Они объясняли мне: «У тебя есть апельсин, так? Теперь ты разрезаешь этот апельсин на конечное количество кусочков, складываешь их обратно в апельсин, и он становится таким же большим как солнце. Истина или ложь?»
— Между кусочками нет пространства? — Нет.
— Невозможно! Такого просто не может быть.
— Ха! Попался! Идите все сюда! Это теорема Того-то о безмерной мере!
И когда им кажется, что они поймали меня, я напоминаю им: «Но вы сказали апельсин! А апельсиновую кожуру невозможно разрезать на кусочки тоньше атомов».
— Но у нас есть условие непрерывности. Мы можем резать бесконечно!
— Нет, вы сказали апельсин, поэтому я принял, что вы имеете в виду настоящий апельсин.
Так что я всегда выигрывал. Если я угадывал — здорово. Если не угадывал, то всегда мог найти в их упрощении что-то, что они упускали из виду.
Ричард Фейнман. «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!»
Пролог
Так получилось, что с самого детства я увлекаюсь занимательными задачами. Решал я их, как правило, хорошо и быстро, хотя не обходилось и без курьезов. Например, на олимпиаде по математике за седьмой класс, куда я попал, будучи в шестом, была задача: найти такой-то угол в треугольнике, обладающем такими-то свойствами. Мои познания в области геометрии были на тот момент весьма отрывочны, однако кое на что их всё же хватило. Недолго думая, я построил этот треугольник в тетради с помощью циркуля и линейки, а затем измерил нужный угол транспортиром. Это было практически как в том анекдоте про «найдите икс», когда ученик ткнул в букву «x» пальцем с радостным криком «вот он!».
Другой интересный случай произошёл со мной на втором курсе, когда я, пропустив несколько занятий по алгебре подряд, решил наконец вновь на них явиться. Внимательно изучив учебники и конспекты, я пришёл на пару с твёрдой уверенностью, что знаю не меньше лектора, а то и больше. И вот лектор записывает на доске формулировку теоремы, и я тут же замечаю, что теорема-то, в общем, неверна.
Если вы знакомы с общей алгеброй, вы должны помнить про такую штуку, как кольца характеристики 2. Для тех, кто не в курсе: это такие числовые системы, в которых любое число, сложенное с самим собой, даст нуль. Из-за этого в них не выполняется куча свойств, к которым мы привыкли в родных целых/рациональных/действительных числах. Например, зная квадраты двух чисел и квадрат их суммы, мы уже не можем найти их произведение по формуле ab = ((a + b)2 — a2 — b2)/2. Это происходит из-за того, что (a + b)2 = a2 + (ab + ab) + b2 = a2 + b2, а 2 = 1 + 1 = 0.
Так вот, я вижу, что написанная на доске теорема очевидно неверна при характеристике кольца, равной двум, и спешу поделиться своим наблюдением с лектором. Однако вместо того, чтобы смутиться и поправить формулировку, лектор смотрит на меня снисходительно, как на человека, поправляющегося после тяжёлого мененгита и ещё не вполне восстановившего свой умственный тонус. Оказывается, ещё несколько занятий назад они с группой договорились, что все теоремы из этого раздела доказываются для колец с характеристикой, отличной от двух, а соответствующая оговорка в их формулировках попросту опускается для краткости.
Какой вывод можно сделать из этих эпизодов? В условии задачи часто (вероятно, даже всегда) подразумевается больше, чем написано. Задача формулируется не «с нуля», а в том или ином контексте, накладывающем свои ограничения. Особенно явственно это проявляется в тех случаях, когда в формулировке используются объекты и понятия из привычного нам мира, под которыми, однако, скрываются чисто математические абстракции.
В задачах на построение можно пользоваться только циркулем и линейкой, причём не обычными, а математическими. Можно построить окружность сколь угодно большого радиуса, чего реальный циркуль, естественно, не позволяет. Зато линейка имеет только один край, и потому нельзя построить параллельную прямую, обведя карандашом другой. В задачах на переливание нельзя сгонять в магазин за мензуркой или воспользоваться заранее припрятанной флягой, чья ёмкость известна. С другой стороны, вода в них не испаряется, не проливается, не изменяет свой объём в зависимости от температуры — в общем, не делает множества коварных вещей, осложняющих точные измерения в реальном мире.
Условие задачи — это хрупкий компромисс между тем, что хотел сказать автор, и тем, что готов безболезненно воспринять читатель. Как и всё хрупкое, он легко может быть нарушен. На создание этого хабропоста меня вдохновили «решатели» задачи о заключённых, шахматной доске и монетах, которые стали предлагать решения-оффтопики, как то: повернуть монету, поставить монету на ребро и т.п. Оставим в стороне вопрос о том, насколько это остроумно, и подумаем вот над чем: что было бы, если бы формулировки задач были совершенно строгими?
