16.12.2024 16:05
postupashki 16 5600 Источник

Школа Анализа Данных бесплатный проект дополнительного образования в области Data Science и Big Data, можно сказать в РФ остается лидером по качеству курсов и преподавателей. Такой же уровень ШАД требует и от студентов: абитуриентам нужно пройти 3 этапа вступительных испытаний, где спрашивают математику и алгоритмы. Сам же я занимаюсь подготовкой к ШАД ни один год, поэтому в этой статье хотел бы поделиться своими любимыми задачами со вступительных испытаний разных лет, которые мне кажутся наиболее красивыми.

Задача 1

Найти f^{(319)}(0), если f(x)=\frac{x^2+17}{x^4-5x^2+4}.

Пояснение: то есть просят найти производную 319-го порядка в нуле.

Прежде, чем открывать решение обязательно подумайте самостоятельно!

Решение

Как вариант можно пойти «в лоб»: разложить дробь в сумму «простейших» дробей, а затем угадать общую формулу при взятии производной. Но эта задача здесь бы не оказалось, если бы у нее не было бы изящного решения..

Заметим, что функция f(x) — чётная. То есть f(-x) = f(x). А мы знаем, что все производные нечетных порядков в точке 0 у четных функций равны нулю. Можете убедиться в этом сами на частных примерах (x^6, cos(x))! Доказать же такое можно по‑разному, как будто наиболее изящный способ: вспомнить, что все аналитические функции раскладываются в ряд Тейлора (в точке 0).

Ряд Тейлора
Ряд Тейлора

Из определения видно, чтобы f(x)сохраняла четность, все коэффициенты перед нечетными степенями должны равняться 0. А эти коэффициенты как раз есть производные в нуле: f^{(n)}(0).

Таким образом ответ на задачу 0. Вот так вот на первый взгляд чисто вычислительную задачу удалось решить с помощью простой идеи!

Задача 2

Показать, что у целочисленной матрицы не бывает рациональных нецелых собственных числе.

Подсказка

Вспомните, как ищутся собственные числа \lambda матрицы А: из уравнения det(A - \lambda E) = 0.

Решение

Предположим, что у такой матрицы есть рациональное целое собственное значение в виде несократимой дроби \frac{p}{m}, где p - целое, m - натурально, причем (p, m) = 1 (наибольший общий делитель). Подставим его в характеристическое уравнение на собственные значения матрицы:

(\frac{p}{m})^n+a_{n-1}(\frac{p}{m})^{n-1}+\ldots+a_0=0

Домножим все члены этого уравнения на m^{n-1}.

\frac{p^n}{m}+a_{n-1}p^{n-1}+\ldots+a_0m^{n-1}=0

Заметим, что в этом уравнении только одно нецелое слагаемое \frac{p^n}{m}(так как p и m взаимно просты, не имеют общих делителей по предположению), чего не может быть, ибо все прочие слагаемые целые числа. Причем их можно перенести в правую часть и тогда получится явное противоречие: нецелое число равно целому.

\frac{p^n}{m} = -( a_{n-1}p^{n-1}+\ldots+a_0m^{n-1})

Задача 3

Алиса и Боб подбрасывают правильную монетку (вероятность выпадения орла 0.5). Алиса подбрасывает ее n раз, а Боб - n+1. Найдите вероятность того, что у Боба будет больше орлов, чем у Алисы.

Решение

Пусть Алиса и Боб кинули монетку по n раз. Обозначим вероятности возможных событий следующим образом:

  1. У Алисы выпало больше орлов, чем у Боба - p .

  2. У Боба выпало больше орлов, чем у Алисы - p (вероятности равны из-за симметрии, монетка честная).

  3. У Алисы и Боба одинаковое количество орлов - 1-2p (сумма вероятностей (1), (2), (3) должна равняться 1).

    Есть только два возможных случая, в которых у Боба, после того как он подбросил монетку в n+1 - й раз, орлов будет больше, чем у Алисы:

    1. У Боба было больше орлов, чем у Алисы, и после (n+1) - го броска соотношение не поменялось, вероятность - p.

    2. У Боба и Алисы было одинаковое количество орлов и в n+1 - й бросок выпал орел, вероятность - \frac{1}{2}(1-2p). Поскольку два последних события несовместны, искомая вероятность равна

      p+\frac{1}{2}(1-2p)=\frac{1}{2}.

На самом деле мы здесь просто воспользовались формулой полной вероятности:

P(A) = P(A | H_1)P(H_1) + P(A | H_2)P(H_2) + P(A | H_3)P(H_3)

где H_1, H_2, H_3 - несовместные события, выше мы их обозначили как (1), (2), (3).

Задача 4

Пусть X_1, X_2, \ldots, X_n - независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием a и дисперсией \sigma^2, принимающие положительные значения. Пусть также m < n . Найдите математическое ожидание отношения:

\frac{X_1+\ldots+X_m}{X_1+\ldots+X_n}.

Решение

Обозначим \overline{X}=X_1+\ldots+X_n и заметим, что:

1=E\frac{\overline{X}}{X}=E\sum_{i=1}^{n}\frac{X_i}{\overline{X}}=\sum_{i=1}^{n}E\frac{X_i}{\overline{X}}=nE\frac{X_1}{\overline{X}}

(так как X_i и X_j одинаково распределены и независимы, то\frac{X_i}{\overline{X}}и \frac{X_j}{\overline{X}} тоже одинаково распределены, а значит у них равны мат ожидания)
Отсюда получим:

E\frac{X_1}{\overline{X}}=\frac{1}{n}

Окончательно:

E\frac{X_1+\ldots+X_m}{X_1+\ldots+X_n}=E\sum_{i=1}^{m}\frac{X_1}{\overline{X}}=\sum_{i=1}^{m}E\frac{X_1}{\overline{X}}=\frac{m}{n}

Задача 5

Решите уравнение:

\lim_{n\to \infty}{\cos(nx)}=1
Решение:

Если \lim_{n\to \infty}{\cos(nx)}=1,то \lim_{n\to \infty}{\sin(nx)}= 0 . Это очевидно, если вспомнить основное тригонометрическое тождество \sin^2(nx) + \cos^2(nx) = 1 и в нем перейти к пределу.

Тогда \lim_{n \to \infty}(\sin{(n+2)x} − \sin{(x)}) =0 .

Также \sin{((n+2)x)}−\sin(x)=2\sin(x)\cos((n+1)x) →2\sin(x) (n \to \infty).

Значит, \sin(x)=0 и x=πm,m∈Z. Подстановка в исходное уравнение показывает, что число m должно быть чётным

Автор статьи: Владислав, ex-преподаватель ШАД; основатель сообщества "Поступашки — ШАД, Стажировки и Магистратура". Для связи: Телеграм @Postypashka

Комментарии (16)


  1. Ergistael
    16.12.2024 16:33
    #27680708

    1 и 3 решил, по сути, не глядя. Главная, подсказка — что задачи красивые. В третьей все же вылезет неравномерность, если будет n+m, m>1.


  1. kompilainenn2
    16.12.2024 16:33
    #27680712

    Никакая задача мне не показалась красивой


  1. fujinon
    16.12.2024 16:33
    #27680866

    5я уж слишком простая на фоне остальных


  1. celen
    16.12.2024 16:33
    #27681038

    Рассуждение в задаче 5 очень странное. Я сдавал матан в универе давным давно, но все еще помню, что функции типа cos(mx) при m != 0 не имеют определенного предела в бесконечности, так как для любого a in [-1;1] можно построить последовательность бесконечно возрастающих значений x, при которых значение функции под лимитом будет стремится к a. Считаю, что данный автором ответ принципиально неверен, и что единственный корень здесь 0.


    1. sergeiosipoff
      16.12.2024 16:33
      #27681100

      Нет, там для x = 2 πm получается выражение cos(2πmn), а оно для любого положительного целого n и m равно 1


      1. Arastas
        16.12.2024 16:33
        #27681146

        Там вроде нет условия что n целое?


        1. YDR
          16.12.2024 16:33
          #27682244

          Вот, в условии пропущено, что n - целое.


  1. Arastas
    16.12.2024 16:33
    #27681134

    Алиса бросила m раз, а Боб n>m раз. У Боба в любом случае либо больше орлов, либо больше решек. Так как монета симметрична, то исходы «больше орлов» и «больше решек» одинаковы, значит оба по 1/2 для любых m и n.


    1. mentin
      16.12.2024 16:33
      #27681328

      Красивое решение, но работает только при тождестве n = m + 1.
      Если n > m+1, то исходы «больше орлов» и «больше решек» не исключают друг друга, и их вероятности больше 1/2.


      1. Arastas
        16.12.2024 16:33
        #27681354

        А, точно. Тогда только n=m+1.


  1. sci_nov
    16.12.2024 16:33
    #27681506

    Что-то я в 4-й сомневаюсь. Например, X1 в числителе и X1 в знаменателе - это одинаковые случайные величины или разные? Если разные, то надо писать sum X[i=1..m] / sum Y[j=1..n].


  1. Arastas
    16.12.2024 16:33
    #27681546

    Интересно было бы посмотреть статистику успешных ответов на эти задачи на экзаменах.


  1. SlFed
    16.12.2024 16:33
    #27682242

    5-я задачка немного странная. Ведь еще в школе проходили что arccos(1)=2πN, где N- любое целое.


  1. domix32
    16.12.2024 16:33
    #27683494

    Первая действительно решается почти с закрытыми глазами - производная уменьшая степень полинома и уже после нескольких итераций все степени превратятся в константы, а константы обратятся в нули, а там и ноль делить начнут.

    Что-то верстку знатно так развезло

    Hidden text


    1. fujinon
      16.12.2024 16:33
      #27683688

      Но ведь там не полином, а рациональная функция!


      1. domix32
        16.12.2024 16:33
        #27684666

        Функция которую можно представить как частное двух полиномов \frac {P_1} {P_2}. Правда пока вспоминал как искать производные от дробей понял, что плохо прочитал задание и степень наоборот будет подрастать т.к. для сложного случая там происходит перемножение нового полинома и старого: (u \times v)' = u' \times v + v' \times u.