Эта статья объединяет результаты, полученные нами в предыдущих статьях и выводит теоретические рассуждения, сделанные в них, на практический уровень. Я ввел достаточно терминов, чтобы рассмотреть понятие свойства и объяснить, как строить модель свойства. Данную статью можно читать независимо от других, поэтому часть рассуждений, сделанных ранее, я повторю, часть пропущу, а часть добавлю.

Введение

Тем математикам или физикам, которые начинают изучать бизнес-анализ, приходится туго. Есть огромная разница между фундаментальной наукой и теми практиками, которые изложены в разных стандартах, посвященных бизнес-анализу. Периодически происходят попытки познакомить сообщество бизнес-аналитиков с точкой зрения современных философов, однако такие попытки пока не увенчались успехом. Из-за этого математик или физик, погружаясь в изучение стандартов бизнес-анализа, испытывает легкий шок. Я попробую пробросить мост между тем, с чем привык работать физик или математик и теми моделями, которые строят аналитики.

Для этого я сформулировал свод знаний, который назвал проекционным моделированием, потому что метод, изложенный в нем, напоминает черчение. На уроках черчения мы учимся моделировать пространства. При этом модель пространства отделена от интерпретации этого пространства. Моделируемое пространство можно интерпретировать в зависимости от решаемой задачи и как кусок алюминия, и как часть воды, и как крыло самолета: модель пространства не зависит от его трактовки. В проекционном моделировании мы поступаем так же: сначала создаем модель пространства, но уже во времени, потому что наш мир четырехмерный, если считать время как отдельное измерение, а затем трактуем это пространство-время тем, или иным способом. Так же, как в черчении моделируемый 3-Д объем можно трактовать разными способами, так и в проекционном моделировании трактовка 4-Д объема отделена от модели пространства-времени.

Например, один субъект может трактовать 4-Д объем как автомобиль, другой субъект может трактовать этот же 4-Д объем как кусок железа, другой — как функцию перевозки пассажиров. Единственное отличие от черчения в том, что модель пространства и времени сложнее, нежели модель пространства. Поэтому инструменты моделирования тоже должны быть сложнее. В итоге модель наших представлений превращается в двухуровневую модель:

1. На первом уровне строится модель пространственно-временных частей и отношений между ними
2. На втором уровне строится модель субъективных атомарных представлений и отношений между ними

Зачем нужно моделировать пространство-время?

Кейс 1

Допустим, что двух разных людей попросили рассказать об одном событии. Один сказал: молоток ударил по шляпке гвоздя, другой сказал: гвоздь ударил молоток. Они рассказали об одном и том же событии, но с разных точек зрения.

Однако, что такое событие, если на него можно посмотреть с разных сторон? Молоток стукнул по шляпке гвоздя — это событие? Нет, потому что это рассказ о событии с одной точки зрения, или, проще сказать, — интерпретация события. Если же это не событие, а интерпретация события, то что же тогда событие?

Кейс 2

Допустим, что двух разных людей попросили описать один и тот же объект. Один сказал: это — машина, другой сказал: это — лодка. Они рассказали об одном и том же объекте, но с разных точек зрения.

Однако, что такое объект, если на него можно посмотреть с разных сторон? Машина — это объект? Нет, потому что это рассказ об объекте с одной точки зрения, или, проще сказать, — интерпретация объекта. Если же это не объект, а интерпретация объекта, то что же тогда объект?

Объяснение

Оба эти кейса объединяет одно: невозможность словами правильно выразить мысль. Молоток ударил по шляпке — это событие. Машина — это объект. И с этим трудно поспорить. Но что тогда субъекты трактуют как событие и что именно субъекты трактуют как объект? На что именно они смотрят, когда делают свои интерпретации? Они воспринимают один и тот же пространственно-временной объем, и в этом они согласны. В кино актеры часто задают вопрос: мы с тобой видим одно и то же? Этот вопрос значит: мы сейчас смотрим на одно и то же пространство и интерпретируем его одинаково?

Правильно говорить, что есть две разных интерпретации пространственно-временного объема. Это объяснение является корректным и точным. Если мы это не поймем, наши рассуждения будут подобны змее, кусающей свой хвост. Именно поэтому, если мы хотим построить модель трактовок, начать ее мы должны с модели того, что мы видим — с модели пространства и времени, а лишь потом наделять эту модель разными трактовками.

Примеры двухуровневых моделей

Пример 1

Возьмите в руки шар из алюминия. Вы видите шероховатую поверхность, вы чувствуете вес и видите форму шара. Чтобы создать модель такого представления, нужно:

1. Построить модель пространства, которое потом можно интерпретировать как матовую поверхность
2. Дать трактовку этого пространства как матовой поверхности
3. Построить модель пространства, которое потом можно интерпретировать как кусок алюминия
4. Дать трактовку этого пространства как кусок алюминия
5. Построить модель пространства, которое потом можно интерпретировать как форма шара
6. Дать трактовку этого пространства как форма шара
7. Указать отношения между тремя пространствами, трактуемыми как шероховатая поверхность, как кусок алюминия и как форма шара. Я бы предложил такую:
   
   1. Пространство, трактуемое как шероховатая поверхность, является границей поверхности, трактуемой как кусок алюминия
   2. Пространство, трактуемое как сфера, является идеализированной границей поверхности, трактуемой как кусок алюминия
8. Указать отношения между тремя трактовками трех разных пространств. Я бы предложил такие:
   
   1. Кусок алюминия имеет поверхность, идеализированное представление о которой выглядит в виде сферы
   2. Кусок алюминия имеет шероховатую поверхность
   3. Кусок алюминия имеет вес

Пример 2

Вы смотрите на сцену и видите танцора, танцующего танец. Чтобы создать модель такого представления, нужно:

1. Построить модель пространства-времени, которое потом можно интерпретировать как танцора
2. Дать трактовку этого пространства-времени как танцора
3. Построить модель пространства-времени, которое потом можно интерпретировать как танец
4. Дать трактовку этого пространства-времени как танец
5. Указать отношения между двумя пространствами-временами, трактуемыми как танцор и как танец. Я бы предложил такую:
   
   1. Пространство-время, трактуемое как танцор совпадает с пространством-временем, трактуемым как танец.
6. Указать отношения между двумя трактовками двух разных пространств-времен. Я бы предложил такую:
   
   1. Танцор танцует танец

Связь между моделью пространства-времени и его трактовкой

Модель пространства-времени зависит от того, как его потом будут трактовать. Такая модель создается для конкретной его трактовки, или, другими словами, под конкретный тип свойств. Два разных типа свойств породят разные модели пространственно-временных объемов даже тогда, когда может казаться, что эти объемы совпадают. Например, сфера в случае с куском алюминия является идеализацией реальной формы и отличается от реальной его поверхности. Поэтому, строя модель пространства на основе утверждения о том, что кусок имеет форму шара, мы получим поверхность, отличную от реальной поверхности куска.

Главное при этом — не путать свойство и тип свойств. Например, белый автомобиль и белый пароход — это разные свойства, разные "белые". Для одного свойства будет одна модель пространства-времени, для другого — другая. Объединяет их тип свойств "белый". Как правило, мы не способны отличить свойство от типа свойств. Это одна из проблем языка: язык не позволяет нам сделать этого. Но в проекционном моделировании эта дифференциация смыслов должна осознаваться аналитиком очень четко. Нельзя путать свойство и его тип. Это значит, что у белого парохода и белого автомобиля общими будут не свойства, как мы обычно привыкли думать, а тип свойств. Свойства же будут разные. Это значит, что один белый совершенно не то же, что другой белый! Эти белые отличаются оттенками, формами, положением в пространстве и времени.

Поэтому модель пространства-времени, которую мы построим, будет связана с типом свойств, его породившим. Этот тип свойств назовем родовым как для пространства-времени, так и для его модели.

Родовой тип свойств пространства-времени — это такой тип свойств, на основании которого произошло выделение данного пространства-времени из общего пространственно-временного объема.

Родовой тип свойств модели пространства-времени — это такой тип свойств, на основании которого произошло выделение данного пространства-времени из общего пространственно-временного объема и была построена его модель.

Модель свойства

Мы пришли к выводу о том, что любой тип свойств может стать родовым для пространственно-временного объема и его модели. Моделью свойства является модель пространственно-временного объема, для которого тип моделируемого свойства выступил в роли родового. Поэтому, если есть свойство "белый", тип этого свойства "белый" выступает в роли родового для некоторого пространственно-временного объема и его модели.

Название пространственно-временных объемов

Для обозначения пространственно-временных объемов мы используем название родового свойства. А, поскольку все свойства группируются в типы свойств, то названием объема становится название типа родовых свойств. Например, тип родовых свойств "белый" становится названием для свойства "белый", которое мы связали с пароходом, и для другого свойства "белый", которое мы связали с машиной. Это разные свойства и потому должны иметь разные называния, например "белый #123", или "белый #124". Аналогия с машинами: машина с номером #123 и машина с номером #234 — это разные пространственно-временные части, которые мы трактуем одинаковым способом как машины. Так и "белый #123" и "белый #124" — это разные белые, которые мы трактуем одинаковым способом как белые. Тоже касается свойства "длина 10 метров". Это не свойство, а тип свойств. Полное название свойства должно быть: "длина 10 метров #123".

Представление о пространстве и времени

Чтобы построить модель пространства-времени, сначала надо разобраться с тем, что такое пространство-время. Повторим бегло тезисы прежних статей и сформулируем их формальным образом. Заодно я извиняюсь за допущенные мной ошибки. Особенно это касается спайки, которая привела меня к неразличимости свойства и типа свойства.

Обычно рассказ про пространство и время начинают с рассказа про пространство, а затем говорят, что время — это изменения в этом пространстве. Почему пространство рассматривают вне времени? Потому что мы легко представляем себе застывшее пространство во времени: это срез пространственно-временного объема поперек времени и рассмотрение этого среза. Но мы не понимаем, что такое застывшее время в пространстве. Если мы хотим сделать срез поперек пространства, чтобы изучить время, мы должны выделить точку, линию, или поверхность и рассмотреть ее динамику во времени. По логике, если срез поперек времени называется пространством, то срез поперек пространства должен называться временем. Согласитесь, непривычно?

Как пространство, так и его изменения — это разные точки зрения на один и тот же участок исследуемого пространства-времени, но по правилам языка изменения должны быть привязаны к пространству, а пространство к изменениям — нет. Мы не можем рассказать про изменения без пространства, а про пространство без изменений якобы можем. На самом деле мы всегда смотрим на изменения пространства, даже, когда думаем, что ничего не меняется. Просто иногда мы считаем, что этими изменениями можно пренебречь. Чтобы не путаться, я буду говорить про пространство, имея ввиду его изменения, которые были незначительны в рамках решаемой нами задачи.

Введем термин "танец пространства", или просто "танец" как синоним пространственно-временного объема. Если я буду говорить просто "пространство", я буду иметь ввиду танец пространства, изменения в котором незначительны.

В любом выбранном для моделирования танце есть минимальное пространственное разрешение (атомарная точка), максимальный пространственный объем (объем исследуемого пространства), минимальное временное разрешение (атомарное мгновение) и максимальный интервал времени (объем исследуемого времени).

Какой танец можно наделить смыслом?

Допустим, что у вас пропала способность видеть часть пространства. Такое можно представить, потому что у каждого из нас есть слепое пятно. Вы можете осознать его благодаря специальным упражнениям, но потом вы снова адаптируетесь и перестаете его осознавать. Все потому, что наше сознание способно сглаживать видимую картинку. Наше сознание работает не с картинкой, а со сплайн — функциями, которые ее сглаживают. То же самое и со временем. Если вам показать 25-ый кадр, вы его не заметите. Поэтому сделаем следующее утверждение:

Свойством можно наделить только тот танец, который непрерывен, или, что равносильно, однороден.

Возникает вопрос: как построить модель однородного танца, чтобы потом его можно было наделить смыслом, или интерпретировать?

Для начала надо формально определить понятие непрерывности для танца. Первое, что приходит на ум, — надо вспомнить определение непрерывности из математического анализа: непрерывность — это когда в двух близких точках значения атрибута отличаются незначительно. Кажется все логично и красиво, но возникают вопрос, что такое точка?

Например, вы держите в руках кристалл. Что является точкой на его поверхности? Вы можете сказать, что точка — это атом. Но, если вы рассуждаете о цвете кристалла, то атом не обладает цветом. Цветом обладает поверхность из огромного количества атомов. Допустим, для этого их должно быть миллион. Это значит, что точка на поверхности кристалла, обладающая цветом, содержит миллион атомов. Из этого следует, что точки могут пересекаться, потому что соседние точки могут иметь общие атомы. Получается, что определение из математического анализа нам не подходит.

Формальное определение однородного пространства

Возьмем однородное пространство, наделенное свойством. Разделим его на части. Свойства каждой из частей этого пространства будут похожи на свойство всего однородного пространства (любая часть поверхности кристалла похожа на всю поверхность). Какую бы часть однородного пространства мы бы ни взяли, свойства этой части похожи на свойства другой части этого пространства и на свойства всего пространства в целом. Это и станет основной для формального определения однородного пространства.

Однородное пространство для данного типа свойств, — это множество всех возможных частей пространства, для каждой из которых определено свойство данного типа.

Модель однородного пространства выглядит довольно внушительно: для этого надо рассмотреть все возможные его части, а их может быть очень много.

Если мы будем рассматривать части однородного пространства, устремляя их размер к нулю, в какой-то момент мы придем к пределу, за которым полученные части уже не могут быть наделены родовыми свойствами. Это значит, что существует предел разбиения пространства. Этот предел определяет размеры точек однородности пространства, наделенного свойством. Разрешение приборов может позволить увидеть нам строение точек однородности. Саму же точку однородности увидеть невозможно, потому что ее границы пересекаются с границами других точек однородности. Ее можно только вообразить.

Если размер точки однородности меньше размера атомарной точки исследуемого пространства, мы наблюдаем абсолютно гладкое пространство. Если размер точки однородности больше размера атомарной точки исследуемого пространства, мы видим его как шероховатое пространство.

Поясню на примере. Рассмотрим поверхность ковра. Он ворсистый, мы видим каждую ворсинку. Любая часть ковра тоже ворсистая и похожа на любую другую его часть. Будем уменьшать размер частей. В какой-то момент в одной части ковра окажется всего одна ворсинка. Можно ли назвать такую часть ворсистой? Нет, потому что одна ворсинка не обладает свойством ворсистости. Поэтому размер точки однородности для ковра больше размера атомарной точки исследуемого пространства и поэтому поверхность ковра выглядит шероховатой.

Пример однородного пространства можно встретить в черчении. Заштрихованная область на чертеже моделирует однородное пространство, которое можно трактовать как вещество. Оно моделируется при помощи всех возможных частей, которые можно получить из этого пространства. Таких частей невероятно много, они пересекаются, размер точки однородности сравним с размером группы из миллиарда атомов.

Зная родовой тип свойств пространства, можно ввести понятие непрерывности: для близко расположенных точек однородности значения атрибута должны быть так же близки.

Те, кто знаком с функциональным анализом, могут увидеть, что данное определение однородности можно интерпретировать иначе: при помощи разложения в ряды Фурье. Тогда определение однородности станет таким:

Пространство, однородное для данного типа свойств, — это такое пространство, которое имеет ярко выраженный всплеск (или множества всплесков) в пространственном спектральном разложении свойств данного типа.

В зависимости от удобства можно пользоваться либо тем, либо другим определением пространственной однородности.

Например, мы говорили об абсолютно гладком пространстве. Чтобы его определить, нам можно ничего не знать про точки однородности. Достаточно знать, что пик в спектре свойств данного типа на данном пространстве соответствует размеру атомарной точки изучаемого пространства. Размытость пика дает нам представление о разбросе значений свойств. Если пику в спектре соответствует размер, больший размеру атомарной точки, мы можем увидеть несколько всплесков на разных частотах, пропорциональных базовой частоте. Это даст нам представление о вторых и третьих гармониках, а, если соединить эти знания со знаниями о фазах спектрального разложения, мы можем сделать вывод о форме периодической структуры. Если есть несколько пиков на частотах, которые сильно отличаются друг от друга, например в десятки раз, это говорит нам о том, что есть периодические структуры, которые, в свою очередь, состоят из периодических структур. То есть, каменная стена состоит из блоков, каждый из которых состоит из кирпичей. Способов анализа таких пространственных структур на сегодняшний день предостаточно. В итоге все наше представление о пространстве может переехать в область спектрального анализа, тем самым в корне изменив наше представление о реальности. Представьте себе ИИ, которому будет прошито представление о пространстве, основанное на спектральном анализе. Что он увидит? Только волны, никакого пространства в нашем понимании! Интересно, в реальных проектах так и сделано? Кстати, может такая трактовка поможет нам понять суть квантовой физики?

Есть особенность в наших рассуждениях. Как только мы заговорили о разложении в спектр, мы стали описаться на математический аппарат функционального анализа. Но фокус в том, что мы не имеем право этого делать, потому что точки однородности обладают совершенно другими свойствами, нежели точки в функциональном анализе. Поэтому я дал качественную картинку без претензии на математическое обоснование.

Представление об однородном танце

Чтобы представить себе однородный танец, для каждого атомарного мгновения исследуемого танца поставим в соответствие исследуемое пространство. Стопка таких пространств для каждого атомарного мгновения исследуемого танца даст нам модель танца. Этот способ представления похож на кадры из фильма.

Почему танец считается однородным во времени

Чтобы мы могли говорить об однородности танца во времени, пространства для каждой пары последовательных атомарных мгновений должны быть похожими друг на друга. Если пространства от мгновения к мгновению стремительно меняют свои размеры, форму или положение, мы не можем говорить о такой серии пространств как об однородном танце.

Кажется очевидным следующее утверждение: если для каждой пары последовательных атомарных мгновений мы можем выполнить сопоставление двух пространств, то будем считать, что танец однороден во времени. Но на самом деле мы сейчас апеллировали к атомарному мгновению. Мы дали определение абсолютно гладкого танца пространства. Но танец может иметь шероховатости. Как сформулировать однородность шероховатого танца, не апеллируя к мгновению?

Однородность танца во времени

Рассмотрим вращение балерины. Оно состоит из однотипных движений: один поворот, второй поворот и так далее. Если мы наблюдаем за этим вращением достаточно долго, мы видим однородный танец. Если в пространстве однородность определялась представлением о свойствах пространства, то представление об однородности танца должно опираться на представление о свойствах танца.

Сформулируем признак временной однородности. Если мы наблюдаем какой-то однородный танец пространства, мы можем разделить этот танец на временные части (сделать разрезы поперек времени), и увидеть, что они похожи на весь танец целиком. Это схожесть частей делает танец однородным во времени. Множество временных частей однородного танца, похожих друг на друга, — это модель однородного танца.