Мякотка
В качестве примера рассмотрим одну простую задачу с предельно лаконичной формулировкой. Я выбрал именно её, потому что ей в своё время тоже досталось от «решателей». Итак, вот она:
Можно ли куб с ребром 1 обернуть лентой 1х12 ровно в два слоя?
- можно, если разорвать ленту на квадратики;
- как вариант: размотать ленту на нитки;
- нельзя, потому что лента имеет толщину, и на второй слой её понадобится больше;
- нельзя, потому что как ни обматывай, останутся щели;
- нельзя, на сгибе ленты будет не два слоя, а один/полтора/пи пополам;
- и это лишь те варианты, которые я запомнил.
Что ж, давайте займёмся формализацией.
Начнём с того, что такое куб. Во-первых, это множество точек в некотором трёхмерном евклидовом пространстве E3. Внутренность куба в контексте задачи нас мало интересует, поэтому займёмся его поверхностью. Поверхность состоит из шести граней, это нетривиальное утверждение понадобится нам в дальнейшем. Обозначим их A1… A6 и уточним, что мы рассматриваем замкнутые грани — т.е. включающие в себя соответствующие рёбра. Поверхность куба целиком обзовём S. В таком случае
Лента, в свою очередь, есть подмножество некоторого двухмерного евклидова пространства E2. Чтобы не плодить лишние пространства, можно вложить его в вышеупомянутое пространство E3. Подмножества евклидовых пространств удобно задавать с помощью уравнений и неравенств, связывающих координаты их точек. Введём в нашем пространстве декартову систему координат, и договоримся обозначать координаты точек тройками (x, y, z). В таком случае ленту можно задать следующей системой уравнений и неравенств:
0 ? x ? 1
0 ? y ? 12
z = 0
Ленту обзовём буквой L. А что же с кубом? Теперь, когда мы так точно определили ленту, нам неплохо бы с такой же точностью определить куб и его грани. Что ж, пусть это будет единичный куб, грани которого описываются следующими системами:
A1 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, z = 0}
A2 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, z = 1}
A3 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? z ? 1, y = 0}
A4 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? z ? 1, y = 1}
A5 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1, x = 0}
A6 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1, x = 1}
Хорошо. Осталось определить такие понятия, как «обёртывание» и «в два слоя». Что же такое обёртывание? Во-первых, это отображение. Каждой точке L мы ставим в соответствие некоторую точку S. Однако если ограничиться таким определением. всё получится слишком легко: поделим ленту на квадраты и отобразим по два квадрата на каждую грань. Чтобы запретить этот хак, мы могли бы потребовать, чтобы отображение было гомеоморфным, т.е. непрерывным. В таком случае, грубо говоря, бесконечно близкие точки ленты перейдут в бесконечно близкие точки куба (не хочу раньше времени утомлять читателя языком эпсилон-дельта). Однако это требование также будет слишком слабым: оно описывает бесконечно растяжимую резиновую ленту, а имея в руках такую штуку, можно обернуть всё что угодно в любое количество слоёв. Нам нужно требование, отражающее «нерезиновость» ленты.
В дифференциальной геометрии есть такие диалектически взаимосвязанные понятия, как «изгибание» и «внутренняя геометрия». Если вкратце, изгибание — это такая деформация поверхности, при которой сохраняются длины всех лежащих на ней кривых, а внутренняя геометрия — это свойства поверхности, не меняющиеся при изгибании. Можно было бы воспользоваться ими, если бы не три обстоятельства:
- Дифференциальная геометрия имеет дело с гладкими многообразиями, а мы собираемся натягивать ленту на негладкий куб.
- Задача предназначается для учеников седьмого-восьмого класса, и если про евклидовы пространства и теорию множеств эти озорники ещё могли где-то подслушать, то слова «дифференциальная геометрия» будут однозначно восприняты ими как матерные.
- Поскольку речь идёт об обёртывании в два слоя, очевидно, отображение не будет инъективным, и в одну и ту же точку куба могут (и будут) отображаться две разных точки ленты, что, очевидно, скажется на внутренней геометрии губительным образом.
К счастью, у нас есть способ обойтись понятиями попроще. Возьмём ленту, внимательно осмотрим её и запомним расстояния между всеми парами её точек (надеюсь, у вас хорошая память). При этом измерять расстояния мы будем не в рамках внутренней геометрии, а так, как они обычно измеряются в E3. Для ленты в её прямом, изначальном состоянии эти два способа измерений дадут одинаковые результаты. Теперь сомнём ленту и спросим себя: для каких пар точек расстояния между ними изменились?
Как известно из курса дифференциальной геометрии (не волнуйтесь, она понадобится нам только на этапе составления условия), при изгибании сохраняется эйлерова кривизна. Мы, впрочем, будем заниматься не сгибаниями ленты, а её сминаниями — у нас могут (и будут) образовываться прямые сгибы, в которых поверхность ленты перестаёт быть гладкой, а слово «дифференциальный» перестаёт иметь смысл. Однако гладкие куски ленты между этими сгибами вследствие сохранения эйлеровой кривизны будут иметь вполне предсказуемую форму: плоскую либо цилиндрическую. Последний вариант отпадает, поскольку куб, как правило, не имеет округлых частей.
