Но сначала краткое содержание предыдущих серий:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.32.3 — 2.82.9 — 2.13

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора3.4. Апериодическое звено 2-го порядка3.5. Колебательное звено3.6. Инерционно-дифференцирующее звено3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением)3.9. Изодромное звено (изодром)3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.

6.6 Понятие об областях устойчивости

До этого мы рассматривали устойчивость САР, как свойство конкретных передаточных функций, анализируя их характеристики. Понятно, что для реальных систем управления необходимо обеспечивать устойчивость. Неустойчивые системы управления никому не нужны. В этой лекции разберем кто виноват и что делать.

Вспомним, что передаточные функции САР у нас появляются не просто так, а как следствие преобразования уравнений описывающих физические процессы. Например, в этой статье показано, как из статических характеристик демпфера, таких как масса, упругость пружины, трение, получается передаточная функция демпфера: «Технология» получения уравнений ТАУ. Поэтому после анализа устойчивости можно вернутся на уровень физических уравнений и что нибудь поменять, например жесткость пружины для демпфера, что бы получить устойчивую систему. Рассмотрим как это делается.

Предположим, что разомкнутая САР имеет передаточную функцию вида:

W(s)=\frac{k\cdot N(s)}{L(s)}

Если САР замкнута, то ее передаточная будет иметь вид:

\Phi(s)=\frac{k\cdot N(s)}{D(s)}=\frac{k\cdot N(s)}{L(s)+k\cdot N(s)}

ГдеD(s)=L(s)+k\cdot N(s)- характеристически полином замкнутой САР.

Характеристическое уравнение такой системы имеет вид:

D{(\lambda)}=a_n\cdot \lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1\cdot\lambda+a_0=0

Как мы уже показали ранее (см. лекцию 6.1 Теоремы Ляпунова) для того что бы система была устойчива все корни \lambda_iдолжны находится в левой полуплоскости, иметь отрицательную вещественную часть.

Предположим, что коэффициент a_1 изменяется от 0до \infty . Будем давать a_1 фиксированные значения и определять значения всех “n” корней уравнения. Тогда при некоторых значениях a_1 все корни либо отрицательные, либо имеют отрицательную вещественную часть (расположены в левой полуплоскости). И наоборот: появляются корни с положительной вещественной частью (т.е. корни, расположенные в правой полуплоскости). Тогда на можно построить полуось изменения a_1, определены области устойчивости, т.е. отрезки значений a_1, при которых САР устойчива.

Рисунок 6.6.1 Области устойчивости на оси значений .
Рисунок 6.6.1 Области устойчивости на оси значений a_1.

Если изменять 2 коэффициента в характеристическом уравения, например a_1 и a_2 (или коэффициенты k и Tв передаточной функции САР), то мы получим области устойчивости на плоскости параметров:

Рисунок 6.6.2. Области устойчивости на плоскости 2- х параметров
Рисунок 6.6.2. Области устойчивости на плоскости 2- х параметров

Если одновременно изменять 3 коэффициента (например a_1,a_2,a_3 или k,T_1,T_2) то мы получим поверхность усточивости.

Если изменяются 4 или более коэффициентов, то получаем гиперповерхность устойчивости.

Например, для системы 2-го порядка c характеристическим полиномом D(\lambda)=\lambda^2+a_1\cdot\lambda+a_0 согласно критерию Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов a_1 и a_2.

Рисунок 6.6.4 Область устойчивости системы второго порядка
Рисунок 6.6.4 Область устойчивости системы второго порядка

Вспоминая лекцию 6, "Если корни комплексные, то процесс колебательный, если корни реальные, то процесс апериодический (затухающий)", можно сказать что:

ось ординат a_0 =0cоответсвует апериодической границе устойчивости, т.к. если\lambda+a_1\cdot\lambda=0, то корни характеристического уравления: \lambda_1=0, \lambda_2=-a_1; ось абсцисс a_1=0соответсвует колебательной границе устойчивости, т.к. если\lambda^2+a_0=0, то корни характеристического уравления: \lambda_{1,2}=-a_1;

Разбиение пространства коэффициентов (параметров) характеристического уравнения на области устойчивости и неустойчивости называется Д-разбиением. Данный подход, впервые предложил Ю.И. Неймарк (СССР) в 1948 г.