Однородный танец пространства во времени для данного типа свойств, — это множество всех возможных временных частей танца, для каждой из которых определено свойство данного типа.

Звезда для нас — это яркая точка, она не однородна в пространстве. Зато ее свет однороден во времени. Однородность во времени позволяет нам увидеть эту точку и присвоить ей какой-то смысл. Если мы столкнемся с чем-то, не имеющим однородности ни в пространстве, ни во времени, мы это просто не заметим.

Модель однородного во времени танца выглядит довольно внушительно: для этого надо рассмотреть все возможные его временные части, а их может быть очень много.

Если мы будем уменьшать временные части однородного во времени танца, в какой-то момент мы придем к пределу, за которым полученные части уже не смогут быть наделены свойствами, подобными свойству однородного танца. Это значит, что существует предел подобного разбиения. Этот предел определяет длительность мгновений однородности танца, наделенного свойством. Разрешение прибора может позволить увидеть нам строение мгновений однородности. Само же мгновение однородности увидеть невозможно, потому что его границы пересекаются с границами других мгновений однородности.

Если длительность мгновения однородности меньше атомарного мгновения исследуемого танца, мы наблюдаем абсолютно гладкий танец. Если длительность мгновения однородности больше атомарного мгновения исследуемого танца, мы видим это как шероховатый танец.

Поясню на примере. Представим волнующееся море со стоячими волнами и попробуем описать танец его поверхности. Если кто-то не верит, что такое возможно, могу заверить, что такой танец существует: он образуется за счет интерференции волн, отраженных от разных пирсов. Этот танец можно назвать волнующимся. Любая временная часть этого танца — тоже волнующаяся. Будем уменьшать длительность наблюдений. В какой-то момент в одну временную часть уместится всего один период колебания волны. Можно ли назвать такую часть волнующейся? Нет, потому что один период колебаний не обладает свойством волнующейся поверхности. Поэтому длительность мгновения однородности для волнующегося моря больше длительности атомарного мгновения исследуемого танца, и поэтому танец волн выглядит шероховатым.

Пример однородного во времени танца можно встретить в музыке. Нота на нотном стане моделирует однородный во времени танец определенной длительности, который можно трактовать как звучание ноты. Этот танец моделируется при помощи всех возможных длительностей, которые можно получить из этого звучания. Таких частей много, они пересекаются, размер мгновения однородности сравним с долями секунды и содержит до двадцати звуковых колебаний.

Зная родовой тип свойств танца однородного во времени, можно ввести понятие непрерывности этого свойства: для близко расположенных мгновений однородности значения атрибута должны быть так же близки.

Те, кто знаком с математикой, могут увидеть, что данное определение однородности танца можно интерпретировать иначе: при помощи разложения в ряды Фурье. Тогда определение однородности станет таким:

Однородный танец пространства во времени для данного типа свойств, — это такой танец, который имеет ярко выраженный всплеск (или множества всплесков) во временном спектральном разложении свойства данного типа во времени.

В зависимости от удобства можно пользоваться либо тем, либо другим определением временной однородности.

Единое представление об однородном танце

Мы рассматривали танец как стопку пространств, упорядоченных во времени. Пришло время отказаться от этого представления и научиться видеть танец как единый смысловой блок.

Вернемся к волнующейся поверхности моря. Танец, с помощью которого мы моделируем эту поверхность во времени, однороден во времени и в пространстве. Попробуем сформулировать это, не разбивая представления на временные и пространственные.

Мы можем делить поверхность волнующегося моря на части как вдоль времени, так и поперек.

Деление вдоль дает нам результат наблюдения за какой-то частью моря. Представьте себе вертолет, который на какой-то высоте завис над поверхностью моря. У него есть сектор обзора, который выхватывает под ним какой-то участок для наблюдения. Это наблюдение за тем, что можно назвать частью танца пространства, вырезанной вдоль времени. Пустим много вертолетов на разных высотах. Полученные результаты наблюдений — есть части танца, вырезанные вдоль времени.

Деление поперек времени выглядит как поверхность всего моря, наблюдаемая одним вертолетом, время наблюдения которого ограничено запасом топлива вертолета. Пустим много вертолетов. Они будут улетать и прилетать обратно. Полученные результаты наблюдений — есть части танца, вырезанные поперек времени.

Теперь объединим эти два деления. Сделаем деление танца как вдоль времени, так и поперек. Это значит, что вертолеты теперь начинают наблюдение, когда хотят, и заканчивают, когда хотят, имеют возможность подниматься и опускаться над поверхностью, меняя сектор обзора. Но при этом соблюдается правило: минимальное время наблюдения длится дольше мгновения однородности танца, минимальный сектор обзора больше точки однородности. Результаты таких наблюдений дадут нам множество частей, которые похожи друг на друга.

Сформулируем понятие однородного пространства-времени

Однородное пространство-время

Однородное пространство-время для данного типа свойств, — это множество всех возможных временных и пространственных частей этого пространства-времени, для каждой из которых определено свойство данного типа.

Мы можем интерпретировать это однородное пространство-время разными способами. Например, как волнующуюся поверхность моря.

Отдельно надо помнить, что на подобных структурах надо научиться корректно проводить замеры свойств, отличных от родовых. Можно проводить лишь те, длительность которых больше мгновения однородности, а чувствительность — больше точки однородности. Ни один замер длительностью меньше мгновения однородности на данном пространстве не имеет смысла. Это значит, что нельзя измерить высоту волны, потому что время ее существования много меньше времени однородности. Ни один замер площади размером меньше размера пространственной однородности тоже не имеет смысла. Это значит, что нельзя измерить длину волны. Зато мы можем измерить толщину пространства и понять, что она ненулевая: она толщиной с высоту волн. Эта граница одновременно принадлежит и океану и атмосфере! Каждый тезис сильно бьет по интуиции, мы же видим волны! Но все должно быть формально. Если вы видите волны и хотите их описать, используйте другие минимальные пространственные и временные однородности, и вы увидите волны.

Фурье анализ танца

Фурье анализ танца можно проводить не только на пространственных или временных однородностях раздельно, но и сочетая их вместе. Такой анализ покажет нам структуру производственной линии.

