Цель данной статьи — поделиться простейшей стратегией статистического арбитража, основанной на торговле коинтегрированными парами акций, которые были выявлены на Московской и Нью-Йоркской биржах.

Если мы возьмём пару коинтегрированных акций, то у нас есть возможность захеджироваться и построить рыночно-нейтральную стратегию, когда убытки по одной бумаге будут компенсироваться прибылями по другой. Как это выглядит на практике?

Торговая стратегия

Допустим, у нас есть коинтегрированная пара акций, $$ и $$, а также цены этих акций за некий период времени $$. Для примера возьмём пару акций с тикерами (VSYDP,NKHP) из моей предыдущей статьи про коинтеграцию. Для неё у нас есть данные о ценах за 215 торговых дней.

Первую половину наблюдений мы будем использовать, чтобы определить параметры торговой стратегии. Затем, основываясь на найденных параметрах, мы возьмём вторую половину наблюдений и проведём бэктесты, то есть протестируем, принесёт ли нам такая стратегия деньги.

Для дальнейших рассуждений мне понадобится спред двух акций, $$. В нашем примере с парой (VSYDP,NKHP) мы уже находили спред в предыдущей статье про коинтеграцию, так что здесь я просто продублирую картинку:

Итак, все мы хотим покупать дёшево и продавать дорого. Если спред уходит ниже нуля, акция $$ (VSYDP) дешевле, чем акция $$ (NKHP). И, наоборот, если спред поднимается выше нуля, акция $$ дороже, чем акция $$ (ну или $$ дешевле по сравнению с $$).

Таким образом, по сути, торговая стратегия состоит в том, чтобы купить акцию $$ и продать акцию $$ в соотношении $$, если спред находится несколько ниже нуля (ниже линии $$ на рисунке). Когда же спред возвращается обратно к нулю, нам нужно закрыть позицию, продав $$ и купив $$ в том же соотношении. В этом случае мы получаем прибыль размера $$:

Здесь важно понимать, что у нас должна быть возможность продавать акции, которыми мы не владеем, — это называется короткой продажей (шорт). Также необходимо отметить, что не все брокеры включают возможность короткой продажи в стандартный пакет услуг, так что, возможно, вам придётся дополнительно обратиться к нему для расширения своих инвестиционных возможностей.

В общем, мы составляем портфель, который содержит одну длинную позицию (лонг) и одну короткую позицию (шорт), если спред пересекает некоторую линию $$ или уходит за неё в противоположную от нуля сторону. И мы закрываем все позиции, когда спред возвращается обратно к нулю.

Следующий вопрос, который возникает, — это «как найти значение $$»?

Как найти значение $$

Помимо математики, я сразу буду приводить здесь реализацию в матлабе. Приведённый ниже код является естественным продолжением кода из предыдущей статьи про коинтеграцию. Нам понадобится первая половина наблюдений, $$, которую мы будем рассматривать как «историю».

T = length(testPrices);
half = round(T/2); 

Для начала найдём среднее отношение $$ и $$ для первой половины наблюдений.

$$

sumRatio = 0;
for i = 1 : half
    sumRatio = sumRatio + testPrices(i,1) / testPrices(i,2);
end
r = sumRatio / half;

Для пары акций с тикерами (VSYDP,NKHP) расчётное значение $$. Затем вычислим максимум абсолютного значения спреда для первой половины наблюдений:

$$

clear absspread
for i = 1 : half
    absspread(i,1) = abs(testPrices(i,1) - r * testPrices(i,2));
end
m = max(absspread);

Для пары акций с тикерами (VSYDP,NKHP) расчётное значение $$. Теперь мы можем определить значение $$ путём перебора: возьмём некоторый процент от $$ и попробуем поторговать на «истории» при различных значениях этого процента, а затем выберем то значение, которое даст наибольшую прибыль. Это и будет искомое значение для линии $$.