6.7 Д-разбиение плоскости по одному (комплексному параметру)

Рассмотрим замкнутую САР. Характеристическое уравнение имеет вид:

D(\lambda)=a_n\cdot\lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1\cdot\lambda+a_0=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.1)}

Где \lambda - корень характеристического полинома, при котором D(\lambda)=0.

Предположим, что существует некоторый параметр САР, который входит линейно в один, несколько, или даже все все коэффициенты уравнения 6.7.1 (например, коэффициент усиления k некоторого звена, или постоянная времени Т некоторого звена). Тогда, те коэффициенты, которые линейно зависят от k можно представить как:

 \begin{cases}a_n&=a'_n+k\cdot a_n''\\a_{n-1}&=a_{n-1}'+k\cdot a_{n-1}''\\...&=............\\a_1&=a_1'+k\cdot a_1''\\a_0&=a_0'+k\cdot a_0'' \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.2)}

Выражение 6.7.2 может бы применено даже для одного слогаемого в полиноме. Подставляя выражение 6.7.2 в уравнение 6.7.1 получаем уравнение для определения корней характеристического полинома в виде:

D(s)=S(\lambda)+k\cdot R(\lambda)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.3)}

где:
S(\lambda)=a'_n\cdot \lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+\cdots+a_1'\cdot\lambda+a_0' - часть полинома, которая не содержит множетель k.
R(\lambda)=a_n''\cdot\lambda^n+a_{n-1}''\cdot\lambda^{n-1}+\cdots+a_1''\cdot\lambda+a_0''- часть полинома, которая содержит множитель k.

Тогда можно записать выражение для k:

k=-\frac{S(\lambda)}{R(\lambda)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.4)}

В плоскости корней\lambda_jсистема явялется устойчивой для корней в левой полуплоскость, а границей устойчивости – ось ординат (см. лекцию 6.1). Рассмотрим границу устойчивости - ось ординат, где у корней\lambda_iнет действительной части.

Подставим в уравнение 6.7.3 вместо \lambda, значение i\cdot\omega, и рассмотрим изменение \omega от -\inftyдо +\infty. При этом каждому значению i\cdot\omegaможно найти такое значение множителя k, что бы выражение 6.7.3 было равно нулю. В этом случае используя выражение 6.7.4 можно получить выражение для комплексного числа k, соотвествующего числу \lambda расположенному на граинице устойчивости:

k=-\frac{S(i\cdot\omega)}{R(i\cdot\omega)}=\underbrace{U(\omega)}_{Re(k)}+\underbrace{i\cdot V(\omega)}_{Im(k)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \mathbf{(6.7.5)}

где U(\omega)и V(\omega)- некторые функции от \omega. Таким образом выражение 6.7.5 можно изобразить на комплексной полоскости.

Подставляя в выражение (6.7.5) значение \lambda=i\cdot\omega_1  получаем точку 1 на плоскости k; подставляя значение \lambda=i\cdot\omega_2получим точку 2 на плоскости k; подставляя \lambda=i\cdot\omega_3  - третью и т.д. Соединив изображающие точки на плоскости k получаем линию Д-разбиения, т.е. отображение мнимой оси на плоскости  на плоскость k.

Рисунок 6.7.1 Вид линии Д-разбиения.
Рисунок 6.7.1 Вид линии Д-разбиения.

Линия Д-разбиения на плоскости k должна разделять области устойчивости и неустойчивости.

Неймарк показал, что если существует область устойчивости на плоскости k, то она должна находиться слева от линии разбиения, если двигаться вдоль нее от меньших значений  к большим.

Для оценки областей устойивости штирхуется область слева от линии Д-разбиения.

