На этой неделе мы получили от одного из подписчиков Facebook вопрос, сколько знаков после запятой математической константы пи (?) учёные и инженеры НАСА используют в вычислениях.
Использует ли JPL значение 3,14 для пи? Или вы используете больше десятичных знаков, вроде такого:
3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445
923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938
446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229
489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091
456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063
15588174881520920962829254091715364367892590360
Мы направили этот вопрос руководителю и главному инженеру миссии Dawn Марку Рейману (Marc Rayman). Вот что он сказал.
«Спасибо за ваш вопрос! Его задают не первый раз. На самом деле, такой вопрос задал много лет назад один шестиклассник, любитель науки и космонавтики, которому позже посчастливилось получить степень по физике и работу по исследованию космоса. Его имя Марк Рейман.
Для начала, отвечу прямо. В лаборатории реактивного движения (JPL) для наивысшей точности расчётов в межпланетной навигации мы используем значение 3,141592653589793, то есть 15 знаков после запятой. Давайте разберёмся, почему не больше десятичных знаков. Думаю, что вообще не существует каких-либо физически реалистичных вычислений, для которых учёным нужно было включать большее количество знаков после запятой, чем здесь. Рассмотрим такие примеры.
1. Самый дальний от Земли космический аппарат Voyager 1 находится на расстоянии около 20 млрд км. Вообразим окружность с радиусом такого размера, то есть 40 млрд км в диаметре, для которой мы хотим вычислить длину по формуле 2?R. Получается чуть больше 125 млрд км. Нам не нужно заостряться на том, какая точная длина окружности (можете умножить сами, если хотите), нас интересует погрешность измерения за счёт округления до 15-ти знаков. Так вот, выходит, что длина с округлением константы до 15-ти знаков вычисляется с погрешностью менее 4 сантиметров. Подумайте об этом. У нас длина в 125 млрд км, а погрешность меньше вашего мизинца.
2. Можем изучить проблему на примере Земли. Диаметр на экваторе 12 756 км. Окружность экватора 40 075 км. Такое расстояние придётся преодолеть, если захотите пойти в кругосветное путешествие (не считая гор, долин и препятствий вроде зданий, стоянок, океанских волн и т.д.). Насколько ошибётся ваш одометр при использовании округлённого значения пи? Он ошибётся примерно на размер молекулы. Конечно, есть разные виды молекул, которые отличаются по размеру, но вы поняли мысль. Размер погрешности примерно в 10 000 меньше толщины волоса.
3. Давайте возьмём максимально большой объект: видимую Вселенную. Её радиус примерно 46 млрд световых лет. А теперь такой вопрос: сколько десятичных знаков пи нужно использовать, чтобы вычислить окружность Вселенной с погрешностью не больше диаметра атома водорода (самого маленького атома)? Ответ: вам понадобится 39 или 40 знаков после запятой. Если вы подумаете, насколько огромна Вселенная — по-настоящему больше, чем мы можем даже понять — и какой крохотный атом водорода, то поймёте, что для реально точных вычислений не требуется много десятичных знаков пи».
Статьи Марка Реймана можно почитать в журнале Dawn Journal, где он ежемесячно рассказывает о миссии исследовательского аппарата Dawn, который сейчас исследует карликовую планету Церера.
Примечание. Всемирный день Пи отмечали 14 марта (3.14), но его вполне можно отметить второй раз 22 июля, потому что 22/7 даже ближе к реальному значению пи, чем 3,14.
Примечание 2. Иррациональное число пи является примером источника случайных чисел. Случайность десятичных знаков подтверждена всеми статистическими и криптографическими тестами. К прошлому дню Пи Стивен Вольфрам запустил сайт Find Your Pi Day, который показывает, в каком именно месте числа пи встречается ваш день рождения (или другое число).
Комментарии (106)
barkalov
19.03.2016 18:01+6А, например, при численном интегрировании такая точность не может ли создать проблем?
Банальный пример — расчет орбиты или интегральная навигация — там ошибка накапливается с итерациями, и (теоретически) 15 знаков может оказаться не так уж и много.
