Комментарии (0)
Melirius
18.08.2026 06:48Итерационный алгоритм Гаусса—Лежандра - отсутствует. Зачем начальные его числа тогда присутствуют?
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Нет, утверждать так нельзя. Начальные «затравки» алгоритма Гаусса-Лежандра явным образом не присутствуют в формулах Рамануджана и Чудновского. Это принципиально разные конструкции.
Вот почему:
1. Начальные значения Гаусса—Лежандра — это константы-затравки для итераций:
a_0 = 1, b_0 = rac{1}{sqrt{2}}, t_0 = rac{1}{4}, p_0 = 1.
Если вы посмотрите на формулу Чудновского, вы не найдёте там ни rac{1}{sqrt{2}}, ни rac{1}{4}. В ней фигурируют совершенно другие «магические» числа: 640320, 13591409, 545140134 и множитель 12.
2. Разная природа алгоритмов:
· Гаусс-Лежандр это итеративный процесс (схождение через средние арифметические и геометрические). Ему нужны «стартовые числа», чтобы начать цикл.
· Рамануджан и Чудновский это бесконечные суммы (ряды). Они не итеративны в том смысле, что каждый новый член ряда просто прибавляется к предыдущему, и им не нужны начальные приближения a , b или t . Сходимость заложена в структуру факториалов и огромного основания (640320).
Но есть нюанс (математическая связь):
Хотя цифры не совпадают, глубинная теория у них общая. Оба метода выросли из эллиптических интегралов и модулярных форм:
· Алгоритм Гаусса-Лежандра использует арифметико-геометрическое среднее (AGM) для вычисления полного эллиптического интеграла.
· Формулы Рамануджана/Чудновского это решения тех же модулярных уравнений, но выраженные в виде быстро сходящихся рядов (они используют j-инвариант).
Поэтому их можно назвать «родственниками» (ветвями одного математического дерева), но не «родителем и ребёнком». Начальные цифры одного никак не перекочевали в другой — это две разные реализации одной глубокой теории.Melirius
18.08.2026 06:48Так алгоритма самого в статье нет. Я-то его знаю, но вот человеку, который это читает без бэкграунда, зачем эти числа без изложения самого алгоритма-то?
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Хорошо, коротко, для лучшего понимания: алгоритм Гаусса-Лежандра, для сверхбыстрого вычисления числа π. Его главная фишка - квадратичная сходимость: каждая итерация примерно удваивает количество верных знаков.
Как работает (в три шага):
1. Задаём начальные значения:
a0 = 1, b0 = 1/ѵ2, t0 = 1/4, p0 = 1,
где: а-арифметическое среднее, b-геометрическое среднее, t-поправочный член (накапливает «потери» от расхождений между а и b, p-счётчик удвоений (просто множитель на 2, выглядит в итоге как 1,2,4,8...).
Упрощённо: а и b - сужают диапазон возможного числа, p – усиливает сигнал, а t – страхует от накопления погрешностей.
2. Повторяем цикл:
(среднее арифметическое)
(среднее геометрическое)
3. После нескольких итераций π вычисляется по формуле:
Итог: Всего 25 итераций дают более 45 миллионов цифр. Именно этот алгоритм использовался для многих рекордов вычисления π в эпоху первых суперкомпьютеров, но сейчас используется для проверки вычислений.
chapt
18.08.2026 06:48Резкий скачок от вычисления через периметр к современным формулам.
А еще в средние века были получены формулы для вычисления числа. Виетт, Ньютон, Лейбниц.
ssj100
18.08.2026 06:48Итог изысканий АрхимедаДля 96-угольников он получил:
3,1408 < π < 3,1429
Это означало, что π ≈ 3,14 с погрешностью меньше 0,01.
когда придумали , между целыми и десятичными значениями ?
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Ученые Вавилона (1900 г.до н.э.) и чуть позже - Египта уже пользовались грубыми приближениями вроде 3,125 и 3,16 соответственно, но выражали их в виде обыкновенных, а не десятичных дробей. Этого было достаточно. Позже Архимед, в III веке до н. э. также нашел значение 22/7=3,14 , вычисляя периметры многоугольников.
ssj100
18.08.2026 06:48ну так он получил 22/7 а не 3.14, как и знак = начали использовать намного позже
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Где-то читал, что древние греки прочертили линию в 10 стоп, потом вписали её в крут и измерили диаметр, получилось 31 полная стопа + почти половина. Так тоже вычисляли пи)). Но и этого было достаточно для навигации и астрономии того времени.
