Главная
Конечные модели реакций и ударных сил в задачах о движении систем с неудерживающей связью

Конечные модели реакций и ударных сил в задачах о движении систем с неудерживающей связью +10

16.08.2015 23:00

maisvendoo 15 4604 Источник

Введение

В этой статье предлагается рассмотреть нетрадиционный подход к решению задач о движении механической системы с неудерживающей связью. При решении подобных задач приходится анализировать условия, при которых происходит освобождение системы от связи, а так же решать вопрос об изменении характера движения системы при возврате на связь, тесно связанный с понятием механического удара. Для примера того, как можно формализовать подобное движение, рассмотрим простую задачу

1. Постановка задачи

Внутри неподвижного гладкого горизонтального стального цилиндра длиной $L = 0.5$ , м расположен гладкий стальной поршень массой $m = 2.0$ , кг. Поршень находится в покое и прижимается к левому торцу цилиндра цилиндрической пружиной жесткости $c = 50$ , Н/м.

Рис. 1. Расчетная схема к задаче о движении поршня

Пружина имеет усилие предварительной затяжки $F_0 = 50$ , Н. В момент времени $t = 0$ на поршень начинает действовать горизонтальная сила $\vec P$ , модуль которой изменяется по закону $P(t) = b \, t$ , где $b = 25$ , Н/с. Когда поршень проходит первую половину цилиндра сила $\vec P$ прекращает действовать.

Требуется найти закон движения поршня $x(t)$ . Коэффициент восстановления при ударе поршня о левый торец цилиндра принять $k = \frac{5}{9}$ .

2. Численно-аналитическое решение задачи

2.1. Определение момента времени начала движения поршня

Составим дифференциальное уравнение движения поршня

$m \, \ddot x = P - F_e + N$

где $F_e$ — сила упругости, действующая со стороны пружины и равная $F_e = c \, x + F_0$ ; $N \ge 0$ — реакция, действующая со стороны торца цилиндра. Мы приходим к уравнению

$m \, \ddot x = b \, t - c \, x - F_0 + N$

Очевидно, что движение поршня начнется только в тот момент времени, когда сила $\vec P$ достигнет величины, превышающей усилие первоначальной затяжки пружины. Найдем этот момент времени, полагая поршень покоящимся

$x = 0$

Уравнение (2) описывает связь, ограничивающую движение цилиндра. Подставляя (2) в (1) найдем величину реакции связи

$N(t) = F_0 - b \, t$

Движение поршня начнется в момент времени $t_1$ , когда он перестанет давить на торец цилиндра, то есть при $N(t_1) = 0$ . Отсюда получаем момент начала движения

$t_1 = \frac{F_0}{b}$

2.2. Закон движения поршня под действием силы P(t)

С учетом данных задачи $t_1 = 2$ , c. При $t > t_1$ введем новый отсчет времени $\tau$ , такой что $t = \tau + t_1$ уравнение (1) примет вид

$\ddot x + \omega_0^2 \, x = \frac{b}{m} \, \tau + \frac{b}{m} \, t_1 - \frac{F_0}{m}$

где $\omega_0 = \sqrt{\frac{c}{m}}$ — собственная частота колебаний поршня. С учетом выражения (3) получаем некоторое упрощение

$\ddot x + \omega_0^2 \, x = \frac{b}{m} \, \tau$

Общее решение данного линейного уравнения имеет вид

$x(\tau) = x_0(\tau) + x_p(\tau)$

где $x_0(\tau) = C_1 \, \cos\omega_0 \tau + C_2 \, \sin\omega_0 \tau$ — общее решение однородного уравнения; $x_p(\tau)$ частное решение неоднородного уравнения, которое будем искать в виде линейной функции

$x_p = A \, \tau + B$

Подставляя (5) в (4) получаем уравнения относительно неизвестных коэффициентов A и B (5)

$\begin{align*} &B = 0, \&\omega_0^2 \, A = \frac{b}{m} \end{align*}$

С учетом (6) получаем общее решение уравнения (4)

$x(\tau) = C_1 \, \cos\omega_0 \tau + C_2 \, \sin\omega_0 \tau + \frac{b}{m \, \omega_0^2} \, \tau$

При $\tau = 0$ мы имеем нулевые начальные условия, исходя из которых определяем величины постоянных интегрирования в (7)

$C_1 = 0, \quad C_2 = -\frac{b}{m \, \omega_0^3}$

Получаем окончательно, для $t > t_1$

$x_1(t) = \frac{b}{m \, \omega_0^2} \, \left[t - t_1 - \frac{1}{\omega_0} \, \sin\left(\omega_0 \,(t - t_1)\right) \right]$

Решая численно трансцендентное уравнение

$\frac{L}{2} = \frac{b}{m \, \omega_0^2} \, \left[t_2 - t_1 - \frac{1}{\omega_0} \, \sin\left(\omega_0 \,(t_2 - t_1)\right) \right]$

Найдем момент времени $t_2$ , когда поршень достигнет середины цилиндра.

