В финансах есть задачи по оценке инвестиционных проектов, в которых находится целый ряд показателей по значениям которых даётся общая оценка. Это такие показатели как срок окупаемости проекта, приведённый доход, чистый приведённый доход и т. д. Как правило, для определения каждого из показателей существуют свои формулы, в которые, просто, нужно подставить исходные данные, вычислить и получить результат. Но есть один из показателей, который простой подстановкой данных в формулу не решается. Этот показатель называется "внутренняя норма доходности". В настоящее время существует большое множество различного программного обеспечения для финансистов, которое позволяет вести все вычисления автоматически, не задумываясь о том, как всё происходит внутри.
Итак, предположим нам дана таблица, в которой приведены данные некоторого инвестиционного проекта:
![image](https://habrastorage.org/files/ab2/774/045/ab2774045f5041dbbfdb47fd2688da97.png)
Где:
C — первоначальные инвестиции (величина всегда отрицательная);
Vj — финансовые поступления от реализации проекта в j-ом периоде;
j — порядковый номер периода (календарного года).
Также нам дана процентная годовая ставка дисконтирования — i.
Нам нужно определить внутреннюю норму доходности данного проекта — IRR.
Внутренняя норма доходности вычисляется так: нужно подобрать такое значение процентной ставки IRR, чтобы решилось уравнение:
![image](https://habrastorage.org/files/f89/6a9/42a/f896a942a6fb48fa9befbcc40f2da397.png)
В нашем случае, первоначальные вложения (инвестиции) в проект осуществлялись только один раз, согласно заданной таблице — в нулевой год, соответственно, выше представленное уравнение примет следующий вид:
![image](https://habrastorage.org/files/9f9/285/353/9f928535390946428e94faf7a6d3897e.png)
Для определения внутренней нормы доходности, ещё понадобится формула определения общего чистого приведённого дохода (NPV) для пяти периодов финансовых поступлений:
![image](https://habrastorage.org/files/161/eb4/d10/161eb4d103af47e8af5406a4927d6bd2.png)
Где PVj — приведённый доход за j-ый период:
![image](https://habrastorage.org/files/a85/7c0/ae6/a857c0ae6ea745f4bcbf8ab7ebc72a10.png)
Если заменить выражением
выражение
в формуле определения приведённого дохода PV, которую затем подставить в формулу определения общего чистого приведенного дохода NPV, то получим следующую функцию:
![image](https://habrastorage.org/files/094/280/130/09428013058442f79ca0590f84a6fc8a.png)
Если заменим искомую величину IRR при которой
на величину процентной ставки r которая меняется на интервале от 0 до 100% то получим функцию:
![image](https://habrastorage.org/files/868/ef0/f34/868ef0f345624318b4a1e784ce54fcea.png)
график которой представлен на рисунке ниже:
![image](https://habrastorage.org/files/450/cbb/1c0/450cbb1c0d574858a5df8b6323ff39c1.png)
Из графика видно, что задача поиска внутренней нормы доходности IRR (NPV(IRR)=0) сводится к поиску точки пересечения графика с осью абсцисс, которую можно найти любым из численных методов.
Возьмём, для примера, численный метод Ньютона. Имея данные, из заданной таблицы, составим степенную функции одной переменной x для инвестиционного проекта:
![image](https://habrastorage.org/files/1a7/8ba/12d/1a78ba12dabf44d88fbe840a53db8bb4.png)
Последовательность приближения к значению множителя дисконтирования строится от начального значения x0=1 по следующей формуле:
![image](https://habrastorage.org/files/883/530/661/883530661f4641d9941182f1576e6c76.png)
Где:
k — номер шага итерации;
— производная от степенной функции:
![image](https://habrastorage.org/files/920/2a7/d9e/9202a7d9e14445a084c85b67cf7e7e17.png)
Каждое вновь вычисленное значение xk подставляется в формулу
(данная формула выводится из формулы определения дисконта), затем каждое вновь вычисленное значение rk, в свою очередь, подставляется в формулу
. Последовательность приближений осуществляется до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность, т. е. подбор значения множителя дисконтирования xk осуществляется до тех пор, пока не выполнится условие f(rk) ? ?, где ? – заданная точность (например 0,001). Значение rk при котором выполнится неравенство и есть искомая внутренняя норма доходности IRR.
