Продолжаем знакомство с моделью числа и ее свойствами, а конкретно, с симметриями на разном уровне представления модели: областей строк, отдельных строк, элементов одной строки и элементов разных строк. Для читателей, ознакомившимися с моими предыдущими статьей 1(О разложении модели числа), статьей 2 (О симметриях...) и др. предлагается продолжить знакомство с проблемой моделирования и исследования чисел. Прошелся по результатам анализа своих публикаций и очень благодарен разработчику этого объективного механизма оценивания чужого внимания к авторским работам. Как же порой мы ошибаемся!

Те статьи, которые мне казались замечательными и необходимыми, читатели таковыми не считают. А где-то даже наоборот. Я допускаю, что аудитория очень разноплановая и уровень подготовки от школьного до настоящего доктора наук (есть наверное популяризаторы, которым нравится такая аудитория), но все мы в оковах собственного сознания и самосознания.

В моей памяти образ физика Ампера, который поставил перед собой задачу раскрыть связь явлений магнитных и электрических, чтобы не забывать о задаче, в карман пиджака положил магнит (он ему о ней напоминал). Порвал несколько пиджаков, но результата не было.
Экспериментальная установка катушка провода, железный стержень, батарея в цепи с катушкой вольтметр\амперметр, ключ.

Для уменьшения влияний прибор вынесли в другую комнату.
Замыкали цепь, в катушку вставляли стержень и оба с помощником шли к прибору смотреть показания. Прибор не показывал ничего. Так шло время, пока однажды помощник не застрял около прибора, и не увидел как его стрелка качнулась! Крикнул: что вы сделали, прибор ожил!.
Рано или поздно это должно было случиться и оно случилось!

Изучая свойства, мы обогащаем наши знания об объекте. В какой-то момент (случайный или нет). Знаний станет столько, что они свяжутся воедино и приведут к искомому решению. Отсюда терпение, тщательность, аккуратность регистрируемость, поиск новых гипотез их проверка и т.п. вещи.

Цель публикации в первую очередь образовательная, познавательная, популяризация науки, а также стремление привлечь в ряды исследователей, в науку приток новых молодых (и не очень) умов, вызвать в таких умах стремление к поиску ответов на возникающие вопросы.  Масштабность темы требует ввести разумные ограничения на излагаемый материал после краткого панорамного её рассмотрения

Введение

По мере изложения текста используются аббревиатуры (сокращения), которые я собрал в одном месте для удобства читателя. Эти сокращения мной используются во всех статьях по проблеме факторизации числа и информационной безопасности.
СММ – списочная многострочная модель числа;
ЗРД — закон распределения делителей числа;
НРЧ — натуральный ряд чисел;
ПНЧ — последовательность нечетных чисел;
ИБ — информационная безопасность;
КВВ — квадратичный вычет элемента кольца по модулю N;
КВК — квадратичный вычет – полный квадрат;
4КСС — четверка кратных смежных строк;
КЧКВ — конечное числовое кольцо вычетов по модулю N; ТКВК — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все КВК;
ТССС — тривиальная непрерывная область строк СММ, содержащая все средние вычеты, сохраняющие смежность сомножителей;
ДЦ, ДIn, Д0, — дубли строк СММ центральной, первой (инволюций), последней (нулевой;

Идемпотент — идемпотентный элемент, элемент е кольца, полугруппы или группоида, равный своему квадрату: е² = е.
Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — инволютивный элемент х кольца, квадрат которого х² =1; преобразование, которое является обратным самому себе, а квадрат инволюции равен единице в кольце.

Ранее уже упоминалось, что в СМ-модели установлено, по меньшей мере, пять осей (позиций, линий) симметрии (по двум первым позициям материалы описаны, рассмотрены и опубликованы):
– нулевая (нижняя) строка модели;
– центральная строка модели;
– строка нетривиальных инволюций;
– линия раздела четверки смежных кратных пар строк;
– линия, разделяющая строки идемпотентов;

  Каждая из перечисленных позиций, обеспечивает самостоятельный вариант компоновки строк с вычетами, в основу которых кладется определение номера исходной и дублируемой строки.

Симметрии СМ-моделиСимметрии строк в слоях окаймления и их строк-дублей

Задача локализации строк. Как в СММ распределяются строки, содержащие тройки связанных вычетов (r_л – левый, r_с – средний, r_п – правый)? Прежде всего, это касается номеров строк, содержащих такие тройки, и их дублируемых квадратичных и других вычетов. Другими словами, интерес представляет решение следующей задачи: в строке известен один, два или все три из тройки вычетов. Как определить номера строк (оригинала и дубля), в которых эта тройка вычетов содержится?

Важная роль при изучении распределений вычетов отводится симметриям. В списке строк СММ имеются некоторые линии, строки, которые играют в ней роль осей (точек) симметрии. Например, при задании центральной строки СММ, если определить ее окаймляющий n-й, n < ½x _оmax, слой относительно центра, то для парной строки этого слоя разность левых вычетов (и двух других) будет равна номеру n слоя.

Совсем не так и не то будет иметь место, если вместо центральной строки взять строку
нетривиальных инволюций. При этом, разумеется, список СММ остается тем же
самым, а смещается лишь ось симметрии

4. Строка нетривиальных инволюций СМ-модели

Относительно строки-дубля нетривиальных инволюций СММ (эта строка списка имеет номером х_о = In меньшую инволюцию и ее КВВ равен 1) пойдет дальше наш разговор. Элементы строки инволюции х₁> х_о при этом записываются рядом (пары элементов имеют постоянную сумму равную х₁ + х_о = N). КВВ r_л (х_о) = r_л (х₁) = 1 значений х_1,  х_о как и в каждой строке при складывании списка пополам совпадают, их записываем в левую позицию строки (r_л, х_1, х_о, t), а справа от пары записывается разность (t = х₁ – х_о).

Рассмотрим подробнее свойство строк СМ-модели, которое проявляется с дублями строк, послойно окаймляющих строку инволюций, и для других КВК = 1, 4, 9, 16…. Такие конструкции выделены и собраны компактно в таблице А0.

Окаймление строк, содержащих КВВ-полные квадраты(КВК)

Симметрии строк с КВВ = КВК. Напомним, что строки, нечетная кратность которых одному из делителей проявляется в колонках Т и Тп в списке расширенной СММ следуют смежными парами в колонках Р и Rc. Такие пары строк разделены разным числом некратных строк, изменяющимся от максимума до нуля. Как раз такой единственный случай (с нулем) образует четверка смежных кратных строк (4КСС), разделяемая на пары (верх\низ) лишь линией, но не строкой.

У этой 4-ки строк тесная связь с 5-кой строк группы нетривиальных инволюций (с ее
2-слойным окаймлением). Фрагменты колонок Т и Тп такой 4-ки перекрестно - зеркально отображаются с одноименными фрагментами колонок строк, окружающих строку инволюций (табл. А).

Строки (N = 989) 1-го слоя, окаймляющие строку-дубль нетривиальных инволюций с номером х_оинв = 300, имеют номера х_оинв  ± 1. Значение нижней из них совпадает (для
N = 989, 300 + 1 = 301; для других N = 1961, 1220 ± 1 = 1221, для N = 2501, 24± 1 = 246) со средними вычетами второй (третьей) сверху строки 4-ки кратных смежных строк (для
N = 989, х_о= 194, r_с= 301, для N = 1961, х_о = 240, r_с = 1221, для N = 2501, х_о= 1005, r_с = 246), т.е. кратной одному из делителей N, образующих 4-ку смежных кратных строк.