$t_2 = 2.564, \, \rm c$

2.3. Движение поршня после прекращения действия P(t) до соударения

В момент времени $t_2$ сила $\vec P$ прекращает действие, и уравнение движения поршня примет вид

$\ddot x + \omega_0^2 \, x = -\frac{F_0}{m}$

Решая его при начальных условиях $x_1(t_2) = \frac{L}{2} = 0.25, \quad \dot x_1(t_2) = v_2 = 0.974$ , получим решение для $t > t_2$

$x_2(t) = \left(\frac{L}{2} + \frac{F_0}{m \, \omega_0^2}\right)\, \cos\left(\omega_0 (t - t_2) \right) + \frac{v_2}{\omega_0} \, \sin\left(\omega_0 (t - t_2) \right) - \frac{F_0}{m \, \omega_0^2}$

Из (9) находим, что поршень продвинется вперед на расстояние $x_{\max} = 0.265$ , м, а затем начнет двигаться в обратную сторону, ударившись о левый торец цилиндра в момент времени $t_3 = 2.726 c$ со скоростью $v_3 = \dot x_2(t_3) = -3.874$ , м/с.

2.4. Движение поршня после соударения с цилиндром

В соответствии с классической теорией удара, при коллинеарном ударе тела о неподвижную преграду справедливо уравнение для коэффициента восстановления

$k = -\frac{u_n}{v_n}$

где $k$ — коэффициент восстановления; $v_n$ — проекция скорости внедрения тела в препятствие на нормаль к его поверхности; $u_n$ — проекция скорости отскока тела от препятствия на нормаль к его поверхности. Таким образом, после первого соударения поршень приобретет скорость

$u_1 = -k \, v_3$

и в соответствии с уравнением (8), при $t > t_3$ будет двигаться по закону

$x_3(t) = \frac{F_0}{m \, \omega_0^2} \, \left( \cos\left(\omega_0 (t - t_3) \right) - 1\right) - \frac{k \, v_3}{\omega_0} \, \sin\left(\omega_0 (t - t_3) \right)$

В некоторый момент времени $t_4$ произойдет следующее соударение после которого поршень будет двигаться по закону.

$x_4(t) = \frac{F_0}{m \, \omega_0^2} \, \left( \cos\left(\omega_0 (t - t_4) \right) - 1\right) - \frac{k^2 \, v_3}{\omega_0} \, \sin\left(\omega_0 (t - t_4) \right)$

После n-го соударения поршень будет двигаться по закону

$x_{n+2}(t) = \frac{F_0}{m \, \omega_0^2} \, \left( \cos\left(\omega_0 (t - t_{n+2}) \right) - 1\right) - \frac{k^n \, v_3}{\omega_0} \, \sin\left(\omega_0 (t - t_{n+2}) \right)$

где $t_{n+2}$ — момент соударения, определяемый из уравнения $x_{n+1}(t_{n+2}) = 0$ .

2.5. График закона движения поршня

Полученные аналитические зависимости, с учетом исходных данных задачи, дают график зависимости координаты поршня от времени

В процессе решения задачи видно, что она разбивается на несколько этапов, для каждого из которых используются несколько различные дифференциальные уравнения. Кроме того, для расчета скорости поршня после удара используется алгебраическое уравнение (10).

Мы рассматриваем достаточно простую систему, в которой всего одна деталь освобождается от связи и испытывает периодические соударения с ней. А если таковых деталей будет больше, а дифференциальные уравнения их движения и характер взаимодействия сложнее? Нельзя ли заменить приведенную выше дифференциально-алгебраическую систему уравнений одним дифференциальным уравнением, работающим во всех случаях? Можно.

3. Нелинейная упруго-вязкая модель ударной силы

В нашей задаче реакция связи является по сути упругой силой, препятствующей внедрению поршня в преграду. То же самое касается и соударения. В литературе описан подход, основанный на допущении, что при соударении тел упругой деформации подвергается лишь незначительная их часть. Такой подход позволяет описать удар и контактное взаимодействие со связью происходящим при посредничестве безынерционного, в общем случае нелинейного силового элемента, как показано на рисунке ниже.

