31.12.2023 07:57
atomlib 7 5800 Источник

Wolfram Community

Через несколько часов закончится 2023 год. Уходит последняя возможность сделать то, что планировалось выполнить в этом году. Уже совсем скоро начнётся 2024 год, который будет совсем другим.

С другой стороны, новый год ничем не отличается от предыдущего. Есть ли смысл придавать дате такое значение? Многие укажут, что это лишь смена одного числа на другое.

Давайте посмотрим, чего нам стоит ожидать от 2024.

Очевидно, что 2024 — не простой год. В последний раз простым числом год был в 2011 и 2017. Ближайший простой год — это 2027, почти сразу за которым последует 2029, ещё через десятилетие — 2039.

Другие свойства только укрепляют нас во мнении, что 2024 — лишь перевалочный пункт на пути к более интересным временам. Интересно, что

$\begin{equation} 2024 = 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 \end{equation}$



Однако это наблюдение блекнет в тени того, что 2025 — сумма кубов чисел от 1 по 9.

$\begin{equation} 2025 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 \end{equation}$



Известно свойство суммы последовательности кубов:

$\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^2$



Данное выражение доказывается по-разному: по индукции, с помощью теоремы Никомаха и так далее. Оно означает, что

$\begin{equation} 2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) ^ 2 \end{equation}$



Впрочем, найти утешение для наступающего года легко. Если продолжить такие размышления, то 2025 — сумма кубов не только от 1 до 9, но и от 0 до 9. Поэтому 2024 — сумма кубов от −1 до 9:

$\begin{equation} 2024 = -1^3 + 0^3 + 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 \end{equation}$



Наконец, само по себе представление в виде суммы последовательных кубов — нечастое явление. Ближайшие года до этого — это 2016 и 1989:

$\begin{equation} 2016 = 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 \end{equation}$



$\begin{equation} 1989 = 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3 \end{equation}$



Также 2024 можно записать выражением только из 20 и 24:

$\begin{equation} 2024 = (20 + 24) * (20 + 24) + 20 + 24 + 20 + 24 \end{equation}$



2024 — число харшад, то есть делится нацело на сумму своих цифр. В данном случае

$\begin{equation} 2024 = (2 + 0 + 2 + 4) * 253 \end{equation}$



Как 2022, 2023, так и 2025 — числа харшад. В переводе с санскритского harṣa означает «великая радость» — индийский математик Даттарая Рамчандра Капрекар заложил в этот термин положительный смысл.

Такая последовательность в четыре года — не первая. Предыдущие случались в VI (510, 511, 512, 513) и XI (1014, 1015, 1016, 1017) веках. Ждать новую последовательность в 4 года придётся почти тысячу лет, до 3030 года.

Даже последовательности из трёх чисел харшад редки. Ближайшая — через 440 лет (2464, 2465, 2466). Последовательность длиннее 4 и вовсе произойдёт лишь через почти 130 тысяч лет: в период между 131 052 и 131 056 годами случится первая «приносящая радость» последовательнось в 5 лет.

Наступающий 2024 год — избыточный: сумма (2296) его делителей, отличных от самого числа, превышает его.

В противовес килобайту/КБ как 1000 байт в ходу находится кибибайт/КиБ (1024 байт). Возможно, спор о правильности названия единиц измерения наконец-то разрешится в следующем году: 2024 — это сумма килобайта и кибибайта.

$\begin{equation} 2024 = 10 ^ 3 + 2 ^ {10} \end{equation}$



Представим пирамиду с основанием из правильного треугольника, которая образована из чисел. Пусть в этой пирамиде n-е число определяется как сумма n первых треугольных чисел. Такие числа называются тетраэдральными.

Последовательность тетраэдральных чисел начинается как 1, 4, 10, 20, 35, 56 и так далее. 2024 — это 22-е тетраэдральное число.


House of Maths

Из другого объяснения тетраэдральных чисел следует, что в пирамиде из мандаринов с треугольным основанием высотой в 22 мандарина суммарно фруктов будет 2024.

Средняя масса мандарина составляет 88 граммов, то есть весить такая пирамида будет чуть больше 178 кг. Это совсем немного, поскольку в новогодних каникулах целых 10 дней, во все из которых нужно чем-то заняться.

С наступающим Новым годом!

Комментарии (7)


  1. FlyingDutchman2
    31.12.2023 08:19
    #26326634
    +1

    У вас опечатка в формуле для 2025: сумма чисел от 1 до 9 в степени 3, а должно быть в степени 2.


    1. atomlib Автор
      31.12.2023 08:19
      #26326644

      Поправил, спасибо.


      1. Xeleont
        31.12.2023 08:19
        #26327396

        опечатка всё ещё есть почти в начале статьи - "Однако это наблюдение блекнет в тени того, что 2025 — сумма кубов чисел от 1 по 9".


        1. atomlib Автор
          31.12.2023 08:19
          #26327844

          А где здесь опечатка? Написано же, что сумма кубов, а не куб суммы.


  1. Uranix
    31.12.2023 08:19
    #26326692
    +3

    Поэтому ничто не помешает записать

    кроме математики и здравого смысла


    1. atomlib Автор
      31.12.2023 08:19
      #26326726

      Исправил, спасибо.


  1. keenx
    31.12.2023 08:19
    #26327900
    +2

    Отличный материал для математического поздравления с наступающим Новым годом. Я наделал скриншотов и рассылаю их как открытки с ссылками на статью. Спасибо!