Анизотропия однородного танца

Мы говорили об точках однородности танца. Но эти точки однородности могут быть не просто кубиками. Они могут иметь вытянутые формы. Возьмем в качестве примера, вельвет. Его точка однородности имеет ярко выраженную вытянутую форму. Или свет звезды, для которой однородность в пространстве вообще не определена. Но гораздо интереснее пространственно-временная анизотропия. Именно она позволяет нам представить бизнес-функцию в виде множества сценариев одного типа!

Другие базисы для разложения свойств

Мы взяли ряды Фурье для анализа, предполагая, что изучаемое пространство поделено прямоугольной координатной сеткой. Однако, это не единственный способ деления пространства. Поэтому разложение не обязано производится в ряд Фурье. Можно сделать разложение по любому из удобных базисов, получая в результате однородности разного типа.

Моделирование пространственно-временных однородностей танца

Есть два способа определить пространственно-временную однородность танца:

1. Через множество его частей
2. Через спектр родовых свойств

Второй способ хорош, но ширина воспринимаемого нами диапазона пространственных и временных частот довольно узка. Мы не в состоянии уловить частоты за этими пределами. Поэтому, когда нам надо провести анализ однородностей за пределами восприятия, мы используем иной способ анализа: при помощи множеств однотипных элементов. Именно с него я начал обсуждение однородностей. Конечно, машинные методы анализа данных могут найти нужные закономерности, использую частотный анализ, но этот анализ на будет опираться на эмпирический опыт человека.

Анализ однородностей при помощи множества пространств, наделенных свойствами одного типа

Для этого анализа нам нужно уметь:

1. Создавать и пользоваться представлением о типе свойств
2. Осознавать похожие элементы
3. Осознавать множества похожих элементов
4. Оперировать с множествами похожих элементов

Если вы не умеете создавать концепты, или типы, вы не сможете сравнить свойства разных частей танца. Для того, чтобы их сравнить, надо найти в них общие свойства, а это, по определению и есть концепт, или тип.

Имея тип, вы должны уметь сравнивать свойства разных частей пространства-времени. Если бы вы этого не умели, то вы не могли бы создать тип и не могли бы им пользоваться.

Для представления однородного пространства-времени необходимо видеть множество похожих друг на друга частей как одно целое.

А вот операции над множествами — более тонкая вещь. Для осознания однородного пространства-времени это не нужно. Но нужно, если мы хотим построить сложное представление, или получить новое из уже имеющихся. Эта способность, скорее всего, свойственна только высокоразвитому сознанию.

Тем не менее, поскольку представление о множествах возникло значительно позже представления об объектах, я могу сделать предположение, что либо мы не замечали раньше, как работает наше сознание, либо сознание работает, анализируя спектр похожих свойств.

Моделирование однородного пространства

В дальнейшем, чтобы упростить изложение, я буду говорить "пространство", подразумевая танец, но танец этот выглядит как застывшее па.

Допустим, что вы наблюдаете пространство, наделенное свойством. Есть два способа его описания.

Способ 1

Если размер точки однородности пространства для данного типа свойств меньше атомарной точки исследуемого пространства, нам кажется, что мы наблюдаем абсолютно гладкое однородное пространство, наделенное свойством данного типа, которое мы представляем себе состоящим из бесконечного множества точек нулевого размера, наделенных похожими свойствами. Однако, как мы выяснили раньше, такая модель является приблизительной, потому что представление этих свойств в виде спектра даст нам максимум, которому соответствует размер атомарной точки исследуемого пространства.

Можно сказать, что такое пространство, наделенное свойством, моделируется при помощи из атомарных точек исследуемого пространства, но это будет нарушать логику моделирования. Однородное пространство состоит из под-пространств однородности, а уже под-пространства однородности моделируются при помощи атомарных точек исследуемого пространства. Однако, атомарные точки исследуемого пространства больше точек однородности, что означает, что для построения модели точки однородности нам надо взять несколько атомарных точек, что кажется нелепо. Однако, мы так и делаем, получаю модель однородного пространства грубее, нежели могли бы, будь у нас точнее приборы. Для построения модели однородного пространства нам надо сначала из атомарных точек собрать модели точек однородности, из которых потом уже собрать модель однородного пространства. Поскольку точка однородности не может состоять из одного элемента, то и ее модель должна содержать множество атомарных точек исследуемого пространства.

Если мы станем увеличивать разрешающую способность прибора, то мы будем получать все новые и новые подробности о строении однородного пространства, и в какой-то момент мы столкнемся с тем, что размер атомарной точки исследуемого пространства станет меньше точки однородности. Тогда мы скажем, что достигнут предел разрешения для данного пространства. Если мы будем продолжать и дальше увеличивать разрешение, ничего нового про это однородное пространство мы не узнаем.

Если мы имеем пять атомарных точек, моделирующих однородное пространство. Можно ли назвать такое пространство однородным? Нет, потому что для того, чтобы получить однородное пространство, нам надо как минимум, пять точек однородности, а для этого нам нужно минимум 10 атомарных точек! Поэтому модель однородного пространства должна включать в себя 10 атомарных точек! То, что мы наблюдаем, можно назвать однородной точкой, но нельзя назвать однородным пространством. Что представляет из себя однородная точка в таком случае: однородное пространство, или ряд однотипных объектов, мы не знаем, потому что разрешение приборов не позволяют нам это увидеть.

Способ 2

Если размер точки однородности пространства больше атомарной точки исследуемого пространства, нам кажется, что мы видим однородное пространство, заполненное однотипными элементами, или пространственную структуру.

Представьте себе, что вы смотрите на тканевый экран проектора с расстояния в 10 метров. Вы не видите структуру ткани, только поверхность. Если вы подойдете поближе, то на расстоянии одного метра вы увидите структуру ткани. Поверхность по-прежнему останется однородной, но теперь точка однородности будет значительно больше, чем предел разрешения прибора. В момент, когда на наших экранах начинают проявляться точки однородности однородного пространства, возникает второй способ восприятия, требующий иного способа описания. Однородное пространство теперь можно поделить на части двумя принципиально разными способами. Первый способ, как и раньше, делит пространство на части, ему подобные: ткань на ткань. Но теперь доступен иной способ деления: теперь можно продолжить разбиение, и каждую из полученный частей разделить на части, которые также подобны друг другу, но при этом отличаться от частей однородного пространства. Эти части назовем элементами однородного пространства. Каждая часть, в том числе и точка однородности, делится на множество подобных элементов. Это значит, что объем элемента много меньше объема любой части однородного пространства, в том числе и точки однородности.

