Изучение чисел простых и составных, четных и нечетных длится не одно тысячелетие, а теория чисел пока далека от завершения. Даже для простых и понятных арифметических операций поиск обратных им операций на сегодняшний день не завершен. Например, для
n-й степени числа обратной является операция извлечение корня n-й степени, для умножения чисел обратной является факторизация произведения, но простой и доступный алгоритм ее реализации до сих пор не открыт. Оказалось, что это очень большая и сложная проблема. Универсальный способ факторизации до сих пор не найден. В мире людей предпринимаются огромные усилия огромным числом математиков (судя по публикациям) для отыскания такого способа, но пока без особого успеха.

Известно несколько подходов к решению проблемы (алгоритм Ферма, числовое решето, эллиптические кривые, CFRAC, CLASNO, SQUFOF, Вильямса, Шенкса и др.), которые критикуются и не кажутся перспективными и которые даже не претендуют на универсальность. Автором публикации предлагается оригинальный подход к решению проблемы с претензией на универсальность, т.е. без каких либо ограничений на факторизуемые числа, в частности, ограничений на разрядность чисел.

Существо подхода состоит в разработке такой модели числа, которая использует концепцию закона распределения делителей (ЗРД) числа, открытого автором (публикация 2014г).

Подход позволяет находить инволюцию в конечном числовом кольце вычетов (КЧКВ) по составному модулю N, путем разложения предлагаемой модели числа (аналогичного Пирсовскому разложению кольца) в подмодели или цикловые множества строк (ЦМС) модели.

Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы.  Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения.

Введение

По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности:

СММ — списочная многострочная модель числа;
Аi — аттрактор, значение кратное большему делителю числа N;
ЗФБЧ — задача факторизации больших чисел
ЗРД — закон распределения делителей;
НРЧ  — натуральный ряд чисел;
ПНЧ — последовательность (ряд) нечетных чисел;
ИБ — информационная безопасность;
КВВ  — квадратичный вычет элемента алгебраической структуры по модулю N;
КВК — квадратичный вычет полный квадрат;
КЧКВ — конечное числовое кольцо вычетов по модулю N;
РИ — решающий интервал, интервал нечетной длины, центр которого характеризуется КВК;
НИ — накрывающий инт-л, замкнутый и-л нечетной длины d_m, содержащий кратное х = id_б;
СННЧ — составное нечетное натуральное число N;
ЦМС — циклическое множество строк СММ, подмодель ;
ТКВК  — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все КВК;
ТССС — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все средние вычеты, сохраняющие смежность сомножителей;
ДЦ, ДIn, Д0, — дубли строк СММ центральной, первой (инволюций), последней (нулевой;
CFRAC – метод цепных дробей;
CLASNO – вероятностный алгоритм;
SQUFOF – на основе арифметики вещественных квадратичных полей
Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е² = е.

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х
кольца, квадрат которого хх =1; преобразование, которое является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.

Эта статья о поиске инволюции, о подходах к такому поиску. Считаю, что инволюция является ключом для факторизации числа. Ее наличие устраняет все сложности, так как смежные с ней элементы являются кратными делителей числа.

Устройство модели составного числа N

Списочная многострочная модель (СММ) составного числа N образована как прямоугольная таблица строк фиксированного формата из восьми (8) столбцов и (N – 1):2 строк. Существует упрощенный вариант модели, содержащий лишь четыре первых столбца. Позиции-клетки таблицы заполнены числами фрагмента натурального ряда чисел (НРЧ ) от 1 до N – 1. Напомню кратко требования к модели: число N многоразрядное натуральное, нечетное, составное (полупростое), бесквадратное.

Основу модели образует начальный фрагмент натурального ряда чисел, ограниченный значением N = pq, где p и q – простые числа. Перечень элементов фрагмента НРЧ дополняется нулем слева и операциями сложения (+) и умножения (×) над ними, что позволяет рассматривать фрагмент как Z/_NZ конечное числовое кольцо вычетов (КЧКВ) по составному модулю N.

Это значение N представляется линейной (аддитивной) моделью – разбиением числа на две части N = х₁ + х_о, где всегда часть х₁ > х_о. Таких моделей (соотношений) для N существует ограниченное множество. Элементам множества таблицы (строкам) присваиваются порядковые номера, в качестве которых используются меньшие слагаемые х_о = 1(1) х_омах, где х_омах – меньшее слагаемое при представлении N суммой смежных чисел.

Список всех таких моделей числа N поместим в прямоугольную многострочную таблицу 4× х_омах, в которой 4 столбца и х_омах строк (таблица 1, N = 323). На первый взгляд модель примитивно (линейная) простая (всего два слагаемых) и не обещает каких-то существенных результатов.

Таким образом, основой каждой строки таблицы является простая (линейная) модель числа N = х₁ + х_о из двух слагаемых, где х_о числа первой половины списка (растут от 1 до (N – 1):2 при движении вниз по списку), х₁ – числа второй половины списка (растут при движении вверх по списку, продолжая х_о). По свойству алгебраической структуры с двумя операциями для каждой строки списка квадратичные вычеты (КВВ) по модулю N элементов х₁, х_о совпадают. r_л ≡ х₁²mod N ≡ (N – х_о)²mod N ≡ (N² – 2Nх_о + х²_о ) mod N = х²_о .

Но такой выбор модели сделан сознательно. Богатство модели в том, что она несет в себе свойства НРЧ с одной стороны, и содержит в явной форме делители числа N и их кратные – с другой. Отсюда гипотеза – возможно наличие кратных делителям N в явном виде позволит установить соотношения, определяющие их значения при заданном N. Свойство открытости модели позволяет ее модифицировать и совершенствовать (путем добавления столбцов, расширяющих ее свойства).

Столбцы СММ таблицы получают наименования и не все из них являются множествами.
Первая (левая) колонка (Rл = {r_л}) таблицы СММ содержит все квадратичные вычеты. Некоторые элементы столбца Rл повторяются (N = 323, r_л = 77 в строках х_о = 20 и х_о = 37).

Вторая колонка (Х₁ = {х₁}, х₁ = N – х_о) содержит большее слагаемое из суммы N = х₁ + х_о линейной модели (дополнение к х_о до модуля).

Третья колонка (Х_о = {х_о}) содержит меньшее слагаемое из суммы, х_о – используется как текущий номер строки таблицы СММ. СММ столбцы Х₁, Х_о, Т повторяющихся элементов не содержат, т.е. являются множествами.

Четвертая колонка (Т = {t}, t = х₁ – х_о) – это разность слагаемых в сумме. Все значения t – нечетные числа {1, 3, 5, …, N – 2} – начальный фрагмент последовательности нечетных натуральных чисел (ПНЧ); числа возрастают от 1 до N – 2 при движении вверх от последней строки таблицы. Эти нечетные числа преобразуются в произведения р = t₁ ∙ t_о двух смежных слагаемых и заполняют позиции строк пятой колонки.

Пятая колонка (Р = {p}, р = t₁ ∙ t_о, t = t₁ + t_о, t₁ = t_о +1) произведения смежных слагаемых.
Шестая колонка (Rс = {r_с}, где r_с ≡ t₁ ∙ t_о (mod N)) – это средние вычеты по модулю N.

Седьмая колонка (Т_п = {t_п}) – фрагмент ПНЧ от 1 до N – 2 со значениями, возрастающими сверху вниз. Состав колонок Т и Т_п полностью совпадает, но в таблице они направлены встречно друг другу. Это обеспечивает установление симметрии положения строк относительно центральной строки СММ.

Восьмая колонка (R_п = {r_п}, r_п = N – r_л) – правый вычет по модулю N – дополнение левого вычета до N.. При движении вниз в таблице СММ строка за строкой заполняются позиции столбцов.

Свойства модели числа

Кратность строк. В СМ-модели речь идет о начальном фрагменте НРЧ. Из этого следует, что среди чисел фрагмента будут регулярно (с постоянным шагом) встречаться кратные делителей
N = d_md_б.

Строки с такими элементами называются кратными строками. Кратность строк зависит от носителя множества, если это множество Х, то коэффициенты кратности могут быть любой четности, если в роли носителя рассматривается множество Т (фрагмент ПНЧ), то коэффициенты кратности могут быть только нечетными числами. Из этого следует важное положение о кратных строках. с разными коэффициентами в паре строк.

Кратные строки в расширенной модели следуют одиночными и смежными парами. Например, 4-ка кратных строк имеет номера х_о = 142,143,144,145 им соответствуют разности t =39=19+20, 37=18+19, 35=17+18, 33=16+17, а произведения смежных слагаемых разностей равны средним вычетам. Для строки-дубля инволюций
r_с = ¼ (t² –1) (mod 323) = ¼(287² –1) (mod 323) =243. Средние вычеты четверки кратных строк
r_с = 19∙20 =380 – 323 =57 =3∙19; r_с = 19∙18 =342 – 323 =∙19; r_с = 17∙18 = 306; r_с = 16∙17= 272.

Таблица С– Демонстрация симметрии положения строки-дубля инволюций и «четверки»

Все четыре вычета r_с этих смежных строк кратны (верхняя пара 19, – нижняя 17) делителям. Фрагменты ПНЧ (Т, Т_п) равной длины встречно направлены подобны двум нитям молекулы ДНК в живой клетке.

В колонках Р и Rс элементы строк, содержащие кратные делителям N значения, встречаются смежными парами. Строки смежной пары кратны обе либо меньшему d_m = р, либо большему d_б = q делителям с разными коэффициентами в паре.

Дублирование строк. Из теории сравнений известно, что квадратичные сравнения вида
х² ≡ а (mod N), либо не имеют решений, но, если а – квадратичный вычет по модулю N, то либо имеют два или четыре корня, т.е. а может встречаться в одной или в двух строках таблицы СММ. Эти строки называются дублями одна для другой, а корнями при этом являются х₁, х_о одной строки и х₁, х_о другой строки-дубля. Дублирование имеет место для некратных строк
х₁ ≡ х_о ≡ а (mod N). Кратные строки не дублируются

Пример 1. Ранее упоминалось, что при N = 323, r_л = 77 в строках х_о = 20 и х_о = 37. Роль
квадратичного вычета а в сравнении играет r_л = 77. Корни сравнения х = 20, 37, 303, 286. Действительно, 20² ≡ 77 (mod N); 37² ≡ 77 (mod N); 303² ≡ 77 (mod N); 286² ≡ 77 (mod N);

Первая, последняя и центральная строки СММ, не кратные, и они имеют строки-дубли.
Дублем первой строки является строка нетривиальных инволюций (In, IN), дублем последней строки (нулевой, так как в ней r_с = 0) является строка с х_о = половине четной инволюции, дублем центральной строки является строка с хо = четверти четной инволюции. В дублирующей строке все три вычета (r_л, r_с, r_п) исходной строки сохраняются.

Дублирование строк. Из теории сравнений известно, что квадратичные сравнения вида
х² = а (mod N), либо не имеют решений, но, если а – квадратичный вычет по модулю N, то либо имеют два или четыре корня, т.е. а может встречаться в одной или в двух строках таблицы СММ, которые называются дублями одна для другой, а корнями при этом являются х₁, х_о одной строки и х₁, х_о другой строки-дубля (дублирование имеет место для некратных строк) х₁ ≡ х_о ≡ а (mod N). Кратные строки не дублируются

Первая, последняя и центральная строки СММ, не кратные, и они имеют строки-дубли.
Дублем первой строки является строка нетривиальных инволюций (In, IN), дублем последней строки (нулевой, так как в ней r_с = 0) является строка с х_о = половине четной
инволюции, дублем центральной строки является строка с х_о = четверти четной инволюции. В дублирующей строке все три вычета (r_л, r_с, r_п) исходной строки сохраняются.

Тривиальные области строк. В полном списке расширенной СММ выделяются две области непрерывно следующих строк, названные тривиальными областями (ТКВК сверху списка с числом строк, содержащих полные квадраты, меньшие N, и другая – (ТССС внизу списка СММ) строки, содержащие произведения t₁ ∙ t_о, меньшие N).

В этих областях строки следуют непрерывно, т.е. без пропусков. Элементы названных тривиальных областей (левые r_л вычеты и средние r_с вычеты) повторно встречаются (дублируются) в СММ, но порядок их следования в списке диктуется не лексикографией (как в тривиальных областях), а законом распределения делителей N (ЗРД). Публикация о ЗРД в топе с 2014 г.

