Это продолжение задуманной мной серии про историю вычислений и счета. Первая статья про Египет здесь.

Сейчас я попробую немного рассказать о другой великой цивилизации и культуре прошлого. Вавилонское царство возникло в начале 2-го тысячелетия до нашей эры, оно пришло на смену Шумеру и Аккаду и существовало до завоевания Персами в 539 г. до н.э. Писали в Вавилоне, как все помнят, на глиняных табличках с помощью клинописи, которые очень неплохо сохраняются в отличие от бумаги, папируса, и подобных вещей, поэтому мы знаем достаточно много и про Вавилон, и про его математику. Но, конечно, мы не знаем всего. В отличие от греков вавилоняне не оставили точных алгоритмов и ясных объяснений своих приемов. Теперь мы можем только догадываться как именно вавилоняне действовали в том или ином случае при решении задачи. В этой работе я сосредточусь в основном на вавилонской арифметике, оставив в стороне геометрию, алгебру и астрономию.


Вавилоняне в математике продвинулись намного дальше египтян, насколько нам известно, хотя и не сравнялись с греками, видимо. Они уже умели решать квадратные уравнения, кроме того имели некоторые зачатки числовой алгебры. Одно из их достижений было введение позиционной шестидесятеричной системы счисления без нуля. Это означает, что обращение с числами стало значительно более гибким и простым, чем в Египте. Точно не известно, откуда взялась такая система. Одна из версии говорит, что к ней привело смешение 6-ичной и 10-ичной систем народов Шумера и Аккада. Но существуют и другие мысли на этот счет.
Эта система, к сожалению (может и к счастью, не хотелось бы учить их таблицу умножения) не была освоена другими народами Древнего Мира, и пришлось ждать прихода индийской позиционной системы. Однако, кое-какое отражение вавилонской математики в нашей культуре осталось: деление минуты на шестьдесят секунд и часа на 60 минут — это отзвук древней вавилонской системы счисления.

Цифры и система счисления

На картинке показано, как вавилоняне обозначали 1 и 10. С их помощью изображались все числа от 1 до 59. На картинке ниже показано число 33. Это аналогично римской и другим непозиционным системам записи чисел.



Число 60 обозначалось точно так, как и единица. В начале оно рисовалось крупнее, но позже это различие стерлось. Числа больше 60, но меньше, чем 120 обозначались следующим образом: сначала писалось число 60, потом через пробел остальная часть числа, меньшая 60.
Ниже пример числа 63



Числа вида K*60+n (1<=K<60; n=1, 2, 3, … 59) обозначались по аналогии, так, как на примере ниже.



У Вавилонян не было 0, но со временем они придумали использовать знак, который обозначал пропущенные разряды. Этот знак применялся, только для разрядов внутри числа и не ставился в конце. Вот пример на картинке.



Проблема в том, что это число можно было бы прочитать и как 2*60^2 +2, и как 2*60^5+2*60^3. Весьма неудобно! Такая система записи должна была бы вести к многочисленным ошибкам, вам не кажется? Вавилоняне старались очень тщательно отделять разряды, чтобы избежать путаницы (гораздо аккуратнее, чем я). Все же в некоторых случаях ошибки очень вероятны. Известны примеры больших чисел, когда часть числа переносилась на другую строку. Попробуй тут разберись, что имелось в виду! Но число ошибок в вавилонских текстах невелико, хотя они кончено есть.
Этим же способом обозначали и дроби. Только для весьма популярных 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.
Везде дальше я буду записывать вавилонские числа, отделяя разряды запятой и целую часть от дробной с помощью точки с запятой. Например: 177 будет 2,57 и т.д. Пропущенные разряды, я буду заменять 0.

Вычисления

Поскольку система Вавилонян была позиционной, то их вычисления были рчень похожими на наши. При вычитании и сложении они просто складывали и вычитали числа поразрядно. Дополнительным плюсом было то, что шестидесятеричные цифры обозначались непозиционным способом при помощи единиц и десятков, и в такой системе вычитать и складывать гораздо проще, чем в наших абстрактных обозначениях, требующих выучивать специальную таблицу сложения.
Умножение, как можно догадаться, тоже было аналогично нашему. Но как они пользовались своей громадной таблицей умножения? Учили ее наизусть? У них были заготовлены специальные таблицы, где можно было смотреть произведения.
От Вавилонян до нас дошло много таблиц умножения, но они не включали в себя все произведения “однозначных” чисел, как наши десятичные таблицы. Их таблицы начинались от 1 до 20 включительно, затем следовали произведения на 30, 40, 50. Если вавилонян хотел умножить 35 на 47, то ему нужно было найти в таблице сначала 35*40, а затем 35*7 и сложить. Это требовало лишних действий, но таким образом можно было значительно сэкономить место.
Деления, как самостоятельного действия вавилоняне не знали. Вместо него они использовали умножение на обратное число. Для этого, конечно, им были нужны таблицы обратных чисел. Например, если нужно было разделить 1,15 на 5 то вавилонянин находил 1/5, что в их нашей записи будет 0;12 и умножал 1,15 на 0;12. Если такое число не выражалось конечной шестидесятиричной дробью, то вавилоняне искали такое число которое при умножении на делитель давало делимое.
Например, нужно разделить 22,45,0 на 6,30. В данном случае формулируется такое условие: “Что нужно взять с 6,30 чтобы получить 22,45,0? ” Ответ 3,30. Разумеется, вавилоняне пользовались и приближенными значениями, когда было необходимо.
Таблицы обратных величин выглядели примерно так:

2	30
3	20
4	15
5	12
6	10
8	7;30
9	6;40
12	5
15	4
16	3;45
18	3;20
20	3

И так далее.
Кроме таблицы обратных значений, вавилоняне имели и много других таблиц: квадратов, кубов, квадратных и кубических корней и некоторые другие.

Задачи

Какие задачи умели решать вавилоняне?
Например такие:
“10 братьев и 1 целая и 2/3 мины серебра. Брат выше брата. На сколько он выше я не знаю. Доля восьмого брата 6 шекелей. Брат над братом на сколько выше? ”
Задача в том, чтобы разделить сумму между братьями так, чтобы доля каждого составляла арифметическую прогрессию и найти разность этой прогрессии.
Конечно, Вавилоняне решали и задачи на проценты. В том числе и задачи на сложные проценты:
“Один гур он отдал в рост. Через сколько лет он вырастет на самого себя?”
Процент предполагается 0;12 годовых. Некоторые исследователи предполагали, что вавилоняне владели зачатками логарифмов. Другие с ними несогласны.
Еще один пример включает в себя квадратные уравнения:
«Площадь двух квадратов складываю, и это есть 37,5. Сторона одного квадрата составляет 2/3 стороны другого квадрата. 10 к стороне большего прибавлено, 5 к стороне меньшего прибавлено. Эти квадраты суть что?»
В таблицах эти задачи даются с объяснением их решения. Можно видеть, что вавилоняне знали квадратные уравнения и системы линейных уравнений.
Знали вавилоняне и квадратные корни, которые вычислялись по приближенным формулам:
«Диагональ квадрата есть 10. Найди сторону квадрата. 10 с 0;42,30 перемножь 7;5 есть сторона. 7;5 с 1;25 перемножь. 10;25 это дает».