В первой статье синус оказался не просто функцией из учебника, а тенью крутящейся стрелки. Там я показал три главные двери: заморозить стрелку — проекция, пустить во времени — колебание, сложить несколько — волны. Здесь дверей будет больше — к трём главным добавятся поворот и кривизна, плюс бонус.

Эта статья — каталог. Сорок два примера по пяти дверям и бонусу, и каждый со своим живым графиком: ниже не одна обложка на дверь, а отдельная карточка на каждый случай. Три из них — Доплер, ряд Фурье и гласные — со звуком: жмите «слушать» и услышите синус ушами.

И раз это каталог, он не может не затронуть явления, о которых шла речь в первой статье. Чтобы это не было повтором, там, где уместно, визуализация эффекта изменена — тот же закон, показанный с другой стороны.

Читать подряд не обязательно — это карта, а не маршрут. Идите туда, где интересно; остальное подождёт в закладках.

Сразу честная оговорка: 42 — это не «столько синусов в мире», а столько, сколько набралось у нас, с понятным перекосом в физику и инженерию. Синус не «применяется в N законах», как гвоздь в N досках — он следствие одной структуры: всё, что вращается, колеблется или имеет волновую симметрию, автоматически его порождает. А таких систем не конечное число, их класс. Так что ниже — не перепись, а полевой определитель: яркие представители бесконечного семейства. В конце я отдельно перечислю, чего тут нет.

Если не читали первую — короткая выжимка: за каждым синусом стоит e^(iωt) = cos ωt + i·sin ωt, точка на единичной окружности. cos и sin — две её тени на оси. Всё ниже — это та же стрелка в разных режимах.

Дверь 1. Проекция

Замороженная стрелка под углом θ к оси: доля вдоль — cos θ, доля поперёк — sin θ, и cos² + sin² = 1. Вопрос всей двери — «сколько попало в нужную сторону, сколько рассеялось вбок». Одиннадцать кейсов.

Разложение вектора. Атом двери: любой вектор распадается на cos θ вдоль оси и sin θ поперёк.

Сложение векторов. Лодка гребёт поперёк реки, течение сносит вдоль — результат складывается из двух перпендикулярных долей.

Наклонная плоскость. Сила тяжести делится по склону: вдоль ската тянет sin θ, в поверхность давит cos θ. Круче склон — быстрее скатывание.

Работа силы. Работает только доля силы вдоль перемещения — её берёт cos θ. Перпендикулярная часть не двигает и не работает совсем.

Момент силы. Крутит только поперечная доля — sin θ. То, что вдоль рычага, не поворачивает ничего; поэтому ключ жмут перпендикулярно.

Скалярное и векторное произведение. Те же две доли в ранге операций: скалярное меряет совпадение векторов (cos), векторное — разворот (sin).

Теорема косинусов. Длина третьей стороны зависит от угла через cos C. При 90° косинус обнуляется — остаётся теорема Пифагора. [ГИФ cat-01-07-lawcos]

Мощность в цепи переменного тока. Перемножь напряжение и ток во времени — p = u·i. Среднее этого произведения и есть полезная мощность cos φ; а где p ныряет вниз, энергия течёт обратно в сеть — это и есть реактив. За плохой косинус предприятия платят штрафы.

Закон Малюса. Через второй поляроид свет проходит долей cos θ, интенсивность — cos² θ. Так работает каждый пиксель ЖК-экрана.

Закон Снеллиуса. На границе сред сохраняется касательная доля волнового вектора — sin угла к нормали. Поэтому луч преломляется.

Угол Брюстера. Под этим углом отражённый свет полностью поляризован — потому поляризационные очки срезают блики с воды и дороги.

Обратите внимание на пару Малюс/Снеллиус: обе — проекция при угле, но Малюс проецирует амплитуду поля (и даёт cos²), а Снеллиус — волновой вектор на границу сред (и даёт сохраняющийся sin). Принцип один, роли разные.