Значение х₁ =689+1 = 690 верхней строки 1-го слоя совпадает со средним вычетом 3-й строки 4-ки (690, 2256+1 = 2257). Средний вычет верхней\нижней строк 4-ки кратных смежных строк (4КСС ) утраивается, т. е. r_св = 3·301 = 903, r_сн = 3·690 (mod 989) = 92;
для других N, r_св = 3 · 742 = 265, r_сн = 3·1221 = 1702; r_св = 3·246 = 738, r_сн = 3·2257 = 1269 (табл. А).

Для КВВ справедлива формула r_л (х_о= 299) = r_с (х_о) + r_ло. Например, (здесь r_ло = 742 - это КВВ нулевой строки) r_л (299) = 638+742(mod N) = 391, что для этой строки совпадает с
t (299)= 391.

 Строки СМ-модели вне пределов ТКВК с левыми вычетами полными квадратами окаймляются (сверху\снизу) по некоторым (загадочным) правилам, существо которых понятно, но механизмы ясны не до конца. Рассматривается многослойное окаймление строк. Пара строк, примыкающая непосредственно к строке-оси симметрии – это первый слой (рис. 1). К строкам первого слоя примыкает (сверху\снизу) пара строк второго слоя и так продолжается слой за слоем. 

На рис. 1 представлены не полные строки модели, а лишь их левые вычеты КВВ. Именно КВВ = КВК представляют главный интерес всего исследования чисел. Только КВК порождают решающие интервалы, т.е. полные квадраты КВК укажут нам, где размещены элементы, кратные делителям, а далее через НОД получим и сами делители, т.е. факторизуем число N.

 Пример (рис.1), иллюстрирующий подобное окаймление, позволяет прояснить отдельные детали. Дело в том, что правила окаймления введены не разработчиком СМ-модели, а являются результатом (проявлением свойства) некоторой закономерности НРЧ и сконструированной модели числа. Заливкой на рисунке 1 выделены КВВ строк кратных разным делителям модуля N, номера их слоя соответствуют первой степени полных квадратов в центрах столбцов.  Даем примеры для N = 989, N = 323 и N = 1163999. Изменение цвета в ячейках обусловлено редукцией по модулю вычисляемых значений КВВ.

 Далее сделаем вырезку из списка СММ (N = 989, 6-ти столбцов КВВ см. рис. 1) ограниченного числа (6) непрерывных фрагментов КВВ по 13 строк, в которых центральные КВВ = КВК – полные квадраты: 1, 4, 9, 16, 25, 36. Эти фрагменты-столбцы пронумеруем j = 1(1)6 и разместим в таблице последовательно слева направо, оставляя пустые промежутки между ними (рис.1). В центральной строке указаны номера строк, содержащих полные квадраты (300, 600, 900, 211 и т.д.).

В пределах списка СММ эти фрагменты лежат в разных областях аттракции и между ними могут быть другие фрагменты с другими квадратами. Заливкой цветом отмечены КВВ кратных делителям d_м и d_б строк.

Рисунок 1 – Фрагмент связей квадратичных вычетов в СМ-модели. Все строки СММ с КВВ = КВК полными квадратами окаймляются послойно (как и строка-дубль инволюций) другими строками, но значения КВВ в этих строках распределяются своеобразно. Для пар окаймляющих отдаляющихся строк в каждом из столбцов введем нумерацию j=1(1)6 слоев.

 Пара строк первого (j =1) слоя в каждом столбце непосредственно примыкает к центральной строке, содержащей в роли левого вычета полный квадрат. К ней примыкает пара второго слоя, за ней следует пара третьего слоя и т.д. Практически все строки слоев в парах некратные делителям N, но пара j-го слоя в j-й колонке всегда образована кратными разным делителям N строками. Номер слоя j с кратными строками определяется КВВ r_л = j² окаймляемой строки.

  Эти строки образуют решающие интервалы (РИ). Более того, пары строк каждого слоя являются дублирующими парами пар строк оригинала, которые в свою очередь являются окаймляющими парами строк, содержащими полные квадраты КВК меньшие рассматриваемого r_л = j². В сущности, ячейки с заливкой разного цвета в каждом столбце реализуют решающий интервал в области аттракторов. Разберем ситуацию со строками на примере.