О тривиальных областях модели уже писал раньше, и ограничусь ссылками на свои работы. Замечу здесь, что в области теории чисел мои статьи активно копируются другими сайтами и, что мне кажется несколько странным (я ведь не математик), представляются читателям уникальными. О моделях числа тоже на мой запрос выдаются мои же статьи.

Поскольку некратные строки в СММ дублируются, то пересечение тривиальных областей часто оказывается не пусто: либо (ТКВК∩ТССС = 1, тип модели 1) с множеством, состоящим из одной строки, (ТКВК∩ТССС = 2, тип модели 2) с множеством, состоящим из двух строк, либо пересечение (ТКВК∩ТССС = Ø, тип модели 0) может быть пустым,

Существует область из четырех смежных строк («четверка»), в которой нижняя пара строк кратна одному делителю, а верхняя – другому делителю. Между этими парами отсутствуют некратные строки. Средняя линия четверки, разделяющая ее пары, соответствует строке с нетривиальными инволюциями. Она размещена симметрично строке нетривиальных инволюций относительно центральной строки СММ.

Это следует из анализа и сопоставления элементов встречно направленных столбцов Т и Т_п. В этих столбцах элементы центральной строки равны между собой, а симметрично расположенные строки или области характеризуются перекрестно-зеркально расположенными одинаковыми значениями в этих столбцах на равном удалении от строки центра.

Интервалы строк модели. Здесь сделаем пояснения. Для заполнения вСММ колонок Х₁, Х_о используется начальный фрагмент из N первых чисел НРЧ. При дополнении фрагмента нулевым элементом и заданием над множеством Х двух операций: суммирования (+) и умножения (∙), фрагмент НРЧ становится конечным числовым кольцом вычетов по модулю N, т.е. Z_N со всеми присущими ему свойствами и законами.

Для исследования КЧКВ важно понимать, что среди элементов-чисел Z_N будут регулярно встречаться кратные делителей k_md_m и k_бd_б меньшего и большего. Регулярность встречаемости определяется постоянством шага равного d_m для меньшего, d_б для большего делителей. Позиции, занимаемые кратными делителей для меньшего, помечаем заливкой одного цвета и для большего – заливкой другого цвета.

Далее для пар позиций с разной заливкой (цветом) рассматриваем множество замкнутых интервалов, образованных промежуточными позициями без заливки или даже с заливкой. Длина таких интервалов может содержать четное 2k или нечетное 2k +1 количество позиций. В случае нечетного числа позиций замкнутый интервал имеет среднюю (центральную) позицию (точку), которую будем обозначать х_оц или х_1ц.

Квадратичные вычеты в этих центральных точках всегда оказываются полными квадратами (k²). В сущности, это квадраты удаленности (в числе позиций k) граничных точек интервалов от его центра. Этот факт – есть проявление ЗРД, так как границы интервалов всегда значения кратные делителям.

Ситуация, похожая на описанную, имеет место для колонки Т_п СММ. Значения чисел в позициях этой колонки всегда нечетные числа, а сама колонка представляет собой начальный фрагмент ПНЧ, т. е. {1, 3, 5, …, N – 2}, который содержит кратные делителей k_md_m и k_бd_б меньшего и большего. Отличие от рассмотренного ранее случая с колонками Х₁ и Х_о в том, что коэффициенты кратности k_m и k_б всегда нечетные числа.

В этой колонке Т_п выполняется свое условие регулярности (встречаемости) кратных
делителей. Имеется одно очень существенное отличие. В строке, содержащей
кратные делителю d значения позиции колонок Р и Rс = р (mod N) также заняты кратными значениями и, более того, примыкающая сверху (смежная) строка в этих позициях Р и Rс также содержит кратное этого же делителя.

Таким образом, в ситуации с Т_п кратными оказываются не одиночные, как ранее, при рассмотрении колонок Х₁ и Х_о строки, а уже пары смежных строк, в которых кратные позиции помечаются заливкой одного цвета для d_m и пара строк – заливкой другого цвета для d_б. Далее по аналогии рассматриваются замкнутые интервалы с граничными позициями заливкой разного цвета.

Замкнутые интервалы с граничными позициями разной окраски нечетной длины в центральной позиции содержат средние вычеты r_ссс = k (k – 1), сохраняющие смежность сомножителей (ССС). Среди всех возможных интервалов выделяются накрывающие (НИ) и решающие (РИ) интервалы.

