В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть $$ — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки $$ найдется натуральное $$ такое, что $$. Тогда $$ многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть $$ и $$ замкнутые подмножества прямой, причем $$ и $$. Тогда в $$ найдется точка, которая содержится в одном из $$ вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка $$, натуральное $$ и $$ такие, что $$.

Действительно (от противного), выберем точку $$ и окружим ее окрестностью $$, где $$. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит $$. Выберем в $$ точку $$. Окружим $$ интервалом $$ таким, что концы этого интервала — точки $$ и $$ лежат в $$, а $$. По предположению $$. Это позволяет выбрать в $$ некоторую точку $$ Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов $$ Ясно, что

$$, (1)
$$ (2)

Так как каждый промежуток $$, то $$, а из (1) и (2) следует, что $$ для каждого $$. Таким образом мы нашли точку $$, но не лежащую ни в одном из множеств
$$.

Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция $$ — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом $$. Множество $$, дополнительное к $$ обозначим через $$ и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если $$, то $$ — неправильная точка).

2. Если каждая точка отрезка $$ правильная, то сужение $$ на $$ — многочлен.

Действительно, для каждой точки $$ найдется интервал такой, что сужение $$ на этот интервал — многочлен. Т.е. для каждой точки найдется интервал и некоторое натуральное $$, что $$ равна нулю на этом интервале.

Из компактности отрезка $$ следует, что найдется такое натуральное $$, что $$ всюду на $$, следовательно $$ — многочлен.

3. Если каждая точка полуинтервала $$ правильная, то
сужение $$ на $$ — многочлен.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность $$ такую, что $$ сходится к $$. По доказанному в предыдущем пункте на каждом из отрезков $$ сужение $$ — многочлен. Пусть $$ — многочлен, совпадающий с $$ на отрезке $$. Ясно, что $$ для всех $$ Поэтому $$ совпадает с $$ на $$, значит и в точке $$. (Напомним, что $$ и $$ непрерывны всюду на $$).

Аналогично предыдущему легко доказать, что:

4. Если каждая точка полуинтервала $$ или интервала $$ — правильная, то $$ — многочлен на $$.

Приступим к исследованию неправильных точек, т.е. точек множества $$.

5. Множество $$ не содержит изолированных точек.

Действительно. Пусть $$ — изолированная точка. Тогда для некоторого $$ и $$ состоят из правильных точек. Значит, сужение $$ на $$ и на $$ многочлены. Ясно, что при достаточно большом $$ ($$ должно быть больше степеней каждого из этих многочленов) $$ будет равна нулю всюду на $$. Т.е. $$ является правильной точкой.

6. Пусть множество $$ неправильных точек не пусто. Положим $$. Ясно, что $$ и каждое $$ замкнуто. Из теоремы Бэра (см. 1.) следует, что найдется интервал $$ такой, что $$ и $$ лежит в одном из $$.

Рассмотрим функцию $$. Эта функция равна нулю в каждой точке $$. Так как каждая неправильная точка является предельной для множества $$, то $$ для всех целых $$ и всех $$.

Докажем, что $$ равна $$ всюду на $$. Пусть не так. Тогда найдется $$ такая, что $$. Так как множество $$ не пусто и замкнуто, то найдем в нем точку $$, ближайшую к $$. Для определенности положим $$. Функция $$ бесконечно много раз дифференцируема на $$ и все производные $$. Так как $$, то по теореме о конечных приращениях Лагранжа $$ не может быть равна нулю всюду на $$ ни для одного натурального $$.

---

Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы