19.11.2021 16:03
Maksim_11 33 5300 Источник

Немного теории.

Для начала разберемся с тем, что такое лошадиные силы и устроим небольшой экскурс в школьную физику.

1 л.с. - это мощность, затрачиваемая при вертикальном подъёме груза массой 75 кг со скоростью 1 м/с.

F = mg = 75\text{ кг} \cdot 9.8\text{ Н/кг} = 735 \text{ Н} - \text{сила тяжести груза}

Как известно, мощность показывает, какую работу совершает тело в единицу времени:

P = \dfrac{A}{t}

Работа равна произведению силы на перемещение: A = F*S. Учитывая, что скорость V=S/t, получим:

P = F\cdot \dfrac{S}{t} = F\cdot V = 735\text{ Н} \cdot 1 \text{ м/с} = 735 \text{ Вт}

Получаем формулу для перевода лошадиных сил в принятую в международной системе СИ единицу измерения мощности - Ватт:

1 \text{ л.с.} = 735 \text{ Вт}

Перейдем к основной части, а именно - к техническим характеристикам автомобиля.

Некоторые характеристики и расчёты будут приводиться приближенно, поскольку мы не претендуем на умопомрачительную точность расчетов, важнее понять физику и математику процесса.

m = 2 тонны = 2000 кг - масса автомобиля (масса авто 1940 кг, считаем что в ней водитель массой 60 кг и больше ничего/никого).
P = 670 л.с. (по паспорту 625 л.с., но реально мощность выше - измерено на динамометрическом стенде в ролике DSC OFF https://www.youtube.com/watch?v=ysg0Depmyjc. В этой статье мы ещё обратимся к замерам отсюда.)
Разгон 0-100 км/ч: 3.2-3.3 с (по паспорту, замерам)
Разгон 100-200 км/ч: 7.5-7.6 с (по паспорту, замерам)

Мощность двигателя генерируется на маховике, потом через сцепление передается в КПП, далее через дифференциалы, привода, карданный вал передается на колёса. В результате эти механизмы поглощают часть мощности и итоговая мощность, поставляемая к колесам, оказывается меньше на 18-28%. Именно мощность на колесах определяет динамические характеристики автомобиля.

У меня нет сомнений в гениальности инженеров БМВ, но, для начала, возьмем для удобства потери мощности 20%.

Вернемся к нашим физическим баранам. Для вычисления разгона нам нужно связать мощность со скоростью и временем разгона. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона:

F = ma, \text{где } F - сила, m - \text{масса тела}, \\a - \text{ускорение, сообщаемое силой } F \text{ телу массой }m.\\a = (V-V_0)/t - ускорение - \text{изменение скорости за время } t.\\S = x_0 + V_0\cdot t + \dfrac{at^2}{2} - \text{путь, пройденный телом за время }t, \\x_0 - \text{начальная координата}, V_0 - \text{начальная скорость}, a - ускорение. \\ \text{Для удобства будем считать }x_0 = 0.\text{ Для разгона }0-100 \dfrac{км}{ч}: V_0 = 0.

Вооружившись этими знаниями, получим конечную формулу:

P = \dfrac{FS}{t}=\dfrac{ma\cdot S}{t} = \dfrac{ma \cdot \dfrac{at^2}{2}}{t} = \dfrac{ma^2t}{2} = \dfrac{m\left(\dfrac{V-V_0}{t}\right)^2 t}{2}=\dfrac{m(\Delta V)^2}{2t}

Выражая отсюда t, получим итоговую формулу для вычисления разгона:

t = \dfrac{m(\Delta V)^2}{2P}

На самом деле в паспорте автомобиля указывается максимальная мощность, достигаемая двигателем при определенном числе оборотов. Ниже приведена зависимость мощности двигателя от числа оборотов (синяя линия). Строго говоря, параметры этой кривой зависят от номера передачи, так что для определенности скажем, что график для 5й передачи.

Главное, что мы должны усвоить из этого графика - мощность автомобиля не постоянна во время движения, а увеличивается по мере роста оборотов двигателя.