Элемент однородного пространства

Рассмотрим элемент однородного пространства. Сколько типов элементов можно получить, глядя на однородное пространство? Допустим, что исследуемое пространство состоит из чередующихся отрезков белого и черного цвета. Вы можете сказать, что элементом будет пространство, которое можно интерпретировать как пару отрезков: черный плюс белый. Кажется, что вы решили задачу, но нет, потому что из последовательности белый плюс черный тоже можно получить элемент данного пространства. Ну хорошо, скажете вы, мы нашли два разных типовых элемента, и хватит! Нет, потому что можно построить такой типовой элемент: черный отрезок + пропуск + пропуск + белый отрезок, или придумать два разных типовых элемента: черный + пропуск + черный и белый + пропуск + белый. Типовой элемент можно начать с середины отрезка: половина белого + черный + половина белого. То же и с атомами: их тоже можно разбивать на части. Мы имеем не один типовой элемент, как нам подсказывает интуиция, а невообразимое их количество! Поэтому правильно говорить, что однородное пространство можно разделить на элементы бесчисленным количеством способов. Часто этим фактом пренебрегают, сообщая нам очевидный способ разбиения однородного пространства, например, говорят, что кристалл состоит из атомов. Но это один способ из бесчисленного количества способов деления кристалла на элементы. Нет никаких указаний на то, какой из типовых элементов считать лучше, или хуже. Например, можно сказать. что кристалл состоит из двух половинок атомов, "прислонившихся" друг к другу спинами.

Элементы однородного пространства обязаны образовывать периодическую структуру. Период этот может соблюдаться очень точно, а может быть плавающим. Однако, спектр такой структуры должен иметь выраженный максимум, иначе такую структуру нельзя будет назвать однородной! Поэтому однородное пространство, рассматриваемое нами как состоящее из элементов, назовем периодическим однородным пространством. То пространство, которое мы видим как абсолютно гладкое, назовем гладким однородным пространством. Напомню, что гладкое может стать периодическим, если увеличить разрешение прибора. Что объединяет разные типовые элементы периодического однородного пространства? Размер периода. Все типовые элементы делятся на группы с одинаковой длиной периода. Группа с наименьшим размером типовых элементов соответствует самым компактным элементам. С ними, как правило, мы и работаем. Однако, типовых элементов одного размера все равно остается очень и очень много. Поэтому проще объединить их в один тип и сказать, что все это — элементы одного типа с точностью до преобразования (параллельного переноса и вращения). Тогда количество типовых элементов сократится до конечного числа, а в частном случае до одного. Моделью такого типового элемента будет фрагмент периодической структуры с точностью до преобразования. Когда мы проводим анализ спектра Фурье, полученный на однородной периодической структуре, мы видим пики. Каждому пику соответствует тип атомарного элемента с точностью до преобразования. Отклонение пика от центральной оси дает нам представление о размере этого типового атомарного элемента. Однородное пространство может быть поделено но элементы одного типа, а может — на элементы разных типов. Периоды для элементов разных типов могут находиться в целочисленных отношениях, а могут — нет. Сейчас мы медленно погружаемся в кристаллографию. Теперь понятно, почему спектральный анализ гораздо проще в применении на практике, чем анализ элементов структур.

Есть еще один важный аспект, который надо помнить! Проявление структуры может стать результатом увеличения разрешения, а может стать результатом смены потоков, которые используются для исследования пространства. Например, вместо потока света можно использовать акустические волны. Вместе со сменой потоков изменится и однородное пространство, и принцип регистрации потоков. Возможно, что при этом проявятся те структуры, которые были незаметны в потоках другого типа. Поэтому нет такого правила, что кристалл состоит только из атомов. Он может состоять из доменов, которые проявляют себя в магнитном поле. Он может состоять из чего угодно, в том числе из того, что нам пока неизвестно. Поэтому, когда мы говорим о структуре, нам надо обязательно указать тип прибора, который использовался для регистрации свойств и обнаружения структуры.

Граничные ситуации

Иногда мы сталкиваемся с пограничными ситуациями, когда мы можем видеть то одно, то другое. Например, если вы смотрите на здание, вы можете видеть каждое окно в отдельности, если в вашем поле зрения их всего два (третий способ восприятия), или наблюдать однородное пространство, если в вашем поле зрения их 100 (второй способ восприятия). Между ними есть пограничное состояние, когда вы можете переключать способ своего восприятия с индивидуальных объектов на восприятие множества объектов. То же переключение может происходить между первым способом и вторым способами восприятия. Вы можете смотреть на экран монитора и видеть картинку из пикселей (второй способ восприятия), а можете — непрерывную картинку (первый способ восприятия).

Моделирование однородности во времени

Допустим, что вы наблюдаете танец и видите его свойства во времени. Для моделирования танца, однородного во времени, рассуждения аналогичны моделированию танца, однородного в пространстве. Есть два способа:

Способ 1

Если мгновение однородности танца для свойств данного типа меньше атомарного мгновения исследуемого танца, мы видим плавные движения, или даже застывшую картину. Считается, что для моделирования плавных движений используется множество мгновенных состояний мощности континуум. Однако, как мы выяснили ранее, это лишь приблизительная модель, далекая от реального представления. Разложение в ряд Фурье такого набора атомарных состояний даст нам пик на длительности равной длительности атомарного мгновения.

Однородный танец состоит из множества интервалов однородности. Каждый такой интервал похож на другой и похож на весь однородный танец в целом. Моделью точки однородности будет несколько атомарных мгновений. При этом нельзя сказать, что модель однородного танца состоит из атомарных мгновений, только из интервалов однородности.

Если я говорю, что машина стоит на стоянке, я имею ввиду атомарное мгновение, интервал однородности, или однородный танец во времени? В зависимости от контекста вы можете думать либо одно, либо второе, либо третье, но в языке вы не найдете способа дифференцировать эти понятия. Чтобы их разделить, я буду говорить: атомарное состояние, однородное точечное состояние и однородное состояние. Почему в пространстве мы не сталкивались с необходимостью дифференцировать подобные термины? Потому что в пространстве, как я рассказал в одной из статей, мы не можем вообразить себе аналог состояния во времени.

Мгновенное состояние — это то, что можно увидеть мгновенно: размер, положение, скорость, цвет. Однородное состояние — это то, что иначе мы называем состояние: состояние покоя, движения, трансформации и тд.