Хотя, понятное дело, скажем, неопределенности измерений масс и ускорений — больше, и накапливаются они быстрее, и вносят вклад много больший, но тем не менее.
edd_k
19.03.2016 22:36+2Число pi обычно не суммируют «бесконечное» число раз, а за скобки выносят.
Если же речь о тригонометрии, в аргументах которой деление на Pi, то от неточного вычисления синусов/косинусов все равно никуда не деться.
Milliard
21.03.2016 11:30+2Ошибка при интегрировании накапливается. Писал код интегрирования орбит по методу Адамса, ошибка интегрирования накапливалась приблизительно пропорционально квадратному корню из числа итераций. Например за миллион итераций ошибка увеличивалась с 10-15 до 10-12. Но это при интегрировании планетных орбит в Солнечной Системе, т.е. без тесных сближений. При тесных же сближениях (например сближение астероида Апофис с Землей), ошибка накапливается намного-намного быстрее. Так что, на мой взгляд, Марк Рейман что-то недоговаривает.
SerJook
19.03.2016 19:20+2В некоторых вселенных число пи может отличаться от 3.14
DeepBlue
19.03.2016 21:09+4Число пи — это фундаментальная математическая константа, которая не зависит от того, как мы меряем расстояния. Никуда не денется ни коэффициент в формуле Стирлинга, ни коэффициент в нормированном преобразовании Фурье, ни значение суммы обратных квадратов, ни, в конце концов, наименьшее положительное значение a, для которого exp(ia)=1 (т.е. 2пи) — во всех этих случаях будет фигурировать одна и та же константа, и то, что она не будет являться отношением длины окружности (в каком-то смысле) к диаметру, никак не умаляет её важности.
Wizard_of_light
20.03.2016 10:17+2Боюсь, что нет. Если у нас другое значение числа пи — значит, у нас кривизна пространства другая, и основание натурального логарифма уже не 2,718… Натуральный логарифм и отношение длины к окружности определяют массу взаимоотношений в реальности, именно поэтому пи и е — фундаментальные константы, а не случайная пара из бесконечного моря трансцедентных чисел.
DeepBlue
20.03.2016 17:51+1А какое отношение основание натурального логарифма имеет к кривизне пространства? Натуральный логарифм — это просто первообразная для функции y=1/x.
Wizard_of_light
20.03.2016 18:26+2Это только на первый взгляд удивительно. Из бесконечности математических законов люди больше всего ценят те, по которым в конечном итоге можно овец считать :)
Так вот, натуральный логарифм — это тот, который для числа a>1 равен площади под кривой f(х) = 1/x от 1 до a. Если кривизна пространства изменилась — площадь под кривой будет другая, и основание логарифма, которое мы найдём будет отличаться от 2,718…DeepBlue
20.03.2016 18:51+1Площадь под кривой считается в евклидовом пространстве, а не в том, в котором мы живём. Потому что только в этом случае получится операция, обратная взятию производной, а без этого свойства площадь под графиком — никому не нужная абстракция.
Как я уже писал выше, если количество каких бы то ни было "овец" выражается большим числом сочетаний, то адекватно оценить его можно с помощью формулы N! ~ sqrt(3.1415926...)sqrt(2N)(N/2.718281828...)^N, и что-то мне подсказывает, что константы, присутствующие в этой формуле, не зависят ни от какой кривизны. Значит, их обнаружат в любой Вселенной, где захотят исследовать асимптотику факториала.Wizard_of_light
20.03.2016 19:36+1Боюсь, что площадь под кривой считается в евклидовом пространстве просто потому, что отличие нашего пространства от евклидового не так просто заметить. А от геометрии на самом деле зависит весьма многое.
Формула Стирлига использует натуральный логарифм. Вид той формулы, которую вы приводите, скорее всего не изменится, но там будут стоять другие пи и е — конечно, с почти тем же конечным результатом.Xaliuss
20.03.2016 21:19Числа пи и е являются математическими константами и входят в тысячи различных формул. Заменить их на что-то другое нереально. Пространства отличные от евклидова тоже все строго описаны математически с использованием стандартных констант, только там уже по другому работают понятия расстояния, площади и т.п. Появляются понятия кривизна пространства и другие. Но когда мы смотрим, какие математические формулы лучше описывают реальный физический мир мы математику не меняем. Следует чётко разделять математику, основанную на аксиомах, определениях и теоремах, и физику, описывающую реальный мир. Физика должна максимально точно описывать материальный мир, для чего она использует математический аппарат, прямой обратной связи нет.