Рассмотри точку А2 (см. рис. 6.7.1). Поскольку линия Д- разбиения формируют петлю, то непонятно точная принадлежность соотвесвующего корня к устойчивым или неустойчивым. Однако можно сказать, что переход из точки А2 в точку А3 (см. рисунок 6.7.1) не изменяет количества корней, лежащих в правой полуплоскости, поскольку нет перехода черех линию Д- различения;

Переход из точки А2 в точку А1 уменьшает количество неустойчивых корней уравнения (6.7.1) на 1, а переход из точки А2 в точку А4 – наоборот увеличивает на 1.

Для многих САР, при \omega =0 линия Д-разбиения проходит через начало координат (но не для всех бывают исключения);

Замкнутая область со штриховкой внутри (см. рис. 6.7.1), явялется кандидатом на область устойчивости. Чтобы удостоверится, что данная область – область устойчивости, необходимо какую-нибудь точку на вещественной оси внутри заштрихованной области подставить в исходное характеристическое уравнение  (6.7.1) и либо решить его, либо используя какой-либо критерий сделать вывод об устойчивости или неустойчивости САР.

Для систем невысокого порядка весьма эффективен критерий Гурвица, можно использовать критерий устойчивости по Михайлову.

Линия Д-разбиения обладает свойством зеркальной симметрии относительно оси абсцисс:

\left[ \begin{gathered} U(\omega) =U(-\omega)\\ V(\omega)=-V(-\omega) \end{gathered} \right.

Поэтому линию D-разбиения можно строить только для одной половины, например для \omega \in [0,+\infty]и зеракльно потом зеркальн отобразить.

Линию D-разбиения можено строить так же с учетом запаса устойчивости. В этом случае используется не ось ординат - граница устойчивости, а сдвинутая в устойчивую область линия. Вместо \lambda=i\cdot\omegaв уравнение 6.7.5 подставляется значение \lambda = -\alpha+i\cdot\omega. Тогда при изменение \omega от -\inftyдо +\inftyмы получим область значении k, при которых корни уравнения 6.7.1 будут расположены левее линии Re(\lambda)=-\alpha, см. рисунок 6.7.2

Рисунок 6.7.2 Д- разбиение с запасом устойчивости.
Рисунок 6.7.2 Д- разбиение с запасом устойчивости.

Пример 1.

Определить область устойчивости замкнутой системы при варьировании параметра k если САР имеет вид:

Рисунок 6.7.3 САР для анализа на усточивость
Рисунок 6.7.3 САР для анализа на усточивость

где: W(s)=\frac{k}{s^3+2\cdot s^2+k\cdot s+1};

Решение:

Передаточная функция замкнутой системы (см. лекцию Структурные преобразование система автоматического регулирования):

W'(s)=\frac{W(s)}{1+W(s)}= \frac{N(s)}{L(s)\cdot \left[1+\frac{N(s)}{L(s)}\right]}=\frac{N(s)}{L(s)+N(s)}=\frac{k}{s^3+2\cdot s^2+k\cdot s+1+k}

Характеристическое уравнение замкнутой САР имеет вид:

D(\lambda)=\lambda^3+2\cdot\lambda^2+k\cdot\lambda+1+k

Выражение для коэффициента kиз характеристического уравнения \Rightarrow

k=\frac{\lambda^3+2\cdot\lambda^2+1}{\lambda+1}

Для поиска границы устойчивости подставляем \lambda=i\cdot\omega \Rightarrow

k=-\frac{(i\cdot\omega)^3+2\cdot(i\cdot\omega)^2+1}{i\cdot\omega+1}=\frac{(i\cdot\omega^3+2\cdot\omega^2-1)}{1+i\cdot\omega}\cdot\frac{(1-i\cdot\omega)}{(1-i\cdot\omega)}\Rightarrow