В этом случае процесс соударения может быть описан дифференциальным уравнением следующего вида

$m \, \ddot x = -F(x, \, \dot x)$

где ударная сила описывается зависимостью вида

$F(x, \, \dot x) = \begin{cases} &0, \quad x \le 0 \&S(x, \, \dot x), \quad x > 0 \end{cases}$

при этом, в процессе удара, начало координат помещается на поверхность препятствия. Поведение системы при ударе во многом определяется видом зависимости $S(x, \, \dot x)$ , поиск которой в разное время осуществлялся разными исследователями. Широко известна линейная модель Кельвина-Фохта, дающее выражение

$S(x, \, \dot x) = c_k \, x + \beta \, \dot x$

где $c_k$ — контактная жесткость в точке соударения; $\beta$ — коэффициент диссипации, учитывающий вязкость материала. Однако, в данной модели, при прочих её недостатках, коэффициент восстановления при ударе (10) не зависит от скорости соударения, что противоречит экспериментальным данным.

В работе Боровин Г.К., Дягель Р.В., Лапшин В.В. Нелинейная вязкоупругая модель коллинеарного удара предложена модель, в соответствии с которой модуль ударной силы вычисляется по формуле

$S(x,\,\dot x) = f(x) \, (1 + \beta \, \dot x)$

где $f(x)$ — упругая составляющая; $\beta$ — коэффициент диссипации, учитывающий вязкость материала. Упругая составляющая в (11) может линейно зависеть от деформации

$f(x) = c_k \, x$

для случая, когда поверхности в зоне соударения плоские, так и нелинейно, в соответствии с квазистатической моделью Герца

$f(x) = c_k \, x^{\frac{3}{2}}$

для выпуклых поверхностей. Модель (11) носит название нелинейной упруго-вязкой модели Ханта-Кроссли. В работе Боровина Г. К., Дягеля Р. В. и Лапшина В. В. приведено подробное аналитическое исследование процесса удара с использованием модели Ханта-Кроссли. Я ограничусь упоминанием того факта, что при использовании модели (11) получается зависимость коэффициента восстановления от скорости соударения, хорошо согласующаяся с экспериментальными данными. На рисунке ниже представлена зависимость коэффициента восстановления от скорости соударения и коэффициента $\beta$ .

Рис. 2. Зависимость коэффициента восстановления от скорости соударения при различных коэффициентах диссипации

Попробуем использовать данную модель при решении нашей задачи.

4. Решение задачи численно, с применением модели Ханта-Кроссли

Если реакцию торца цилиндра перевести в разряд активных сил, то, опираясь на выражение (11) получим дифференциальное уравнение движения

$m \, \ddot x = P(t, x) - c \, x - F_0 + N(x, \, \dot x)$

Учитывая, что при взаимодействии цилиндра со связью $x \le 0$ , запишем выражение для реакции торца цилиндра

$N(x, \, \dot x) = \begin{cases} 0, \quad x > 0 \-c_k \, x \, \left(1 - \beta \, \dot x \right), \quad x \le 0 \end{cases}$

Такая модель хорошо отражает характер взаимодействия поршня и цилиндра при статическом контакте — равенство нулю скорости в (13) дает выражение для силы упругости, которой по сути является опорная реакция.

По условию задачи усилие $\vec P(t)$ перестает действовать при прохождении поршнем середины цилиндра, поэтому зададим эту зависимость следующей функцией

$P(t, x) = \begin{cases} b \, t \quad x < \cfrac{L}{2}, \0, \quad x \ge \cfrac{L}{2} \end{cases}$

Примем следующие значения параметров: контактная жесткость $c_k = 1 \cdot 10^{10}$ , Н/м; коэффициент диссипации выбираем исходя их заданного в задаче коэффициента восстановления $k = \frac{5}{9}$ и оценки скорости первого соударения (3,8 м/с) полученной нами при аналитическом решении задачи — $\beta = 0,31$ (по графику на рисунке 2). Численное интегрирование при нулевых начальных условиях дает результат, который мы сразу сравним с аналитическим

И мы видим, что численное решение задачи с применением непрерывной модели ударной силы (13) дает решение, совпадающее с аналитическим вплоть до второго соударения. После второго соударения сказывается зависимость коэффициента восстановления от скорости удара, которая не учитывается классической моделью удара Ньютона, использованной нами при аналитическом решении задачи. Исходя из графика на рисунке 2, можно сказать, что с уменьшением скорости растет коэффициент восстановления, а значит амплитуда «отскоков» поршня от торца цилиндра будет несколько больше, чем в случае аналитического решения.

При коэффициенте $\beta = 0,5$ получаем более быстрое затухание колебаний поршня

Заметим, что полученный результат вполне соответствует аналитическому решению, причем для изучения движения данной системы используется лишь одно дифференциальное уравнение (12)

Выводы

Рассмотренный нами подход, состоящий в замене реакций неудерживающей связи активной силой (13) имеет неоспоримое преимущество: движение описывается дифференциальными уравнениями. Мы избавлены от необходимости разбивать движение системы на интервалы, анализа условия возврата на связь и «припасовывания» начальных условий. Решение задачи — непрерывное интегрирования оной системы уравнений движения на всем интервале времени. Это особенно актуально для анализа движения более сложных механизмов.

