Тангажные колебания малого спутника / forpes.ru

Главная
Тангажные колебания малого спутника

Тангажные колебания малого спутника +15

04.09.2023 17:02

anikengur 1 2400 Источник

В статье представлен вывод уравнения тангажных колебаний малого спутника из статьи.

Магнитные системы управления

В 60х годах прошлого века у первого метеорологического спутника США (Tiros 1) были обнаружены нарушения ориентации и движения. Причиной оказалось сильное влияние магнитного поля Земли (МПЗ). Тогда же было предложено использовать это поле для управления космическими аппаратами и созданы первые магнитные системы управления (МСУ). Под исполнительными органами магнитных систем управления понимают устройства, создающие сильное магнитное поле на борту спутника (например плоские катушки с током, электромагниты, постоянные магниты).

Магнитные средства управления (МСУ) - устройства, в которых магнитные исполнительные органы (МИО) не управляются, а крепятся неподвижно к корпусу спутника. Такие устройства будут стремиться установить спутник вдоль вектора индукции МПЗ. Магнитные средства разделяют на магнитные системы (МС) и магнитные устройства (МУ). Под их принципом действия подразумевается взаимодействие магнитного момента спутника с МПЗ.

Основным уравнением управления для любых систем управления, называют:

$M = L \times B \quad (1)$

где - момент взаимодействия, - вектор магнитного момента спутника, - вектор индукции магнитного поля Земли. Можно встретить в выражении для момента, вместо вектора индукции, вектор напряженности.

В проекциях на оси управления КА выражение (1) принимает вид:

$\begin{cases} M_x = L_y B_z - L_z B_y \\ M_y = L_z B_x - L_x B_z \\ M_z = L_x B_y - L_y B_z \\ \end{cases} \quad (2)$

Изменяя магнитный момент спутника , тем самым изменив управляющие моменты , можно обеспечить желаемый режим управления. Малая величина управляющих моментов, возможность плавного и точного изменения магнитных систем управления позволяет достичь высокой точности управления.

Выделим некоторые особенности МСУ:

Так как вектор управляющего момента перпендикулярен вектору индукции МПЗ , нельзя создать управляющий момент в направлении поля и все возможные положения заключены в плоскости, нормальной , что видно из (1)
Из уравнений в проекциях (2) заметим, что управление по осям оказывается зависимым. Независимое управление может быть обеспечено лишь относительно двух осей.
Управление невозможно, если вектор магнитного момента и поля совпадут.

Магнитные исполнительные органы создают на борту космического аппарата сильные магнитные поля, что может создавать помехи в работе магнитометрических датчиков, научной аппаратуры и т.п. Эти возмущающие эффекты являются трудно предсказуемыми.

Космические аппараты с магнитными системами управления отличаются преимущественно орбитами с большим наклонением, что позволяет получить большие управляющие моменты и предоставляет более широкие функциональные возможности управления.

Уравнения движения малого спутника вокруг центра масс

Полагаем, что Земля и КА представляют собой тела с заданными моментами инерции, а индукция МПЗ на орбите всюду постоянна. Будем учитывать лишь вращательное движение тел системы. Пусть центр масс спутника движется по круговой полярной орбите с постоянной скоростью. МПЗ в первом приближении близко к полю однородного намагниченного шара или к полю диполя, помещенного в центр Земли. Мы пренебрежем фактом, что магнитная ось диполя (геомагнитная ось) отклонена от оси вращения примерно на 11.5 градусов. Магнитный момент Земли $M_E = 8.1 \cdot 10^{25}$ ед. СГСМ. Геомагнитный полюс северного полушария - южный полюс геомагнитного диполя.

Кинематические уравнения

Для описания движения малого спутника введём следующие правые системы координат:

$O_{\xi} \xi_1 \xi_2 \xi_3$ - инерциальная система координат, жестко связанная с «неподвижным космосом». Начало совпадает с центром масс Земли. Ось $O_{\xi} \xi_3$ направлена на Северный полюс. Оси $O_{\xi} \xi_1$ и $O_{\xi} \xi_2$ лежат в экваториальной плоскости Земли, ось $O_{\xi} \xi_1$ направлена на точку весеннего равноденствия.
– орбитальная система координат, начало которой находится в центре масс спутника, ось направлена по вектору скорости движения КА. Ось направлена по радиус-вектору от центра Земли, ось направлена перпендикулярно плоскости орбиты КА (), дополняя систему до правой.
– связанная система координат,оси направлены вдоль главных осей инерции спутника, в начало помещено в центр масс.

