вокруг общего ребра, при этом двугранный угол меняется от 0 до 360 градусов.
В четырёхмерном пространстве два трёхмерных многогранника имеют общую двумерную грань, взаимное расположение таких многогранников определяется трёхгранным углом, т.е. углом между трёхмерными гранями. На видео показан поворот одного трёхмерного многогранника вокруг общей двумерной грани, при этом трёхгранный угол меняется от 0 до 360 градусов.
И т.д. в N мерном пространстве N-1 мерные многогранники могут иметь общую N-2 мерную грань, тогда взаимное расположение N-1 мерных многогранников определяется углом от 0 до 360 градусов.
Под трёхгранным углом я понимаю не то, что написано в википедии, а именно приставка «трёх» означает трёхмерные грани, между которыми измеряется угол в четырёхмерном пространстве. Первые два ролика — это наш эмпирический опыт, всем очевидны эти повороты, основное внимание прошу сосредоточить на третьем ролике, где сделана попытка показать повороты трёхмерных многогранников вокруг плоскости в четырёхмерном пространстве, плоскость представлена треугольником, общей двумерной гранью.
Так же как в трёхмерии, две плоскости пересекаются по прямой и в ней образуют двугранный угол, — в четырёхмерии два трёхмерных пространства пересекаются по плоскости и в ней образуют трёхгранный угол. Аналогично эти трёхмерные пространства могут поворачиваться вокруг плоскости, при этом угол между этими пространствами будет меняться от 0 до 360 градусов, как и постарался продемонстрировать на 3 ролике. На ролике эти 3 мерные пространства представлены 3 мерными многогранниками.
Эти углы между гранями правильных многогранников во всех конечномерных пространствах я и покажу как находить. В этой статье постарался дать образное понимание того, что мы измеряем и вычисляем.
Что тут не понятно? Спрашивайте.
Правильные многогранники. Часть 1. Трёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие
Правильные многогранники. Часть 2.5 (вспомогательная)
Комментарии (9)
raven
10.03.2016 20:37А что за инструмент вы используете на видео?
anegrey
10.03.2016 21:05Вы не первый, кто задаёт этот вопрос. Я во второй части икосаэдр описанный сферой рисовал, это было сложнее, тем не менее знание углов икосаэдра и наличие такого хорошего инструмента позволяет делать очень многое. Инструмент называется GeoGebra можно взять тут http://www.geogebra.org/
Там и анимацию делать можно и вообще большие возможности, для геометра просто необходимая программа, радует, что бесплатная и кроссплатформенная :) Интуитивно понятный интерфейс и при некоторой усидчивости можно сделать очень многое.
anegrey
10.03.2016 21:10Само видео записано бесплатным приложением под операционной системой ubuntu, приложение gtk-recordmydesktop
Moonrise
Как можно образовать угол на прямой (ну, отличный от развёрнутого)? Наверное Вы всё-таки имеете в виду, что плоскости пересекаются по прямой, а угол считается в плоскости, ортогональной этой прямой. Точно также две N–1-мерные грани пересекаются по N–2-мерному пространству, а угол считается в ортогональной этому пересечению плоскости.
anegrey
Да, всё верно, спасибо за уточнение. То, что в 3-мерии угол измеряется в плоскости ортогональной прямой пересечения подразумевается по-умолчанию, когда считаю углы правильных многогранников как раз провожу такую плоскость и делаю вычисления. А вот в размерностях выше пересечение происходит не по прямой и надо уже поразмыслить о какой ортогональности идёт речь. Например 4-мерии пересечение 3-мерных пространств происходит по плоскости, нужно провести два луча, каждый ортогонально плоскости пересечения, чтобы один луч находился в одном 3-мерном пространстве, а второй во втором. Если оба луча провести из одной точки, то угол между этими лучами будет равен углу между пересекаемыми 3-мерными пространствами.
Moonrise
Мне проще рассуждать так: две 3-мерных грани пересекаются по плоскости T. Есть ортогональная ей плоскость N в 4-мерном пространстве. Теперь, так как по две размерности граней лежат в T, пересечение каждой из них с N есть прямая. Тогда угол между этими гранями есть обычный плоский угол между прямыми в плоскости N. Эта схема обобщается на любую размерность: пересечение (N–1)-мерной грани с нормальной плоскостью это прямая, считаем плоский угол между прямыми.
anegrey
Да, тоже хороший взгляд, если поразмыслить. Всегда полезно смотреть на вещи с разных сторон.