Формирование таблицы СММ

Важным свойством СММ является наглядность и возможность интерпретации результатов при внесении изменений. Таблица 1 формируется без знания делителей N и построена для N = pq = 323. Процесс построения. Вначале находим представление модуля N суммой смежных слагаемых N = х₁ + х_о = 162 + 161. Меньшее слагаемое определяет количество строк в модели (161). Заполняются колонки Х₁, Х_о. Для каждой строки вычисляем и вписываем в позиции (4-й столбец) разности t = х₁ – х_о.  

Значения 1-го столбца Rл для каждой строки вычисляются по формулам модулярной арифметики. «НРЧ знает» какие элементы должны быть в каждой позиции и в нужном порядке расставляет их. Упрощенная модель сформирована, все до гениальности (примитивности) просто, но длинно. Стремление компактно (на лист А4) визуально представить модель СММ потребовало полный список из х_омах = 161 строки разрезать на три части и разместить их столбцами   слева направо в сводной таблице 1.

Пример 2. Задано составное число N = pq = 17∙19 = 323. Для него построена упрощенная списочная многострочная модель, таблица 1 – это каноническая модель составного нечетного натурального числа (СННЧ). Модель весьма ограниченная (4 столбца), но расширенную модель пока не привожу, чтобы не затуманивать преждевременно сознание читателя множеством деталей и подробностей. Важные свойства модели проявляются уже в представляемой ограниченной модели.

В таблице 1 (СМ-модели) можно выделить множества строк, разбивающие таблицу на части. Начальная часть, содержащая в столбце Rл непрерывно следующие возрастающие полные квадраты (КВВ = КВК), которые встречаются повторно в строках-дублях в других частях (средней и конечной) таблицы, названа тривиальной областью КВК (ТКВК) с границей
Гтквк = √ N.

Конечная часть, содержащая в столбце Т непрерывно следующие элементы, образующие сумму модуля N. Средняя часть – размещается между начальной и конечной.
В общей (не канонической) модели в строках-дублях квадраты распределяются не в смежных парах строк (как при N = 323), а почти «хаотически». Сумма первых степеней ближайших квадратов не равна постоянной величине (четной инволюции In =18). Квадраты как бы «расползаются» по списку. Для всех N сумма нечетных чисел остается непрерывным фрагментом ПНЧ из d_m слагаемых со средним слагаемым равным d_б.

Всегда при любом N для строки центра СММ х₁ = r_ло, х_о = r_по. Строка-дубль последней («нулевой») строки содержит значение х_о = ½In равное половине четной инволюции, разность
t = In равна нечетной инволюции, а средний вычет (r_ссс = 0) равен нулю.

Очевидно, что фрагмент НРЧ, включаемый в СММ, с упорядоченными элементами х содержит периодически встречающиеся кратные делителей kp и kq, k = 1(1) K. Эти кратные строки (Табл. 1) выделены жирным шрифтом и заливкой разного цвета. При кратном х все элементы строки оказываются кратными одному из делителей.

Возникает вопрос о том, что (кто) фактически управляет распределением КВВ (элементов первого столбца)? Вопрос возник не сегодня, он существует не одно тысячелетие. Вот последнее, что мне удалось отыскать по данному вопросу. УДК 511. статья В. И. Арнольда (2010 года) «Случайны ли квадратичные вычеты?» Редакцией получено 28 декабря 2009 г.

Эта публикация подтолкнула меня углубиться в проблему, что в итоге привело к открытию Закона распределения делителей натурального числа (ЗРД, 2014).

Работа российского академика РАН математика В.И. Арнольда Случайны ли квадратичные вычеты? от 2009, свидетельствует, что ни он сам, ни авторы, которых он читал и знал лично ответа на этот вопрос не знали. Его ответ – КВВ не случайны. Каждый элемент х СММ, квадрат которого больше N, а КВВ = КВК – полный квадрат, однозначно определяет пару кратных делителей числа N, именно d = x ± √ 9 .

Пример 3. В таблице 1 дубли всех КВК области ТКВК являются центрами РИ, что легко проверяется. Возьмем из табл.1 х_о = 54, 54² = 2916 >323; КВВ х ≡ 2916(mod323) = 9+9·323 = 9. Тогда d = x ±√КВК =  54 ±√ 9 =  3·17; 3·19. Границы решающего интервала оказались кратными разных делителей.