Определяем вещественную и минимую части выражения зависимости

Re[k]=U(\omega)=\frac{\omega^4+2\cdot\omega^2-1}{1+\omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{ (П.3)}Im[k]=V(\omega)=\frac{\omega^3-2\cdot\omega^3+\omega}{1+\omega^2}=\frac{\omega\cdot(1-\omega^2)}{1+\omega^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(П.4)}

Строим линию Д-разбиения по формулам (П.3) и (П.4), наносим штриховку с левой сторный от линии, если идти от -\inftyдо \infty см. рис. 6.7.4

Рисунок 6.7.4. Линия Д-разбиения
Рисунок 6.7.4. Линия Д-разбиения

Согласно штриховки устойччивой может быть область k>1. Далее необходимо проверить, является ли найденная область устойчивой. Пусть k=5.

Подставляя в характеристический многочлен D(s) \Rightarrow 

D(s) =s^3+2\cdot s^2+5\cdot s+1+5=1\cdot s^3+2\cdot s^2+5\cdot s+6

Воспользумеся критерием Гурвица (a_0=1;a_1=2;a_2=5;a_3=6):

лители:

Г=\begin{bmatrix}  2 &6 &0\\ 1  &5 &0 \\ 0 &2 & 6 \end{bmatrix}\Rightarrow \left \{ \begin{align}  \Delta_2 &=5>0; \\ \Delta_2 &= \left | \begin{matrix} 2 &6\\ 1&5 \end{matrix} \right | =2\cdot 5-6\cdot1=4>0 \\ \Delta_3 &= 4 \cdot 6=24>0;  \end{align} \right.

Все определители матрицы Гурвица больше нуля, следовательно САР устойчива. Следовательно весь отрезок k \in ]1;+\infty]- область устойчивости.

Решение в среде структурного моделирования

Для постороения линии Д-разбиения можно воспользоваться расчетом в среде динамического моделирование SimInTech. На рисунке 6.7.6 Представлен скриншот проекта построения линии Д-разбиения, для примера 1.

С помощью главного скрипта проекта записываем выражения для Re(k)и Im(k), (формулы П.3 и П.4). В скрипте переменные ReK и ImK. Используя переменную w в качестве переменной \omega. Осуществляем присвоение времени моделирования переменной w (выражение w = time;). Это позволяет нам построить график от 0 до T_end - заданного значение вермени моделирования. Используя симметричность линии Д-разбиения относительно оси реальных значений, записываем выражения для части линии, соотвествующе отрицательным заначениям \omega от - T_end, до 0. (см. рис. 6.7.5)

Для того что бы построить график измпользуем блок "Фазовый портрет", в качестве входов используем блоки "Констата" в свойствах в столбце формула указываем имена соответствующих переменных для положительных и отрицательных значениях \omega(см. рис. 6.7.5)

Во время расчета на каждом шаге происходи изменение w, вычислются значения действительной и мнимой части и строится график. При этом красная линия, это положительная часть линии, синия отрицательная. (см. рис. 6.7.5).

Рисунок 6.7.5 Построение Д-разбиение в виде фазового портрета
Рисунок 6.7.5 Построение Д-разбиение в виде фазового портрета

Соберем схему, для проверки устойчивости САР используя три значения дляk: k_1=5; k_2=1;k=0.5из разных областей полученных при построеи Д-разбиения. Для этого введем новые переменные в галваном скрипте программы и присвоим им значения в секции инициализации:

Рисунок 6.7.6 Определение коэффициентов для переходного процесса
Рисунок 6.7.6 Определение коэффициентов для переходного процесса

Что бы построить три разные функции передаточные функции с использованием одной схемы, воспользуемя свойствами векторизации, когда одна схема одновременно рассчитывает несколько независимых процессов. Для этого в свойствах блока зададим параметры в виде матрицы, каждая строка которой, соответсвует отдельной передаточной функции. А входное воздействи размножим в три сигнала:

Рисунок 6.7.7. Настройка блока для расчета трех независимых передаточных функций
Рисунок 6.7.7. Настройка блока для расчета трех независимых передаточных функций

Результаты моделирования показывают, что система устойчива при k_1=5, находится на колебательной границе устойчиваость при k_2=1 и неустойчива при k_3=0.5(см. рис. 6.7.8)

Рисунок 6.7.8 Результаты моделирования.
Рисунок 6.7.8 Результаты моделирования.