Возможно, формулировка задачи и не подразумевает этого в явном виде, однако хотя бы из милосердия нам нужно принять дополнительное ограничение: количество сгибов должно быть конечным. В таком случае лента будет поделена этими сгибами на некоторое количество многоугольников. Расстояние между парами точек, находящимися внутри одного и того же многоугольника, при сминании ленты не изменится. При этом в особенно удобном положении оказываются точки на сгибах: для них сохраняются расстояния до точек из всех смежных многоугольников. Не хотелось бы, однако, давать каким-то точкам несправедливое преимущество перед другими, поэтому попробуем вывести свойство, общее для точек обоих типов.
Для каждой точки внутри многоугольника можно выбрать окрестность, которая целиком будет лежать внутри этого многоугольника. Для каждой точки на границе можно выбрать окрестность, которая целиком будет лежать внутри и на границах смежных многоугольников. Таким образом,
при заданном сминании ленты L для каждой точки P можно выбрать такую окрестность ?, что для любой точки Q из этой окрестности расстояние между P и Q при сминании осталось неизменным
Это свойство мы и возьмём в качестве определения сминания. Впрочем, нам нет нужды искусственно увеличивать объём и сложность формулировки, ведь математики уже придумали название для такого класса отображений: они называются локально изометрическими. В отличие от просто изометрических отображений, сохраняющих расстояния для каждой пары точек, локально изометрические отображения сохраняют расстояния лишь в «микромасштабах», в некоторых окрестностях точек.
Итак, попробуем составить точную формулировку задачи. У нас есть куб S и лента L. Существует ли локально изометрическое отображение L в S такое, что… Как сформулировать «обёртывание в два слоя»? Напрашивающийся ответ — это когда у каждой точки S есть ровно два прообраза в L. Однако не всё так просто, не зря один из «решателей» упомянул про края, а другой — про сгибы. Это — проблемные места для нашей задачи, из-за которых вот именно в такой формулировке она не будет иметь решения. Строгое доказательство этого факта я оставляю дотошному читателю, здесь же упомяну, что со сгибами ленты ещё как-то можно справиться, а вот края создают непреодолимое препятствие — особые точки, через которые край ленты будет проходить слишком много раз. Можно, конечно, вместо замкнутой ленты взять открытую — в системе неравенств, задающих множество L, заменим все "?" на "<". Но в таком случае в особых точках слоёв ленты окажется слишком мало. Можно некоторые граничные точки включать в L, а некоторые — не включать. Но это уже будет, извините, фигня какая-то.
Поступим проще: дадим себе право проигнорировать некоторое небольшое количество точек на поверхности куба. Собственно, именно этот подход подразумевается в большинстве задач на разрезание. Когда кто-то говорит «разрежьте квадрат на четыре части, из которых можно сложить равносторонний треугольник», меньше всего он хочет задумываться над тем, что происходит с жалкой горсткой граничных точек. Однако почему эта горстка жалкая? Квадрат имеет ненулевую площадь (или, выражаясь более общим термином, жорданову меру), а множество граничных точек любой измеримой фигуры имеет меру (площадь), равную нулю. Математики порой считают себя вправе пренебречь такими «небольшими» множествами — в таких случаях они обычно добавляют в конце формулировки волшебную фразу «за исключением множества меры нуль».
Чтобы мы могли сказать такую фразу, нам нужно определить меру на S. Конечно, в пространстве E3 уже задана жорданова мера, но вот незадача — с её точки зрения всё множество S целиком имеет нулевую меру, ведь в трёхмерном пространстве мера — это объём, а не площадь. Значит, нам нужно взять плоскую меру и как-то распространить её на поверхность куба. Собственно, сделать это нетрудно: для каждой грани куба нужно взять плоскую меру той части множества, которая располагается в этой грани, а затем все их сложить.
Итог
Теперь мы готовы дать строгую формулировку условия.
Пусть в пространстве E3 задана декартова система координат. Рассмотрим следующие множества в этом пространстве:
A1 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, z = 0}
A2 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1, z = 1}
A3 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? z ? 1, y = 0}
A4 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? z ? 1, y = 1}
A5 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1, x = 0}
A6 = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? y ? 1, 0 ? z ? 1, x = 1}
S = A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5 ? A6
L = {P(x, y, z) ? E3 | 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 12, z = 0}
На множестве S зададим меру mS следующим образом:
?T ? S mS(T) = ?i=1...6 m2(T ? Ai), где m2 — плоская мера Жордана.