Еще пример. Возьмем из табл.1 х = 36, 36² = 1296 >323; КВВ х =1296(mod323) = 4+4·323 = 4. Тогда d = x ± √КВК = 36 ± √4 = 2·17; 2·19.

Границами решающих интервалов оказались кратные разных делителей, но уже другие. При очень больших N, когда таблица отсутствует, проблему представляет выбор (поиск) точки х за пределами ТКВК, КВВ которой – полный квадрат. Наименьшим таким квадратом КВВ является единица, а точка, в которой он возникает называется инволюцией.

Сама инволюция не является кратной ни одному из делителей, но смежные с ней значения кратны разным делителям. Это свойство – частный случай проявления ЗРД. Заметим, что в строке нетривиальных инволюций их две – четная и нечетная. Нечетная инволюция (х₁=305) представима суммой смежных слагаемых 305 = 152 + 153 и преобразуется в линейную форму переменных-делителей: 305 = 9×d_м + 8×d_б = 9×17 + 8×19.

Разложение СММ в цикловые множества строк (ЦМС)

Кратко напомним о соотношениях Пирсовского разложения кольца. Пирсом Б. в 1870 г установлена возможность разложения кольца с идемпотентами. Ему удалось получить представление кольца в виде прямой суммы подколец, связанное с данным идемпотентом е. Для кольца R, содержащего идемпотент е, существуют представления левое, правое и  двустороннее. 

Пирсовское разложение, определяется равенствами:

R = Re + R(1 – e); R = eR + (1 – e)R;
R = eRe + eR(1 – e) +  (1 – e)Re +  (1 – e)R(1 – e). В нашем случае имеет место аналогия.
Я работаю с преобразованным КЧКВ в модель СММ для исследования числа N. В частном случае в роли числа N выступает составной (полупростой) нечетный модуль такого кольца.

Пирсовское разложение кольца навело меня на мысль о возможном разложении модели на подмодели, которые может быть возможно обратным переходом преобразования вернуть к виду подколец. В настоящее время мне это кажется сомнительным. Переход от модели к подмоделям осуществляется с использованием не классических операций (пирсовское умножение на идемпотент, операций (+), (∙)), а посредством операции подстановки одного элемента строки (разности t = х₁ – х_о) вместо части разбиения х_1-i, i = 0,1 в новую строку. Подмодель будем называть цикловым (циклическим) множеством строк (ЦМС). Формируются ЦМС из последовательностей зависимых строк.

Порождение зависимых строк. Разложение СММ

Зависимые строки порождаются от некоторой заданной исходной и формируют множество строк, образующее цикл. Это явление подобно образованию мультипликативной циклической подгруппы из заданного исходного элемента исходной группы. Мы можем не знать порядка подгруппы. Многократно умножаем элемент на себя и получаем элементы подгруппы до тех пор, пока вновь не возникнет исходный элемент.

Дальше при продолжении умножения состав элементов будет просто повторяться. В группе G = {7,11,13,17,19,23,29, 31} роль единичного элемента играет g = 31, а g = 13 образует циклическую подгруппу по модулю N = 30. Циклическая подгруппа группы G образована 4-мя элементами (13, 19, 7, 1) или 13·13 = 19, 19·13 =7, 7·13 = 1, 1·13 = 13.

Формирование разложения СММ на подмодели

Возьмем первую строку СММ При подстановке из нее значения t в новую порождаемую строку в соответствующую позицию х_{1- i ,}  i = 0,1, этой новой строки, возникает строка с удвоенным значением х_{1- i} и учетверенным значением r_л.

Пример 4. Исходная строка 256 307 16 291; порожденная 55 291 32 = 2·16 259, где вычет КВВ 55 = 4·256(mod 323) = 32²(mod 323) = 1024 = 3·323 + 55 = 55. Для строки-дубля исходной строки 256 288 35 253 получим строку-дубль порожденной 55 253 70 183.

