Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…. Часть 2 / forpes.ru

Главная
Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…. Часть 2

Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…. Часть 2 -24

08.12.2019 06:59

supreme13 67 5500 Источник

Многие знают, что

$1 + 2 + 3 + \dots = -\dfrac{1}{12}.$

Но в действительности же

$1 + 2 + 3 + \dots = -\dfrac{1}{8}.$

Рассмотрим поподробнее первый результат. Разумеется, ряд из натуральных чисел расходится в классическом смысле (в смысле сходимости последовательности частичных сумм: она, понятно, не имеет предела). В этой статье автор упоминает о других методах суммирования, таких, как метод Чезаро и метод Абеля. Вот некоторые примеры: сумма такого ряда

$\sum\limits_{n \geqslant 0} (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$

с использованием метода Чезаро будет равна

$\dfrac12$ .

Другой пример:

$1 - 2 + 3 - 4 + 5 + \dots = \dfrac14.$

На мой взгляд, неправильно говорить, что сумма первого ряда равна

$\dfrac12$ ; правильно говорить, что сумма первого ряда в смысле Чезаро равна

$\dfrac12$ . Аналогично для второго: его сумма в смысле Абеля равна

$\dfrac14$ .

Ввиду этого в первом результате (то, что

$-\dfrac{1}{12}$ ) происходит подмена понятий, что приводит к противоречию со здравым смыслом.

Рассмотрим теперь более подробно второй результат. Сначала обозначим всю сумму за

$inline$ :

$1 + 2 + 3 + 4 + \dots = X.$

Теперь выполним такие преобразования:

$1 + 2 + 3 + 4 + \dots = 1 + \underbrace{2 + 3 + 4}_{9} + \underbrace{5 + 6 + 7}_{18} + \underbrace{8 + 9 + 10}_{27} + \dots =$

$1 + 9 + 18 + 27 + \dots = 1 + 9 \underbrace{\left(1 + 2 + 3 + \dots\right)}_X = X.$

Отсюда

$1 + 9X = X \Rightarrow X = -\dfrac{1}{8}.$

Существует и другой способ решения. Скомбинируем слагаемые иным образом:

$1 + 2 + \underbrace{3 + 4 + 5 + 6 + 7}_{25} + \underbrace{8 + 9 + 10 + 11 + 12}_{50} + \dots =$

$= 1 + 2 + 25 \underbrace{\left(1 + 2 + 3 + \dots\right)}_X = X,$

то есть

$1 + 2 + 25X = X \Rightarrow X = -\dfrac{3}{24} = -\dfrac{1}{8}.$

На самом деле, начиная с тройки, можно выделять по 7 слагаемых, сумма которых будет равна 49, и мы придем к уравнению

$display$

которое даст тот же результат.

В общем случае действовать нужно так: выделяем первые

$inline$ слагаемых, а далее в скобки берем по

$inline$ слагаемых:

$1 + \dots + n + \underbrace{\left(n + 1 + \dots + 3n + 1\right)}_{(2n + 1)^2} + \underbrace{\left(3n + 2 + \dots + 5n + 2\right)}_{2(2n + 1)^2} + \dots =$

$1 + \dots + n + (2n + 1)^2\left(1 + 2 + 3 + \dots\right) = X.$

Арифметическая прогрессия

$1 + \dots + n$ равна

$\dfrac{n(n+1)}{2}$ , поэтому получаем уравнение

$\dfrac{n(n+1)}{2} + (2n + 1)^2X = X,$

откуда получается, что

$X = -\dfrac{1}{8}.$

Комментарии (67)

maxzhurkin
08.12.2019 10:45
#20978182
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%84%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

AntonSor
08.12.2019 11:00
#20978208
Но это же софизм :)

Griboks
08.12.2019 11:06
#20978220
У вас X слева и X справа имеют разные значения, а обозначаются одной переменной. Если рассуждать вашей логикой, то
для любой длины последовательности N
в первом случае X = ?(1..N),
во втором случае X = ?(1..N) = 1 + ?(2..N) = 1 + 9 * ?(1..(N-1)/3).
Далее вы случайно совершаете ошибку, приняв ?(1..N) ? ?(1..(N-1)/3)…
1. Ketovdk
  08.12.2019 11:30
  #20978270
  на самом деле они равны, т.к. обозначают одно и то же. Но равны они бесконечности, а значит при умножении на 9 продолжают быть равны бесконечности, в этом и заключается софизм
  1. Griboks
    08.12.2019 12:07
    #20978326
    Бесконечности тоже бывают разные. Тогда уж надо говорить, что равны не бесконечности, а их порядок.
  1. maxzhurkin
    08.12.2019 15:03
    #20978648
    +1
    С бесконечностями нельзя обращаться так вольно
    
    tvr
    08.12.2019 15:10
    #20978668
    +1
    Они этого не прощают.