Переход от орбитальной системы координат к связанной зададим серией переходов:

$O y_1 y_2 y_3 \xrightarrow[Oy_1]{\alpha} O y_1' y_2' y_3' \xrightarrow[Oy_2']{\beta} O y_1'' y_2'' y_3'' \xrightarrow[Oy_3'']{\gamma} O x_1 x_2 x_3 \quad (3)$

Соответствующие им матрицы переходов (4)-(6):

$A_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\alpha} & \sin{\alpha} \\ 0 & -\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \quad (4)$ $A_{\beta} = \begin{pmatrix} \cos{\beta} & 0 & -\sin{\beta} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin{\beta} & 0 & \cos{\beta} \end{pmatrix} \quad (5)$ $A_{\gamma} = \begin{pmatrix} \cos{\gamma} & \sin{\gamma} & 0 \\ -\sin{\gamma} & \cos{\gamma} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (6)$

Матрица перехода из орбитальной в связную систему координат:

$A_{y \rightarrow x} = A_{\gamma} A_{\beta} A_{\alpha} =$ $= \begin{pmatrix} \cos{\beta} \cos{\gamma} & \sin{\gamma} \cos{\alpha} + \cos{\gamma} \sin{\beta} \sin{\alpha} & \sin{\gamma} \sin{\alpha} - \cos{\gamma} \sin{\beta} \cos{\alpha} \\ - \cos{\beta} \sin{\gamma} & \cos{\gamma} \cos{\alpha} + \sin{\gamma} \sin{\beta} \sin{\alpha} & \cos{\gamma} \sin{\alpha} + \sin{\gamma} \sin{\beta} \cos{\alpha} \\ \sin{\beta} & - \cos{\beta} \sin{\alpha} & \cos{\beta} \cos{\alpha} \end{pmatrix}$

В линеаризованном виде:

$A_{y \rightarrow x} = \begin{pmatrix} 1 & \gamma & -\beta \\ -\gamma & 1 & \alpha \\ \beta & -\alpha & 1 \end{pmatrix}$

Вычислим проекции абсолютной угловой скорости на оси связанной системы координат . Согласно теореме о сложении скоростей:

$\omega_{a} = \omega + \omega_{o} \begin{pmatrix} \gamma \\ 1 \\ -\alpha \end{pmatrix}$

где $\omega_{a}$ - абсолютная угловая скорость, $\omega$ - угловая скорость спутника относительно орбитальной системы координат, $\omega_{o}$ - орбитальная угловая скорость космического аппарата относительно Земли.

$\begin{pmatrix} \omega_{a1} \\ \omega_{a2} \\ \omega_{a3} \end{pmatrix} = A_\gamma A_\beta \begin{pmatrix} \dot \alpha \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + A_\beta \begin{pmatrix} 0 \\ \dot \beta \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot \gamma \end{pmatrix} + \omega_{o} \begin{pmatrix} \gamma \\ 1 \\ -\alpha \end{pmatrix}$

В связанной системе координат в линеаризованном виде получим кинематические уравнения движения спутника вокруг центра масс:

$\omega_a = \begin{pmatrix} \dot \alpha + \omega_o \gamma \\ \dot \beta + \omega_o \\ \dot \gamma - \omega_o \alpha \end{pmatrix} \quad (11)$

Динамические уравнения движения спутника вокруг центра масс

Значение модуля гравитационного момента мало. Полет КА характерен отсутствием демпфирующей среды, что приводит к неустойчивому движению относительно центра масс. Поэтому в таких условиях мы рассматриваем влияние гравитационного момента. Природа гравитационного момента обусловлена законом всемирного тяготения.

Величина гравитационного момента:

$M_g = 3\omega_{o}^{2} [e_r \times J e_r]$

где – единичный орт радиус-вектора (направлен по оси ), – тензор инерции космического аппарата.