Перебор различных значений $$ для поиска наилучшего

Для начала нам нужно посчитать количество трейдов. Первый трейд, обозначим его $$, мы делаем, когда впервые встаём в позицию. В этом случае мы ещё не получаем прибыль:

$$

где $$ — спред. Далее успешными моментами трейдов будут:

1. если $$: $$;
2. если $$: $$.

Затем прибыль будет рассчитываться как $$, где $$ — количество трейдов, $$ — некоторый процент от $$. Если трейдов не было, тогда прибыль равна нулю. $$ — это минимальная прибыль, если всегда торговать одним соотношением $$ и $$.

clear profit
for h = 1:10
    g = 0.05 * h * m;
    profit(h,1) = 0.05 * h * 100;
    profit(h,2) = g;
    clear trade
    k = 1;
    for i = 1:half - 1
        if abs(spread(i)) >= g
            trade(1,1) = i;
            trade(1,2) = spread(i);
            trade(1,3) = -1;
            trade(1,4) = beta;
            trade(1,5) = testPrices(i,1);
            trade(1,6) = testPrices(i,2);
            trade(1,7) = 0;
            startIndex = i;
            k = 2;
            break
        end
    end
    if k == 1
        break
    end
    for i = startIndex:half - 1
        if (trade(k-1,2) <= -g) && (spread(i) <= g) && (spread(i+1) >= g)
            trade(k,1) = i+1;
            trade(k,2) = spread(i+1);
            trade(k,3) = -1;
            trade(k,4) = beta;
            trade(k,5) = testPrices(i+1,1);
            trade(k,6) = testPrices(i+1,2);
            trade(k,7) = 0;
            k = k + 1;
        end
        if (trade(k-1,2) >= g) && (spread(i) > -g) && (spread(i+1) <= -g)
            trade(k,1) = i+1;
            trade(k,2) = spread(i+1);
            trade(k,3) = 1;
            trade(k,4) = -beta;
            trade(k,5) = testPrices(i+1,1);
            trade(k,6) = testPrices(i+1,2);
            trade(k,7) = 0;
            k = k + 1;
        end
    end
    if exist('trade', 'var')
        tradesNumber = size(trade,1);
        profit(h,3) = tradesNumber;
        profit(h,4) = (tradesNumber - 1) * 2 * g;
    else
        profit(h,3) = 0;
        profit(h,4) = 0;
    end
end 

В таблице ниже показаны проценты и исходы для пары акций с тикерами (VSYDP,NKHP).

Процент	$$	Трейды	Прибыль
5	160,2224	7	1922,7
10	320,4449	5	2563,6
15	480,6673	5	3845,3
20	640,8898	5	5127,1
25	801,1122	5	6408,9
30	961,3347	5	7690,7
35	1121,6	5	8972,5
40	1281,8	3	5127,1
45	1442	3	5768
50	1602,2	3	6408,9
55	1762,4	3	7049,8
60	1922,7	3	7690,7
65	2082,9	3	8331,6
70	2243,1	3	8972,5
75	2403,3	3	9613,3
80	2563,6	3	10254
85	2723,8	1	0
90	2884	0	0

Чтобы определить значение $$, мы просто выбираем то значение, которое даёт наибольшую прибыль, основанную на «истории».

[M, I] = max(profit(:,4));
bestG = profit(I,2);

Однако, хотя $$ (при 80% от $$) даёт наибольшую прибыль, на практике мы не выбираем $$ больше, чем $$, из-за трудностей, связанных с дальнейшим извлечением прибыли, поэтому возьмём $$ (при 35% от $$).

Тестирование стратегии

После определения $$ торговая стратегия применяется ко второй половине наблюдений.