RedComrade
08.12.2019 11:39
#20978286
+1
не совсем понятно в каком контексте следует воспринимать рассуждения автора, и хорошо было бы иметь ссылку на первую часть, может это прольет свет на то что здесь происходит
1. Chatter_A
  08.12.2019 12:47
  #20978394
  habr.com/ru/post/53883 вроде оно. Учитывая, что и первая часть является манипуляцией, то в «Часть 2» можно написать любое число, заявлять об истинности и быть совершенно правым.

swelf
08.12.2019 12:43
#20978390
А может ктонибудь объяснить про -1/12, прочитал прошлую статью habr.com/ru/post/53883, прочитал вики.
Там везеде идет манипулирование с отдельными членами ряда дзета функции.
В итоге тот момент, где мы из первого ряда вычитаем второй ряд. мы берем 6 членов первого ряда и вычитаем из них 3 члена второго ряда, и почему-то считаем что это операция корректна.
Если переписать ряды не в виде 1^-s+2^-s+..., а через знак суммы, т.е. ? (i^-s) и проводить умножения и вычитания в таком виде, то красоты 1^-s — 2^-s + 3^-s — 4^-s не получится, а получится
? (i^-s) — ? (i^-s * 2 * 2^-s) = ? (1-2*2^-s)*i^-s = (1-2*2^-s)*1^-s + (1-2*2^-s)*2^-s + (1-2*2^-s)*3^-s + (1-2*2^-s)*4^-s= 1^-s — 2*2^-s + 2^-s — 2*4^-s + 3^-s — 2*6^-s + 4^-s — 2*8^-s = 1^-s — 2^-s + 3^-x — 4^-s — 2*6^-s — 2*8^-s
Числовые ряды ведь складываются почленно, верно?
A + B = ? (a_i + b_i)
А везде и в вики и в статье на хабре у нас получаеся такая ситуация
A = ?
B = ?(1-2^(1-s))
A — B = ?_1..n (a_i-b_i) + ?_n..2n (a_i)
Но разве мы можем так складывать ряды?
т.е.взяли половину второго ряда, под логунгом половина бесконечности все равно бесконечность, взяли первый ряд полностью и чего-то с ними сделали и заявляем что это эквивалетно операциям над «целыми» рядами
1. technic93
  08.12.2019 13:00
  #20978428
  Когда на хабр добавят нормальную поддержку математики?
  Там рассматривается случай больших s, когда ряд сходится, а потом говорят что определим для значений s когда не сходится так чтобы это было аналитическое продолжение зета-функции.
  Вы правы в знако-переменных рядах менять порядок слагаемых в общем случае нельзя, но для s > 1 ряд сходится абсолютно поэтому равенство верное. Если делать также для рядов не сходящихся абсолютно то можно получить что угодно хоть 1/12 хоть 1/8 хоть еще что-то.
  1. swelf
    08.12.2019 15:15
    #20978676
    +1
    Так дело не в перестановке, а в том что мы говорим, давайте вычтем B из A, а сами берем и вычитаем ряд состоящий из n элементов из ряда состоящего из 2n элементов.
    чтобы вычесть ряды мы должны сделать
    A — B = ? (a_i — b_i)
    а в статье делается
    A — B = ?_1..n (a_i — b_i) + ?_n..2n (a_i)
    
    technic93
    08.12.2019 15:38
    #20978706
    +1
    если оба ряда сходятся, то их разность тоже сходится, если знакопеременный ряд сходится абсолютно то можно переставлять. Не обязательно почленно можно группировать как угодно
    
    swelf
    08.12.2019 16:17
    #20978792
    так это
    1) они не сходятся же. особенно для s=-1 который нас инетерсует.
    2) О группировке речи не идет же, вроде как. Мы просто берем и выкидываем бесконечное число слагаемых(половину ряда), которые нам «мешают». Это как из ряда ? (-1)^i выкинуть все члены с четным i, заявить что они равнозначны и поведение рядов равнозначно.
    