Существует ли локально изометрическое отображение F: L > S такое, что mS({P?S | (|{Q ?L | F(Q) = P}| ? 2)}) = 0?
Последняя формула, конечно, проще выражается словами (множество точек поверхности куба, у которых не два прообраза, имеет меру нуль), но я просто не мог отказать себе в удовольствии записать её в этом жутком виде.
Настала пора заключительных слов. Как говорил старина Кант: «Поступай так, чтобы максима твоей воли могла бы быть всеобщим законом». Я, честно говоря, так и не понял до конца, что он хотел этим сказать, но для себя переформулировал это в следующем виде: используй такой алгоритм действий, чтобы в случае, если все люди на Земле станут действовать по тому же алгоритму, мир не погрузился в хаос и мглу ада. Так вот, товарищи: если однажды все начнут «решать» задачи так, как я описывал в начале статьи, то в один не вполне прекрасный день все формулировки задач станут такими, как в конце статьи. Не надо так.
Мира всем, добра, любви и печенек.
Комментарии (76)
mayorovp
13.07.2015 13:59+1В список красивых задач, пострадавших от «решателей», можно добавить еще и задачу о самолете на конвейере…
Sirion Автор
13.07.2015 14:07+7А у неё есть каноническая интерпретация и решение? Честно говоря, за годы в интернете я привык воспринимать её не столько как задачу, сколько как неисчерпаемый источник холиваров.
mayorovp
13.07.2015 14:30+1Со стороны конвейера на самолет не действует никаких сил, кроме силы трения качения. А эта сила мало того, что ограничена — так еще и не зависит от скорости конвейера.
Получается, что любой самолет, способный взлететь с неподвижного конвейера — взлетит и с движущегося.
В итоге, различия в интерпретации таких вопросов, как «чем ограничена скорость конвейера», «чем ограничена мощность двигателя самолета» и «из каких материалов они сделаны» — для решения несущественны.
grokinn
13.07.2015 15:05-1lets holywar begin
Откуда возьмется подъемная сила, если самолет не движется относительно земли, а, главное, относительно окружающего его воздуха, ведь подъемная сила перпендикулярна вектору скорости движения тела в потоке жидкости или газа и возникает в результате несимметричности обтекания тела потоком.mayorovp
13.07.2015 15:08+1Я только что написал, что самолет начнет двигаться относительно окружающего его воздуха — просто потому что у конвейера нет способа этому препятствовать.
grokinn
13.07.2015 15:11-1но тогда самолет уедет с конвеера, а там уже обычная взлетная полоса (ну или как он ещё может двигаться относительно окружающего его воздуха не двигаясь относительно конвеера).
mayorovp
13.07.2015 15:14+1Не помню априорного требования неподвижности самолета относительно чего бы то ни было. Напротив, в том и заключалась задача, которую я помню — сможет ли конвейер эту неподвижность сохранить или нет.
grokinn
13.07.2015 15:18Ну если верить лурку, то вопрос в том взлетит ли самолет, а то что конвеер движется со скоростью самолета в обратном направлении это как раз было компромиссом условия.
mayorovp
13.07.2015 15:25+2Конвейер может двигаться в обратную сторону с любой скоростью — но самолет взлетит в любом случае. Просто потому что изменение скорости конвейера не меняет скорости самолета напрямую.
Любое взаимодействие между ними осуществляется через силу трения качения — и эта сила меньше, чем сила тяги двигателя.grokinn
13.07.2015 15:40Это совершенно справедливо. Однако необходимо принять во внимание, что по условиям задачи скорость конвеера синхронизирована со скоростью вращения колес. Представим себе, что в момент 0 сила тяги выбрана таким образом, что позволяет самолету оставаться неподвижным относительно земли на движущемся конвеере. В момент 1 сила тяги увеличивается и самолет начинает двигаться по конвееру, скорость вращения его колес становится выше, чем в момент 0 (потому что конвеер продолжает движение, плюс собственное движение самолета). В момент увеличения скорости вращения колес автоматически увеличивается скорость конвеера, далее подобное увеличение происходит в замкнутом цикле и стремится к бесконечности. В момент достижения конвеером и колесами скорости света релятивистские эффекты не дают самолету взлететь.
mayorovp
13.07.2015 15:50+1Но взаимодействие между колесами и конвейером ограничено уже силой трения покоя — начиная с некоторого момента колеса начнут проскальзывать и их раскрутка замедлится, позволив скоростям конвейера и колес синхронизироваться.
А на самолет в целом будет по-прежнему действовать сила трения качения, ничуть не мешая взлету.grokinn
13.07.2015 16:55+1И то верно, lets holywar end, мне просто всегда хотелось разобраться с этой задачей, но как то случая не было.
