Не пугайтесь, это не об окончательном решении вопроса. Спасибо Berakningsingenjo за коммент, подсказавший идею. Статья адресована всем интересующимся и посвящена разбору гипотезы Коллатца на общепонятном языке. По ее прочтении Вы сможете сказать себе, что поняли в гипотезе почти всё, и это оказалась проще, чем считается. Надеюсь, из нее также станет ясно в чем смысл утверждения и почему обоснован именно такой заголовок. Думаю, в этой аудитории излишне напоминать как формулируется гипотеза Коллатца (Collatz conjecture [0]).

Стереотипы

В этом разделе выскажу свое сугубо субъективное мнение о ситуации с гипотезой Коллатца. Внешнее впечатление непрофессионала, оценки изнутри математического сообщества мне неизвестны. Мнение основано на знакомстве с большим, но ограниченным массивом статей, по большей части недавних.

Из-за недоказанности при такой простой формулировке гипотеза Коллатца приобрела репутацию чрезвычайно сложной, неподдающейся решению даже лучшими умами и т.п. При этом лучшие умы уже давно не занимались этой задачей, у них есть более важные темы. Есть некоторое количество математиков-профессионалов и математиков-любителей, использующих устоявшийся арсенал формальных подходов.

Тщетность их усилий может объясняться изначально неудачной концептуализацией гипотезы Коллатца как задачи о поведении рекурсивных числовых последовательностей. Поначалу, в далекие уже годы, видимо казалось, что проблемы рекурсии преодолимы. Но всё оказалось сложнее, и ситуация зашла в некрасивый тупик. К очередным заявкам о «доказательстве» гипотезы скептическое отношение, их никто не собирается проверять. Понятно, что для качественного прорыва нужно что-то другое. Оно должно существовать, но его не видно. На этом месте я перехожу от субъективного мнения к обоснованным утверждениям.

Сеть

Начнем с самого наглядного — с визуализации. Общеизвестно, что алгоритм Коллатца можно представить в виде дерева Коллатца с корнем 1. Стандартные числовые последовательности Коллатца — это различные траектории спуска по дереву к корню. Объединение последовательностей в структуру — уже прогресс. Но чем плохо дерево Коллатца? Оно обязано своим происхождением рекурсии и проблема всё та же — где гарантия, что все числа имеют свои места в дереве. Доказать полноту дерева Коллатца относительно всех натуральных чисел, что равнозначно доказательству всей гипотезы, изнутри рекурсии невозможно.

Около года назад появилась другая визуализация — наложение алгоритма Коллатца на Таблицу разложения натуральных чисел по степеням 2 путем ее разметки ключами (столбец нечетных чисел) и указателями (ячейки четных чисел вида 3n+1). В чем ее преимущество? У нее нет проблемы полноты, Таблица исходно полна и охватывает изучаемый объект без изъятий. Минимальная математическая интуиция подсказывает, что это шаг в верном направлении — сразу многое проясняется. Перед нами порожденная алгоритмом 3n+1 связная Сеть с остовом из ключей и указателей. Для работы с такой структурой весьма удачно подошла терминология, заимствованная из области баз данных.

С помощью Таблицы гипотеза Коллатца (в предположении о единственности корня и односвязности) легко доказывается. Но не всё так просто. За регулярностью Таблицы не видны скрытые угрозы — это лишние корни, циклы и распад Сети. Циклы и расходимости давно известны как два главных препятствия на пути доказательства, хотя и несколько мистифицированы. В случае алгоритма 3n+1 угрозы не реализуются, поэтому гипотеза Коллатца верна. Но они вполне реальны в схожих алгоритмах вида an+b. Ответ, почему такая разница, в отличиях структур порождаемых алгоритмами сетей. Сравнительный анализ разных случаев дает понимание общности проблемы, более осмысленное и дифференцированное. Также ценно, что подход через структуру Сети открывает перспективы в направлении топологии.

Циклы

Объяснению разнообразия циклов и инструментарию их обнаружения в различных алгоритмах посвящена по большей части первая статья [1]. Что такое цикл? Это возврат по рекурсии к тому же числу. Пример: алгоритм 3n−1, 2-цикл (5,7). Корень 1 у алгоритма 3n+1 — это тоже цикл, но с одним ключом в составе. Какова роль корня или цикла? Они запирают дальнейший спуск по нисходящему алгоритму, что и есть причина сходимости алгоритмов типа Коллатца.