Перейдем к расчету разгона от 0 до 100 км/ч. Переведем скорость в м/с:

100 \dfrac{км}{ч} = 28 \dfrac{м}{с}

При разгоне от 0 до 100 км/ч автомобиль практически сразу переключается с первой передачи на вторую, и при достижении около 90 км/ч переключается на третью. Будем считать, что на всём протяжении разгона автомобиль разгоняется на второй передаче, причем максимальная мощность будет меньше 670 л.с., поскольку передача ниже пятой. Возьмём в качестве начальной мощности при 0 км/ч мощность 150 л.с. (при 2000 об/мин), конечную - 600 л.с. (7000 об/мин):

Чтобы не считать сложные интегралы для вычисления средней мощности, скажем следующие слова: учитывая приближенный характер наших расчетов, проскальзывание авто при ускорении, а также сопротивление воздуха (хотя при разгоне от 0 до 100 оно играет не такую большую роль, как при разгоне до 200 км/ч), будем считать, что мощность зависит от скорости линейно, тогда средняя мощность при разгоне от 0 до 100 км/ч составляет:

<P>=\dfrac{150+600}{2}=375 \text{ л.с.}

Пришло время учесть потери мощности, о которых было сказано ранее, а заодно перевести мощность в кВт (1 кВт = 1000 Вт) для удобства. Потери мощности 20%, значит эффективность 80%=0.8:

P = P_{реальная}=375\cdot 735 \text{ Вт} \cdot 0.8 = 220500 \text{ Вт} = 220 \text{ кВт}

Теперь подставляем всё в конечную формулу:

t = \dfrac{m(\Delta V)^2}{2P} = \dfrac{2 \cdot 10^3 \text{ кг}\cdot \left(28 \dfrac{м}{с} \right)^2}{2\cdot 220 \cdot 10^3 \text{ Вт}} \simeq 3.6 \text{ с}

Получили довольно близкий к "паспортным" 3.3 с результат, ура! Специально не стал ничего дополнительно подгонять, дабы подчеркнуть приближенный характер расчёта, хотя это было довольно просто сделать, взяв, например, чуть больше мощность.

Теперь, ради интереса и проверки самих себя, вычислим разгон 100-200 км/ч.

С ростом скорости растёт трение воздуха, для движения используются более высокие передачи КПП (3-я, 4-я, 5-я), но при этом уменьшается проскальзывание колес. Так что оставим среднюю мощность 375 л.с.

Так делать конечно же нельзя! После 2-й передачи двигатель работает на "комфортных" для себя оборотах 4000-7000 об/мин, поэтому средняя мощность будет гораздо выше, поскольку выше будет начальная мощность для каждой передачи. Здесь уже не получится считать, что автомобиль едет только на 4-й передаче на всем протяжении разгона, но можно считать, что он проехал одинаковые промежутки времени на 3-й, 4-й и 5-й передаче, и пусть график зависимости мощности от числа оборотов для них одинаков, поэтому построим общую условную кривую зависимости мощности от скорости:

Опять же, считаем для простоты зависимость мощности от скорости линейной, тогда получаем среднюю и реальную мощность:

<P>=\dfrac{400+600}{2}=500 \text{ л.с.} \\P = P_{реальная}=500\cdot 735 \text{ Вт} \cdot 0.8 \simeq 300 \text{ кВт}

Тогда итоговое время разгона 100-200 км/ч:

t = \dfrac{m (V^2 - V_0^2)}{2P} = \dfrac{2 \cdot 10^3 \text{ кг}\cdot \left[\left(56 \dfrac{м}{с} \right)^2 - \left(28 \dfrac{м}{с} \right)^2 \right]}{2\cdot 300 \cdot 10^3 \text{ Вт}} \simeq 7.8 \text{ с}

Время разгона "по паспорту" 7.6 с. И снова мы оказались близко к истине!

P.S. не хочу объяснять, откуда взялось (V^2 - V_0^2), можете повыводить на досуге :)

Ну и в общем-то всё. Приведенные рассуждения и вычисления не претендуют на истину в последней инстанции и большую точность, но показывают, что зная "школьные" формулы по физике, можно решать такие интересные задачки, связанные с жизнью.

Комментарии (33)


  1. melodictsk
    19.11.2021 16:35
    #23725019
    +1

    Зачем было считать через мощность, когда момент почти постоянен?