В орбитальной системе координат: $e_{ry} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^T$ , $e_{rx} = A_{y \rightarrow x} e_{ry} = \begin{pmatrix} -\beta & \alpha & 1\end{pmatrix} ^T$

Гравитационный момент в связанной СК:

$M_g = \begin{pmatrix} 3\omega_{o}^{2} (J_{33}-J_{22}) \alpha \\ - 3\omega_{o}^{2} (J_{11}-J_{33}) \beta \\ 3\omega_{o}^{2} (J_{22}-J_{11}) \beta \alpha \end{pmatrix}$

В линеаризованном виде:

$M_g = \begin{pmatrix} 3\omega_{o}^{2} (J_{33}-J_{22}) \alpha \\ - 3\omega_{o}^{2} (J_{11}-J_{33}) \beta \\ 0 \end{pmatrix}$

Модель напряженности поля диполя, описывающая упрощенную модель магнитного поля Земли

Значение величины МПЗ на поверхности Земли можно получить, воспользовавшись выражением магнитного потенциала шара, который равен потенциалу диполя:

$U = \frac{M_3}{R^2} \cos{\theta_{m}} = \frac{M_3}{R^2} \cos{(\Phi - 90)} = - \frac{M_3}{R^2} \sin{\Phi}$

где - магнитный момент Земли, - радиус Земли, $\theta_{m} = \Phi - 90$ - дополнение к геомагнитной широте.

$H = - \text{grad } U$ $-\frac{\partial U}{\partial x} = - \frac{\partial U}{R \partial \Phi} = \frac{M_3}{R^3} \cos{\Phi}$ $-\frac{\partial U}{\partial r} = - \frac{\partial U}{\partial R} = -2 \frac{M_3}{R^3} \sin {\Phi}$

В орбитальной системе координат вектор напряженности :

$H_y = \frac{M_3}{R^3} \begin{pmatrix} \cos{\Phi} \\ 0 \\ -2\sin{\Phi} \end{pmatrix} = \frac{M_3}{R^3} \begin{pmatrix} \cos{\omega_o t} \\ 0 \\ -2 \sin{\omega_o t} \end{pmatrix}$

В связанной системе координат:

$H_x = A_{y \rightarrow x} H_y = \frac{M_3}{R^3} \begin{pmatrix} 1 & \theta & -\beta \\ -\theta & 1 & \alpha \\ \beta & -\alpha & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cos (\omega_o t) \\ 0 \\ -2 sin (\omega_o t) \end{pmatrix} = \\ = \frac{M_3}{R^3} \begin{pmatrix} \cos{\omega_o t} + 2\beta \sin{\omega_o t}\\ - \gamma \cos{\omega_o t} - 2 \alpha \sin{\omega_o t} \\ \beta \cos{\omega_o t} - 2 \sin{\omega_o t} \end{pmatrix}$

А вектор индукции магнитного поля Земли, предполагая, что намагниченность спутника отсутствует, примет вид:

$B_{x}^{mag} = \mu_0 H_x^{mag} = \frac{\mu_0 M_3}{R^3} \begin{pmatrix} \cos{\omega_0 t} + 2\beta \sin{\omega_o t} \\ - \gamma \cos{\omega_o t} - 2 \alpha \sin{\omega_o t} \\ \beta \cos{\omega_o t} - 2 \sin{\omega_o t} \end{pmatrix}$

где $\mu_0$ - магнитная проницаемость среды.

Уравнение тангажных колебаний

Для управления по углу тангажа достаточно одной катушки индуктивности

$M_x^a = M_u \times B_x^{mag}$

M_u = M_0 u $, |u(t)| \leq \mu$ - управляющий момент катушки.

Катушки индуктивности выбираем таким образом, чтобы .