Пример 2

Найти область устойчивости по коэффиценту k для передаточной функции характеристичекий полином которой определяется выражением:

D(s)=s^3+s^2+k\cdot s+1

Характеристическое уравнение: D(\lambda)=\lambda^3+\lambda^2+k\cdot\lambda+1=0

Выражения для коэффициента k=-\frac{\lambda^3+\lambda^2+1}{\lambda}заменяем \lambda=i\cdot\omega\Rightarrow

k=-\frac{(i\cdot\omega)^3+(i\cdot\omega)^2+1}{i\cdot\omega}\cdot\frac{i\cdot\omega}{i\cdot\omega}=\frac{\omega^4-i\cdot\omega^3+i\cdot\omega}{\omega^2}\Rightarrow

Выражение для реальной и мнимой части комплексного параметра k:

Re[k]=U(\omega)=\omega^2;Im[k]=V(\omega)=\frac{1-\omega^2}{\omega}.

Строим линию Д-разбиения:

Рисунок 6.7.9. Линия Д-разбиения
Рисунок 6.7.9. Линия Д-разбиения

Область возможной устойчивость k\in]1,+\infty]. Проверяем устойчивось путем моделирования при k=0.5,1,2. Видим, что САР устойчива при k=2.

Рисунок 6.7.10. Переходной процесс при разных значениях k
Рисунок 6.7.10. Переходной процесс при разных значениях k

Дальше будет метод расчета САР с циркулем штангелем и рабиновичем на милиметровой бумаги. Я предупредил!

6.8  Метод Д-разбиений на плоскости 2-х действительных параметров

Предположим, что структурная схема некоторой САР имеет вид:

Рисунок 6.8.1. САР объекта управления
Рисунок 6.8.1. САР объекта управления

Необходимо определить параметры регулятора (например Крег и Трег) обеспечивающих устойчивость системы. В этом случае задача анализа сводится к поиску области устойчивости САР при варьировании 2-х параметров (в данном случае К и Т):

Рисунок 6.8.2 Область устойчивость при варировании параметров К и Т
Рисунок 6.8.2 Область устойчивость при варировании параметров К и Т

Используя методы структурного преобразования любую сложную САР можно свести к одному передаточному звену.

Поскольку рассматриваются линейные (или линеаризованные) САР, то характеристическое уравнение имеет вид:

a_n\cdot\lambda^n+a_{n-1}\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1\cdot\lambda+a_0=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.1)}

Предположим, что один или несколько коэффициентов a_j  линейно зависит от K и T:

\begin{cases}a_n&=a'_n+k\cdot a_n''+T\cdot a_n'''\\a_{n-1}&=a_{n-1}'+k\cdot a_{n-1}''+T\cdot a_{n-1}'''\\...&=.......................\\a_1&=a_1'+k\cdot a_1''+T\cdot a_1'''\\a_0&=a_0'+k\cdot a_0''+T\cdot a_0''' \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.2)}

Подставляя значения коэффициентов a_j  в уравнение (6.8.1), получаем:

R(\lambda)\cdot k+S(\lambda)\cdot T+Q(\lambda)=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.3)}

Где Q(\lambda),S(\lambda),Q(\lambda) - полиномы по степеням \lambda

\begin{cases}Q(\lambda)&=a'_n\cdot\lambda^n+a_{n-1}'\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1'\cdot \lambda+a_0'\\S(\lambda)&=a_{n}''\cdot\lambda^{n}+ a_{n-1}''\cdot\lambda^{n-1}+...+a_1''\cdot \lambda+a_0''\\R(\lambda)&=a_n'''\cdot\lambda^n+ a_{n-1}'''\cdot\lambda^{n-1}+...+ a_1'''\cdot\lambda+a_0''' \end{cases}

Где a_j',a_j'',a_j'''- постоянные коэффициенты.