TheShock
13.07.2015 16:24Однако необходимо принять во внимание, что по условиям задачи скорость конвеера синхронизирована со скоростью вращения колес
Если самолет приводится в движение двигателем, а не колесами, то это не важно — колеса могут крутиться хоть со световой скоростью, компенсируя движение лентыSirion Автор
13.07.2015 16:25Ох, не стоит упоминать световую скорость всуе… Призываю в тред релятивистские эффекты.
mayorovp
13.07.2015 16:41+2На очень больших скоростях сила трения качения перестанет считаться по «обычной» формуле, и может довольно сильно вырасти. Колеса на такой скорости будут выглядеть как колышек, забитый в конвейер… Так что возражение было бы справедливым — если бы такая скорость и правда была достижима.
Но, как я уже писал выше, колеса шасси не могут раскручиваться неограниченно быстро.
sophist
14.07.2015 11:08Не холивара ради, а понимания для.
Точно ли речь идёт о силе трения качения? Может быть, всё же, взаимодействие происходит через силу трения покоя?
Поясняющий вопрос: почему автомобиль быстрее тормозит, если колёса продолжают вращаться, чем если они блокируются? Ведь сила трения покоя больше силы трения качения.
akhmelev
14.07.2015 12:12Некорректно (про поясняющий вопрос).
Тормозные колодки по диску при торможении совсем-совсем не катятся, так что трение качения автомобиля не играет практически никакой роли (в процессе торможения). И при блокировке колес и при нормальном торможении работает трение скольжения. Его величина существенно выше при нормальном торможении.sophist
14.07.2015 12:32Но если в обоих случаях работает одна и та же сила трения скольжения, то почему различается время торможения?
В том-то и дело, что скольжение тормозных колодок – фактор, общий для обоих случаев, а различаются они тем, что в одном случае колесо скользит по поверхности, а в другом катится.akhmelev
14.07.2015 13:17+3Неблокированное колесо держится на асфальте силой трения покоя (даже если катится).
Это самое сильное из всех видов трений. Торможение выполняется когда колодки давят на диск.
Разница в тормозном пути определяется тем, что будет сильнее, давление гидравлики на диск (а) или давление веса машины на заблокированные колеса (б). Срыв в блокировку происходит когда сила трения скольжения дисков становится больше силы трения покоя колес.
Почти у всех машин торможной путь короче при нормальном троможении, т.е. случай (а). Но если у машины большое пятно контакта или приспущенные колеса или прорезиненная поверхность, то иногда может быть короче и второй вариант (б). Сложность в том, чтобы поймать границу случая (а). Для этого АБС.akhmelev
14.07.2015 13:28+1Хотя нет. Ошибся. Всегда случай (а) будет короче, т.к. трение покоя колеса всегда выше трения скольжения этого же колеса в блокировке…
sophist
14.07.2015 14:44Именно. Поэтому я и привёл этот пример в качестве поясняющего.
akhmelev
14.07.2015 15:31Неа. Не именно. Вы говорите, что играет роль качение, а это не так. Какая из двух поверхностей будет в трении скольжения — вот что определяет суть процесса. Он гистерезисный.
sophist
14.07.2015 18:36Вы не поняли. Я не говорю, что качение играет роль. Качение упомянуто именно для того, чтобы задумавшийся над этим осознал, что оно ни при чём.
ivanych
14.07.2015 12:41+1Автомобиль быстрее тормозит, если колеса блокируются.
Блокирование нежелательно по другой причине — с заблокированными колесами автомобиль плохо управляется и может уйти в занос.sophist
14.07.2015 14:43Уверяю вас, вы ошибаетесь. Я сам так когда-то думал, и лишь три дня упорных размышлений, подкрепленных мнением физика, помогли мне докопаться до истины.
phprus
15.07.2015 09:09+1> Поясняющий вопрос: почему автомобиль быстрее тормозит, если колёса продолжают вращаться, чем если они блокируются?
Поясняющий вопрос у Вас некорректен, но по другой причине. Ваше утверждение выполняется не всегда.
На любых сыпучих поверхностях достаточной глубины (не укатанный снег, песок, и т.д.) тормозной путь автомобиля с заблокированными колесами будет меньше (иногда значительно меньше), чем тормозной путь автомобиля с вращающимися колесами.
А все потому, что к силе трения скольжения в пятне контакта внизу шины добавляется энергия, необходимая на расталкивание материала поверхности зарывающимися колесами.sophist
15.07.2015 10:31+1Теперь я намного лучше понимаю мотивацию автора поста! :)
Впрочем, спасибо за информацию, я этого не знал.phprus
15.07.2015 22:26> Впрочем, спасибо за информацию, я этого не знал.
Главное не забывать, что тут ключевое — это достаточная глубина сыпучего материала, ибо тонкий слой сыпучего материала поверх твердого основания (тонкий слой песка поверх асфальта, например) наоборот работает при разгонах/торможениях и в поворотах как смазка, залитая под колеса.