Пусть $B_x^{mag} = \begin{pmatrix} B_{x1}^{mag} & B_{x2}^{mag} & B_{x3}^{mag} \end{pmatrix}^T$ , тогда

$M_x^a = M_u \times B_x^{mag} = \begin{pmatrix} u_2 B_{x3}^{mag} - u_3 B_{x2}^{mag} \\ u_3 B_{x1}^{mag} - u_1 B_{x3}^{mag} \\ u_1 B_{x2}^{mag} - u_2 B_{x1}^{mag} \end{pmatrix}$

Для нашего случая, когда управление происходит по одному углу $u = \begin{pmatrix} u_1 & 0 & 0 \end{pmatrix}^T$ получим:

$M_{x2}^a = u_1 M_0 \frac{\mu_0 M_3}{R^3} (\beta \cos{\omega_o t} - 2 \sin{\omega_o t})$

Выведем уравнения тангажных колебаний КА с учетом гравитационного и магнитного моментов. Выражение для кинетического момента в связанной системе координат:

$K = J \omega_a = \begin{pmatrix} J_{11} & 0 & 0 \\ 0 & J_{22} & 0 \\ 0 & 0 & J_{33} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot \alpha + \omega_o \gamma \\ \dot \beta + \omega_o \\ \dot \gamma - \omega_o \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} J_{11}(\dot \alpha + \omega_o \gamma ) \\ J_{22}(\dot \beta + \omega_o ) \\ J_{33}(\dot \gamma - \omega_o \alpha) \end{pmatrix}$

где $\omega_a$ – абсолютная угловая скорость (11), – тензор инерции спутника ( $J_{11}, J_{22}, J_{33}$ - главные моменты инерции), $\alpha, \beta, \gamma$ - углы курса, тангажа и крена соответственно.

По теореме об изменении кинетического момента:

$\dot K + \omega_a \times K = M_u + M_v$

где $M_u = \begin{pmatrix} M_{x1}^u & M_{x2}^u & M_{x3}^u \end{pmatrix}^T$ – управляющий магнитный момент, $$M_v = \begin{pmatrix} M_{x1}^v & M_{x2}^v & M_{x3}^v \end{pmatrix}^T$ – гравитационный момент.

Тогда уравнения колебаний космического аппарата с учетом гравитационного и магнитного моментов в проекциях на связанную систему координат:

Предполагая, что система стабилизирована по углам крена и курса ( $\alpha = 0$ , $\gamma = 0$ ), получим уравнение тангажных колебаний:

$J_{22}\ddot\beta + 3\omega_{o}^{2}(J_{11} - J_{33})\beta = u_{1}M_{o}\mu_{0}\frac{M_3}{R^3}(2 \sin{\omega_o t} - \beta \cos{\omega_o t}) % + M^{v}_{x2}$

Обезразмерив уравнение с помощью замены $\tau = \omega_o t$ получим:

$\ddot\beta + a\beta = 2b\sin(\tau) u - b \cos (\tau) \beta u + \xi$

где $a = 3 \cdot \frac{J_{11} - J_{33}}{J_{22}}, \quad b = \frac{M_0 \cdot \mu_0 \cdot m_3}{\omega_o^2 \cdot J_{22} \cdot R^3}, \quad \xi = \frac{M^{v}{x2}}{J{22} \omega_o^2}$ .

Уравнение в форме Коши, где $x = (\beta \quad \dot \beta)^T = (x_1 \quad x_2)^T$ :

$\begin{cases} \dot{x_1} = x_2 \\ \dot{x_2} = -ax_1 -b\cos(\tau)x_1u +2b\sin(\tau)u +\xi \end{cases}$

Пренебрежем слагаемыми $b\cos(\tau)x_1u = 0$ и $\xi = 0$ , полагая их малыми второго порядка.

$\begin{cases} \dot{x_1} = x_2 \\ \dot{x_2} = -a x_1 + 2b \sin(\tau) u \end{cases}$

В матричном виде:

$\dot x = Ax + B(\tau)u$

где $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -a & 0 \end{pmatrix}$ $, B(\tau) = \begin{pmatrix} 0 \\ 2b \sin(\tau) \end{pmatrix}$ .

Комментарии (1)

MasterMentor
05.09.2023 08:31
#25932050
Оч хорошая статья и написана замечательным языком.

PS Значительно выигрывает статьям на тему "отношения между пользователями (users) и товаром (items)" (даже если их цель была демонстрация приемов работы с матричными и дифференциальными операторами).