Wizard_of_light
20.03.2016 21:37Но эти тысячи формул прекрасно работают и с другими постоянными. Постоянные взяты не из математики, а из тех самых окружности и экспоненты, которые изначально в окружающей реальности. Всё равно на первых этапах развития науки меряют окружность и рисуют экспоненту, а соотношения в них в "кривом" пространстве другие. Конечно, потом бы там появился свой Лобачевский и сказал бы "ребята, пространство может быть плоским!", но только рассмотрение этого пространства вели бы с константами, полученными в "кривом". Так же как и мы от своих пи и е при рассмотрении неплоских пространств не отказываемся.
Xaliuss
20.03.2016 21:53Не могут они работать, ка вы у ряда или интеграла другое значение получите? Окружность записанная математически (x^2+y^2=1) даст пи, экспонента получается из элементарного дифференциального уравнения, и там тоже нет вариантов. В современной математике в принципе нет НИЧЕГО из окружающей реальности, она никак с ней не связана. Развитие математики связано с потребностями других наук, когда того, что в ней есть не хватает для комфортного описания, но что-то в ней изменить невозможно. Для описания неплоских пространств есть свои характеристики, которые никак не заменяют пи и е.
Вообще почитайте университетские курсы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии. Поищите что-то связанное с характеристиками реального мира. Все свойства взятые изначально из базовой геометрии в итоге можно доказать аксиоматически.Wizard_of_light
20.03.2016 23:31+2Если окружность не на плоскости, то её уравнение будет другим, и отношение радиуса к длине мы получим другое. Пи и е для жителей такого мира и будут теми самыми "характеристиками, которые никак не заменяют" то, что они получили у себя изначально. Формулы они в итоге получат близкие к нашим, но в их предпочтительных числах будет отпечаток их мира, так же как в наших — нашего.
Xaliuss
20.03.2016 23:44+1Ну так пи не определяют через окружность… Жители мира получат там не пи… Все математические формулы у них будут одинаковыми с точностью до обозначений, физические — разными.
Wizard_of_light
21.03.2016 21:38Хотел привести пример, как будет развиваться математика при пи=3, но
экран слишком плоский для этогомоей подготовки не хватает, чтобы в полной описать все ужасы тамошней математики и к чему она под конец придёт. Не могу даже сообразить, верна ли этом пространстве теорема Пифагора. Но тамошним математикам точно проще будет возводить в круг, чем в квадрат.
igordata
20.03.2016 12:19+2Если вы живёте в двумерном мире, а ваша вселенная находится на поверхности например сферы, то пи у вас вообще будет зависеть от радиуса, а на больших масштабах так и вообще сначала расти, а потом вдруг уменьшаться.
Т.е. если пространство не плоское, то пи будет отличаться от 3.14.Xaliuss
20.03.2016 13:56Но так та величина не будет пи. Число пи определено чисто математически, и от геометрии не зависит. Так же чисто математически доказывается, откуда пи берётся в формулах для окружности, круга, сферы и шара в евклидовом пространстве.
DeepBlue
20.03.2016 18:12+2Простой пример: в классической механике если корабль плывёт относительно земли со скоростью 2 м/c, а человек идёт по кораблю со скоростью 2 м/c, то относительно земли человек движется со скоростью 2+2=4 м/c. "В реальности" же нужно учесть релятивистские эффекты, и "на самом деле" он идёт чуть медленнее. Но это не значит, что в нашей Вселенной 2+2 не равно 4, а значит только, что в данном примере для получения более точного результата нельзя использовать указанную математическую модель: сложение чисел.