Дверь 2. Вращение и колебание

Отпускаем стрелку: угол становится временем, φ = ωt. Тень крутящейся точки — универсальная форма колебания. Одиннадцать кейсов.

Движение по кругу. Та же точка, что бежит по кругу, роняет две тени: на пол — cos, на стену — sin. Потому они и сдвинуты ровно на четверть оборота — это один кружок, снятый с двух сторон. А если протянуть этот круг ещё и по оси времени, он развернётся в спираль-винт — но этот сюжет приберёг для финала серии.

Центростремительное ускорение. Скорость по модулю постоянна, но её вектор всё время поворачивается — значит ускорение есть, и направлено к центру. Сам модуль a = v²/R синуса не прячет — а вот тень крутящегося вектора на ось качается как −ω²R·sin ωt. Проекция вращения и есть колебание: тот же синус, что в соседней двери.

Гармонический осциллятор. Пружина, груз, качание — смещение ходит по косинусу времени. Это развёрнутый во времени оборот по кругу.

Маятник. Возвращает доля силы тяжести ∝ sin θ; при малом угле sin θ ≈ θ, и качание становится чистой синусоидой.

Затухающие колебания. Реальный звон не вечен: синус сидит под убывающей экспонентой e^(−γt). Так гаснет струна и колокол.

Резонанс. Толкай систему на её собственной частоте — амплитуда взлетает. Качели, мост, бокал от голоса, настройка радио на станцию.

Переменный ток. Ток в розетке — синус времени. Он такой не случайно: его рождает вращение, и форма волны наследует круг.

ЭДС генератора. Катушка крутится в магнитном поле — наведённое напряжение идёт синусом. Вот прямая причина, почему ток вообще синусоидальный.

Комплексный импеданс. Ток и напряжение — вращающиеся стрелки со сдвигом фазы. Катушка заставляет ток отставать, конденсатор — опережать.

Бегущая волна. Синус сразу по пространству и по времени — горб, бегущий вперёд. Свет, звук, рябь на воде.

Формула Эйлера. Корень всей системы: стрелка на единичной окружности в комплексной плоскости, её тени — cos и sin.

Маятник тут стоит особняком: возвращающая сила ∝ sin θ, но при малом угле sin θ ≈ θ, и синус «съедается» приближением — в итоговой формуле его уже не видно, хотя в основе он есть. Тот же фокус позже превратит сферу и гиперболоид в плоский Евклид.

Дверь 3. Суперпозиция

Стрелок несколько, и они складываются: в фазе — усиление, в противофазе — гашение. Дверь работает в обе стороны — волны можно как складывать, так и разбирать обратно на синусы. Двенадцать кейсов.

Принцип суперпозиции. Волны в одной точке просто складываются: горб на горб — усиление, горб на впадину — тишина. Корень всей двери.

Биения. Две близкие частоты дают медленную пульсацию громкости. Слышно при настройке гитары: чем ближе струны, тем реже «уханье».

Стоячая волна. Встречные волны дают узлы и пучности, стоящие на месте. Струна гитары, столб воздуха в трубе.

Условие интерференции. Всё решает разность хода: целое число длин волн — приходят в фазе, ярко; полуцелое — гасятся, темно.

Дифракция на двух щелях. Угол θ — куда смотрите на экране. Нижняя щель дальше, её волна идёт лишний путь d·sin θ (d — расстояние между двумя щелями). Цвет вспыхивает, если в этот путь влезает ровно одна его волна: d·sin θ = mλ. Малый угол → путь короткий → влезает короткая волна (фиолетовый); больше угол → длиннее путь → длинная (красный). Угол сортирует цвета, белый свет расходится в спектр — так и переливается радугой CD. Вот где живёт синус — в длине лишнего пути.

Закон Брэгга. То же для атомных плоскостей кристалла: по углам отражения рентгена читают расстояния между атомами. Этим синусом прочли структуру ДНК.