Недостатком подхода является жесткость уравнения (12). Вы наверняка обратили внимание на огромное значение контактной жесткости. Это вынуждает применять специальные методы численного интегрирования систем ОДУ, в частности в данном случае автором использован метод Рунге-Кутты-Фельберга 5 порядка. Данный метод имеет переменный шаг интегрирования, зависмость которого от времени выглядит так

Сопоставляя данный график с графиком решения, можно увидеть, что возврат поршня на связь вызывает уменьшение шага.

В любом случае, данный подход имеет право на существование и дальнейшие исследования покажут, насколько оправдано его использование.

Благодарю за внимание!

Комментарии (15)

Misery
17.08.2015 10:30
#8538797
Счастливый владелец ППП? :)
1. maisvendoo
  17.08.2015 11:00
  #8538829
  Что, простите? :)
  1. Misery
    17.08.2015 11:04
    #8538837
    Пружинно-поршневая пневматика же!)
    
    maisvendoo
    17.08.2015 11:16
    #8538849
    А, да нет. Задача придумана для иллюстации

pchelintsev_an
17.08.2015 22:47
#8540087
А как численно решали задачу в пункте 4? Ведь правая часть дифференциального уравнения (12) разрывна по неизвестной функции и её производной.
1. maisvendoo
  18.08.2015 00:55
  #8540247
  Ведь правая часть дифференциального уравнения (12) разрывна по неизвестной функции и её производной.
  
  Почему разрывна?
  
  Решал методом Рунге-Кутты-Фельберга
  1. pchelintsev_an
    18.08.2015 11:28
    #8540497
    Функция P(t, x) непрерывна в окрестности точки (0, 0), но разрывна, например, в точке (1, L/2). Или решения в таких точках не рассматриваются?
1. maisvendoo
  18.08.2015 01:25
  #8540253
  Там есть устранимый разрыв 1-го рода в точке x = 0, но разве это должно осложнить численное решение?
  1. pchelintsev_an
    18.08.2015 11:21
    #8540483
    1. Из-за негладкости правой части дифференциального уравнения по x может произойти скачок в погрешности решения при переходе от одного куска к другому.
    2. При негладкой правой части возникает вопрос о единственности получаемого решения, поскольку в этом случае в окрестности, где рвётся производная правой части, не выполняется условие Липшица. По теореме существования и единственности у системы диф. уравнений должны быть непрерывными не только правая часть в области, где стоится решение, но и частные производные по неизвестным функциям. В Вашем случае по x и x'. Например, если взять частную производную от функции N по x, то получится, что в окрестности нуля она будет рваться.
    
    maisvendoo
    18.08.2015 13:42
    #8540789
    По теореме существования и единственности у системы диф. уравнений должны быть непрерывными не только правая часть в области, где стоится решение, но и частные производные по неизвестным функциям. В Вашем случае по x и x'. Например, если взять частную производную от функции N по x, то получится, что в окрестности нуля она будет рваться.
    
    Да, производные по фазовым переменным от правой части с разрывом 2-го рода. Этот вопрос не рассматривался, но теперь мне есть о чем подумать

HomoLuden
18.08.2015 11:26
#8540495
В задаче рассматривается пневмо-поршень, если правильно понимаю. Почему нету в уравнениях первой части демпфирования? При этом вязкость во второй части все же рассматривается.
1. maisvendoo
  18.08.2015 13:40
  #8540779
  Нет, это не превмопоршень. Сила P(t) просто внешняя сила изменяющаяся по заданному в условии закону. Акцент в задаче сделан на движение тела при наложенной на него неудерживающей связи — освобождение от связи и последующий возврат. Ни о какой пневматике и гидравлике речи нет.
  
  Рассматриваемая вязкость — это вязкость, связанная со свойствами материалов поршня и цилиндра и задействована она только в процессе соударения
1. maisvendoo
  18.08.2015 13:50
  #8540813
  То что рассматривается в задаче ближе к вот этой штуке
  
  — поглощающий аппарат автосцепки вагона. Только, в силу иллюстративного характера статьи и акцента на взаимодействии подвижных частей со связями не рассматриваются фрикционные клинья 4. Только поршень 5 (нажимной конус) и пружина 6 и 7
  1. HomoLuden
    19.08.2015 11:05
    #8541885
    Т.е. величина сил от газодинамического демпфирования в данной задаче пренебрежимо малы?
    
    maisvendoo
    19.08.2015 19:01
    #8542527
    Именно так