Также и тут: пи — это абстрактный математический объект, определённый безотносительно к физическому миру, просто в других пространствах для подсчёта длины окружности нельзя будет использовать формулу 2пиR, а нужно будет делать поправку на кривизну.
Dimchansky
19.03.2016 19:26+5355/113 неплохое приближение дает
Запомнить легко: пишем два раза первые три нечетных числа 113355, число из первых трёх цифр знаменатель, оставшиеся — числитель
IRI
19.03.2016 19:55+8По-моему, вполне ритмичное «три-четырнадцать-пятнадцать, девяносто два и шесть» запомнить проще и точнее.
Avenger911
19.03.2016 21:53+3И потом довольно нетрудно ещё добавить в конце «пятьдесят четыре» =)
pda0
20.03.2016 00:52+2Не-а. Тут всё банально. Я тоже помню пи именно до 3.1415926. Разгадка проста. 8 цифр. Именно столько разрядов было на типовом советском калькуляторе в 90-х. :)
Alyoshka1976
19.03.2016 22:11+2это — 3 я — 1 знаю — 4 и — 1 помню — 5 прекрасно — 9 пи — 2 многие — 6 знаки — 5 мне — 3 лишни — 5 напрасны — 8 ;-)
zorg-kirill
20.03.2016 12:18Я так случайно в школе 40 знаков после запятой запомнил на всю жизнь… Вообще, сначала была линейка-калькулятор с 8-10 знаками, на которой часто приходилось пи использовать для тригонометрии. А спустя время, когда ее подзарядка от света настольной лампы закончилась расплавлением линейки, стал использовать телефон с очень удобным мощным калькулятором, где и были эти 40 знаков. Из него же и 15 знаков после запятой экспоненты «запомнилось».
sim31r
19.03.2016 23:33-3Зачем? Специально накидал скрипт, грубо можно представить делением 9/3, чем больше числа, тем точнее, 355/113 не особо лучше соседних вариантов. Ценность такого метода, только историческая, читаем и умиляемся:
… ...1850 г. до н.э. и папирус Ахмеcа 1650 г. до н.э. (хотя это копия более старого документа). В нем имеется большое количество математических задач, в некоторых из которых pi приближается как 256/81, что чуть более чем на 0,6% отличается от точного значения. Примерно в это же время вавилоняне считали pi равным 25/8. В Ветхом Завете, написанном более десяти столетий спустя, Яхве не усложняет жизнь и божественным указом устанавливает, что pi в точности равно 3.
Однако великими исследователями этого числа были древние греки, такие как Анаксагор, Гиппократ из Хиоса и Антифон из Афин. Ранее значение pi определялось, почти наверняка, с помощью экспериментальных измерений. Архимед был первым, кто понял, как теоретически оценить его значение. Использование описанного и вписанного многоугольников (больший описан около окружности, в которую вписан меньший) позволило определить, что pi больше 223/71 и меньше 22/7.ankh1989
20.03.2016 10:06+89/3 — неплохая оценка снизу. В качестве оценки сверху предлагаю 12/3.
sim31r
21.03.2016 02:37+1Из интересного, предпоследний вариант дает на удивление высокую точность, следующее небольшое улучшение точности только у чисел больше на несколько порядков
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604Xaliuss
21.03.2016 08:06+1Вообще наилучшую точность обеспечивают подходящие дроби из непрерывных дробей. То есть, если есть иррациональное число, то его приближения подходящими дробями лучшие по точности. Это было известно ещё 2000 лет назад, и использовалась для приближения пи и различных квадратных корней.
mtivkov
21.03.2016 10:16Верно.
355/113 как раз получено отсечением хвоста у представления числа пи в виде непрерывной дроби и даёт наилучшее приближение для пи.
Наилучшее в смысле приближения к истинному значению пи, а не воспроизводства максимально длинной последовательности цифр в десятичной записи.
Дробью из четырехзначных или пятизначных чисел невозможно улучшить этот результат.
Следующая дробь, которая превосходит точность 355/113 — это 104348/33215.
mtivkov
21.03.2016 10:28+1Уточнение.
В книге В.И. Арнольда Цепные дроби на странице 5 табличка.
