Прошлой зимой на встрече в финской глуши высоко за Полярным кругом собралась группа математиков, чтобы поразмышлять о судьбе математической вселенной. 

Было минус 20 градусов по Цельсию, и пока некоторые катались на лыжах, Хуан Агилера, специалист по теории множеств из Венского технического университета, предпочитал задерживаться в столовой, отрывая кусочки пуллы (традиционного финского сладкого хлеба) и обсуждая природу двух новых понятий бесконечности. Результаты, по мнению Агилеры, были грандиозными. «Мы просто пока не в состоянии их оценить», — сказал он. 

Бесконечность, как ни странно, существует во многих формах и размерах. Это известно с 1870-х годов, когда немецкий математик Георг Кантор доказал, что множество действительных чисел (всех чисел на числовой прямой) больше множества целых чисел, хотя оба множества бесконечны. (Коротко говоря: как бы вы ни пытались сопоставить действительные числа с целыми, вы всегда получите больше действительных чисел.) Эти два множества, утверждал Кантор, представляют собой совершенно разные типы бесконечности и, следовательно, обладают совершенно разными свойствами. 

Исходя из этого, Кантор построил и более крупные бесконечности. Он взял множество действительных чисел, построил новое множество из всех его подмножеств, а затем доказал, что это новое множество больше исходного множества действительных чисел. И когда он взял все подмножества этого нового множества, он получил ещё большее множество. Таким образом, он построил бесконечное множество множеств, каждое из которых больше предыдущего. Он присвоил номера, называемые кардинальными числами (или кардиналами), различным размерам этих бесконечных множеств (не путать с обычными числительными 1, 2, 3…) (1). 

Специалисты по теории множеств продолжают определять кардиналы, которые гораздо более экзотичны и трудны для описания, чем кардиналы Кантора. При этом они обнаружили нечто удивительное: эти «большие кардиналы» образуют удивительно стройную иерархию. Их можно чётко определить по размеру и сложности. Вместе они образуют огромную башню бесконечностей, которую специалисты по теории множеств используют для исследования границ математически возможного. 

Но два новых кардинала, над которыми Агилера размышлял в арктическом холоде, вели себя странно. Он недавно сконструировал их вместе с Джоаном Багарией из Барселонского университета и Филиппом Люкке из Гамбургского университета, но обнаружил, что они не совсем вписываются в привычную иерархию. Вместо этого, по словам Агилеры, эти кардиналы «взорвались», создав новый класс бесконечностей, на который их коллеги не рассчитывали. Это может намекать на то, что в математике гораздо больше хаоса, чем ожидалось. 

Провокационное заявление. Перспектива, по мнению некоторых, воодушевляет. «Мне нравится эта работа, — сказал Тоби Медоуз, логик и философ из Калифорнийского университета в Ирвайне. — Похоже, это настоящий прогресс — действительно интересное понимание, которого у нас раньше не было». 

Но также сложно точно определить, истинно ли это утверждение. Такова природа изучения бесконечности. Если математика — это ткань, сотканная из традиционных допущений, с которыми все согласны, то высшие пределы бесконечности — это её рваные края. Специалисты по теории множеств, занимающиеся этими крайними областями, работают в пространстве, где традиционные аксиомы, используемые для написания математических доказательств, не всегда применимы. Поэтому учёным необходимо изобретать новые аксиомы и часто их отбрасывать. 

Здесь, в новых областях теории множеств, большинство вопросов принципиально недоказуемы, и царит неопределённость. Поэтому для некоторых новые кардиналы ничего не меняют. «Я в это совершенно не верю», — сказал Хью Вудин, специалист по теории множеств из Гарвардского университета, который в настоящее время возглавляет поиск полного определения математической вселенной. Вудин был научным руководителем Багарии 35 лет назад и Агилеры в 2010-х. Но его ученики прокладывают собственный путь сквозь дебри бесконечности. «Ваши дети вырастают и бросают вам вызов», — сказал Вудин. 