    1. sergej_pipets
      19.11.2021 19:23
      #23725719

      Момент условно постоянен только на электродвигателе и паровой машине (ну ещё газотурбинный двигатель, но это на автомобилях суперредкость). Бензиновый ДВС имеет весьма горбатый момент. И чем выше форсирование двигателя (литровая мощность), тем круче горб. Степень форсирования и крутизну горба проще всего оценить по количеству ступеней в КПП - чем их больше, тем горбатее моментная характеристика.


      1. melodictsk
        19.11.2021 19:35
        #23725777

        Тут считается конкретная машина с конкретным всех. В рабочем диапазоне почти линейно и уж гораздо точнее будет, чем вот эти все усреднения мощности.


        1. sergej_pipets
          19.11.2021 21:32
          #23726151

          В рабочем диапазоне момент форсированного двигателя может меняться раза в два.


          1. Klenov_s
            20.11.2021 00:33
            #23726705

            А мощность зависит от этого момента, да еще и от оборотов. В любом случае погрешность больше выходит.


          1. melodictsk
            20.11.2021 05:40
            #23727083

            В топике рассматривается конкретный авто м5 компетишн


      1. Bedal
        29.11.2021 12:57
        #23763357

        На электродвигателе постоянна мощность (теоретически), а момент — производная величина и потому далеко не постоянен.
        Ну и да, это в теории. На практике приходится мириться с одним (или несколькими одновременно) вариантами:
        — высокие потери где-то на половине диапазона скоростей, нижней или верхней;
        — два двигателя, один оптимизирован для меньших скоростей, второй — для больших, соответственно, на конкретной скорости один используется только на часть мощности, другой — на полную;
        — один двигатель избыточной мощности. Он никогда не используется на полную мощность, зато и потери у него меньше;
        — двухступенчатая коробка передач. Да, даже так бывает.


        1. sergej_pipets
          29.11.2021 14:08
          #23763677

          Электродвигатель может создавать вращающий момент (значение совсем не нулевое, на уровне номинальной) при нулевых оборотах выводного вала (при нулевой мощности). Уже в этой точке несовпадение с твоими данными.


          1. Bedal
            29.11.2021 14:26
            #23763771

            Это не «мои данные» :-D
            Это законы физики. Электродвигатель при нулевых оборотах в теории точно так же выдаёт полную мощность — и бесконечный момент. На практике он от этого тупо сгорит, потому для пуска (при питании от сети, источника практически бесконечной мощности) ставят всякие ограничители, вот и нет супергипер момента. Но просто высокий момент именно, что есть, и именно, что с нуля.

            Впрочем, у асинхронных двигателей есть и естественный ограничитель момента, «опрокидывание», когда скольжение становится слишком велико. Но результат примерно тот же — сгорит…


            1. sergej_pipets
              29.11.2021 14:49
              #23763897

              Если мы, для получения мощности, в соответствии с формулой, умножим момент (он есть) на обороты (они равны 0) то и мощность получим нулевую. А не полную...

              Но используют в таких условиях, конечно же, специально оборудованные двигатели. Да, из-за возможности его выхода из строя. Но если у заторможенного электродвигателя ограничить ток на уровне его рабочего (что делает специальная регулирующая режим схема), то двигатель в таком состоянии возможно держать вечно.


              1. Bedal
                29.11.2021 16:03
                #23764263

                У нас что, параолимпиада по физике? Базовый параметр электромотора — именно мощность. Момент производится от мощности, а не наоборот.


                1. sergej_pipets
                  29.11.2021 16:13
                  #23764317

                  Нда... Ну тогда пользуйся бесконечным моментом...


                  1. Bedal
                    29.11.2021 16:29
                    #23764385

                    Ну, точно, параолимпиада…
                    Бесконечный момент означает нулевое сопротивления двигателя и бесконечные токи. Потому его не бывает. Но, в любом случае, пусковой момент электромотора ограничивают, потому что даже при реальном сопротивлении он просто сгорит, сопротивление-то — миллиомы.
                    Чтобы что-то понять, посмотрите график мощности и момента электромотора. Мощность постоянна (падает на пуске из-за ограничений и на максимальных оборотах вне диапазона эффективности), а момент с оборотами уменьшается линейно.
                    Картина у ДВС ровно обратная, момент близок к постоянному (в технических пределах), а мощность с оборотами растёт.


  1. ITMatika
    19.11.2021 16:38
    #23725031
    +6

    Расчёт сферического коня в вакууме.