Способ 2

Если мгновение однородности наблюдаемого нами танца длится дольше атомарного мгновения, мы видим ритмический танец.

Допустим, что вы наблюдаете поршень двигателя, совершающий быстрые движения. Он движется настолько быстро, что вы не видите его, но видите сплошной цилиндр. Он кажется неподвижным и немного прозрачным. Для вас он находится в покое, и его описание будет сделано первым способом. Изменим чувствительность прибора. В какой-то момент вы заметите, что есть поршень, и он движется. Это будет тем моментом, когда вы заметите ритмический танец пространства. Такой танец я называю регулярная активность, потому что наблюдаемый нами танец имеет регулярный период.

Описание регулярной активности аналогично описанию пространственной структуры, но теперь в качестве периода выступает не элемент пространственный элемент, а временной: типовой сценарий, состоящий из атомарных мгновений с точностью до сдвига во времени.

Часто забывают про сдвиг и считают, что начало и конец периода очевидны. Но на самом деле надо помнить, что начало и конец типового сценария могут быть сдвинуты произвольным образом. Это значит, что не имеет значения с какого момента начать типовой сценарий: с того или иного положения поршня. То же касается описания любой регулярной активности.

Пусть есть токарь, который точит детали. Рисунок его движений ритмичен, и мы можем предположить, что видим регулярную активность. Но, если так, то можно найти типовой период? Вот он: зажать деталь, выточить деталь, бросить деталь в корзину, отдохнуть. Мы помним, что период определен с точностью до сдвига. Это значит, что периодом будет и другая последовательность: бросить деталь в корзину, отдохнуть, зажать заготовку и выточить деталь! Не важно где мы начнем период и где его закончим. Однако, существует множество стандартов по бизнес-анализу, в котором написано много слов про правильное и неправильное моделирование типовых сценариев, которые в этих стандартах названы процессами. И нигде не сказано, что типовой сценарий можно сдвинуть по циклу. Причин этого три:

1. Часто путают моделирование пространства-времени и моделирование деятельности, смешивая эти модели в одном флаконе. Когда вы видите чертеж детали, вы понимаете, что видите модель пространства-времени, интерпретируемого вами как деталь. Но, когда вы видите модель операции, вы, почему-то забываете, что вы видите перед собой модель пространства-времени, интерпретируемого вами как операция!

   
   

2. Часто не задумываются над тем, что с помощью распространенных стандартов моделирования регулярной активности мы моделируем типовые элементы регулярной активности, а не ее элементы. Похоже, что это могло бы быть для многих откровением.

   
   
3. Кажется очевидным, что начало действий в цикле определена появлением некоторого нового объекта учета, например, детали. При этом забывают, что объект учета можно изменить. Пусть есть склад, в котором сложены контейнеры. Пусть есть регулярная активность, типовой цикл которой состоит из двух операций: сложить контейнер, отдать контейнер. Кажется очевидным начать цикл с приема контейнера, а не с его отдачи, потому что как можно отдать то, чего нет. При этом забывают о том, что начальные условия могут быть таковы, что в самом начале изучения регулярной активности склад был под завязку заполнен контейнерами. И первое действие было — отдать контейнер. Или можно рассуждать иначе: если в качестве объекта учета мы возьмем не контейнер, а пустое место. Тогда кажется логичным, что появление этого места начитается с операции отдать контейнер и заканчивается операцией принять контейнер. Нет ничего, что давало бы нам повод сказать, с чего начинать типовой цикл. Возможно, что смена перспективы даст более простое решение задачи, например, учитывать свои пустые места на складе удобнее, чем вести учет чужих контейнеров.

Группу типовых периодов, полученных сдвигом во времени объединим в один тип и назовем типовым периодом с точностью до сдвига. Типовой период назовем элементом регулярной активности и скажем, что регулярная активность может быть разделена на части двумя принципиально разными способами: на интервалы однородности, которые подобны самой регулярной активности (движение делится на серию движений), и на типовые элементы, свойства которых отличны от регулярной активности, но похожи друг на друга.

Регулярную активность так же можно изучать с помощью спектрального анализа. Для этого надо определить типовые состояния, построить модель их положения во времени и подвергнуть эту модель Фурье-анализу. Точно так же, как и в пространственных структурах мы получим спектрально распределение частот состояний определенных типов. Далее все решает анализ распределения этих частот. В идеале говорят, что предприятие должно работать, как часы. Это значит, что для каждого состояния есть ярко выраженные пики в спектре. Если частоты для разных состояний поддаются целочисленному сравнению, на основе этих состояний можно создать типовые сценарии. Хорошо отлаженное предприятие имеет ярко выраженные частотные пики, плохо отлаженное предприятие, — слабо выраженные. Задача проектировщика предприятия сделать так, чтобы типовые состояния были определены и их частотное распределение было бы ярко выраженным. В этом анализе проявляются ритмы типовых состояний. И как тут не вспомнить песни моряков, придуманные для синхронизации работ. Таким образом, главным инструментом аналитика, который занят проектированием регулярной активности предприятия, после инструмента моделирования типовых сценариев должен стать спектральный анализ, а, возможно и основным, поскольку он решает задачу способами гораздо более простыми, нежели анализ множеств.

Одновременная однородность и в пространстве и во времени

Есть 3 типа однородности в пространстве и 3 типа однородности во времени:

1. Нет однородности
2. Гладкая структура
3. Периодическая структура

Если перемножить варианты, то получатся следующие комбинации:

1. 1-1 В пространстве нет однородности, во времени нет однородности. Точка, вспыхнувшая на мгновение. Невозможно отследить.

   
   

2. 1-2 В пространстве нет однородности, во времени гладкость. Свет звезды.

   
   

3. 1-3 В пространстве нет однородности, во времени периодичность. Квазар.

   
   

4. 2-3 В пространстве гладкость, во времени нет однородности. 25 кадр. Неуловим.

   
   

5. 2-2 В пространстве гладкость, во времени гладкость. Поверхность стола.

   
   

6. 2-3 В пространстве гладкость, во времени периодичность. Танец танцора

   
   
7. 3-3 В пространстве периодичность, во времени периодичность. Работа конвейерной линии по розливу пива.

Особенности обнаружения однородностей в танцах, одновременно однородных как во времени, так и в пространстве.

Если пространство одновременно однородно как в пространстве, так и во времени, есть возможность проводить замеры, в которых недостаток информации в пространстве компенсирует избыток информации во времени и наоборот.

