11.11.2018 17:22
Enmar 11 1200 Источник
Здравствуй, %username%!
Я получил довольно много отзывов о первой части и постарался все их учесть.
В первой части я писал о сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел.
Если не знаешь это — скорей беги читать первую часть :-)
Статья оформлена в виде шпарлагки, истории здесь крайне мало, в основном формулы.
Приятного чтения!

Итак, перейдем к более интересным и чуть более сложным операциям.
Я расскажу про показательную форму комлексного числа,
возведение в степень, квадратный корень, модуль, а также про синус и
косинус комплексного аргумента.
Думаю, начать стоит с модуля комплексного числа.
Комплексное число можно представить на оси координат.
По x будут расположены вещественные числа, а по y мнимые.
Это называется комплексная плоскость. Любое комплексное число, например

$z=6+8i$


очевидно можно представить как радиус-вектор:

Формула расчета модуля будет выглядить так:

$ r = |z| = \sqrt(x^2+y^2) $


Получается, что модуль комплексного числа z будет равен 10.
В прошлой части я рассказал про две формы записи комплексного числа:
алгебраическую и геометрическую. Есть еще показательная форма записи:

$z=r\:e^{i\phi}$


Здесь r — это модуль комплексного числа,
а ? — это arctg(y/x), если x>0
Если x<0,y>0 то

$?=arctg(y/x)+\pi$


Если x<0,y<0 то

$?=arctg(y/x)-\pi$


Есть замечательная формула Муавра, которая позволяет возвести комплексное число в
целую степень. Она была открыта французким математиком Абрахом де Муавром в 1707 году.
Выглядит она вот так:

$z^n=r^n{(cos(\phi) + i*sin(\phi))}^n$


В результате можем возвести число z в степень a:

$z.x=|z|^a*cos(a*arctg(y/x))$


$z.y=|z|^a*sin(a*arctg(y/x))$


Если Ваше комплексное число записано в показательном виде, то
можно использовать формулу:

$z^k=r^ke^{ik\phi}$


Теперь, зная как находится модуль комплексного числа и формулу Муавра, можем найти
n корень из комплексного числа:

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\;cos{\frac{\phi+2\pi k}{n}}+i*sin{\frac{\phi+2\pi k}{n}}$


Здесь k это числа от 0 до n-1
Из этого можно сделать вывод, что существует ровно n различных корней n-ой
степени из комплексного числа.
Перейдем к синусу и косинусу.
Расчитать их нам поможет знаменитая формула Эйлера:

$e^{ix}=cos({x})+i*sin({x})$


Кстати, еще существует тождество Эйлера, которое является частным
случаем формулы Эйлера при x=?:

$e^{i?}+1=0$


Получаем формулы для вычисления синуса и косинуса:

$sin\:z=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{{2i}}$


$cos\:z=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{{2}}$


Под конец статьи нельзя не упомянуть практическое применение комплексных
чисел, чтобы не возникало вопроса
image
сдались эти комплексные числа?
Ответ: в некоторых областях науки без них никак.
В физике в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна.
В электротехнике комплексные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам, которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока.
В теореме Жуковского (подъемная сила крыла) тоже используются комплексные числа.
А еще в биологии, медицине, экономике и еще много где.
Надеюсь, теперь вы умеете оперировать комплексными числами и сможете
применять их на практике.
Если что-то в статье непонятно — пишите в комментариях, отвечу.

Комментарии (11)


  1. dopusteam
    11.11.2018 22:33
    #19352778
    +3

    В коментах к прошлой статье узнал больше о комплексных числах, чем из Ваших двух статей

    Текст вида 'комплексные числа используются в уравнениях x и z и ещё много где' выглядит как отписка


    1. Enmar Автор
      12.11.2018 06:42
      #19353528

      В комментариях у прошлой статье было только про практическое примение, критика и наоборот похвала.
      Никаких формул не было


  1. BubaVV
    11.11.2018 22:55
    #19352818
    +2

    Джон Дербишир. Простая одержимость


  1. akhalat
    12.11.2018 00:57
    #19353090
    +1

    а ? — это arctg(y/x)

    это неверно и очень грубая ошибка. arctg, если вы не знали, определен только в интервале от -pi/2 до pi/2
    ? — это именно угол на комплексной плоскости
    все ваши формулы, где есть этот пресловутый арктангенс — неверны
    формулу Эйлера вы используете вовсю до того как ее обозначить
    у вас ошибки при наборе формул (корень из модуля), неряшливая типографика, отсутствует последовательность в обозначениях (через «x» вы то обнозначаете действительную часть числа z конструкциями вроде z.x, то рассматриваете ее как самостоятельную переменную, например, в ф-ле Эйлера, — причём непонятно комплексная она или вещественная)
    квадрат которой

    не квадрат, а квадрат модуля


    1. Enmar Автор
      12.11.2018 16:11
      #19355904

      Квадарт которой исправил.
      Какая грубая ошибка?
      Определен только в интервале
      Вы вообще про что?
      Область определения или область допустимых значений?


  1. VaalKIA
    12.11.2018 05:24
    #19353446

    Любое комплексное число, например z = 6 + 8i можно представить как радиус-вектор:
    На картинке видим x, y, r и фи… Вы явно пропустили слово очевидно.


    1. Enmar Автор
      12.11.2018 16:19
      #19355956

      Да, так лучше.
      Спасибо, исправил


      1. VaalKIA
        13.11.2018 06:22
        #19358944

        Это была ирония, представление мнимых чисел всегда заслуживает отдельного пояснения.


  1. aa-dav
    13.11.2018 09:26
    #19359390

    Важно заметить, что умножение двух комплексных чисел получает комплексное число модуль которого равен произведению модулей исходных чисел, а угол между ним и осью OX равен сумме исходных углов. Т.е. комплексное умножение ПОВОРАЧИВАЕТ ВЕКТОР. Это в принципе и диктует область применения — во всяких колебательных процессах и тому подобное.


    1. aa-dav
      13.11.2018 11:10
      #19360014

      P.S.
      Тождество Эйлера, кстати, как раз с помощью комплексного вращения (заметённого в операцию возведения в степень) по сути своей утверждает, что «если повернуть точку (1,0) на 180 градусов (пи радиан), то она попадёт в точку (-1,0)». Казалось бы простая штука, но сам вид этой формулы ввергает некоторых математиков в благоговение (подробности можно в той же вики посмотреть).