В специальной (СТО) и общей (ОТО) теориях относительности широко используется понятие метрического тензора (метрики). В разных источниках можно найти несколько определений этого понятия, но все они страдают общим недостатком -- крайней математизированностью. Для людей с математическим складом мышления, уже когда-то понявшими, что такое метрический тензор, приводимые в литературе определения, вероятно, представляются ясными и очевидными. Но они не помогают, а, напротив, лишь затрудняют постижение сути этого понятия человеку с обыденным мышлением, впервые с ним столкнувшимся. Дело в том, что математические определения не раскрывают физического смысла метрического тензора, то есть, не позволяют представить его роль и место в физическом мире.
В этом тексте мы попытаемся изложить смысл метрического тензора с физической, даже обыденной точки зрения, не выходя при этом за пределы простой математики.
Цель, ради которой метрику и метрический тензор ввели в научный оборот, -- желание описать любое пространство с помощью математических формул. Как это можно сделать? Для начала представим две бесконечно близкие точки 1 и 2 в обычном евклидовом пространстве. Будем считать, что мы перемещаемся из точки 1 в точку 2 по кратчайшему пути. В таком случае расстояние между точками определяется длиной вектора ds, проведённого из точки 1 в точку 2.
В частном случае прямоугольной декартовой системы на плоскости квадрат длины вектора ds2 рассчитывается по теореме Пифагора по значениям координат dx1 и dx2:
ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 = dx1∙dx1 + dx2∙dx2 = Σdxi∙dxi , (1)
или, опуская знак суммы, как это принято в теории относительности
ds2 = dxi∙dxi. (2)
Вместе с тем на практике приходится решать задачи, в которых система координат может отличаться от декартовой. Более того, в СТО мы имеем дело уже не с привычным нам пространством, а с пространством-временем, геометрия которого не евклидова. В ОТО пространственно-временной континуум вообще криволинейный.
Поэтому формула (1) должна быть модернизирована. В общем случае она должна содержать произведения всех координат, взятых попарно (то есть, dxi∙dxk), а перед каждым произведением должен стоять числовой коэффициент gik. Например, для обычного трёхмерного пространства, положение точки в котором определяется координатами dx1, dx2 и dx3, формула для ds2 записывается так:
ds2 = g11∙dx1∙dx1 + g21∙dx2∙dx1 + g31∙dx3∙dx1 +
+ g12∙dx1∙dx2+ g22∙dx2∙dx2 + g32∙dx3∙dx2 +
+ g13∙dx1∙dx3 + g23∙dx2∙dx3 + g33∙dx3∙dx3, (3)
или, переходя к виду, аналогичному (2):
ds2 = gik∙dxi∙dxk. (4)
Для примера, в случае косоугольных координат в евклидовом пространстве числовые значения всех компонентов gik легко рассчитываются из чисто геометрических соображений, через синусы и косинусы.
Коэффициенты gik могут быть записаны в виде двумерной матрицы, состоящей из равного числа строк и столбцов, её компоненты можно увидеть в (3), если мысленно убрать из правой части произведения координат и знаки «+». Именно матричное представление gik подразумевается в (4), которая представляет собой формулу расчёта ds2 в самом общем виде, и потому она справедлива для любых пространств.
Следует заметить, что формула Пифагора (1) также содержит gik, там они равны +1; в других попарных произведениях координат dx1 и dx2 они равны 0, поэтому соответствующие члены отсутствуют в (1).
gik в матричной форме и получил название метрического тензора. Его физический смысл вытекает из (4) (в равной мере, из (1)-(3), являющихся частными случаями этой общей формулы). Суть в том, что, если известны значения компонентов метрического тензора gik, мы можем по ним «построить» пространство, другими словами, описать его геометрию. «Строить» же пространство мы будем по формуле (4), просто перемещаясь от точки к точке, поскольку значение ds задаёт координаты соседней точки.
Метрический тензор gik определяет вид и форму (геометрию) пространства. Если все компоненты на главной диагонали (в (3) это g11, g22 и g33) равны +1, а компоненты вне диагонали нулевые, то такой метрический тензор описывает евклидово пространство. Если на главной диагонали присутствуют не только +1, но и –1, мы имеем дело с плоским пространством-временем СТО. Метрический тензор с (в общем случае) ненулевыми компонентами вне диагонали описывает геометрию криволинейного пространства ОТО, поэтому именно компоненты gik являются аргументами (искомыми величинами) в уравнениях Эйнштейна.