СММ порождения одних строк другими имеет следствием разложение СММ на циклические множества строк с автоматическим разделением множеств кратных и некратных строк. Явление автоматизма классификаций в теории часто встречается, например, модель НРЧ - спираль Улама отделяет полные квадраты от других элементов и выстраивает квадраты вдоль главной диагонали, рассортировав предварительно четные и отдельно нечетные квадраты.

Такое разложение СММ не связывается с наличием идемпотентных элементов как у Пирсона. Строки кратные одному из делителей отделяются от строк кратных другому делителю.

Таблицы ЦМС М17, ЦМС Б19 и ЦМС Б57с элементами кратными разным делителям р и q

Особенностью ЦМС для некратных строк является множество таблиц одинакового размера. Каждая ЦМС формируется из двух равных половин, строки которых имеют совпадающие КВВ, а элементы х₁, х_о строк обеих половин (табл. 2) являются 4-мя корнями квадратичных сравнений. Анализ таблицы 2 показывает, что КВВ последней строки и ее дубля имеют совпадающие КВВ (81) и х_о строки дубля равно половине четной инволюции (х_о= 18:2 = 9). Этой строке предшествует строка-дубль центра, с разностью t = 9.

Получение таблиц осуществляется программным путем. В программе организуется цикл, в котором для первой ЦМС в качестве исходной используется первая строка СММ. Разность t исходной строки подставляется в соответствующую позицию х₁-_i , i = 0, 1, порожденной строки, другие элементы которой определяются вычислениями.

Заполненная таким способом строка становится исходной для последующей. На каком-то очередном шаге порожденная строка совпадает с начальной исходной, что свидетельствует о завершении цикла. Первая таблица сформирована. В процессе ее формирования фиксировались наименьшие элементы СММ, которые использовались в ЦМС.

Следующий из меньших элементов (не использован в ЦМС Н-1) размещается в позиции хо первой строки второй ЦМС Н-3. В таблице ЦМС Н-1 элемент 3 не был использован, его помещаем в позицию х_о = 3 первой строки второй таблицы ЦМС Н-3. Строка получает значения: КВК = 3² = 9, х₁ = N – 3 = 320, х_о = 3, t = х1 – xо = 320 – 3 = 317. Получили 2 ЦМС.

Как и Пирсовское разложение кольца объединение (прямая сумма) всех полученных ЦМС образует исходную модель, которая подлежала разложению 1+2(72 + 72 + 9 +4 + 4) = 323. Слагаемое 1 соответствует нулевому элементу СММ.

Дублем 1-й строки СММ и таблицы Н-1 является строка нетривиальных инволюций. Она помещена в 1-й большой ЦМС Н-1 и начинает вторую половину списка этой таблицы Н-1; дубль последней строки – нулевая строка (r_с = 0) также в 1-й ЦМС. Строки идемпотентов кратные, следовательно, они попадают в ЦМС кратных разным делителям. Строки, окаймляющие инволюции, кратные, они размещены также в разных малых ЦМС.

Во 2-й ЦМС Н-3 нижней строкой с КВВ = 83 является оригинал строки с (r_с = 2), а ее дубль нижняя строка верхней части таблицы. Верхние строки обеих половин 2-й большой ЦМС Н-3 имеют равные КВК (r_л = 9). Верхняя половина Н-3 – оригинал, – нижняя Н-3– дубль. В строке дубля в соответствии с теоремой (о КВК = 9)
(x₁ = t = 269) это значение (t = 269) нижней строки верхней половины таблицы.

Другие примеры составного модуля

Разложение СММ на циклические множества строк при N = 1963 = 13·151 на ЦМС в первой ЦМС Н-1 (таблица 1963 Н-1, хо = 1) выявляет строку нетривиальных инволюций
1 1509 454 1055). Действительно, 454² (mod 1963) = 1

Полное число элементов во всех ЦМС разложения в подмодели:
S = 1+1800 +2(5∙15 +6) = 1250, где некратных строк 60∙30 = 1800 = ½ φ(N) = ½60∙60; кратных 75 + 6 = 81.

N = 2501. Таблица ЦМС Б, М – замещение нечетным t позиций блока разбиения, 40 таблиц по 30 некратных строк; таблица М41 из 30 строк и две таблицы Б61, Б183 из 10 строк

Полное число строк во всех ЦМС разложения в подмодели: S = 1200 +30 +20 = 1250,
где некратных строк 40∙30 = 1200 = ½ φ(N) = ½40∙60; кратных 30 + 2∙10.