Вселенные теории множеств

Большинство математиков не интересуются подобными вопросами. Они работают с набором из девяти предположений, или аксиом, о поведении множеств, известным как ZFC — «теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора». Эти девять правил невозможно доказать. Математики просто согласились, что они обеспечивают естественную основу для остальной математики. Опираясь на них, математики строят строгие доказательства всех своих гипотез.

Но в 1931 году немецкий математик Курт Гёдель продемонстрировал, что любая интересная (2) система математических аксиом обречена на неполноту. Всегда найдутся истинные утверждения, которые невозможно доказать. Чтобы доказать эти истинные утверждения, математикам пришлось бы добавить новую аксиому. Но тогда этот более длинный список аксиом привёл бы к появлению новых истинных, но недоказуемых утверждений. И так далее. Любой, кто захочет доказать все возможные утверждения в математической вселенной, будет вынужден бесконечно создавать новые аксиоматические системы. 

Это означает, что математическая вселенная, которую математики часто называют V, фундаментально непознаваема. Но специалисты по теории множеств стремятся описать её как можно точнее — создать модельные вселенные, которые напоминают реальную, но при этом более просты для изучения. Эти модели предоставляют математикам дополнительные аксиомы, необходимые для доказательства неинтуитивных утверждений о «меньших» аксиоматических системах (например, ZFC). И одновременно эти модели дают учёным уверенность в том, что используемые ими дополнительные аксиомы не являются произвольными. «Укрепляя эти теории, вы в конечном итоге делаете низкоуровневую математику более конкретной. Она становится более устойчивой», — сказал Медоуз. 

Гёдель предоставил отправную точку. Он построил модель, которую назвал L, начав с пустого множества и итеративно строив на его основе более крупные множества. Модель была хороша и проста в работе, но она также была частичной. Она не включала большие кардиналы — эти странные бесконечности, которые невозможно построить теми же методами, что и у Кантора. (Поэтому L называют «внутренней» моделью V, поскольку она находится внутри большей вселенной.) 

Специалисты по теории множеств стремятся расширить эту картину. На протяжении XX века они определяли всё больше этих больших кардинальных чисел (large cardinals), называя их «сильными» (strong), «компактными» (compact), «суперкомпактными» (supercompact) и «огромными» (huge) (3). Каждое новое определение требует создания новой аксиомы; затем специалисты по теории множеств надеются показать, что эта новая аксиома согласуется с ZFC и не нарушает фундаментальные правила математики. 

Эти большие кардиналы также, похоже, образуют удивительно стройную иерархию, настоящую башню бесконечностей. Например, каждый большой кардинал намного больше, чем тот, что ниже, и аксиома, которая его определяет, может быть использована для доказательства гораздо большего количества утверждений, чем аксиомы, определяющие меньшие кардиналы. Более того, благодаря этой иерархии, если математики смогут показать, что один большой кардинал согласуется с ZFC, это будет подразумевать согласованность всех кардиналов ниже него в башне. «Вы могли бы подумать: „О, это будет просто полный хаос“. Но, похоже, это не так», — сказал Медоуз. 

Каждый раз, когда к башне добавляется новый кардинал, доказательство его согласованности также требует разработки более крупной и сложной внутренней модели. «Вы добавляете туда лишь минимально необходимое количество элементов, чтобы в финальной модели ваш большой кардинал существовал», — сказал Багария. С каждой новой моделью определяемая математическая вселенная расширяется. 

Мечта Вудина — построить внутреннюю модель, которая действительно приближается к V и, следовательно, включает все большие кардиналы. Он называет её «Ultimate L». Это может показаться безнадёжной задачей — в конце концов, из-за результатов Гёделя о неполноте, это потребовало бы построения бесконечного множества внутренних моделей, каждая из которых содержала бы ещё один неописуемо большой кардинал. 

Но 20 лет назад Вудин открыл способ упростить задачу: не нужно строить внутренние модели для всех крупных кардинальных чисел. Достигните определённой точки в иерархии — крупного кардинального числа, называемого «суперкомпактным», — и модель унаследует все крупные кардинальные числа, расположенные выше. «Вы получаете всё», — сказал Вудин. «Происходит волшебство». 