Последний момент, который осталось уточнить. Координатные оси, вдоль которых отсчитываются координаты dxi, в общем случае криволинейные. Возникает закономерный вопрос: как мы можем измерить dxi вдоль криволинейных осей и рассчитать ds, если саму эту криволинейность мы определяем только по результатам расчёта? Для ответа следует вспомнить начало этого текста: соседние точки пространства располагаются бесконечно близко друг к другу. Поэтому ситуация аналогична определению производной в матанализе: как угол наклона касательной к кривой стремится к истинному значению при dx, стремящемуся к нулю, так и (кратчайшее) расстояние между соседними точками пространства ds стремится к истинному значению при dxi, стремящемуся к нулю.
Комментарии (27)
zumrus
24.08.2023 09:15+3Спасибо за текст, но, по правде говоря, понимание метрического тензора сильно физичнее не стало.
Еще я бы рекомендовал вам заменить надстрочные индексы координатный осей на подстрочные, чтобы не путать их со взятием квадрата. Также рекомендую снабдить таки формулами вот этот пассаж:
> числовые значения всех компонентов gik легко рассчитываются из чисто геометрических соображений, через синусы и косинусы
Наконец, хорошо бы добавить тот факт, что компоненты метрического тензора -- это не константы, а сами по себе некоторые функции, которые и ищет решение уравнения Эйнштейна. Это мелочь и для нас с вами это может быть очевидно, но вот для новичка -- совсем не обязательно. По крайней мере мне когда-то давно это было вообще не ясно сразу. Зато это поможет установить четкую взаимосвязь: меняются компоненты тензора -- меняется гравитация.
dfreev Автор
24.08.2023 09:15+3Уважаемый zumrus!
1. В формуле (1) использованы надстрочные индексы, чтобы не забивать голову читателю неактуальной в данном контексте информацией. Если последовать Вашему совету, придётся объяснять, что в (1) индексы всего лишь условные обозначения, а в (2) они уже указывают на контравариантность компонентов. Последнее в этом тексте, на мой взгляд, явно лишнее.
2. Конечно, можно привести (и даже вывести!) формулы для компонентов gik в случае косоугольных координат. Но что эти математические упражнения добавят к физическому смыслу метрического тензора? Тем более, мне кажется, что способ решения задачи для косоугольных координат вполне понятен на интуитивном уровне и не требует строгого вывода.
3. А вот на Ваше замечание: «по правде говоря, понимание метрического тензора сильно физичнее не стало» мне, честно говоря, ответить нечего. Значит, я где-то недоработал и текст не достиг своей цели. В свое оправдание могу сказать лишь одно: я старался!
zumrus
24.08.2023 09:15Надеюсь, ваш текст обязательно кому-нибудь поможет глубже разобраться в теме. Удачи!
andy_p
24.08.2023 09:15А почему ничего нет про ковариантные и конравариантные координаты ?
Pshir
24.08.2023 09:15А зачем здесь это?
andy_p
24.08.2023 09:15Как это зачем ? Эти координаты связаны через метрический тензор.
dfreev Автор
24.08.2023 09:15О свойствах метрического тензора можно исписать не одну страницу. Но в данном случае обсуждение ограничено рамками темы, заявленной в названии.
Pshir
24.08.2023 09:15Тут про физический смысл метрического тензора, а не математический. А физический смысл метрического тензора - это линейка для измерения расстояний между заданными точками. Дифференциальные операторы, из которых возникают ковариантные координаты, очевидно, выходят за рамки данного рассмотрения.
mikko_kukkanen
24.08.2023 09:15Раз уж Вы рассуждаете о недекартовых координатах, то было бы наглядно привести пару примеров метрического тензора. Например, для сферических или цилиндрических координат. И для косоугольных координат посчитать через синусы и косинусы. И матрицы можно в текст вставить. А вот вполне себе определение тензора: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метрический_тензор. Можно его попроще разобрать, а то, на мой взгляд, уж слишком наворочено. Иначе непонятно, в чем смысл статьи.
