Пусть задана функция следующем уравнением в полярных координатах:
Любую функцию в полярных координатах можно представить в декартовых с помощью следующей системе параметрических уравнений:
Тогда координаты направляющего вектора касательной к данной кривой в заданной точке будут:
А координаты радиуса‑вектора следующие:
А косинус угла между векторами определяется по следующей формуле:
В числителе — скалярное произведение двух векторов, в знаменателе — произведение их модулей.
В нашем случае:
Тогда скалярное произведение векторов 
и 
Вычислим модули этих векторов:
Откуда:
В результате альтернативного вывода данной формулы для угла между вектора‑радиуса и кривой, заданной уравнением в полярных координатах, мы получили три варианта ее, которые могут использоваться для решения других математических и физических задач. В курсе дифференциальной геометрии выводится только последняя формула для тангенса этого угла.