Но его план построения Ultimate L основан на том, что математическая вселенная должна быть хорошо структурирована, а крупные кардиналы должны образовывать аккуратную иерархическую башню. Выражаясь математическим языком, они должны быть «наследственно определимыми по порядку» (Hereditarily Ordinal Definable — HOD). 

Вудин выделил два варианта. «V либо очень близок к HOD, либо очень далёк от HOD», — сказал Багария. «Среднего не дано». Если бы удалось найти что-то одно, что нарушило бы иерархическую модель, многие другие, вероятно, тоже её нарушили бы; воцарился бы хаос. «Возможно, во Вселенной действительно есть много вещей, которые невозможно определить», — сказал Агилера. 

Но Вудин предположил, что первый вариант — V имеет чёткую структуру и чётко выраженную башню кардиналов — верен. Пока что данные свидетельствуют о его правоте. Никому не удалось найти большой кардинал, который не вписывался бы в башню, оставаясь при этом в рамках ZFC. 

Теперь Агилера и его коллеги усложняют картину. 

Порядок против хаоса

Существуют некоторые косвенные доказательства существования математического хаоса. Во-первых, несмотря на многие десятилетия работы, прогресс математиков в программе Ultimate L был медленным. Сам Вудин переживал периоды сомнений, хотя сейчас он верит, что достижение Ultimate L возможно. 

Специалисты по теории множеств также выявили очень большие кардиналы, которые, по-видимому, выпадают из HOD, хотя и являются экстремальными выбросами. Определение этих кардиналов предполагает отказ от одной из девяти аксиом ZFC — так называемой аксиомы выбора. Отказ от фундаментальной аксиомы не представляется многим математикам привлекательным подходом. 

Именно здесь в дело вступили Агилера, Багария и Люкке. В своей недавней работе они разработали два новых типа бесконечности, которые назвали строгими и суперстрогими кардиналами (4). Эти кардиналы, что особенно важно, не нарушают аксиому выбора. 

Определить их было относительно просто: по сути, они представляют собой более крупные аналоги других типов больших кардиналов. Но эти новые бесконечности проявляют странные свойства. На первый взгляд, они вписываются в привычную иерархию: понятно, где в башне они должны находиться с точки зрения размера и сложности. Но затем трио попыталось объединить их с другими, меньшими кардиналами. 

Обычно при сложении больших кардиналов, совместимых с HOD (да, бесконечности можно складывать), получается сумма, примерно равная по размеру самому большому кардиналу в этом уравнении. Перейти на более высокую ступень иерархии невозможно. (Вспомните, что если сложить 100 и квинтиллион, сумма будет того же порядка, что и квинтиллион; в итоге вы не получите существенно большего числа.) 

Но добавьте меньший кардинал к одной из новых бесконечностей, и «они как бы взрываются», — сказал Багария. «Это явление никогда раньше не наблюдалось». Это подразумевает существование гораздо большего кардинала — бесконечности, превышающей всё, что математики могли себе представить в соответствии с ZFC. 

«Это бросает вызов нашему интуитивному представлению о том, как крупные кардинальные числа соотносятся друг с другом и как они упорядочены», — сказал Агилера. 

«Мы открыли новую область, где Вселенная становится настолько дикой и сложной, что она больше не может соответствовать HOD», — сказал Багария. И, вероятно, там обитает множество других причудливых бесконечностей, которые можно исследовать, добавил он. 

По мнению Агилеры, математическая Вселенная, как и наша физическая, может состоять в основном из тёмной материи. «Теперь кажется, что большая часть Вселенной каким-то образом состоит из вещей, которые мы не можем видеть», — сказал он. 

Математические эксперименты

Тем не менее это не обязательно опровергает гипотезу HOD и не делает программу Вудина Ultimate L спорной. Фактически, Вудин ранее рассматривал возможный большой кардинал, который ретроспективно был эквивалентен суперстрогим кардиналам. Но он отбросил его, поскольку считал, что он не согласуется с ZFC, что сделало бы его нерелевантным для нашей математической вселенной. 

Следующим шагом команды станет сбор доказательств обратного, чтобы показать, что оба определённых ими кардинала хорошо вписываются в теорию множеств. 