В плоскости корней\lambda_jсистема явялется устойчивой для корней в левой полуплоскость, а границей устойчивости – ось ординат (см. лекцию 6.1). Рассмотрим границу устойчивости - ось ординат, где у корней\lambda_iнет действительной части. Подставляя \lambda=i\cdot\omega в (6.8.3)  получаем:

Рисунок 6.8.3 Отображение границы устойчивостина плоскость T,K.
Рисунок 6.8.3 Отображение границы устойчивости\lambda_iна плоскость T,K.

g«Отображаем» точки мнимой оси на плоскости \lambda_j = i\cdot\omega_j на плоскость (K,T) необходимо решить уравнение:

R_1(\omega)\cdot k+i\cdot R_2(\omega)\cdot k+S_1(\omega)\cdot T+i\cdot S_2(\omega)\cdot T+\\+Q_1(\omega)+i\cdot Q_2(\omega)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.4)}

Совершенно очевидно, что подстановка  в уравнение (6.8.4) обращается в тождество при некоторых значениях К и Т. (например, точке при \omega_1  соответствует точка 1, \omega_2 - точка 2, \omega_3 - точка 3 и так далее.) Чтобы найти значение К и Т, соответствующие границе Д-разбиения, необходимо решить уравнение (6.8.4). Приравнивания по отдельности чисто вещественную и чисто мнимую части, получаем:

\begin{cases}R_1(\omega)\cdot k+S_1(\omega)\cdot T+Q_1(\omega)&=0\\R_2(\omega)\cdot k+S_2(\omega)\cdot T+Q_2(\omega)&=0 \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.5)}

Это обыкновенная система двух линейных алгебраических уравнений. Для решения используем метод Крамера:

k=\frac{\Delta_k}{\Delta};\ \ \ \ \ T=\frac{\Delta_T}{\Delta}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(6.8.6)}

где: \Delta- главный определитель, \Delta_k,\Delta_T - вспомогательные определители системы:

\Delta=\left|\begin{matrix}R_1(\omega)&S_1(\omega)\\ R_2(\omega)&S_2(\omega)\end{matrix}\right|;\Delta_k=\left|\begin{matrix}-Q_1(\omega)&S_1(\omega)\\-Q_2(\omega)&S_2(\omega)\end{matrix}\right|;\Delta_T=\left|\begin{matrix}R_1(\omega)&-Q_1(\omega)\\R_2(\omega)&-Q_2(\omega)\end{matrix}\right|

Таким образом можно для каждого значения \omegaполучить точку на плоскости K,T. Соединяя полученные точки получаем линию Д-разбиения на плоскости двух действительных параметров.

Свойства симметрии при изменении i\cdot\omega заключаются в том, что линия при измененеи \omegaот 0 до +\inftyлиния Д-разбиения совпадает с линией при измени от -\inftyдо 0.

Например, если \omega изменяется от -\infty (точка С на рис) до нуля (точка А), то линия Д-разбиения – СВА, причем если построить линию Д-разбиения при \omega изменяющейся от нуля до +\infty , то эта линия совпадает с линией АВС, т.е. путь от  до 0 и путь от 0 до  проходит по одной и той же линии.

По аналогии с Д-разбиением на плоскости 1-го комплексного параметра, выясним правила определения возможной области устойчивости, т.е. правила штриховки.

Правила штриховки

Направление штриховки зависит от знака главного определителя системы \Delta.

1) Если при движении по кривой Д-разбиения от меньших значений \omega  (от -\infty) к большим (до +\infty) главный определитель больше 0 (\Delta>0), то штриховка слева.

2) Если при движении по кривой Д-разбиения от меньших значений \omega  (от -\infty) к большим (до +\infty) главный определитель меньше 0 (\Delta<0) то штриховка справа.