Если уж брать дроби из 6-значных чисел, тогда вот эта лучшая: 833719/265381
Paskin
21.03.2016 12:22Если быть точным — в Ветхом завете никакого божественного указания нет. В книге Царств рассказывается о круглом бассейне 10 локтей диаметром и 30 локтей окружностью — что можно легко обьяснить неточностью измерений или не совсем идеальной формой.
Goodkat
21.03.2016 21:06+1А может метрика пространства с тех пор изменилась? :)
Или Яхве апгрейднул сервак, на котором запущен наш мир, и увеличил точность и качество рендеринга.ankh1989
22.03.2016 07:47Скорее всего автор той книги не парился на тему точности и решил, что так сойдёт — всё равно никто проверять не будет.
sim31r
21.03.2016 02:48+2Более чем неплохое, написал перебор всех удачных цифр, но 22/7 и 355/113 вне досягаемости по удобству.
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604
…
3,4E-15%; 245850922/78256779Milliard
21.03.2016 11:35+1Да тут даже код писать не нужно. Достаточно записать пи как цепную дробь и сразу визуально видно, что соотношение 355/113 действительно лучшее.
dmitry_dvm
19.03.2016 19:58+2< 40 млрд км в диаметре, для которой мы хотим вычислить длину по формуле 2?R. Получается чуть больше 78 млрд км.
125.6 чуть больше 78-и. Или я что-то упустил?alexkunin
19.03.2016 20:49+6Вы ничего не упустили, а вот переводчик смешал километры с милями. В оригинале исходные данные были в милях, и получалось действительно 78 миллиардов — но миль. Переводчик же первые несколько цифр адаптировал, а результат оставил как есть, только километры приписал.
20 млрд км x 2 x 3.141 = 125.64 млрд км
125.64 млрд км = 78.07 млрд миль (Гугл подтверждает)
Fedorkov
19.03.2016 19:58+4Если бы мы пожелали, например, вычислить длину земного экватора с точностью до 1 см, предполагая, что знаем длину его диаметра точно, то для этого нам вполне достаточно были бы взять всего 9 цифр после запятой в числе ?. А взяв вдвое больше цифр (18), мы могли бы вычислить длину окружности имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0001 мм (в 100 раз меньше толщины волоса!).
Я. И. Перельман, «Занимательная геометрия» (1925)
Чрезвычайно ярко показал абсолютную бесполезность даже первой сотни десятичных знаков числа ? наш соотечественник, математик Граве. Он подсчитал, что если представить себе шар, радиус которого равен расстоянию от Земли до Сириуса, т. е. числу километров, равному 132 с десятью нулями: 132?1010, наполнить этот шар микробами, полагая в каждом кубическом миллиметре шара по одному биллиону 1010 микробов, затем всех этих микробов расположить на прямой линии так, чтобы расстояние между каждыми двумя соседними микробами снова равнялось расстоянию от Земли до Сириуса, то, принимая этот фантастический отрезок за диаметр окружности, можно было бы вычислить длину получившейся гигантской окружности с микроскопической точностью — до 1/1000000 мм, беря 100 знаков после запятой в числе ?. Правильно замечает астроном Араго, что «в смысле точности мы ничего не выиграли бы, если бы между длиною окружности и диаметром существовало отношение, выражающееся числом вполне точно».
ittakir
19.03.2016 21:24+1В реальных задачах навигации космического аппарата, думаю, точности особой не надо. Даже если мы подсчитаем, что для полета к Сатурну нужно, допустим, 27.4201445992345650513 кг топлива, то все равно никто не будет на таком принципе запускать ракету. Во-первых, все измерения физических величин имеют куда большую погрешность. 1% — это очень хорошая точность.
Во-вторых, гораздо лучше работает механизм отрицательной обратной связи, когда по мере приближения к цели мы немного корректируем параметры. Не удивлюсь, если для полета к Луне окажется достаточно 8 битной арифметики.