 Строки СМ-модели с полными квадратами окаймляются по некоторым (загадочным) правилам, существо которых пока ясно не до конца. Пример, иллюстрирующий подобное окаймление, позволяет прояснить отдельные детали. Дело в том, что правила окаймления введены не разработчиком СМ-модели, а являются результатом (проявлением свойства) некоторой закономерности НРЧ.

 Заливкой выделены КВВ строк кратных разным делителям модуля N, номера их слоя соответствуют первой степени полных квадратов в центрах.  Даем примеры N = 1163999 и

N = 989. Изменение цвета в ячейках обусловлено редукцией по модулю вычисляемых значений КВВ. Рисунки 2,3 подтверждают, что выявленные симметрии имеют место не для единственного
N = 989, но выполняются и для других N.

Рисунок 2 – Фрагмент связей квадратичных вычетов КВК строк с КВВ строк-слоев в СМ-модели. Для общей СМ-модели числа N = 1163999 =1031·1129 зависимости послойного окаймления строк остаются справедливыми аналогия сохраняется

 Пример 2. (Симметрия строки нетривиальных инволюций). Пусть N = 989. Зафиксируем строку-дубль, содержащую КВК r_л = j² = 25. Оригинал этой строки имеет номер х_о = 5 в ТКВК СММ, и строка-оригинал принадлежит области ТКВК.

 Нетривиальная четная инволюция имеет значение, совпадающее с номером строки ее размещения х_о = 300, и ее КВК r_л = 1. На рис. 1 вторая слева колонка содержит (как и все другие колонки) только КВВ строк: в центральной строке для каждой колонки размещаются полные квадраты r_л = 1, 4, 9, 16, 25, 36, а выше и ниже строки слоев, окаймляющих пар строк-дублей. Для всех полных квадратов j, больших единицы, пара строк-дублей 1-го слоя оригиналами строк имеет пары j-го слоя, окаймляющих строк нетривиальных инволюций (вторая левая колонка).

 Именно эти пары образуют левую колонку на рис.1. Номер слоя j таких пар, окаймляющих инволюцию, указывает на квадраты j ², в центрах других колонок таблицы, к которым пара строк-дублей j-го слоя непосредственно примыкает. В позиции за центральным квадратом колонки указан номер х_о строки-дубля с этим квадратом
х_о = 300·j (mod N) = 300·5(mod 989) = 511.

  Для столбца j = 5 (см. рис.1) пара строк-дублей первого слоя (59, 982) колонки с r_л = j ² = 25 имеет оригиналом пару 5-го слоя (982…. 1²…. 59) в левой колонке. Значения пары КВВ в колонке j = 5 поменялись позициями (59, 25, 982). Следующая справа от первой колонка в своем центре имеет строку с r_л = j ² = 4 и к ней примыкают (1-й слой) строки дублей второго слоя первой колонки с инволюцией (216, 4,783). Далее идут строки с r_л = j ² = 9, с примыкающей парой (821, 9, 188); с r_л = j ² =16, с примыкающей парой (584, 16, 439);
с r_л = j ² = 25, с примыкающей парой (59, 25, 982); с r_л = j ²= 36, с примыкающей парой (670, 36, 393).

 Таким образом, в шести рассмотренных колонках и строках-дублях (оригиналы строк лежат в ТКВК с квадратами 1, 4, 9, 16, 25, 36) установлены окаймляющие пары строк первого слоя. Этот процесс может быть продолжен далее на другие колонки.  Все пары строк первого слоя всех колонок определяются левой колонкой инволюций. В таблице 2 приводятся окаймляющие строки для r_л = j ², j = 1, 2, 4, … полностью с указанием кратности делителям элементов кратных строк.