Физичность метрического тензора, по-моему, и есть его способность описать метрику пространства в разных системах координат. А ковариантность и контравариантность компонент - куда же без них? Это же и есть инвариантность тензора как физического объекта.
Pshir
24.08.2023 09:15Если вы про ОТО, то там инвариантен интервал, а не метрический тензор. Метрический тензор по определению не может быть инвариантен - он определяется выбранной системой координат. Можете ли вы пояснить, каков физический смысл ковариантности и контравариантности, и зачем конкретно нужны ковариантность и контравариантность в данной статье?
mikko_kukkanen
24.08.2023 09:15Метрический тензор как объект инвариантен по определению. От системы координат меняются только его координаты. Пример тензора 1-го ранга - вектор. У него есть длина и направление. И какие бы танцы
с бубномс системами координат вокруг него не делать, он сам не меняется. А метрический тензор просто разный в разных точках пространства. Но инвариантность аналогична.Pshir
24.08.2023 09:15Вы путаете вектор и его координатное представление. В том и дело, что длина и направление вектора - инвариантны. А его координатное представление меняется при изменении системы координат, оно контравариантно. И вы путаете интервал и метрический тензор. В ОТО инвариантны интервалы. И вот они не меняются при изменении системы координат. А метрический тензор - это именно набор коэффициентов билинейной формы, а не результат вычисления той самой билинейной формы для конкретных координат (то есть интервал). Метрический тензор - дважды ковариантен, интервал - инвариантен. Метрический тензор в отрыве от системы координат просто не существует. Так же, как координатное представление вектора не существует в отрыве от системы координат. В отличие от интервала или самого вектора.
mikko_kukkanen
24.08.2023 09:15А его координатное представление меняется при изменении системы координат, оно контравариантно
В декартовых координатах нет разницы между ковариантными и контравариантными компонентами тензора.
Вы путаете тензор и тензорное поле (когда тензор зависит от точки в пространстве, т.е. является функцией координат).
dfreev Автор
24.08.2023 09:15Уважаемый mikko_kukkanen!
1. Тест имеет вполне ограниченную цель. Он не о метрическом тензоре вообще, а только о том, как его можно себе представить физически. Нет никакого смысла выходить за рамки указанной цели.
2. Определение метрического тензора по Вашей ссылке – ярчайший пример той «математизированности», о которой говорится в обсуждаемом тексте. Для доказательства достаточно перечислить ключевые термины в этом определении: тензорное поле; скалярное произведение; касательное пространство; билинейная форма. Вопрос: как из подобного определения понять физику(!) метрического тензора? Далее в Википедии утверждается: «Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия, свойственные евклидову пространству». Это правильное утверждение, но оно абсолютно декларативное. В обсуждаемом тексте сделана попытка показать не что делает метрический тензор, а как(!) он это делает, каким способом. Причём, показать предельно просто.
3. В остальном согласен с Psir'ом. Каюсь, я тоже не могу объяснить физический(!) смысл ковариантности и контравариантности. С удовольствием прочитал бы на Хабре посвященную этому статью.
mikko_kukkanen
24.08.2023 09:15Согласен, в Википедии слишком наворочено. А за статью спасибо, тема непростая.
Deosis
24.08.2023 09:15Индексы вектора стоит сделать отличными от степеней, а то уже в первой формуле каша получается
dfreev Автор
24.08.2023 09:15Уважаемый Deosis!
Выше уже высказывалось это же замечание. Вероятно, с Вами следует согласиться и опустить вниз индексы при координатах. А перед формулой (2) указать, что, в соответствии с традицией СТО, поднимаем индексы, избегая при этом термина «контравариантность».
KyHTEP
24.08.2023 09:15Здесь был хороший цикл статей про тензоры, если кому нужно, то вот
https://habr.com/ru/articles/261421/
ivansmith
24.08.2023 09:15Из статьи так и не понял что за физический смысл.
Хотелось бы картинок и примеров.
Чему равны gik в нормальных прямоугольных декартовых координатах? 1? Ну и конечно мешанина степеней и индексов в формулах 1 и 2. Может в ОТО и можно опускать знак суммирования, но зачем записывать квадрат dx через умножение?
dfreev Автор
24.08.2023 09:15Уважаемый ivansmith!