Единственная вещь, где нужна высокая точность — это предсказание движения астероидов на опасность встречи с Землей. Но и там, думаю, все упирается в огромные погрешности физических измерений.Randl
20.03.2016 01:57Стыковка например требует точности. Или GPS.
ittakir
20.03.2016 08:20+3Мне кажется, стыковка — классический пример коррекции по обратной связи. Никто не прицеливается с Земли в несущуюся с огромной скоростью МКС.
sim31r
20.03.2016 14:11Как-раз «прицеливаются», траектория запрограммирована заранее, а небольшая погрешность, в доли процента от полученной скорости, корректируется маневровыми двигателями.
d3emp
19.03.2016 22:31"Пи=3
-Фу, как грубо!"sim31r
19.03.2016 23:38+1В каждой шутке, есть доля не шутки :)
… ...1850 г. до н.э. и папирус Ахмеcа 1650 г. до н.э. (хотя это копия более старого документа). В нем имеется большое количество математических задач, в некоторых из которых pi приближается как 256/81, что чуть более чем на 0,6% отличается от точного значения. Примерно в это же время вавилоняне считали pi равным 25/8. В Ветхом Завете, написанном более десяти столетий спустя, Яхве не усложняет жизнь и божественным указом устанавливает, что pi в точности равно 3.D_T
20.03.2016 13:37Еще археологи где-то находили древние инструменты использующие пропорцию 22/7.
sim31r
21.03.2016 02:42+2Хорошая пропорция, действительно, следующее уточнение только числом больше на порядок. Как и 355/113 очень хорошее представление числа pi. Точность в 0.04% для древних строителей могла быть недостижимой и 22/7 были просто аксиомой.
ошибка%; действие
4,7%; 9/3
3,3%; 13/4
1,8%; 16/5
0,8%; 19/6
0,04%; 22/7
0,04%; 179/57
0,03%; 201/64
0,02%; 223/71
0,018%; 245/78
0,013%; 267/85
0,009%; 289/92
0,005%; 311/99
0,0026%; 333/106
8,5E-6%; 355/113 (!!!)
8,47E-6%; 52163/16604 (далее мелкие улучшения, ничего интересного)
mas
20.03.2016 00:29+2Самое главное, что пи в формулах и не нужно очень точное, потому что все остальные члены формул неточны. Коэффициенты для расстояний имеют точность всего 4-5 знаков. Редко больше. Время мы умеем измерять точнее, но тоже не больше 10 знаков (например, лунный месяц — 29.53058868 суток). Так что даже 15-16 знаков пи — перебор, хотя раз столько влазит в обычный double, столько и используется.
Ну и примечание. Точка в датах используется обычно в странах, где день идёт раньше месяца. 14.3 — ВТФ? Где пи? Лучше уж третьего января — 3.1. А знак дроби как раз используется в США, где месяц идёт раньше. 7/22 — ВТФ опять же! Четвёртого декабря, 12/4, получается точнее :)
PavloG
20.03.2016 00:55+1Интересно — используется ли фиксированная точка или плавающая?
FGV
20.03.2016 20:17так то без разницы, пи ограничивается в любом случае только разрядной сеткой.
ну или в некоторых случаях и того хуже, в зависимости от назначенной цены мл. разряда один и тот же угол в бинарном виде для фз что в радианах что в градусах одинаков.PavloG
20.03.2016 20:23С фиксированной точкой мы имеем одинаковую погрешность для всех операций на всём интервале а на плавающей это не так.
FGV
20.03.2016 22:02на интервале при бесконечной разядной сетке да, одинаковая. а при разнобое цен мл. разрядов, которые неизбежно возникают изза ограниченности…
но опять таки пи, что в пз, что в фз при одинаковой разрядности мантиссы идеетичны по точности
Anton_Menshov
20.03.2016 01:00+1"физически реалистичных вычислений". Очень расплывчатое понятие.
Пример, когда необходима высокая точность числа пи:
исследование стабильности и сходимости численного алгоритма по отношению к известному аналитическому решению. Часто, аналитическое решение вычисляется в quadrupule точности (четверной?). Или даже выше при помощи спец. библиотек.
Для вычисления некоторых спец. функций (например специальных сфероидных волновых) используются схемы, где даже для точности десять знаков после запятой приходится использовать нереальную точность остальных шагов. Или сидеть несколько месяцев в поисках асимпотических выражений и стабильных схем.