Откуда берутся циклы? Дело в следующем. Замыкание числовой последовательности в цикл означает выход из рекурсии, в результате задача резко упрощается — циклу соответствует простая система линейных уравнений той же размерности. Пример: алгоритм 3n−1, 2-система 3n₁−2^pn₂=1, 3n₂−2^qn₁=1, целочисленное решение системы — это и есть цикл (5,7). Проблема в одном — заранее неизвестно существует ли такая система, ее размерность и степени при двойках.

Но инструментарий для поиска таких решений предложен, он использует как ориентир обычный дискриминант системы уравнений, который всегда имеет один вид D=3^d−2^z, где d — размер цикла, z — общее число делений на 2 по всем шагам цикла. В данном примере: алгоритм 3n−1, дискриминант D=3²−2³=1 (единственный вариант D=1 согласно теореме Mihăilescu), в результате единственный фундаментальный цикл, который не мог не случиться, пришелся на алгоритм 3n−1, а не 3n+1. Все другие потенциальные циклы имеют дискриминанты больше и много больше 1(−1), редко приводящие к целочисленным решениям. С калькулятором систем линейных уравнений под рукой любой алгоритм проверяется на присутствие циклов за час. За подробностями отсылаю к статье. Вывод: истинные циклы при b=1 в an+b редки и случайны, за счет подбора параметра b в любом алгоритме типа Коллатца легко организуются циклы любого размера.

На этом фоне полное классическое доказательство отсутствия циклов в отдельном частном случае алгоритма 3n+1 представляется очень незначимой задачей, не стоящей тех сил, что были на нее потрачены и еще тратятся.

Распад

А вот следующая задача представляет больший интерес, но не по ожидаемому результату, а по тому, как его получить. Это мистифицированная проблема «расходимостей» в алгоритме Коллатца. Доказательство их невозможности дано во второй статье [2]. Если не перейти на сетевое описание, то расходимость числовых последовательностей — нечто мистически необъяснимое. На самом деле, как было упомянуто в разделе «Сеть», за этим стоит потенциальный или реальный распад Сети на части. У разных алгоритмов an+b это может происходить по-разному. В случае алгоритма Коллатца это гипотетический распад на корневое дерево и бескорневую подсеть. Все сходящиеся числовые последовательности принадлежат корневому дереву, все расходящиеся — бескорневой подсети. Это две качественно разные отдельные сущности.

Идея доказательства — найти такое свойство бескорневой подсети, которое будет противоречить ее существованию. Им оказалась «средняя делимость по подсети» — инвариант для сетей, порожденных алгоритмами типа Коллатца. Это позволило не только подтвердить, что гипотеза Коллатца верна, но и распространить результат на подобные алгоритмы. Доказательство совершенно не похоже на другие попытки — сравнительно короткое, прозрачное и логичное.

Заключение

Ничего из того, о чем рассказано выше, нет в мировом математическом обиходе. Удивительно, но факт. Да, мой объясняющий стиль не укладывается в прокрустово ложе стандарта математических статей. Но не собираюсь ничего переписывать ради дополнительной публикации. Всё уже опубликовано и дойдет до целевой аудитории. Важно другое.

Можно сказать, испытываю чувство интеллектуального возмущения ситуацией вокруг гипотезы Коллатца, тем как долго и безуспешно решается, наверное, самая простая среди сложных нерешенных проблем математики. Где широта подхода, креативность, не говоря уже о понимании изучаемого объекта? Если после первой статьи еще могли оставаться какие-то сомнения, то после второй — не осталось совсем. И любой непредвзятый ум, не чуждый математике, не сможет не согласиться: неудачно сложившаяся судьба гипотезы Коллатца — это действительно Фейл.

Дочитавшим до конца, спасибо. А в качестве компенсации
за труд и для снятия стресса плейлист с хорошей музыкой.
https://music.yandex.ru/playlists/cc3d715e-f494-3d52-a55c-5e282d71ef7b

Ссылки
[0] Collatz conjecture. https://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
[1] Новый внутренне присущий подход к решению проблемы Коллатца 3n+1 и ее аналогов https://www.academia.edu/126375432
+ https://drive.google.com/file/d/1Ntibbx8nFB7YDslLEF5RY7bZ40FfLdlO/view?usp=sharing
[2] Однозначное доказательство и расширение гипотезы Коллатца. https://www.academia.edu/144161052
+ https://drive.google.com/file/d/1tdXrzlhZKCNxuoJUdQj3A1Let-vxmQyd/view?usp=sharing
[3] Первый текст. https://habr.com/ru/articles/870220/
[4] Продолжение. https://habr.com/ru/articles/951214/