Итак, предположим нам дана таблица, в которой приведены данные некоторого инвестиционного проекта:
![image](https://habrastorage.org/files/ab2/774/045/ab2774045f5041dbbfdb47fd2688da97.png)
Где:
C — первоначальные инвестиции (величина всегда отрицательная);
Vj — финансовые поступления от реализации проекта в j-ом периоде;
j — порядковый номер периода (календарного года).
Также нам дана процентная годовая ставка дисконтирования — i.
Нам нужно определить внутреннюю норму доходности данного проекта — IRR.
Внутренняя норма доходности вычисляется так: нужно подобрать такое значение процентной ставки IRR, чтобы решилось уравнение:
![image](https://habrastorage.org/files/f89/6a9/42a/f896a942a6fb48fa9befbcc40f2da397.png)
В нашем случае, первоначальные вложения (инвестиции) в проект осуществлялись только один раз, согласно заданной таблице — в нулевой год, соответственно, выше представленное уравнение примет следующий вид:
![image](https://habrastorage.org/files/9f9/285/353/9f928535390946428e94faf7a6d3897e.png)
Для определения внутренней нормы доходности, ещё понадобится формула определения общего чистого приведённого дохода (NPV) для пяти периодов финансовых поступлений:
![image](https://habrastorage.org/files/161/eb4/d10/161eb4d103af47e8af5406a4927d6bd2.png)
Где PVj — приведённый доход за j-ый период:
![image](https://habrastorage.org/files/a85/7c0/ae6/a857c0ae6ea745f4bcbf8ab7ebc72a10.png)
Если заменить выражением
![image](https://habrastorage.org/files/43a/448/018/43a4480188014c1a92f9a60c483254bc.png)
![image](https://habrastorage.org/files/5c9/71e/003/5c971e003755404d9e5a67c4ef075c8e.png)
![image](https://habrastorage.org/files/094/280/130/09428013058442f79ca0590f84a6fc8a.png)
Если заменим искомую величину IRR при которой
![image](https://habrastorage.org/files/1d5/8c0/9de/1d58c09de827418da73715e976eb8d7f.png)
![image](https://habrastorage.org/files/868/ef0/f34/868ef0f345624318b4a1e784ce54fcea.png)
график которой представлен на рисунке ниже:
![image](https://habrastorage.org/files/450/cbb/1c0/450cbb1c0d574858a5df8b6323ff39c1.png)
Из графика видно, что задача поиска внутренней нормы доходности IRR (NPV(IRR)=0) сводится к поиску точки пересечения графика с осью абсцисс, которую можно найти любым из численных методов.
Возьмём, для примера, численный метод Ньютона. Имея данные, из заданной таблицы, составим степенную функции одной переменной x для инвестиционного проекта:
![image](https://habrastorage.org/files/1a7/8ba/12d/1a78ba12dabf44d88fbe840a53db8bb4.png)
Последовательность приближения к значению множителя дисконтирования строится от начального значения x0=1 по следующей формуле:
![image](https://habrastorage.org/files/883/530/661/883530661f4641d9941182f1576e6c76.png)
Где:
k — номер шага итерации;
![image](https://habrastorage.org/files/724/830/2a0/7248302a0ad041ba8d09630ac9812f71.png)
![image](https://habrastorage.org/files/920/2a7/d9e/9202a7d9e14445a084c85b67cf7e7e17.png)
Каждое вновь вычисленное значение xk подставляется в формулу
![image](https://habrastorage.org/files/fb3/e05/69f/fb3e0569fdc849cab16a7ea501ce1fd9.png)
![image](https://habrastorage.org/files/c73/bfb/436/c73bfb43653d460bba8f344c68260481.png)