clear strategy
for i = half + 1:T
    if abs(spread(i)) >= bestG
        strategy(1,1) = i;
        strategy(1,2) = spread(i);
        if spread(i) > 0
            strategy(1,3) = -1;
            strategy(1,4) = beta;
        else
            strategy(1,3) = 1;
            strategy(1,4) = -beta;
        end
        strategy(1,5) = testPrices(i,1);
        strategy(1,6) = testPrices(i,2);
        strategy(1,7) = 0;
        startIndex = i;
        break
    end
end
if exist('strategy', 'var')
    k = 2;
    for i = startIndex:T-1
        if (strategy(k-1,3) ~= 0)
            if (spread(i) >= 0) && (spread(i+1) <= 0)
                strategy(k,1) = i+1;
                strategy(k,2) = spread(i+1);
                strategy(k,3) = 0;
                strategy(k,4) = 0;
                strategy(k,5) = testPrices(i+1,1);
                strategy(k,6) = testPrices(i+1,2);
                strategy(k,7) = strategy(k-1,2) - spread(i+1);
                k = k + 1;
            end
            if (spread(i) <= 0) && (spread(i+1) >= 0)
                strategy(k,1) = i+1;
                strategy(k,2) = spread(i+1);
                strategy(k,3) = 0;
                strategy(k,4) = 0;
                strategy(k,5) = testPrices(i+1,1);
                strategy(k,6) = testPrices(i+1,2);
                strategy(k,7) = spread(i+1) - strategy(k-1,2);
                k = k + 1;
            end
        else
            if (spread(i) <= bestG) && (spread(i+1) >= bestG)
                strategy(k,1) = i+1;
                strategy(k,2) = spread(i+1);
                strategy(k,3) = -1;
                strategy(k,4) = beta;
                strategy(k,5) = testPrices(i+1,1);
                strategy(k,6) = testPrices(i+1,2);
                strategy(k,7) = 0;
                k = k + 1;
            end
            if (spread(i) >= -bestG) && (spread(i+1) <= -bestG)
                strategy(k,1) = i+1;
                strategy(k,2) = spread(i+1);
                strategy(k,3) = 1;
                strategy(k,4) = -beta;
                strategy(k,5) = testPrices(i+1,1);
                strategy(k,6) = testPrices(i+1,2);
                strategy(k,7) = 0;
                k = k + 1;
            end
        end
    end
end
if exist('strategy', 'var')
    totalProfit = sum(strategy(:,7));
else
    totalProfit = 0;
end

При $$ прибыль извлекается 3 раза. Другими словами, разность 3 раза перемещается от 0 до $$ и обратно. Обратите внимание, что реализация такой стратегии включает 6 трейдов, так как для того, чтобы встать в позицию и выйти из неё, требуется совершить два трейда.

На рисунке и в таблице ниже показаны все 6 моментов торговли.

Трейд	$$	$$	Позиция $$	Цена $$	Цена $$	Прибыль
1	108	3145,9	(-1; +35,6527)	13200	282	-
2	128	-211,447	Ликвидация	9700	278	3357,4
3	134	-1161,9	(+1; -35,6527)	8500	271	-
4	171	14,6605	Ликвидация	8500	238	1176,5
5	205	-1184,5	(+1; -35,6527)	7800	252	-
6	212	185,1035	Ликвидация	8100	222	1369,6
				Итого		5903,5

Прибыль, полученная здесь, составляет не менее $$. Здесь используются цены закрытия вместо данных внутри дня, поэтому мы не торгуем в точках $$, 0 и $$. Как видно из таблицы, доходность за 107 торговых дней составила 25,39% без учёта комиссий, объёма и пр. То есть это примерно 60,74% годовых по очень грубым прикидкам.

Также были проведены тесты для 58 пар на NYSE. Там, если не считать нулевой прибыли, приблизительная годовая доходность при данной стратегии колебалась от 23,34% до 208% без учёта комиссий, объёма и пр.

Тестирование альтернативной стратегии

Вместо того, чтобы закрывать позицию, когда спред приближается к нулю, можно перевернуть позицию, когда спред достигает $$ на противоположной стороне от нуля. Предположим, что мы продали $$ и купили $$, так как разность была больше $$.