Xaliuss
20.03.2016 14:02Ещё стоит добавить численные расчёты сингулярностей. Необходимая точность в окрестности особых точек в том же численном интегрировании резко растёт, особенно если есть колебания. И если эта особая точка к примеру пи/2, то необходимость в дополнительных 5-10 знаках пи возникает сразу, чтобы ответ был с необходимой точностью.
mva
20.03.2016 01:36А у меня вопрос:
На этой неделе мы получили от одного из подписчиков Facebook вопрос
Мы направили этот вопрос
Речь об аккаунте Хабра или же копипаста? :)alexkunin
20.03.2016 19:27"Сколько десятичных знаков числа пи использует НАСА перевод" — я подчеркнул для вас нужное слово в скопированном заголовке страницы.
mva
20.03.2016 21:03+1Мда… Спасибо что открыли глаза. Видимо, пришла пора перезатачивать тёмную шкурку хабра под новые изменения дизайна. А то совсем слепым делает :(
alexkunin
20.03.2016 21:14+2Вы знаете, многие покупаются. Логичней (удобней) было бы сразу под заголовком указать "Перевод; первоисточник: [ссылка]". А не прятать где-то между комментариями и текстом.
Randl
20.03.2016 02:01Вспомнил байку, как, кажется на физтехе, объясняли, что пи это примерно 3, а не 3,141592654..:
Рассчитайте длину проволки образующей кольцо диаметром 0.75 см.
Готово?
Сколько? 23.562 мм?
Держи проволку, отрежь мне столько.
dcoder_mm
20.03.2016 03:06А в чем проблема то? Гораздо веселее будет посчитать, сократив пи до "3", а потом пытаться согнуть кольцо без недостающих .1415926
Randl
20.03.2016 10:02Ну если округлить до 3.2, что кстати позволит посчитать результат в уме, то отрезано будет примерно столько же (с учетом погрешности измерительного прибора, ножниц, кривых рук студента). А если нет разницы…
vmarunin
20.03.2016 02:34-2Маленькое замечание, день числа пи начали отмечать только в прошлом году 3/14/15 (по принятой там традиции месяц/день/год). Но так как пи равно 3,14159… то округление до этого года (3/14/16) правильное.
А до прошлого года никто и не вспоминал, потому что 3,14 и правда очень грубо.
ImMetatron
20.03.2016 11:01+1Хорошо ответил, приятно. Интересно что бы наши ответили.
AndreyDmitriev
20.03.2016 12:35+2Вероятно наши ответили бы примерно так:
" — Буду краток. Вы знаете, буквально на днях я был в Российской Академии
Наук, провёл беседу со многими учёными, в том числе молодыми, кстати,
очень грамотные ребята. Так вот мы обсудили, в частности и данный
вопрос, поговорили о текущей экономической обстановке в стране; они
также рассказали о своих планах на будущее. Конечно, в первую очередь
их волновала проблема востребованности; не менее остро встал и вопрос по
ипотечным кредитам, но могу заверить, все эти проблемы решаемы и мы
направим все усилия, чтобы решены они были в самом ближайшем будущем. В
том числе это касается и количества знаков в числе Пи, затронутого в вашем вопросе."
camelos
21.03.2016 17:26А я бы ещё поинтересовался про g (которое 9,81)
impetus
21.03.2016 22:52Да-да, почти "пи-квадрат". Занимательная нумерология.
sim31r
22.03.2016 01:44+1Ну есть еще планетарная нумерология:
Но до сих пор ломаются копья по поводу ряда закономерностей, которым подчиняется небесные тела. Так еще с 1776 года остается неясным эмпирическое правило Тициуса-Боде или закон планетных расстояний.
rn=0,4+0,3*2^n
где rn — среднее расстояние от Солнца до планеты;
n — число, принимающее значения — (0; 2; 3; 4; 5;… Для Земли n = 1)
Более того, не все даже признают реальность этой последовательности чисел, выражающих расстояния от планет до Солнца, считая ее надуманной. И основания для этого есть, так как это правило довольно грубое и при достаточно точных значениях больших полуосей орбит не соблюдается.