Valeriy1961
18.08.2026 06:48Андрей, привет от бывшего коллеги из Новокузнецка )
По статье - ты упомянул, что для умножения чисел с большой разрядностью используют БПФ ( быстрое преобразование Фурье). БПФ используют для чисел 2 в степени n. Будет более правильным сказать, что используется ДПФ(дискретное преобразование Фурье). В БПФ используются упрощенные алгоритмы для ускорения вычисления и он не подходит для произвольных чисел.
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Не совсем верно. ДПФ и его быстрый алгоритм (БПФ) являются эффективным инструментом для умножения чисел произвольной разрядности. Ваше замечание про 2^n относится лишь к одному из технических аспектов реализации, который легко обходится.
Почему так считают, и как это работает:· Сведение к умножению полиномов: Любое число можно представить как полином (например, в десятичной или двоичной системе). Умножение чисел — это умножение соответствующих полиномов.
· Суть метода: ДПФ позволяет вычислить произведение полиномов не за квадратичное время O(n^2), а за O(n log n). Для этого значения полиномов вычисляются в комплексных корнях из единицы. После попарного перемножения этих значений и обратного преобразования получаются коэффициенты полинома-произведения.
· Ограничение на 2^n: Классический алгоритм Кули-Тьюки действительно требует, чтобы количество точек преобразования (n) было степенью двойки. Однако на практике это не является проблемой, так как мы всегда можем дополнить исходные полиномы недостающими нулевыми коэффициентами до ближайшей степени двойки.
Поэтому алгоритм работает с числами любой длины.
Кроме того, существуют модификации ДПФ для работы с целыми числами:
· Теоретико-числовое преобразование (NTT): Это вариант ДПФ, который выполняется в поле вычетов по модулю простого числа. Он полностью избавляет от ошибок округления, присущих комплексным числам, и также применим к числам произвольной длины.
· Дискретное взвешенное преобразование (DWT): Еще одна модификация, которая может ускорить умножение, избегая затратного дополнения нулями.Итог: ДПФ/БПФ — это универсальный метод. Требование к длине, равной степени двойки, — это техническое ограничение конкретного алгоритма, а не принципиальная неприменимость к произвольным числам. Этот метод лежит в основе высокопроизводительных библиотек для работы с числами произвольной точности, таких как GNU MP (GMP).
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Валерий, вакансии в ПСБ ещё есть, возвращайся))
Valeriy1961
18.08.2026 06:48)) 33 года банковской работы... Не, сыт по горло )) Я сейчас как раз и занимаюсь на досуге проектами с цифровой обработкой сигналов, где затронутая тобой тема очень плотно встречается.
Всем привет передавай!
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Ну, ты то талант во многом. Лет 10-12 назад помог мне разобраться с виртуальной машиной - до сих пор всё работает на древнем ноуте. Привет от тебя передам всем!
pokercase651
18.08.2026 06:48А как же самый главный холивар "тау против пи"? И вот это вот всё: https://www.tauday.com/tau-manifesto-ru
О таком нельзя молчать в статье про Пи )))
Радиус важнее диаметра! )
DreiKa Автор
18.08.2026 06:48Верно, математически радиус действительно важнее диаметра, так как он фундамент окружности. поэтому тау многие считают более естественной "константой", чем пи. Но пи настолько укоренился и в науке и в культуре, что его замена маловероятна. Да и если всё про пи рассказать, то тут на книгу хватит текста, читать скучно будет. Ну а так, справедливое замечание.
Kamil_GR
)) π - возникает только там, где нечто вынуждено вернуться к себе через непрерывное движение (включая период и фазу), и его трансцендентность (незавершимость записи, несводимость к любой конечной алгебре) следствие того, что возврат-к-себе в принципе невозможен окончательно.
Сбой, делающий возможной рефлексию, вписан в саму операцию замыкания.