Учитывая, что точки на плоскости (К,Т) при \omega=\omega^* и \omega =-\omega^*совпадают (что позволяет строить только одну ветвь Д-кривой, например от 0 до -\infty), легко показать, что главный определитель \Delta при \omega=\omega^* и \omega =-\omega^*имеет разные знаки. Это означает, что на плоскость (К,Т) с какой-то из сторон линии Д-разбиение будет нанесена двойная штриховка.

Рисунок 6.8.4 Д-разбиение на плоскости двух параметров.
Рисунок 6.8.4 Д-разбиение на плоскости двух параметров.

Важной особенностью Д-разбиения определяемой на основании решения системы (6.8.5) является наличие случаев, когда все определители ( \Delta,\Delta_k,\Delta_T) обращаются одновременно в нуль. То есть при определенных значениях \omega^*\Delta(\omega^*)=0;\Delta_k(\omega^*)=0;\Delta_T(\omega^*)=0

Это означает, что вместо системы (6.8.5) – системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными получается одно уравнение с двумя неизвестными, т.к. уравнения становятся линейно-зависимыми (одно получается из другого линейной операцией, например умножением на какое-то число).

Такая же ситуация возникает если все определители равны бесконечности.

Наиболее частый случай – особая прямая проходит через точку плоскости (К,Т) при \omega=0или при \omega=\pm\infty  (Прямая 2 на рисунке).

К разряду особых прямых необходимо отнести и прямые 1 и 3 на упомянутом рисунке (проходящие через точки Bи E, соответственно).

Правила штриховки в случае особых прямых учитывают, как ведет себя главный определитель \Delta при «прохождении» соответствующей точки на Д-кривой, где он равен нулю:

-если главный определитель \Delta меняет знак с + на – или наоборот, то особая прямая штрихуется одинарной штриховкой в соответствии с зонами соприкосновения, т. е. учитывается штриховка на кривой Д-разбиения вблизи этой точки. (Прямые 1 и 2 соответственно).

-если главный определитель \Delta не меняет знак, то особая пряма не штрихуется и не рассматривается при отыскании областей устойчивости (прямая 3 на рисунке).

Определение возможных зон устойчивости

Далее выявляются замкнутые (или полузамкнутые области), образованные штриховкой вовнутрь. Такая область – возможная область устойчивости см. рис. 6.8.4

Далее необходимо взять какую-нибудь точку М из области (К=Км, T=Tм) и подставив значение К и Т в характеристический полином системы D(s)  определить устойчива или нет САР (например по Гурвицу или непосредственным вычислением всех полюсов или корней). Если при К=Км, T=Tм САР устойчива, то она будет устойчива и при любых значениях К и Т из этой области, если нет, то возможная область не стала областью устойчивости.

Дополнение

1) Выше предполагалось, что параметры К и Т линейно входят в коэффициенты характеристического уравнения. Если это не так, то система, подобная (6.8.5), принимает вид:

\begin{cases}f_1(k,T,\omega) &=0;\\f_2(k,T,\omega)&=0. \end{cases}

где f_1 - нелинейная функция содержащая реальную часть уравнения 6.8.4;

f_2 – нелинейная функция содержащая мнимую часть уравнения 6.8.4;

Решение этой системы (например по Ньютону-Рафсону) может дать неединственность решений. Тем не менее можно построить линия Д-разбиения. Правило штриховки – аналогичное вышеприведенному, т.е. если \Delta>0, то слева и наоборот. В качестве главного определителя  выступает якобиан:

\Delta=\left|\begin{matrix}\frac{Df_1}{Dk}&\frac{Df_1}{DT}\\\frac{Df_2}{D_k}&\frac{Df_2}{DT}\end{matrix}\right|

2) Метод Д-разбиения в полной мере применим и для систем с постоянным запаздыванием, когда характеристическое уравнение является не полиномом, а квазиполиномом:

D(\lambda)=L(\lambda)+k\cdot N(\lambda)\cdot e^{-\lambda\cdot\tau}=0;

Комментарии (0)