![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/437/a66/261/437a66261011cf6c0d4c1785cd7f719a.png)
где функция
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e20/40e/977/e2040e977619749210cd159283b4ed30.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/20d/ce3/b79/20dce3b79371c00efb5cde70bb4b0744.png)
Преобразование Фурье
Для ФБД будем интерпретировать процесс
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/422/4f2/87d/4224f287da538ee73c0150a657f55b1f.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/422/4f2/87d/4224f287da538ee73c0150a657f55b1f.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/393/3c8/f30/3933c8f304b4bb889d33cd9a02a26bdd.png)
Составляющая
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/422/4f2/87d/4224f287da538ee73c0150a657f55b1f.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/730/6a1/7b2/7306a17b209dfed482ac692e1bd08078.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/d51/c5d/02d/d51c5d02d279dcd2cd59437771cbbe58.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a0e/db0/d56/a0edb0d5685a4de118b231c967f5b0cf.png)
Функция
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c42/a9b/00d/c42a9b00dc1eefabb6c363aceac78997.png)
Спектральная плотность
Полная энергия исходного процесса равна
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/32d/a9c/ccd/32da9cccdb77fb0773bd084475eab1aa.png)
По теореме Планшереля:
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/795/c0a/841/795c0a841f619007775312d91779b337.png)
Средняя мощность функции
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/422/4f2/87d/4224f287da538ee73c0150a657f55b1f.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/50a/8d7/011/50a8d701144b0059ad3d40d85982f82a.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/164/9a8/41e/1649a841e3996de3338ebdc6b5c5fe7e.png)
Тогда спектральная плотность мощности равна:
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cf7/a48/efe/cf7a48efe76df6d37fec547cf6ae1b44.png)
Если длина отрезка стремиться к бесконечности, то:
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8fa/9da/082/8fa9da0822949ff12c72d6fc83b5507d.png)
Т.к. функция
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/422/4f2/87d/4224f287da538ee73c0150a657f55b1f.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/3f0/f91/ca5/3f0f91ca538dc65a54fef13b33b6ed76.png)
Дискретное преобразование Фурье ФБД
Процесс моделирования ФБД можно упростить через аппроксимацию преобразования Фурье с помощью рядов Фурье с учетом сохранения свойств спектральной плотности. После этого, использовав обратное преобразование Фурье, получим ФБД.
Если
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/807/33a/c6c/80733ac6c1b8d1501bd814f213be4a2f.png)
то функция
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/422/4f2/87d/4224f287da538ee73c0150a657f55b1f.png)
Таким образом, приведенный ниже алгоритм использует это условие сопряженной симметрии.
Алгоритм построения кривой ФБД:
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a9f/246/14b/a9f24614be25359387bdd440a9ea6269.png)
![image](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/fa0/d0f/4df/fa0d0f4dfe1f22154fe9905ec3ad9837.png)
- Для
значения преобразования Фурье
- Для
—
- Для каждого
рассчитываем: амплитуду (абсолютная величина комплексного числа
), фазу (значение аргумента комплексного числа
, т.е. угол, выраженный в радианах)
- Рассчитываем значения ФБД:
![](http://habrastorage.org/files/c7c/7ae/1ff/c7c7ae1ff1db4ac69a5bba371c464984.jpg)
На рисунке изображены некоторые вариации ФБД для различных показателей Хёрста.
Пример использования генерации ФБД
Дан исходных ряд валютной пары доллар-рубль за период: 05.05.2005 — 01.05.2015.
Рассчитаем доходности обменного курса и с помощью RS-анализа найдем показатель Хёрста для пары доллар-рубль: H=0.64 отстоит от среднего значения E(H)=0.52 на 5.64 стандартных отклонений. Величина H – значима. Ряд персистентный, т.к. H>0.5, нормированный размах изменяет масштаб быстрее, чем квадратный корень по времени, процесс имеет долгосрочную память (подробнее в [1]).
Отсутствие цикла позволяет, используя параметр Хёрста, смоделировать фрактальный шум с помощью фильтрации Фурье. Построим в частотной области преобразование Фурье фрактального броуновского движения со случайными амплитудами и фазами, удовлетворяющие свойству спектральной плотности. C помощью обратного преобразования Фурье получим требуемый фрактальный шум.
Далее генерируем 10000 всевозможных вариаций ФБД с показателем Хёрста 0.64. Таким образом получаем распределение прогнозных значений для валютного курса.
![](http://habrastorage.org/files/c64/edb/d56/c64edbd56fbf47f7a563c76a1ca3d733.jpg)
На рисунке изображен график исходного ряда значений курсов доллар-рубль, и 90%-дециль распределения и математическое ожидание прогноза: с вероятностью 90% можно утверждать, что курс не превысит значений верхней кривой, среднее значение обменного курса имеет нисходящий тренд, в середине мая в среднем цена за доллар составит 52.3 рубля, начало июня – 51.6, начало июля – цена опуститься до отметки в 48.7 рублей.
Список литературы:
- Гончаренко А.В. Фрактальный анализ динамики валютной пары USD/RUB // Риск-менеджмент в кредитной организации. №2(18). 2015. С. 18-22.
Комментарии (9)
i12v
07.05.2015 00:34Извините, пожалуйста, меня везде забанили, даже в экселе — можете кое что для меня посчитать? Вот вы взяли последние 10 лет (flashback = 10 * 365) и посчитали для пары рубль-доллар критерий Хёрста Hurst(flashback). А можете построить график Hurst(flashback) для flashback = 10*365… 0? У меня сильное подозрение, что за последние полгода процесс вполне мог стать антиперсистентным.
alexandergoncharenko Автор
07.05.2015 11:20flashback = 10*365… 0? — не понял, что это значит.
Для периода в пол года (дневные данные) 181 значение. Для адекватного расчета — 60 RS-точек. Курс доллар-рубль имеет 100-дневный высокочастотный период случайного блуждания, на коротких периодах действует техническая информация (пол года как раз попадают в этот диапозон). Такая же ситуация и с часовиком за тот же период. Если же взять за последний год почасовые данные, то Н=0,6, значим, т.к. отстает от своего ожидаемого значения на 5,62 стандартных отклонений. Показатель Хёрста чуть ниже за счет внутридневного шума.
FransuaMaryDelone
07.05.2015 07:38в начале текста, в определении «преобразования Фурье» (функция, которую милее называть не Преобразованием, а Образом): лучше интегрировать бы всё же по t, а не по f.
alexandergoncharenko Автор
07.05.2015 10:05спасибо, исправил
FransuaMaryDelone
07.05.2015 11:12+1я имел ввиду это выражение:
Определенный интеграл всё-таки… ему, интегралу, обидно, наверное: он интегрировал-интегрировал по f, а она все равно не исчезла и слева красуется в виде переменной величины.
maratvildan
Вы бы рассмотрели случаи, где и для чего это можно использовать и объяснили в чем новизна. А так… Это просто отрывок из параграфа вычматов
alexandergoncharenko Автор
Добавил пример использования генерации ФБД для валютной пары доллар-рубль.