Изучая иностранную литературу, на днях наткнулся на работы [1, 2] профессора Мичиганского университета Дивакара Вишваната (Divakar Viswanath) об итерационном алгоритме вычисления периодических орбит динамических систем, основанном на методе Линдштедта-Пуанкаре (ЛП) (для ознакомления с ним рекомендую книгу [3, с. 408-411]). Преимуществом данного метода является то, что он не требует численного интегрирования дифференциального уравнения, поэтому может быть применён к построению и неустойчивых циклов.

На сегодняшний день в математике одно из популярных направлений исследований — это теория динамического хаоса. Самым известным объектом здесь является система Лоренца, введённая в 60-е годы 20-ого века. Отмечу, что с того времени появилось много нелинейных математических моделей, где имеет место хаотическое поведение решений, в различных областях науки. Несколько лет назад получили популярность хаотические системы без положений равновесия, применяемые для шифрования сигналов (см., например, [4]). Тем, кто только начинает заниматься теорией хаоса, советую посмотреть математический фильм ХАОС, состоящий из девяти глав.

Уорвик Такер (Warwick Tucker) в работе [5] доказал существование периодических решений в аттракторе Лоренца, но убедительных доказательств найденных циклов в численных экспериментах авторов различных статей мне не удавалось найти.

Пусть x(t), y(t) и z(t) — фазовые координаты системы Лоренца. В 2004 году Вишванатом в работе [2] были найдены три цикла ЛП-методом. Он привёл значения начальных условий и периода:



где T — период.

На мой взгляд, это значительный прорыв в исследовании аттрактора Лоренца.

Может возникнуть вопрос — зачем 99 знаков в дробной части чисел? Дело в том, что периодические орбиты являются неустойчивыми (и эти числа, скорее всего, являются иррациональными), и чтобы их построить численными методами на периоде с приемлемой точностью, нужно располагать большим количеством знаков после запятой.

Я решил проверить и построить циклы Вишваната в программе, приведённой в топике [6] (численная схема также описана в работе [7]). Для этого была взята точность 1e-110 по степенному ряду, количество бит под мантиссу вещественного числа — 390 (машинный эпсилон при этом равен 7.93107e-118), проход по времени — только вперёд. Осуществлялась проверка следующих равенств:

x(0) = x(T),
y(0) = y(T),
z(0) = z(T).

Для первого цикла совпали все знаки в дробной части у всех координат, кроме последнего знака для y(T) (у меня там получилась цифра 6), для второго — 80 знаков, для третьего — 38 знаков.

Далее приведены рисунки циклов Вишваната.





И анимация, загруженная на YouTube.


Для второго рисунка меня заинтересовало, насколько близко траектория системы проходит к началу координат O(0;0;0). В численном эксперименте найдена точка с координатами



Поскольку базовым методом для численной схемы является метод степенный рядов, для третьего цикла определена максимальная степень аппроксимирующего полинома на переменных шагах интегрирования, где решение раскладывается в ряды, — 78, приближенное максимальное значение шага интегрирования при этом = 0.0120621. Так как значение T здесь достаточно велико, время вычислений на моём компьютере составило примерно 6.2 мин.