Но математика теории множеств, которая так часто существует в мире, не поддающемся доказательству, скорее напоминает физику или биологию, как выразился Агилера. Вы формулируете принцип и проверяете его экспериментально; вы смотрите, не ведёт ли он к противоречиям, и анализируете, как он соотносится с тем, что вам уже известно. Возможно, вы пока не можете доказать его истинность, но с помощью правильных экспериментов вы можете предоставить убедительные доказательства своего утверждения. 

Агилера, Багария и Люкке представили доказательства того, что их новые кардиналы согласуются с ZFC — именно этому посвящена большая часть их новой статьи. Например, они показали, что строгие и суперстрогие кардиналы имеют схожую структуру и поведение с другими большими кардиналами. Их определение также подразумевает, что если другой, более изученный тип бесконечности согласуется с ZFC, то суперстрогие кардиналы также должны быть согласованы — и в последнее время появилось множество доказательств согласованности этого другого типа бесконечности. 

Это, как утверждает трио, делает новые кардиналы убедительными кандидатами для доказательства того, что HOD далёк от V, и что математическая вселенная не является строго упорядоченной. 

В этом убеждены не все. Гейб Голдберг, специалист по теории множеств из Калифорнийского университета в Бёркли, отмечает, что, хотя трио учёных может быть уверено в своих доказательствах согласованности с ZFC, при изучении бесконечности часто случаются неожиданности. Некоторые предположения могут перестать быть верными, и аргументы математиков потерпят крах. По его словам, для окончательного опровержения гипотезы HOD потребуется гораздо больше исследований. 

Вудин согласился. «Я думаю, нам нужно быть очень, очень осторожными», — сказал он. Он по-прежнему считает, что HOD близок к V, и планирует продолжить свой многолетний путь к построению максимально полного описания математической вселенной. Сейчас он пишет «очень длинную рукопись» о своём последнем подходе к Ultimate L. 

Другие специалисты по теории множеств воодушевлены потенциалом новых бесконечностей. Для них хаос — более захватывающий вариант. «В каком-то смысле… если бы Ultimate L сработал, это словно бы завершило интересную главу в теории множеств», — сказал Медоуз. «Это было бы похоже на то, как Александр Македонский, добравшись до Индии, обнаружил, что завоёвывать больше нечего». 

Возможно, математикам ещё многое предстоит покорить. Нужно изучать то, что вокруг нас, сказал Агилера. «Я всегда говорю людям, что математика бесконечна, а время — нет», — сказал он. 

Примечания

1. В английском языке cardinal numerals — это количественные числительные в лингвистике, а cardinal numbers — это кардинальные числа в теории множеств. В русском языке кардинальные числа также называют мощностью множества. Кардинальное число конечного множества — это просто число его элементов. Кардинальное число бесконечного множества — это особое число, обозначаемое первой буквой иврита (алеф) с номером, который обозначает «порядок» бесконечности. К примеру, кардинальное число множества целых чисел и иных эквивалентных ему множеств — (читается «алеф нуль»), множества вещественных чисел — .  

Алефы образуют лишь первую ступень в иерархии кардинальных чисел. В этой статье говорится о существенно больших кардиналах. 

2. Интересная система аксиом — значит не тривиальная. То есть такая, на основе которой можно развить теорию с ценными научными результатами. 

Вообще, интересная проблема в науке — это проблема, имеющая большое теоретическое или практическое значение, и решение которой позволит улучшить наши знания о мире и / или качество человеческой жизни. 

3. Полный список больших кардинальных чисел на английском языке можно посмотреть тут: List of large cardinal properties.

Это изображение великолепно иллюстрирует сложность теории множеств.

4. В оригинале они называются exacting и ultraexacting cardinals. Они были введены авторами этой статьи, и их адекватного перевода на русский язык пока не существует (как и большинства иных кардинальных чисел). Мы решили использовать слова строгий и суперстрогий, хотя они и не несут нужного смысла. Если среди наших читателей есть специалисты по теории множеств, которые смогут предложить адекватный русский перевод, мы будем рады его услышать.  

Автор перевода @arielf

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
-15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.