    было так
    давайте вычтем ряды a1 + a2 + a3 + a4 +a5 +a6 — (b1 +b2 +b3+b4+b5+b6)
    чет не сходится, давайте выкинем половину слагаемых
    a1 + a2 + a3 + a4 +a5 +a6 — (b1 +b2 +b3)
    вот так лучше — доказали
    
    technic93
    08.12.2019 16:30
    #20978820
    1) Я же вам написал как правильно делать
    
    Там рассматривается случай больших s, когда ряд сходится, а потом говорят что определим для значений s когда не сходится так чтобы это было аналитическое продолжение зета-функции.
    2) Там не выкидывают там просто смещают, т.е. b4-b6 будут уже с а7-12 группироваться и так далее.
    
    swelf
    08.12.2019 17:26
    #20978918
    т.е. b4-b6 будут уже с а7-12
    
    Будут, только чтобы сошлось с a1-a12 нам придется выкинуть b7-b12, вы скажете что они будут, просто с a13-a24, я скажу будут, только там выкинут b13-b24. сколько мы там можем продолжать? Ряды же условно бесконечные, значит и выкинем бесконечное число b, по кол-ву равное половине длины ряда a.
    у нас получается
    ?_1..n (a_i — b_i) + ?_n..2n (a_i) — (?_n..2n (b_i))*0
    позволительно нам такое делать? Просто умножить суммы бесконечной половины ряда на 0? Но ведь именно это и делатся.
    Если просто смещать слагаемные, то они никуда не денутся и получится у вас не красивое 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6,
    а 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + (- 8 — 10 — 12)
    и то что первая часть суммы(без скобок) может нам давать 1/4 — ну ок(не то чтобы прям ок, но ладно)), то вторая часть(в скобках) почемуто просто игнорируется.
    Ловкость рук и никакого мошенства.
    Мы проводим некие махинации для конечно числа слагаемых, а потом переносим выводы на бесконечное число слагаемых.
    
    А можно так же сразу сделать в терминах ?() а не упрощенной записи 1 + 2 + 3…
    
    Там не выкидывают там просто смещают
    
    Да и вобще это как-то не по математически, спрячем под скатерть часть данных, сделаем вывод на тех что не спрятали и перенесем вывод на спрятанные вобще без обоснования законности такого переноса.
    
    technic93
    08.12.2019 18:04
    #20978998
    Вы продолжаете бесконечно, ничего не выкидывается. Если вы где то остановитесь тогда выкинете. Бесконечные множества так работают.
    
    swelf
    08.12.2019 18:32
    #20979050
    Вы продолжаете бесконечно, ничего не выкидывается.
    
    Я? да не) я пытаюсь понять, на чем основан один переход.
    После умножений и вычитаний у нас есть ряд
    A-B = ?_1..n (a_i — b_i) + ?_n..2n (a_i) — ?_n..2n (b_i)
    Мы выписываем несколько членов ЧАСТИ ряда, в частности для n=3
    (A-B)* = ?_1..n (a_i — b_i) + ?_n..2n (a_i) — вот этой части,
    и замечаем что сумма ряда (A-B)* = 1/4
    так вот, мой вопрос, почему если (A-B)* = 1/4 мы делаем вывод что и (A-B) = 1/4
    
    technic93
    08.12.2019 19:08
    #20979112
    А чему равно n? можно так и все ?_1..inf (a_i + a_2i — b_i)
    
    swelf
    08.12.2019 19:41
    #20979162
    Ну в статье для вывода о равенстве достаточно было n=3? почему ко мне вопросы то?
    конечно inf лучше, т.е. получается
    ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_i) == ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_2i + b_(2i-1))?
    почему?
    Откуда я получил правое равенство, ну для меня не очевидно что
    ?_1..inf (a_i) — ?_1..inf (b_i) = ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_i)
    зато очевидно что ?_1..inf (a_i) — ?_1..inf (b_i) = ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_2i + b_(2i-1))
    
    technic93
    08.12.2019 19:58
    #20979216
    +1
    К вам вопросов нету, просто… подразумевает такой формализм как вы написали через сумму по i, думаю в более серьезных местах чем хабр пишут через значок суммы.
    А последнее утверждение (кстати спасибо что исправили мои индексы не правильные) для меня выглядит верно т.к. и там и там присутствуют все члены последовательности b.
    