Пространственная область наблюдения меньше изучаемой однородности

Допустим, что область нашего наблюдения ограничена настолько, что точка однородности в ней не помещается. Для обнаружения нужных нам однородностей в пространстве нужно уметь генерализировать наши представления. Мы двигаемся в пространстве, ограниченные нашей областью восприятия, постепенно заметая все большие и большие пространства. Далее мы используем метод генерализации наших данных. Методы могут быть самыми разными. При помощи одного метода генерализации можно обнаружить однородности, при помощи другого — нельзя. Ограничением данного метода является предположение о том, что свойства пространства за время нашего ползания по нему изменятся незначительно, то есть, оно должно быть однородным во времени. Такой метод компенсирует малый размер области наблюдения при помощи увеличения времени наблюдения.

Точность прибора слишком груба для изучаемой области пространства

Обратная задача, когда при помощи слишком грубого детектора пытаются найти равномерности на очень маленьком для данного детектора масштабе, решается при помощи убыстренной съемки. Тогда анализ фаз в спектральном разложении позволит нам обнаружить мелкие детали пространства. Этот же прием используется для обнаружения кристаллической структуры вещества при помощи излучения, длина волны которого больше размера однородности. Такой метод компенсирует пространственную грубость детектора увеличением временной чувствительности.

Особенности обнаружения однородностей во времени

Время наблюдения меньше интервала однородности

Если временной интервал, в течении которого ведется наблюдение, меньше мгновения однородности, мы можем компенсировать это размером наблюдаемой области. Мы можем пронаблюдать большой объем пространства, чтобы выделить в нем типовые состояния типовых элементов. Это позволит нам предположить, что в наблюдаемом интервале времени каждый элемент застыл в том, или ином состоянии. Аппроксимируя время вперед и назад, мы можем предположить прошлые и будущие состояния наблюдаемых нами элементов. Таким образом, мы можем воспользоваться однородностью в пространстве, чтобы изучить однородность во времени.

Скорость регистрации прибора недостаточна быстра для регистрации интервала однородности

Следуя полученной логике, чтобы решить эту задачу, мы должны увеличить пространственную чувствительность прибора. Я пока не нашел нужного примера.

Влияние дополнительных сведений на трактовку однородностей

Если мы смотрим на танец, границы однородности которого выходят за пределы нашего окна наблюдения, у нас могут появиться разночтения в трактовке увиденного. Например, волны в океане — это однородности во времени, или однородности в пространстве? Поясню разницу. Допустим у нас есть струна. Допустим, что она имеет форму синусоиды. Вопрос: это она имеет такую форму, или мы находимся в системе отсчета, связанной с бегущей волной? Если мы не имеем дополнительных данных, мы не можем сказать, какой из ответов верен. Но, если мы знаем граничные условия — границы, где струна имеет закрепление, или мы знаем строение струны и видим, что мы движемся относительно этого строения (относительно вещества струны), то мы можем сказать точно: то ли это однородность в пространстве, то ли во времени. Если струна имеет форму синусоиды, и эта синусоида неподвижна относительно краев струны или ее вещества, то мы имеем пространственную однородность. Если струна бежит, то мы имеем временную однородность. В некоторых случаях мы не можем сказать наверняка, что это: пространственная, или временная однородность. И только опыт может подсказать нам верный ответ. И тогда волны в океане окажутся временной однородностью, а волны на картинке — пространственной.

Два свойства любого регулярного танца

Поскольку регулярный в пространстве или времени танец можно разделить на части двумя способами, мы можем интерпретировать их двумя способами. Если мы наделяем части пространства свойствами того же типа, что и все пространство в целом, мы ведем речь об одном свойстве. Если же элементы этого танца обладают свойствами, отличными от свойств танца, мы имеем другое свойство. Другими словами, если я скажу, что поток нефти состоит из потоков нефти, — это будет одно свойство, если же я скажу, что каждая часть потока нефти состоит из молекул, — это будет другое свойство того же потока. Часто именно второй тип свойств — состав становится родовым для построения однородного танца!

Классификация свойств

Любой однородный в пространстве и(или) времени танец может моделировать свойство. И наоборот: любое свойство требует модели в виде однородного в пространстве и(или) времени танца.

Сначала я хотел классифицировать все свойства. Это должно было стать довольно интересным рассказом, но пока у меня нет времени на полное изложение этого вопроса. Я лишь приведу один пример, который позволяет понять, как построенные выше представления помогают проводить бизнес-анализ.

Бизнес-функция

Определение функции опирается на определение потока. Но, когда пространственная область наблюдения мала, мы не можем сказать, что стало основой для формирования потока: пространственная однородность, или временная? Например, когда мимо протекает поток деталей, мы не можем сказать наверняка: это протекает пространство, наполненное деталями, или детали создаются перед входом в окно восприятия и уничтожаются по выходу из него. Может быть и так и так. Поэтому, говоря о потоках в определении бизнес-функции, мы можем отталкиваться как от временной однородности танца: равномерности случающихся событий (регулярно заходят клиенты), так и от пространственной однородности танца: регулярности протекающего потока (потока нефти). И тот и другой метод подходит под определение функции, однако, про временную однородность часто забывают, имея ввиду только пространственную.

Когда бизнес-функцию наделяют множеством регулярных во времени потоков, забывают сказать, что каждый из потоков имеет разное строение и разные мгновения однородности. По определению, это приводит к разным моделям однородных танцев. Однородные танцы, соответствующие разным потокам, занимают один и тот же объем исследуемого пространства, но имеют совершенно разную структуру. Это — разные танцы! Объединение их вместе должно сопровождаться моделью отношений между ними и их интерпретациями. Ничего подобного я не видел и это сильно обедняет модель активности предприятия. Проблема происходит из-за нарушения условия равномерной однородности для всех потоков. Например, мгновение однородности для множества потоков заведомо должно быть больше самого длинного мгновения однородности среди всех потоков. Я же часть вижу, как это условие грубо нарушается в тех или иных моделях, построенных бизнес-аналитиками, которые не чувствуют этого ограничения. Теперь не надо его чувствовать, его надо просто знать.

Благодарность

Отдельное спасибо тем, кто поддержал меня в этой работе! Не забывайте и далее своими голосами помогать нам в работе: не забывайте ставить лайки и, по возможности, не давайте карме упасть. У меня еще много интересного в кармане!