    будем считать, что мощность зависит от скорости линейно, тогда средняя мощность при разгоне от 0 до 100 км/ч составляет ...

    Так считать нельзя, график изменения мощности от времени не линейный, а ближе к параболе.


    1. Maksim_11 Автор
      02.12.2021 10:31
      #23776455

      Вы правы, график нелинейный, и я его изобразил в статье. А принимаем его за линейный мы из-за потерь (поскольку взятая мной линейная зависимость лежит ниже "параболы", поэтому и средняя мощность получилась ниже, чем при расчёте площади под "параболой") и удобства рассчёта, об этом я тоже написал:
      При разгоне от 0 до 100 км/ч автомобиль практически сразу переключается с первой передачи на вторую, и при достижении около 90 км/ч переключается на третью. Будем считать, что на всём протяжении разгона автомобиль разгоняется на второй передаче, причем максимальная мощность будет меньше 670 л.с., поскольку передача ниже пятой. Возьмём в качестве начальной мощности при 0 км/ч мощность 150 л.с. (при 2000 об/мин), конечную - 600 л.с. (7000 об/мин).
      Чтобы не считать сложные интегралы для вычисления средней мощности, скажем следующие слова: учитывая приближенный характер наших расчетов, проскальзывание авто при ускорении, а также сопротивление воздуха (хотя при разгоне от 0 до 100 оно играет не такую большую роль, как при разгоне до 200 км/ч), будем считать, что мощность зависит от скорости линейно, тогда средняя мощность при разгоне от 0 до 100 км/ч составляет:

      P.S. считать так быть может и нельзя, но при хороших приближениях - можно!)


      1. ITMatika
        02.12.2021 10:57
        #23776601

        Вы рассуждаете о линейной зависимости мощности от скорости, но при этом считаете среднюю мощность от времени. Ваша модель была бы допустима, если бы и скорость от времени росла бы линейно, т.е. при постоянном ускорении => при постоянной мощности. Но мощность у нас растёт => модель (скорость и мощность от времени) не линейная, а квадратичная => конь более сферичен, чем вы думаете.


  1. gus26
    19.11.2021 18:05
    #23725425
    -3

    А батя какую машину подарит на 18-летие? Лексарь или сразу "мерина"?

    Зы. Недавно в зале один парнишка разговорился, мол на 18-летие заходит батя в комнату, я грит, думал, опять нудные поздравления, а он ключи принес. Оказалось, тачку купил и решил подарить.


    1. Wesha
      19.11.2021 21:16
      #23726093
      +3

      "Права купил подарил, водить не купил подарил" (с)


  1. 631052
    19.11.2021 18:28
    #23725515
    +1

    73textH опечатка наверно? в третьей формуле


    1. Maksim_11 Автор
      02.12.2021 10:31
      #23776459

      спасибо, исправил)


  1. sergej_pipets
    19.11.2021 19:27
    #23725753
    +1

    А сопротивление воздуха, которое растет по квадрату текущей скорости, не учитывается?

    Четверть века назад существовала американская DOSовская программа cartest (написанная на бейске). Вот она считала очень точно. И позволяла устраивать виртуальные парные гонки.


    1. ptica_filin
      20.11.2021 10:08
      #23727341

      Да, но станет ли от Вашего предложения лучше? :)

      По расчёту машина разогналась чуть медленнее, чем в реальной жизни. Если добавить в расчёт сопротивление воздуха, то получилось бы ещё медленнее, и ошибка расчёта возросла бы.


      1. sergej_pipets
        20.11.2021 10:10
        #23727347
        +2

        Станет точнее. И от подгонки под результат перейдём к моделированию процесса.


        1. ptica_filin
          20.11.2021 10:22
          #23727379

          Как прикинуть, насколько сильно оно влияет? Может у машины достаточно обтекаемая форма, и результат изменится на какие-нибудь единицы процентов. Без точных исходных данных это примерно так же пальцем в небо, как и принятые в расчёте потери в трансмиссии.


          1. sergej_pipets
            20.11.2021 17:26
            #23728367
            +1

            Коэффициент аэродинамического сопротивления легкового автомобиля находится где-то между 0.2 и 0.4, в зависимости от его формы. Так же в расчеты необходимо внести мидель автомобиля.
            Жюль Верн роман "Из пушки на Луну" писал в два этапа, и сначала уверял устами своего героя, что воздух атмосферы не успеет никак повлиять на полет. Но во второй части он признает эту ошибку и корректирует траекторию снаряда.