Эффект Доплера. Не кольца в пространстве, а то, что слышит ухо: пока скорая мчит к вам, тон держится выше, в момент «мимо» резко падает, а вслед — ниже. Та самая сирена — нажмите «услышать проезд», и тон поедет по этой кривой. (Строго говоря — не сложение, а гость двери.)

Круговая поляризация. Два перпендикулярных синуса со сдвигом фазы: при δ = 90° кончик поля чертит круг. На этом стоят 3D-очки и оптическая связь.

Групповая и фазовая скорость. Пакет волн: огибающая и несущая под ней бегут с разной скоростью. Иногда рябь внутри обгоняет сам пакет.

Квантовая амплитуда. Волна частицы комплексная: её Re и Im — два синуса в квадратуре, а квадрат модуля даёт вероятность. Прямое продолжение Эйлера.

Ряд Фурье. Любой сигнал — сумма чистых синусов. Здесь каждая гармоника — крутящееся колесо, а их цепочка-перо чертит прямоугольник; чем больше колёс, тем острее угол. И это буквально звук: нажмите «слушать» — одно колесо даёт чистый тон, добавите — тембр жужжит, как у зуммера. MP3, JPEG, Shazam — и венец двери.

Гласные «о», «ы», «э». В манифесте звучали а, и, у — здесь другая тройка. Нота одна, а букву различает только набор громких синусов — форманты. Нажмите «слушать»: ту же ноту голос поёт тремя разными гласными, меняя лишь, какие синусы громче. Тот же ряд Фурье, но для голоса.

Дифракция и Брэгг формально стоят здесь, но их sin θ родом из первой двери: это проекция геометрии в разность хода, которая уже потом решает, сложатся волны или погасят. Проекция кормит суперпозицию — двери открываются одна в другую.

Дверь 4. Поворот как операция

Здесь синус — ни доля, ни волна, а инструмент: он берёт объект и поворачивает. Три кейса.

Матрица поворота. Матрица из синусов и косинусов [cos θ, −sin θ; sin θ, cos θ] поворачивает любую точку на угол θ. Каждый кадр в играх и графике.

Комплексное умножение. Умножить число на e^(iθ) — значит повернуть его вокруг нуля на θ. Комплексные числа буквально и есть повороты плоскости.

Кватернионы. Поворот на угол θ кодируется через половину угла: q = cos(θ/2) + sin(θ/2)·n. Отсюда странность: покрутите куб на 360° — он визуально дома, но кватернион стал −1 (перевёрнут); вернётся только на 720°. Это спинор, «трюк с поясом», двойное накрытие SU(2)→SO(3). На этих полууглах держатся дроны, стабилизация камер и 3D-анимация без заклинивания осей.

Заклинивание осей — не страшилка из учебника: гироплатформа «Аполлонов» висела на трёх карданных рамках, и Майкл Коллинз просил Хьюстон прислать ему «четвёртую рамку на Рождество». Кватернионы решили это алгеброй — четыре числа вместо четвёртой рамки.

Дверь 5. Кривизна

И последнее — что будет, если согнуть само пространство. Геометрий постоянной кривизны ровно три, различает их знак: сфера (+), плоскость Евклида (0), плоскость Лобачевского (−). Углы везде меряет обычный круговой синус, а стороны — по-разному. Три кейса.

Сферическая теорема синусов. Положительная кривизна: стороны треугольника выгнуты, сумма углов больше 180°. На этой геометрии стоит навигация по глобусу.

Угол параллельности (Лобачевский). Отрицательная кривизна, мест экспоненциально много. Стоите в x от прямой — на какой угол отклонить луч, чтобы он перестал её пересекать, стал предельно параллельным? Ответ сшивает круговой sin с гиперболическим cosh: sin Π(x) = 1/cosh x. У Евклида этот угол всегда 90°, здесь тает с расстоянием — фирменная формула, которую финал разберёт в полную силу.