SelenIT2
14.07.2015 10:34+1емнип, у канонического варианта вопрос как раз и формулируется: «Сможет ли самолёт разогнаться и взлететь?» Т.е. неподвижность самолёта в таких условиях изначально под вопросом, а вовсе не «постулируется»..:)
Saladin
13.07.2015 17:13+1Боюсь, что холивар должен быть досрочно прекращен, так как есть эксперимент подтверждающий, что самолет взлетит:
1. Разрушители Легенд
2. Ураган vs. Стоящий самолетkhim
13.07.2015 17:41Во всех этих экспериментах конвейер переставал вести себя как сказано в задача и там начинались разнообразные проскальзывания.
mayorovp
13.07.2015 17:59+3Вот только проскальзывания — это не ошибка эксперимента — а закономерный итог.
Kroid
13.07.2015 23:33-1По хорошему, надо вопрос «взлетит ли?» поделить на два вопроса:
1) Взлетит ли самолет, если ему перед этим отпилить колеса, чтобы он на месте стоял.
2) Можно ли создать такую платформу, которая бы удерживала самолет на месте, независимо от того, с какой скоростью он будет по ней ехать.
А сейчас мы имеем что имеем — нечеткую формулировку и эксперимент, который ничего не дает.mayorovp
14.07.2015 05:38+3Ну не настолько же формулировка задачи нечеткая! Отпиленные колеса — это не уточнение формулировки, а изменение задачи полностью.
И, кстати, с отпиленными колесами мое рассуждение все еще остается в силе, просто сила трения качения меняется на силу трения покоя/скольжения: самолету одинаково сложно взлетать что с подвижного конвейера, что с неподвижного. Если двигателя достаточно, чтобы он в принципе мог взлететь без колес — то и конвейер помешать этому не сможет.
Ответ же на второй вопрос также очевиден. Хотя, если не налагать никаких ограничений на платформу — то я бы предложил липкую платформу. И еще платформе шупальца добавить, чтобы хватала самолет и не отпускала.SelenIT2
14.07.2015 10:54В конце концов, если самолет бесконечно мощный, а транспортер не бесконечно тяжелый — самолёт же может оторвать от земли и платформу со щупальцами и улететь вместе с ней..:)
Kroid
14.07.2015 11:48Тут еще дело в том, что не все разбираются, как именно самолет взлетает. Интуитивное понимание такое: самолет разгоняется, за счет его движения и расположения крыльев под ними создается область повышенного давления воздуха, который и толкает самолет вверх.
Я думаю, что все те, кто говорит «самолет не взлетит», подразумевают в условиях задачи еще вот это: самолет не может создать тягу никаким другим способом, кроме движения относительно земли.mayorovp
14.07.2015 16:11+1самолет не может создать
Именно при таком условии я и решал задачу. Прочитайте решение еще раз :)тягуподъемную силу никаким другим способом, кроме движения относительно земли.
Bronx
14.07.2015 22:35> Откуда возьмется подъемная сила, если самолет не движется относительно земли, а, главное, относительно окружающего его воздуха
Неподвижность самолёта относительно земли не означает неподвижности относительно воздуха. Если заставить воздух двигаться навстречу самолёту, то задача будет решена. Что же может заставить воздух двигаться? Правильно — движущийся конвейер и силы вязкости. Если конвейер достаточно велик относительно самолёта, то он будет способен увлечь массы воздуха достаточные, чтобы самолёт взлетел.
Кстати, запутывающее условие «сила тяги двигателя строго компенсирует силу трения» можно заменить обычной механической опорой — сила реакции опоры всегда равна и противоположна действующей силе. Моделью самолёта на конвейере может служить, например, головка диска Бернулли: кантилевер обеспечивает равенство сил по горизонтали (тяга vs трение), поверхность диска увлекает достаточно воздуха, чтобы головки взлетели.SelenIT2
15.07.2015 01:44запутывающее условие «сила тяги двигателя строго компенсирует силу трения»
Так ни в одном варианте задачи нет этого условия. В тролльском варианте есть запутывающая некорректная формулировка про уравнивание двух разноразмерных величин (скорости движения полотна и скорости вращения колес), из некоторых интерпретаций которой это вроде бы математически вытекает. Но даже в вопросе задачи спрашивается «сможет ли самолёт разогнаться и взлететь», т.е. его неподвижность изначально под вопросом. В исходной формулировке (которую, кстати, и проверяли «разрушители легенд») всё корректно, там полотно честно движется назад со скоростью самолета относительно земли и, естественно, самолет взлетает почти без затруднений (хотя колеса крутятся вдвое быстрее обычного).Bronx
15.07.2015 04:08Если докапываться до букв, то да, формулировка некорректная. Но чаще всё же на математическую точность формулировки забивают (как Фейнман на математический апельсин), и копья ломают вокруг двух более реалистичных случаев:
1) система управления транспортёром и трение смогли удержать самолёт неподвижным (откуда следует вывод «не взлетит»), либо
2) самолёт удержать никак не удастся (откуда следует вывод «взлетит»).