          1. Tarakanator
            22.11.2021 09:32
            #23732931
            +2

            Я когда-то подобное считал.(правда для вариатора, но с учётом сцепления шин и аэродинамики, пусть и весьма приблизительно).
            Сопростивление воздуха считал следующим образом:
            Предположим что на максимальной скорости всё сопротивление генерируется воздухом(трение качения пренебрежимо мало). Тогда на макс скорости мощеность торможения воздухом=мощности двигателя.
            А дальше для любой скорости можно пересчитать мощность аэродинамического торможения т.к. оно пропорционально кубу скорости.(квадрату пропорциональна сила)

            А в данной статье ещё сцеплением плохо работали. Можно раскрутить двигатель до 3500 оборотов и получить больше момента. А мощность считать как момент двигателя*обороты на входном валу коробки (ну про кпд не забываем)


    1. Maksim_11 Автор
      02.12.2021 10:41
      #23776515

      Ну вообще говоря я постарался это учесть как раз в линейной аппроксимации мощности (иначе при честном вычислении площади под кривой мощность получилась бы выше), и максимальную мощность я в обоих случаях взял 600 л.с., а не 670 л.с.

      Тут можно учесть было бы очень много всего и считать гораздо более точно, но тогда это была бы статья в несколько раз большего объёма, и не "научпопная", а уже для очень заинтересованных и разбирающихся читателей). Я всё таки постарался какие-то основы изложить, и чтобы читатели не заскучали)

      Ну и конечно же, как я заметил, заинтересованные читатели уже вовсю просвещают друг друга в комментариях)


  1. pb1889
    19.11.2021 20:55
    #23726021
    +3

    Для достижения максимально быстрого разгона используют launch control (старт с ~4000об/мин). В этом случае средняя мощность будет заведомо выше начальной (450hp при 4000об/мин)


    1. ToSHiC
      20.11.2021 00:51
      #23726735
      +1

      При этом есть ограничение на максимальную мощность на 1 и 2 передачах, чтобы не покрошить шестерни в коробке. Ещё при старте с ланча довольно долго буксует сцепление или гидротрансформатор, чтобы максимально точно реализовать потенциал резины.

      Количество времени на разных передачах, конечно же, тоже будет разным - чем выше передача, тем она длиннее, тем дольше на ней разгоняться.

      Выше отметили наличие сопротивления воздуха, которое достаточно большое на скорости >150 км/ч., и оно пропорционально квадрату скорости.

      Чтобы действительно проверить валидность формулы - посчитайте разгон условной фиесты 120л/с до 150 км/ч, вот тогда и будет видна их верность.


  1. oleg1977
    20.11.2021 07:58
    #23727177

    Работа идет на увеличение кинетической энергии, сразу получаем:

    A = P t = m (\Delta v)^2 / 2


  1. tuxi
    20.11.2021 08:01
    #23727183

    Не учитывается ланч-контроль (фих с ним) и пробуксовки, они могут быть незаметны, но они есть. А в целом вроде все правильно. Но практика все равно остается единственным критерием истинности :-)


  1. v1000
    20.11.2021 17:51
    #23728433

    P = 670 л.с. (по паспорту 625 л.с., но реально мощность выше - измерено на динамометрическом стенде

    все новое - это хорошо забытое старое. в тех же маслкарах мощность указывали, к примеру, 200 сил, хотя реально там было в полтора-два раза больше, зато налоги и страховка дешевле :)


  1. Bedal
    29.11.2021 13:00
    #23763371

    Нельзя игнорировать разгон на первой передаче. Известный мухлёж «foot forward» состоит в том, что первый фут мощный автомобиль (дрэгстер) преодолевает за 0.2сек. Это очевидно много и очевидно, что малая величина момента у ДВС на оборотах, близких к ХХ, сильно сказывается. Именно потому передаточное число первой передачи отличается от второй в два раза.

    И — насчёт сопротивления воздуха: на 90км/час оно уже примерно равно сопротивлению качения. Так что тоже игнорирование приведёт к отличию в пару десятых.