Гиперболический поворот (буст Лоренца). Близнец матрицы поворота: cos²+sin²=1 держит точку на окружности, cosh²−sinh²=1 — на гиперболе. Именно так устроено пространство-время.

А привычная плоская геометрия — это малоугловое приближение обеих кривых: sin x ≈ x и sinh x ≈ x при маленьких x. Мы живём в приближении первого порядка. Полному разбору этого гиперболического двойника посвящена третья статья.

Бонус. Дикие случаи

Два места, где синус всплывает совсем неожиданно.

Маятник Фуко. Плоскость качания не вращается сама — её проворачивает Земля со скоростью ∝ sin(широты): на полюсе оборот за сутки, на экваторе ноль. В 1851-м это собирало толпы под куполом Пантеона.

Аналемма. Снимайте Солнце в один и тот же час весь год — оно нарисует восьмёрку. Её чертят две синусоиды (видны внизу демки): высота — склонение δ = sin(год), снос вбок — уравнение времени sin + sin(2·год). Неравные петли — от эллиптичности орбиты (форма — наша эпоха, за тысячи лет дрейфует). Широта проецирует эту восьмёрку на небо — наклоняет, поднимает над горизонтом, в южном полушарии переворачивает; и это тоже синус — sin(высота) = sinφ·sinδ + cosφ·cosδ·cosH.

Чего здесь нет

Чтобы не создавать ложного ощущения полноты — вот навскидку материки, в которые мы даже не заходили, хотя они того же ранга.

Прикладное. Эпициклы древней астрономии (сумма вращений — ряд Фурье за полторы тысячи лет до Фурье). Приливы (их предсказывают гармоническим анализом — суммой синусов лунных и солнечных периодов). Сезонность в данных (температура и продажи за год — почти синус, аналитики вычитают сезонную волну). Музыкальный строй (12 нот — деление октавы, тембр — спектр синусов). Антенны и диаграммы направленности, AM/FM-модуляция (игры с синусом-несущей), цветовые круги RGB, гироскопы и навигация по звёздам.

Чистая математика. Произведение Эйлера для синуса, через которое он получил π²/6. Тригонометрические суммы Гаусса и Вейля — синусы в теории чисел и оценках про простые. Метод Фурье для уравнений теплопроводности и волнового — синус как собственная функция оператора Лапласа (и это объясняет, почему он вообще всюду: синус — форма, которая при дифференцировании переходит сама в себя со сдвигом). Сферические гармоники — синус, обёрнутый на сферу: на них стоят квантовая химия орбиталей, карта реликтового излучения и расчёт освещения в графике. Эллиптические функции — обобщение синуса, которым описывается маятник на большой угол.

Анализ сигналов — где синуса, наверное, больше всего. Любой фильтр и эквалайзер, сжатие за пределами JPEG/MP3, томография (КТ и МРТ восстанавливают изображение из проекций через преобразование Фурье — буквально, пока вас сканируют, внутри крутятся синусы), сейсмология, распознавание образов.

Возьмите другого человека — биолога, музыканта, финансиста, криптографа — и он наберёт свои 42, пересекающиеся с нашими хорошо если на треть. Если у вас есть любимое место, где прячется синус, а его тут нет — это не пробел в природе, это приглашение в комментарии.

Одна стрелка

Если отойти на шаг, дверей не несколько, а одна. В основании — точка, бегущая по единичной окружности, e^(iωt). Заморозить — проекция. Пустить во времени — колебание. Сложить несколько — суперпозиция. Применить как оператор — поворот. Согнуть пространство — кривизна, где у синуса просыпается гиперболический двойник. Один вращающийся вектор, чья тень на две оси и есть синус с косинусом.

Третья статья серии — целиком про этого двойника: как из sin(ix) = i·sinh(x) вырастают экспоненциальный простор Лобачевского, угол параллельности и предел скорости света. А всю карту целиком — сорок два кейса на одной странице, с ползунками — можно покрутить вживую на интерактивной карте; её глубокий, гиперболический слой откроется с выходом финала.