Ваши возражения и вопросы абсолютно обоснованы, и причина их ясна. Дело в том, что текст предназначен для людей, все-таки уже знакомых с началами тензорного исчисления и ОТО, но «травмированных» изложением этих дисциплин в исполнении высокомерных математиков и подражающих им физиков. В тексте сделана попытка объяснить смысл одного из понятий тензорного исчисления так, чтобы он стал чуть более понятен не «продвинутому» отличнику, а среднему студенту с обыденным (а не математическим) стилем мышления. К последнему высокоученые лекторы редко спускаются со своих заоблачных высот.
vassabi
вроде бы еще Хокинг писал, что каждая формула уменьшает количество читателей в два раза.
Но зато каждая картинка увеличивает количество дочитавших до конца :)
у вас в тексте очень мало картинок (или даже рисунков).
хотя бы даже вот такого с объяснениями - уже было бы лучше
DSolodukhin
Да уж, говорить про геометрию и не привести ни одного графика, ну такое.
vassabi
ну, я когда решаю что-то математическое - то всегда вижу в голове фигуры. Мне проще сначала нарисовать, а потом уже написать.
А есть такие люди которым интересно писать текст (и формулы в виде текста), их графики только отвлекают.
У меня дочка такая например - я когда ей пытаюсь что-то объяснить, то рисую рисунок со стрелочками. После чего мы друг на друга молча смотрим (я - "ну вот, всё очевидно!", а она - "папа, что это? зачем ты пачкаешь бумагу?"), потом я дорисовываю буквы и пытаюсь всю эту геометрию перевести в формулы. А уже из формул - хопа, ей все понятно. (Интересно какие у меня будут внуки - тоже как я ? надо будет посмотреть - как она им будет объяснять математику из формул в фигуры :D )
dfreev Автор
Уважаемый vassabi!
В тексте была картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора (перед формулой (1)), но система ее не приняла и не позволила вставить в текст. Я это воспринял спокойно: мы что, без картинки не разберемся в теореме Пифагора?
Хотелось бы услышать, как Ваша картинка, иллюстрирующая напряжения в твердом теле, поможет в понимании физического смысла метрического тензора? Ваша картинка сама нуждается в длинном, обстоятельном и (неизбежно!) путаном объяснении, что заведомо противоречит заявленной оценке текста как "простого". Вы готовы объяснить в "простом"(!) тексте, хотя бы такую простую(!) вещь: что собой представляют индексы символов на рисунке? Это просто условные обозначения? Чего? Мы с Вами знаем, что количество индексов определяет ранг тензора, но это не ответ на поставленный вопрос о понимании сути индексов. И "контрольный выстрел": Вы можете дать определение рангу тензора? Сразу признаюсь в своей неграмотности: я не могу. Извините, понервничал, написал лишнего, потому как ответ на Ваше замечание содержится уже в начале: Ваша картинка (плохо, бестолково и непонятно) иллюстрирует физический смысл тензора как математического понятия, но ничего не говорит нам о физическом смысле метрического тензора, как способа описать любое пространство.
Собственно говоря, весь текст написан ради того абзаца, где говорится, что, зная компоненты метрического тензора, мы можем "построить" соответствующее им пространство. Вся остальная математика (лучше сказать, арифметика) только иллюстрирует этот факт. И в силу своей простоты, как мне кажется, иллюстрирует достаточно понятно (что и требуется).
Timur_El
По поводу два - полностью согласен. Я проектировщик, тензоры напряжений по идее должен бы понимать, но не понимаю вообще. Очень сложная муть. В принципе с понятием тензора я на вы, но из вашей статьи понял, в чем физический смысл этого метрического тензора - как вы и хотели. Для общего развития полезно)
dfreev Автор
Уважаемый DSolodukhin!
Текст не про геометрию как таковую, а про способ описания геометрии пространства. В нем упоминаются трехмерное пространство (геометрия которого понятна на бытовом уровне), пространства СТО и ОТО (геометрии которых адекватно изобразить в принципе невозможно). Честно говоря, не вижу, рисунком какого пространства можно проиллюстрировать текст.
Bedal
Гиперболический параболоид может служить прекрасной КДПВ почти на любую тему!
:-)