Мой пойнт в том, что остановить самолёт можно даже если трение в колёсах отсутствует и мощность транспортёра конечна, и при этом неподвижный самолёт все же может взлететь. Т.е. парадокс «самолёт неподвижен» и «самолёт летит» вполне разрешим, нужно только вспомнить о том, что воздух — не идеальный газ, и он взаимодействует с транспортёром, и может представлять собой реальную силу. Об этом вспоминают считанные единицы спорщиков, увы, все загипнотизированы колёсами, двигателями, транспортёром.khim
15.07.2015 04:30+2Дык в том мире, где колёса могут вращаться с произвольной скоростью, а двигатели могут выдавать произвольную мощность и воздух может быть идеальным газом.
На самом деле все эти задачки обыгрывают один хорошо известный настоящим физикам, но тщательно скрываемый от школьников факт: все эти «идеальные» газы, «идеальные» шкивы, тросы и прочее не могут существовать. Не то, что не существуют (с этим-то всё понятно), а не могут существовать. В принципе. Там из каждой дырки нуль делённый на нуль торчит.
Чуть ли не любая, самая простейшая «школьная» задача сходу содержит в себе противоречия, если подумать. Какая-нибудь фраза «К грузу А прикреплена невесомая и нерастяжимая нить, перекинутая через блок В» у вас не вызывает отторжения? Нет? А вы подумайте. Если нить у вас невесомая и нерастяжимая, то силы, приложенные к её концам, совпадают. А также совпадают силы, приложенные к любой точке оной нити. А раз так — то если изначально эта нить никуда не двигалась, то она и не будет двигаться, все же силы уравновешены! На самом деле тут всё дело в том, что к невесомой нити применить первый закон Ньютона нельзя, так как у вас нулевая сила и нулевая масса — их нельзя друг на друга делить. А как можно? Можно взять растяжимую вполне себе весомую нить, всё аккуратно расписать и устремить массу и коэффициент упругости к нулю. В пределе — как раз и получите то, что всегда в таких задачах используется. Но вот беда: далеко не все вещи можно таким образом доопределить. Далеко не все неопределённости, порождённые идеальными объектами раскрываются при рассмотрении реальных объектов и вычислении предела. А иногда оказывается, что можно по разному переходить от идеальных объектов к реальным — и получать разные результаты. Вот задача про этот несчастный самолёт на конвеере — это одна из таких задач.
SelenIT2
15.07.2015 08:40Лично я встречал аргумент про увлекаемый лентой воздух в подавляющем большинстве обсуждений задачи, успевших разрастись хотя бы до 3-4 типичных форумных страниц. Как и соображение, что условия задачи не запрещают взять самолет вертикального взлета, и т.д. Мой пойнт был в том, что основной накал спора происходит между теми, кому очевидно, что «по условию» самолет зафиксирован на месте, и теми, кому очевидно, что удержать самолет на месте транспортер не может:). Практически в точности как в приколе с платьем, которое разные люди действительно видят в разных цветах..:)
Bronx
15.07.2015 09:03Может мне не везло (или Вам очень везло) :) На Лурке, например, этого решения нету. И даже Randall Munroe не заметил его (http://blog.xkcd.com/2008/09/09/the-goddamn-airplane-on-the-goddamn-treadmill/), хотя в комментах нашлись таки люди.
SelenIT2
14.07.2015 10:52Кстати, напомните плз ту чисто математическую трактовку, при которой самолет-таки не взлетает? Когда-то n лет назад мне казалось, что я ее понял и научился смотреть глазами обоих лагерей (ну, как видеть то платье то бело-золотым, то сине-черным:), но в прошлом году вот пытался — и… ну никак у меня самолёт не останавливается. Как ни интерпретируй «скорость вращения колёс» — взлетает, зараза:
- Если брать линейную скорость оси колеса относительно земли — транспортер убегает назад с обычной скоростью отрыва, колеса крутятся вдвое быстрее, самолет взлетает (случай «разрушителей»);
- Если брать линейную скорость нижней точки колеса относительно земли (без проскальзывания) — самолет штатно взлетает с выключенного транспортера как с обычной полосы (нижняя точка колеса всегда и так неподвижна, спасибо Перельману:);
Только если брать линейную скорость верхней точки колеса относительно земли… ну да, здесь получается парадокс и чисто математически и колесо, и транспортер должны мгновенно разогнаться до бесконечной скорости, что при любом физическом приближении моментально упирается в какой-то предел прочности:) Так что да, мгновенная ситуация вроде бы такова, что самолёт стоит — но имхо это читерство того же уровня, что про Ахиллеса с черепахой, и честный математический ответ — это условие не может выполняться дольше одного мгновения (т.е. описанный в задаче транспортер не может существовать). Но с другой стороны, что за странное желание брать именно верхнюю точку?:)
P.S. Кажется, пока формулировал вопрос, опять почти понял:)mayorovp
14.07.2015 16:14Транспортер должен двигаться со скоростью, равной скорости движения верхней точки колеса относительно транспортера. Тогда и правда, на первый взгляд, самолет должен математически стоять на месте.