 Теперь будем устанавливать во всех колонках с r_л = j ² пары строк-дублей 2-го слоя. В колонке строки с r_л= j ² = 4 строки 2-ой пары (2-го слоя) должны быть кратными разным делителям (такие строки не имеют дублей), следовательно, они являются строками оригиналами и их номера х_о (r_л= 4) ± 2_, где х_о (r_л = 4) = 600 номер строки, содержащей r_л = j² = 4. Фрагмент колонки получает вид (430, 216, 4, 783, 575), где КВВ кратны делителям 430 = 10·d_б = 10·43 и 575 = 25·d_м = 25·23.

 Пример 3. (Симметрия строки инволюций, N = 989).
В таблице 2 приведено 2-слойное окаймление строками-дублями двух строк, имеющих левыми вычетами (центры столбцов) 1² и 2² полные квадраты. Между ними размещена четверка смежных кратных строк СММ. Заливкой выделены некоторые ячейки с совпадающими значениями

В окаймляющих строках строку нетривиальных инволюций (верхняя r_л = 391, r_п = 598; нижняя
r_л = 602, r_п = 387) сумма чисел из таких ячеек в строке равна N, поэтому они могут играть роль блоков разбиения N на две части х₁ + х_о = N. Это и наблюдается в окаймляющих кратных строках 2-го слоя для строки с КВВ = КВК = r_л = 4.

Ранее нами установлено свойство, состоящее в том, что подстановка значения t некоторой строки в позицию х новой генерируемой строки удваивает меньший х и учетверяет КВВ исходной строки. Проявление этого свойства мы и наблюдаем в таблице 2 при обработке строки с r_л = 4. Левый\правый вычеты окаймляющих строку инволюции строк становятся для строки с r_л = j ²= 4 частями разбиения N . Второй слой (пара строк столбца инволюций) стал первым слоем для пары окаймляющих строк строки с r_л = j ² = 4. Первый слой пары кратных строк смежных со строкой инволюций преобразовался и стал вторым слоем пары строк для строки с r_л = j² = 4. С другой стороны, механизм, приводящий к такому результату – подстановка нечетного значения исходных строк t = 387 и t = 391 в позиции х_i блоков новых строк. Результатом такой подстановки всегда является удвоение меньшего значения исходной строки 602 = 2·301 и 598 = 2·299 и учетверение левого вычета строки 4·602 (modN) = 430 и 4·391 (modN) = 575.

Следует предположить, что такой же фокус будет проделываться для всех учетверений КВВ исходной строки. Действительно, строка с номером х_о = 211 и r_л = j ² = 4·4 =16 окаймляется с учетом свойства. Установленные новые свойства строк и отдельных элементов строк кажутся частными случаями, но это не так. Следующий пример подтверждает справедливость гипотезы об универсальности установленных свойств.

 Пример 4. (Симметрия строки инволюций, N = 1163999 = 1031·1129).

Приведем еще один аналогичный пример с большим модулем. В окаймляющих строках
нетривиальных инволюций (верхняя r_л = 23713, r_п = 1140286; нижняя r_л = 1140290, r_п = 23709) сумма таких ячеек равна N, поэтому они могут играть роль блоков разбиения N на части
х₁+ х_о = N. Это и наблюдается в окаймляющих кратных строках 2-го слоя КВВ r_л = 4.

С другой стороны, механизм, приводящий к такому результату – подстановка нечетного значения исходных строк t = 23713 и t = 23709 в позиции х_i блоков новых строк. Результатом такой подстановки всегда является удвоение меньшего значения исходной строки 1140290 = 2·570145 и 1140286 = 2·570143 и учетверение левого вычета 1069163 = 4·1140290 и 94852 = 4·23713.

Продолжим рассмотрение процесса установки в колонках строк-дублей второго слоя.