Теперь можно дождаться того момента, когда разность достигнет $$, купить $$ и продать $$. В результате мы останемся с портфелем из длинной позиции размера $$ и короткий позиции размера $$.

clear strategyAlt
for i = half + 1:T
    if abs(spread(i)) >= bestG
        strategyAlt(1,1) = i;
        strategyAlt(1,2) = spread(i);
        if spread(i) > 0
            strategyAlt(1,3) = -1;
            strategyAlt(1,4) = beta;
        else
            strategyAlt(1,3) = 1;
            strategyAlt(1,4) = -beta;
        end
        strategyAlt(1,5) = testPrices(i,1);
        strategyAlt(1,6) = testPrices(i,2);
        strategyAlt(1,7) = 0;
        startIndex = i;
        break
    end
end
if exist('strategyAlt', 'var')
    d = 2;
    for i = startIndex:T-1
        if (strategyAlt(d-1,2) >= bestG) && (spread(i) >= -bestG) && (spread(i+1) <= -bestG)
            strategyAlt(d,1) = i+1;
            strategyAlt(d,2) = spread(i+1);
            strategyAlt(d,3) = 1;
            strategyAlt(d,4) = -beta;
            strategyAlt(d,5) = testPrices(i+1,1);
            strategyAlt(d,6) = testPrices(i+1,2);
            strategyAlt(d,7) = strategyAlt(d-1,2) - spread(i+1);
            d = d + 1;
        end
        if (strategyAlt(d-1,2) <= -bestG) && (spread(i) <= bestG) && (spread(i+1) >= bestG)
            strategyAlt(d,1) = i+1;
            strategyAlt(d,2) = spread(i+1);
            strategyAlt(d,3) = -1;
            strategyAlt(d,4) = beta;
            strategyAlt(d,5) = testPrices(i+1,1);
            strategyAlt(d,6) = testPrices(i+1,2);
            strategyAlt(d,7) = spread(i+1) - strategyAlt(d-1,2);
            d = d + 1;
        end
    end
end
if exist('strategyAlt', 'var')
    totalAltProfit = sum(strategyAlt(:,7));
else
    totalAltProfit = 0;
end

Такая стратегия приводит к одному начальному трейду и одному трейду, который переворачивает позицию. Эти трейды представлены на рисунке и в таблице ниже.

Трейд	$$	$$	Позиция $$	Цена $$	Цена $$	Прибыль
1	108	3145,9	(-1; +35,6527)	13200	282	-
2	134	-1161,9	(+1; -35,6527)	8500	271	4307,8
				Итого		4307,8

Обратите внимание, что прибыль от перевертывания позиции равна $$, поэтому общая прибыль в данном случае составляет не менее $$. Как видно из таблицы, доходность за 107 торговых дней составила 18,53% без учёта комиссий, объёма и пр. То есть это примерно 44,32% годовых по очень грубым прикидкам.

Также были проведены тесты для 58 пар на NYSE. Там, если не считать нулевой прибыли, приблизительная годовая доходность при данной стратегии колебалась от 17,63% до 201,53% без учёта комиссий, объёма и пр.

Данное изменение в торговой стратегии уменьшает количество трейдов в среднем в 2 раза. При этом сокращаются торговые издержки. Если бы разность двигалась вверх и вниз около 0, альтернативная стратегия была бы более прибыльной. Однако в рассмотренном случае, когда у пары есть тенденция двигаться между 0 и $$, позиция вообще ни разу не переворачивается, тогда как основная стратегия создаёт и ликвидирует позицию снова и снова… и делает деньги.

Выводы

При торговле коинтегрированными парами, теоретически, можно извлекать стабильную прибыль, в частности, с помощью способов, описанных выше в виде двух торговых стратегий. В случае с рассмотренной парой акций (VSYDP, NKHP) первый способ оказался более эффективным из-за наличия в их разности тенденции колебаться ниже нуля.

Возможность извлечения стабильной прибыли при торговле коинтегрированными парами выглядит оптимистично, однако требует дальнейшего анализа на демо-счетах, о чём мы и поговорим в следующий раз.

Что почитать по теме

Терри Дж. Уотшем, Кейт Паррамоу. Количественные методы в финансах / Пер. с англ. под ред. М.Р. Ефимовой. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999. — 527 с.

По этому учебнику в своё время преподавали для магистров количественный анализ в Вышке. Там есть раздел, посвящённый коинтеграции.