А на второй взгляд, как я уже писал, колесо начнет проскальзывать — а потому не сможет помешать самолету взлететь.mayorovp
14.07.2015 19:18+1UPD: стоп, нет. В именно такой формулировке даже проскальзывание колеса не поможет. Но тут правильный ответ будет скорее не «не взлетит», а «условия задачи несовместны»
nickolaym
13.07.2015 15:16Кстати про меру нуль.
У Мартина Гарднера была задача, — дословно не помню, но суть в том, что есть листок бумаги с окрашенной кромкой, и нужно его исхитриться сложить так, чтобы эту кромку вообще не было видно. Ни единой точки.
А ещё кстати про меру нуль.
Если мы возьмём ленту и сжамкаем её, покрыв счётным множеством изгибов, а потом полученную гармошку станем натягивать на куб? Не налетим здесь на «парадокс Того-то и Того-то про то, как двое русских математиков один шар сломали, а второй потеряли»?
Не так много радости в том, что все точки оставшегося дисконтинуума имеют по два прообраза.mayorovp
13.07.2015 15:30+1Не так много радости в том, что все точки оставшегося дисконтинуума имеют по два прообраза.
А вот мне кажется, что от такого решения задачи радости должно быть куда больше, чем от нормального.
Secessus
13.07.2015 16:03+19Давайте уж по порядку
Sirion Автор
13.07.2015 16:22+5Кстати, где-нибудь в интернетах существует популярный разбор этой формулы? Я лично оттуда понимаю только отдельные буквы.
galaxy
13.07.2015 17:56Математик, а что это у вас куб стал негладким многообразием?
Sirion Автор
13.07.2015 18:07+1Да вот-с, какой-то угловатый он.
galaxy
13.07.2015 19:01+1Впрочем, я тут неправ, видимо.
Гладкое многообразие = топологическое про-во + гладкий атлас.
Погруженный в трехмерное эвклидово пространство куб имеет естественный атлас, он не гладкий.Sirion Автор
13.07.2015 21:27+2Я не тополог, я скорее диффгеомщик. Касательное подпространство определено не всюду — значит, не гладкое.
Alexey2005
14.07.2015 13:31+3Ну как тут не процитировать Джоэла Спольски?
На первой же лекции доктор Зук полностью заполнил две доски и стену рядом, доказывая, что если у вас есть выключатель света, и выключатель выключен, и вы переключаете выключатель, то свет зажжется.
Доказательство было безумно запутанным и весьма подверженным ошибкам. Было труднее поверить, что доказательство правильно, чем убедить себя в том факте, что при включении выключателя света — включается свет. Конечно, несколько досок доказательства содержало ряд пропущенных шагов, пропущенных потому, что они были слишком неинтересны, чтобы углубляться в них формально. Для части шагов использовался ветхо-заветный метод «Доказательство по Индукции», для других — доказательство от противного, и для оставшихся использовались доказательства аспирантов.
Моим домашним заданием было доказать утверждение: если свет был выключен и сейчас он включен, докажите, что вы переключили выключатель.
Я попытался. Я действительно попытался.
Я провел часы в библиотеке, пытаясь.
После пары часов я нашел ошибку в доказательстве доктора Зука, которое я пытался имитировать. Возможно, я неправильно списал, но это позволило мне обнаружить одну вещь: если на то, чтобы доказать тривиальную вещь, уходит три часа на заполнение досок, позволяя вкрасться сотням возможных ошибок, то этот механизм никогда не сможет доказать то, что действительно интересно.
michael_vostrikov
14.07.2015 16:33Ну так все-таки, какое решение формализованной задачи — можно обернуть или нет? Из бумаги-то я кубик сложил, а вот правильно ли это с математической точки зрения.
Sirion Автор
14.07.2015 17:10Ну, как именно вы там кубик складывали — мне неведомо. Может, у вас бумага резиновая) А ответ — можно.
minamoto
15.07.2015 09:59Можно, можно.
Если кому интересно подумать — не заглядывайте под спойлер.
Мое решениеНужно на каждой стороне куба складывать ленту по диагонали — т.е. накладываем первый квадрат ленты на грань куба, берем диагональ, складываем ленту по ней вдвое. Сгибаем ленту по ребру, на следующей грани куба повторяем сложение ленты по диагонали и перемещение на следующую грань.
Дальше уже просто разработать такую схему сгибания, чтобы покрыть весь куб лентой.
Zenitchik
15.07.2015 13:53Ответ на решениеМожно не на каждой. Я, например, нашёл вариант, со складыванием на трёх диагоналях и двумя проходами через другие три.
Rondo