Инволюция не попала в первую таблицу. Она обнаружилась только в двадцать пятой
(Н-25 ) таблице, но не в верхней строке. Почему так происходит полной ясности пока нет. Можно ли это предвидеть зная число N - мне неизвестно, а спросить не у кого. Материал об НРЧ новый и излагается здесь впервые Тем не менее доступ к инволюции расширяется.

N = 341 = 11∙31, N = 629 = 17∙37. Описание ЦМС Н1 начинается первой строкой СММ и завершается последней строкой (нулевой) оригинала. Если строка-дубль нулевой строки включена в ЦМСН1, то эта строка завершает верхнюю половину списка строк ЦМС. За дублем нулевой строки всегда следует дубль с нетривиальными инволюциями (дубль первой строки). Такая последовательность строк (за нулевой следует первая) обусловлена правилами формирования ЦМС.

Нечетный элемент t = x₁ – x_о текущей строки помещается в подходящую позицию хi следующей строки. Оказывается, что элемент t дубля нулевой строки всегда нечетная нетривиальная инволюция. Нежелательным является факт принадлежности такой последовательности не ЦМС Н1, а некоторой другой ЦМС Н2, где t неизвестно, а поиск требует дополнительного времени.

Полное число строк во всех ЦМС разложения в подмодели: S = 1 +4∙72 +18 + 8 = 314, где некратных строк 4∙72 = 288 = ½ φ(N) = ½16∙36; кратных 18+8 =26.

Строка-дубль нулевой строки содержит r_ло = КВВ последней строки, в позиции t – нечетную нетривиальную инволюцию 1 + t_п = 2 х_о – четную нетривиальную инволюцию и x_о равную половине четной инволюции. В этой строке средний вычет
r_с (x_о) = 0 = r_ло + r_п= 472+157 = 629(mod 629) = 0.

Все КВВ ЦМС Н1 уникальны. Повторение элементов имеют место для ЦМС, которая содержит дубли инволюции.

От автора

В процессе исследования числа возникает множество новых образов и понятий, которые необходимо как-то обозначить и дать им имена (назвать). Выбор таких имен – проблема. Имя должно отображать сущность явления и понятия. Неудачный выбор создает массу трудностей для понимания и большую работу при переделке текста.
Все, что обнаруживается новым необходимо зафиксировать (описать, изобразить). Черновики составляют сотни страниц. На Хабре публикуется 5-я или более поздняя версия изложения материала. В комментариях упрекают – нет ссылок. Их действительно нет.

Ответом на мои запросы Интернету часто выдаются мои же опубликованные статьи или "ничего не найдено". Соглашусь, что это проблема автора, а не читателя. Просто хочется объяснить ситуацию. Минус поставить легко, а подключиться желания нет, тем более поддержать

Администрация тоже снимает статьи (уже 3 статьи зарубили), читатель спрашивает: Что случилось?, Когда статья вернется? Я считаю действия администрации немотивированными; тролли поднимают хайп и Хабр их не обуздывает, а идет на поводу у них.

Заключение

Приближается 50-летний юбилей открытия и практического использования двухключевых систем шифрования. За эти годы, начиная с 1978 усилия и атаки на RSA-подобные шифры особенного успеха не достигли.

Существующие в мире направления и подходы к решению ЗФБЧ: алгоритм Ферма, числовое решето, эллиптические кривые, CFRAC — метод цепных дробей; CLASNO — вероятностный алгоритм; SQUFOF — на основе арифметики вещественных квадратичных полей, подходы Вильямса, Шенкса и др. не располагают потенциально универсальными моделями.

В границах таких подходов остается только надеяться на рост быстродействия вычислителей (на квантовые компьютеры), что представляется слабо обоснованным. Предложенная автором статьи модель для исследования СННЧ обладает многообразными свойствами, индуцированными как свойствами НРЧ, так и свойствами алгебраических структур, которыми представляются фрагменты из N чисел.

Наличие в этой модели явно заданных идемпотентных и инволютивных элементов, кратных делителей составного модуля открывает возможности их локализации в пределах фрагмента и непосредственного их вычисления. Использование возможностей ЗРД обеспечивает определение искомых факторов при факторизации составного модуля.