В колонке КВВ строки с номером х_о = 900 и с r_л= j²=9 пара строк 2-го слоя – это строки- дубли третьего слоя из предшествующей колонки j²= 4 и фрагмент получает вид (646, 821, 9, 188, 369). Аналогично для колонок строк с 16, 25,36 пары КВВ второго слоя транслируются из слоев второй колонки с номерами слоев j = 4, 5, 6 (рис. 1).

Вывод, пары строк-дублей 2-го слоя всех последующих колонок – это строки-дубли 3,4,5,6 слоев из второй колонки с номером r_л = j ² = 4. Далее по аналогии пары строк дублей 3-го, 4-го, 5-го и всех других слоев всех последующих колонок – это строки-дубли третьей колонки слоев 4, 5 ,6-й.

 Пример 5. (Симметрия строки инволюций, N = 989). Пусть N = 989. Для первого слоя строк окаймления строки нетривиальных инволюций верхняя строка имеет номер х_ов = 299 с КВВ
r_л = 391 = t, а номер нижней – х_он = 301 с КВВ r_л = 602 = 2·х_он. Обе строки х_ов = 299, х_он = 301 кратные. Строк-дублей для кратных строк не существует или они совпадают с исходными. Между строками первого слоя помещается сама строка нетривиальных инволюций с номером х_он = 300 с КВВ = КВК, r_л = 1.

Далее из таблицы 2 видим строки второго слоя сверху строка х_овд = 298 с КВВ = 783, а снизу – х_онд = 302 с КВВ = 216.  Для этой пары имеются дубли верхняя строка х_овд = 388 с КВВ = 216, а нижняя – х_онд = 390 с КВВ = 783, которые становятся 1-м слоем для строки с КВК = 4, т.е. между строками-дублями помещается строка с номером х_ов = 389 и ее r_л (389) = 4. Вычеты сохраняются

Получается строки 2 слоя инволюций порождают строки-дубли для первого слоя строки КВК=4, а строки 3-го слоя инволюций порождают строки-дубли для первого слоя строки с КВК= 3²= 9 и т.д.
Для 3-го слоя инволюций сверху строка х_ов = 297 с КВВ = 188, а снизу – х_онд = 303 с КВВ = 821. Для этой пары имеются дубли верхняя строка х_овд = 88 с КВВ = 821, а нижняя – х_онд = 90 с КВВ r_л = 188. Между строками дублей помещается строка с номером х_ов = 89 и ее КВК = r_л (89) = 9.

Так слой за слоем обрабатываются все строки списка СМ-модели, окаймляющие строку нетривиальных инволюций.  На рисунке 4 показаны связи перемещаемых элементов строк, что отслеживается по значениям квадратичных вычетов, которые повторяются в строках-дублях.
Аналогичная картина имеет место и со строками, содержащими 2² =4, 3² = 9, 4²= 16 квадраты.

Как видим, все устроено очень хитро, но и эту загадку удалось разгадать. Возникает детерминированная сеть между некратными строками - оригиналами и строками-дублями с наложенной поверх нее простой сетью (клетки залиты цветом) кратных строк.

Заключение

Рассмотрены зависимости определяемые симметриями окаймления нетривиальных инволюций. Колонка КВВ инволюций с r_л = j ² = 1 содержит КВВ строк-дублей первого слоя для других строк, содержащих в позициях левых вычетов полные квадраты с большим значением. Колонка КВВ с r_л = j ² = 4 содержит КВВ строк-дублей второго слоя и так для всех последующих колонок.
В этих колонках КВВ кратных строк не передаются (отмечены заливкой).
Строки с КВВ полными квадратами "взаимодействуют" друг с другом через механизм дублирования строк или через корни квадратичных сравнений, что индуцируется скорее всего алгеброй кривых второго порядка.

Литература

1.Арнольд В. И. Случайны ли квадратичные вычеты? В. И. Арнольд Получено 28 декабря 2009 г
2.Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А.: Алгебра. Учебник. В 2-х т. Том 1– Гелиос АРВ, 2003. – 136с. Том II –414 c.