    swelf
    08.12.2019 23:29
    #20979692
    Если ты согласен с этим
    ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_i) == ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_2i + b_(2i-1))
    то согласен ли ты с этим
    ?_1..inf (a_i — b_2i — b_(2i-1) ) == ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_2i + b_(2i-1))
    ведь «и там и там присутствуют все члены последовательности b» и
    при n=3 допустим мы получим
    — 2 — 4 — 6 — 8 — 10 + 1 — 2 +3
    и последовательность выглядит совсем подругому
    а еще получаем
    ?_1..inf (a_2i + a_(2i-1) — b_i) == ?_1..inf (a_i — b_2i — b_(2i-1))
    
    technic93
    09.12.2019 02:20
    #20980004
    Да все верно, только не для s = 1
    Upd: все что вы тут проделали это же просто перестановка членов последовательности, о чем я говорил в начале. Понятное дело перестановка затрагивает бесконечное количество элементов, потому что в конечные перестановки тривиальны.

technic93
08.12.2019 13:00
#20978424
мимо. del.

justhabrauser
08.12.2019 14:46
#20978632
Многие знаю, что 1+2+3+… = -1/12
Я один завис на первой же фразе?
1. maxzhurkin
  08.12.2019 15:06
  #20978652
  +1
  Ниже идёт доказательство, но оно некорректное
  1. justhabrauser
    08.12.2019 15:09
    #20978664
    +1
    1+2+3+… = -1/8
    Это корректнее?
    То есть можно начать статью с фразы "Многие знают, что 2 x 2 = 5, но на самом деле 2 x 2 = 3"?
    
    maxzhurkin
    08.12.2019 19:55
    #20979204
    Это корректнее?
    разумеется, нет
    
    То есть можно начать статью с фразы «Многие знают, что 2 x 2 = 5, но на самом деле 2 x 2 = 3»?
    а почему вы меня об этом спрашиваете? Я точно так же негодую
1. technic93
  08.12.2019 15:40
  #20978712
  +1
  Ну читатели хабра могут и знать, там дальше ссылка идет https://habr.com/ru/post/53883/
  1. justhabrauser
    08.12.2019 15:43
    #20978718
    +1
    Читателей хабра не смущает, что сумма положительных чисел может быть отрицательной?
    Главное, что есть ссылка?
    
    technic93
    08.12.2019 15:48
    #20978732
    +1
    Все зависит от определений, бесконечные суммы могут быть определены по разному о чем говорится дальше ;)
    
    redial
    08.12.2019 15:55
    #20978748
    +1
    Таким же образом, можно написать после = любое число и заявить, что я ~~художник~~ математик, я так вижу. Главное, побольше ссылок на вики и подлинее доказательство, в котором будут группировки, преобразования, допущения и предположения. Частицы над вами смеются, горе математики.
    
    technic93
    08.12.2019 16:02
    #20978766
    +1
    Какие частицы? Действительно в математике можно ввести любую не противоречивую систему аксиом и посмотреть что будет. Будет ли это кому-то полезно? Может оказаться что через 50 лет да. Можно написать десятки книг (точнее они уже написаны) на тему истории науки и как "бесполезные открытия" становятся вдруг нужными. В частности физика частиц (элементарных частиц типа кварки и т.п.) это суровая математика, и методы регуляризации бесконечных сумм и интегралов (в частности про -1/12) используются во всю.
    
    justhabrauser
    08.12.2019 16:03
    #20978768
    +1
    А, понял: "косинус угла в военное время может достигать четырех".
    Всё относительно.
    
    technic93
    08.12.2019 16:05
    #20978772
    +1
    Да конечно статья провокационная, математики как раз очень аккуратны в определениях поэтому правильное определение в комментарии ниже https://habr.com/ru/post/479188/#comment_20978722
    
    justhabrauser
    09.12.2019 08:38
    #20980312
    Да вот, кстати, о птичках.
    И вот теперь и думай — это философия, юмор или бред.
    
    mayorovp
    09.12.2019 09:49
    #20980448
    +1
    Кстати, косунус комплексного угла и правда может достигать четырех...
    