Но интригует то, что отнесенные к некоторой величине эти полуоси дают практически целочисленный ряд. Это свидетельствует о дискретности структуры Солнечной системы. Иначе говоря, Солнечная система квантована.
grallizm
22.03.2016 11:04Помогите разобраться.
ПО информации из Википедии:
«Сопутствующее расстояние до самого удалённого наблюдаемого объекта — поверхности последнего рассеяния реликтового излучения — составляет около 14 миллиардов парсек или 14 000 Мпк (46 миллиардов или 4,6 ? 1010 световых лет) во всех направлениях...»
И далее в том же абзаце:
"… Известно, что полная Вселенная простирается далее границ наблюдаемой Вселенной. Радиус наблюдаемой Вселенной 13,7 млрд световых лет".
Что взаимоисключает друг друга.
Так в чем же правда?
nerudo
Хорошую телегу развел главный инженер. А мог бы проще: мы используем ровно столько знаков, сколько влезает в тип double.
inoyakaigor
Если бы для необходимой точности типа double не хватало бы, то они бы ввели новый тип.
Randl
Согласен, не думаю, что если бы 15 знаков дали погрешность в несколько метров на орбите, использовали бы double. Взяли бы 128 бит
Ardianen
Увеличение битности не всегда хорошо, потому что вырастает время вычисления и энергозатраты.
Randl
Если бы точности не хватало, выбора не было бы.
Mixim333
Провел маленькое тестирование на C# под Mono:
decimal tmp = 1;
while (tmp > 0)
{
tmp=tmp/10;
Console.WriteLine (tmp);
}
и
double tmp2 = 1;
while (tmp2 > 0)
{
tmp2=tmp2/10;
Console.WriteLine (tmp2);
}
получил для decimal самое минимальное число, не равное 0: 0,0000000000000000000000000001 (28 знаков), для double: 9,88131291682493E-324, хотя про decimal написано (https://msdn.microsoft.com/ru-ru/library/364x0z75.aspx): «Ключевое слово decimal обозначает 128-битный тип данных».
Число Пи (Math.PI) в C# имеет точность в 14 знаков (3,14159265358979). Сам же всегда думал, что в таких областях, как Астрономия, число Пи всегда вычисляется, например, методом Монте-Карло (http://datareview.info/article/znakomstvo-s-metodom-monte-karlo/).
Randl
Ну вы же понимаете, что в double у вас нет точности в 324 значащих знака после запятой, просто там больше бит под экспоненту, а точность — 15-17 десятичных знаков, а у decimal — 27-28.
У binary128 точность вообще 34 знака, а у 256-битного — 71.
bopoh13
Как-то скудно дана информация о представлении числа по стандарту IEEE 754, где возникают определённые проблемы с неконтролируемой точностью. На практике получается: если порядок целой части увеличивается, то точность представления числа (с плавающей точкой) уменьшается.
Randl
Проблемы с плавающей запятой возникают в редких случаях, когда посреди вычислений используются значения отличающиеся на много порядков друг от друга и от результата. Если мы оперируем числами порядка 10^40, то обычно нам не важно, что там после запятой. А если важно, есть типы с произвольной точностью.
По последней ссылке или я что-то неправильно понимаю, или просто бред написан. sqrt(a^2+b^2)+sqrt(c^2+d^2) и sqrt((a+c)^2+(b+d)^2) это явно разные числа и эксель тут не виноват.
bopoh13
Верно. Пример действительно бредовый. Моя ошибка, что не проверил.
PavloG
С плавающей точкой очень часто получаем проблемы — в гейм деве, например, это вычисление длины отрезка от рядом стоящих точках в больших координатах, как результат — дёргающаяся камера, глючная физика, и т д.
D_T
decimal — целочисленный тип с условным сдвигом точки (так же как тип money в других ЯП), double — с плавающей запятой, т.е. мантисса и порядок.
15 знаков потому что мантисса в double 52 бита, т.е. 2^52 ~= 4,5 * 10^15