    KvanTTT
    08.12.2019 18:36
    #20979060
    Не смущает. А вас не смущает, что можно взять корень из отрицательного числа и комплексный анализ имеет не только теоретическое, но и прикладное значение? Понятие о сумме натуральных чисел в таком виде тоже используется в физике (почитайте здесь).
    
    toyban
    08.12.2019 20:24
    #20979298
    -2
    А вас не смущает, что можно взять корень из отрицательного числа...
    Кто Вам такую чушь сказал? Это ж из какого отрицательного числа можно взять корень (квадратный, я так понимаю)?
    
    justhabrauser
    08.12.2019 20:52
    #20979354
    Из любого.
    RTFM "комплексные числа".
    
    toyban
    08.12.2019 20:57
    #20979372
    То есть Вам не составит труда сказать мне, сколько будет
    
    justhabrauser
    08.12.2019 21:05
    #20979392
    2.23606798i примерно.
    В гугле забанили?
    
    toyban
    08.12.2019 23:39
    #20979702
    -2
    То есть Вы утверждаете, что
    ?
    
    Верно? Где i — это вымышленная единица, т.е.
    .
    
    Я все правильно понимаю?
    
    Ну, тогда давайте немного поработаем с этим удивительным числом. Возьмем, например, его квадрат:
    
    Ух-ты! Как же здорово получилось! И в самом деле вышло -5. Удивительно… Но вот мой сосед говорит, что квадрат надо вот так брать:
    
    Хмм… Берем квадраты одного и того же числа, а ответы — разные! Вот же ж загадка! Какой же, однако, положительно интересный парадокс. Но хорошо, что Вас в гугле не забанили, и Вы сможете поведать нам всем, в чем же тут загвоздка.
    
    justhabrauser
    09.12.2019 00:01
    #20979760
    -1
    ~~Моя подруга со своим парнем~~ Ваш сосед Вас немного обманул (точнее — ~~ловкость рук и никакого мошенства~~ небольшая манипуляция, прям как в статье).
    Исходите с соседом из того, что SQRT(-5) == 0 + i*SQRT(5).
    
    Произведением двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di является комплексное число z1z2 = (ac-bd)+i(ad+cb).
    Вещественную часть нельзя проёпускать
    
    toyban
    09.12.2019 00:12
    #20979786
    -1
    Что i*sqrt(5) — это комплексное число, у меня сомнений нет. И поэтому умножать его надо по правилам произведения двух комплексных чисел.
    
    Но Вы не доказали, что sqrt(-5) — это комплексное число. Пока Вы только это постулировали
    
    Исходите из того, что SQRT(-5) == 0 + i*SQRT(5)
    Поэтому докажите, что SQRT(-5) — это комплексное число. А иначе к нему нельзя применять правила умножения комплексных чисел.
    
    justhabrauser
    09.12.2019 00:18
    #20979800
    -1
    Доказываю:
    1. SQRT(-5) — не комплексное и не число. Это формула. Операция.
    2. Результат операции — комплексное число:
    SQRT(-5) = SQRT(-1*5) = SQRT(-1)*SQRT(5) = i*SQRT(5) = 0 + i*SQRT(5)
    
    В вашем с соседом случае для возведения в степень комплексного числа надо почитать документацию.
    
    technic93
    09.12.2019 02:53
    #20980032
    Боюсь ваш тонкий юмор будет не понят
    
    justhabrauser
    09.12.2019 08:30
    #20980296
    Это тоже тонкий юмор?
    
    Refridgerator
    09.12.2019 06:36
    #20980176
    В поле комплексных чисел любое число — комплексное, даже если у него мнимая компонента равна нулю.
    
    toyban
    09.12.2019 09:44
    #20980436
    Ваш ответ мне нравится. Он и в самом деле доказывает, что корень из отрицательного действительного — комплексное число.
    
    Refridgerator
    09.12.2019 09:14
    #20980392
    (На всякий случай, вдруг дети читают) — в общем случае (aⁿ)^m ? (a^m)ⁿ.
    
    Refridgerator
    09.12.2019 09:46
    #20980440
    i — это не вымышленная единица, а мнимая, и не число, а символ. Её(его) используют для удобства записи и вычислений — манипулировать комплексными числами можно и без i, если записывать комплексное число как вектор.
    
    toyban
    09.12.2019 10:24
    #20980560
    Я в курсе, спасибо.
    
    По поводу "вымышленной единицы" — это калька на imaginary unit.
    
    vp_arth
    08.12.2019 21:05
    #20979394
    Непонятно, в чём конкретно заключается Ваше негодование:
    
    justhabrauser
    08.12.2019 20:50
    #20979350
    Корень из отрицательного числа не смущает, как и деление на 0.
    Даже то, что 1+2+3=11 не смущает (а это чистая правда).
    Смущает, что статья в хабе "Математика", а не "Хайп" или "Фокусы".
    
    KvanTTT
    08.12.2019 23:32
    #20979700
    Корень из отрицательного числа не смущает, как и деление на 0.
    А сами отрицательные числа не смущают? Как может быть -5 яблок? Сейчас может звучит забавно, но их тоже не признавали очень долгое время.
    
    Даже то, что 1+2+3=11 не смущает (а это чистая правда).
    Может в какой-то системе аксиом это и правда, но такая система бесполезная.
    
    Смущает, что статья в хабе "Математика", а не "Хайп" или "Фокусы".
    Меня тоже смущает, но только лишь из-за того, что автор неправильно использует математический аппарат.
    
    t13s
    09.12.2019 12:35
    #20981150
    Может в какой-то системе аксиом это и правда, но такая система бесполезная.
    
    Да нет, всего лишь пятеричная система счисления в общепринятой системе аксиом. А полезность таковой зависит от возможности и целесообразности имплементации «в железе».

valemak
08.12.2019 15:18
#20978682
+1
Немного странно, что статья заминусована, поскольку совершенно очевидно, что это воскресная шутка.

Также подобные статьи — занятный и лёгкий способ размять мозги, предоставив читателю возможность самостоятельно опровергнуть софистику в рассуждениях.
1. technic93
  08.12.2019 15:45
  #20978726
  +1
  Ну не первое апреля на дворе, все в приготовлениях к новому году а тут оказывается что сколько бы подарков они не купили продавец им всегда должен 12.5 рублей )))
1. justhabrauser
  08.12.2019 16:11
  #20978782
  +1
  Как бы хаб "Математика", а не "Юмор" или "1-е апреля".
  Здесь же тусят разные "интересные" личности, всякое бывает.

vp_arth
08.12.2019 15:36
#20978704
+2
Несложно «доказать», что 1-2+3-4… равно чему угодно, хоть ?

1. Выбираем положительные члены, пока бегущая сумма(по Чезаро? Или просто среднее) меньше нужного числа.
2. Выбираем отрицательные пока больше.
3… (Предельный переход)
4. Профит

Shkaff
08.12.2019 15:43
#20978722
+2
Сумма бесконечного числового ряда расходится (бесконечна), как ни считай. Обобщенная сумма, которая и дает результат -1/12, к обычному суммированию имеет очень опосредованное отношение: это просто другая математическая операция, и нет ничего удивительного в том, что ее результат противоречит логике обычного суммирования.
1. Refridgerator
  09.12.2019 11:50
  #20980938
  Сумму бесконечного расходящегося числового ряда можно посчитать, если придать ему дополнительный смысл — например, рассматривая как разложение в ряд Тейлора некоторой функции, например x²/(1+x²)² = x²-2x⁴+3x⁶-4x⁸+5x¹⁰… Взяв x=1, слева получим конкретное число, а справа — расходящийся ряд.
  1. Shkaff
    09.12.2019 12:51
    #20981230
    Тут несколько иное. Хотя формально эта сумма тоже не «обычная», а по Абелю, суммирование тут обладает обычными свойствами суммирования. Я, конечно, в первую очередь говорил о сумме положительных чисел, как из примера в статье.

sbnur
08.12.2019 15:57
#20978752
+1
Все это жевано-пережевано — лучше бы учились прилежно — глядишь, что-нибудь путное придумали

ganqqwerty
08.12.2019 22:11
#20979532
-1
Дайте угадаю — статья сгенерирована нейронкой?

GarryC
09.12.2019 10:53
#20980696
Это не трюк и не фокус.

Верная формулировка утверждений поста:
1. Предположим, что сумма 1+2+3+… сходится (ограничена) (неверная посылка, это можно доказать).
2. Тогда 1+2+3+… можно записать в виде (далее по тексту)
и можно показать, что 1+2+3+...=-1/8

Как известно, из ложного предположения следует все, что угодно.