Наверняка также вы задавались вопросом: что, чёрт подери, здесь написано? Формула из этой цитаты интересна тем, что у человека, имеющего высшее математическое образование, этот вопрос возникает столь же неумолимо, как и у любознательного семиклассника. У нелюбознательных семиклассников несколько иной круг интересов, выходящий за рамки данной статьи; однако даже они не откажут себе в удовольствии похихикать над «этими чокнутыми ботаниками», или как оно там формулируется на современном молодёжном сленге.
В нижеследующем тексте я раскрою перед вами тайну этого загадочного сочетания символов. Пожалуйте под кат, однако помните поучительную историю о любопытной Варваре, которой на базаре рассказали про парадокс Банаха-Тарского, отчего она сошла с ума, разрезала себе нос на конечное количество частей и склеила из них рогатую сферу Александера.
Кто все эти люди?
Если вас не интересует историческая справка, смело переходите к следующему разделу.
Итак, перед нами цитата из текста безымянного автора, который цитирует Пуанкаре, цитирующего, в свою очередь, некоего Бурали-Форти. Чтобы разобраться во всём этом постмодернизме, начнём, пожалуй, с автора цитаты верхнего уровня. Зовут его Виктор Филиппович Журавлёв, он доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН, а также автор книги под неизбитым названием «Основы теоретической механики». Именно в ней, на странице номер восемь (если смотреть по изданию 2008 года) и встречается вышеупомянутая формула. Приведу здесь немного контекста, чтобы стало понятно, к чему он это.
Заметим, что изложение любой формальной аксиоматизации классической механики в курсе механики неуместно, поскольку составляет фактически главу математической логики, а не собственно механики.
Точно так же аксиоматизация арифметики не является предметом самой арифметики. <далее идёт та самая цитата, её я перепечатывать не буду>
Так и в механике, имеет смысл предполагать наличие у читателей достаточной физической интуиции, чтобы не перегружать изложение основ избыточным формализмом.
Кто такой Пуанкаре, я полагаю, объяснять не нужно. В свете недавних событий даже махровые гуманитарии должны помнить эту фамилию в сочетании со словом «гипотеза» и ещё одной фамилией «Перельман». Если совсем кратенько (для тех, кто с середины девятнадцатого века до текущего момента просидел в каменном мешке), Жюль Анри Пуанкаре — один из величайших математиков всех времён, учёный-энциклопедист, создатель топологии, математических основ теории относительности и ещё всяких забавных и полезных штук. Приведённая цитата-в-цитате позаимствована из его труда «Наука и метод» 1910 года издания. Данный труд представляет собой сборник эссе на различные математические, научные, философские и дидактические темы. Очень любопытная, лёгкая для прочтения и до сих пор актуальная вещь, которую можно растащить на цитаты чуть менее чем полностью.
Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле, вот наука, которая апеллирует только к основным принципам логики, например к принципу противоречия, апеллирует к тому, что составляет, так сказать, скелет нашего разумения, к тому, от чего нельзя отказаться, не отказываясь вместе с тем от самого мышления, и все же встречаются люди, которые находят эту науку темной! И этих людей большинство! Пусть бы они оказались неспособными изобретать — это еще допустимо. Но они не понимают доказательств, которые им предлагают, они остаются слепыми, когда им подносят свет, который для нас горит чистым и ярким пламенем, — вот что чрезвычайно странно.
Вот в четвертом классе. Преподаватель диктует: «окружность — это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром». Хороший ученик вписывает эту фразу в свою тетрадь; плохой ученик рисует в ней «человечков», но ни тот, ни другой ничего не поняли. Тогда преподаватель берет мел и рисует круг на доске. «Ага, — думают ученики, — почему он не сказал сразу: окружность — это кружок, и мы бы сразу поняли».
Однако нас интересует одна конкретная цитата. Она расположена в главе «Математика и логика», которая начинается так:
Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов.
Я полагаю, читатель уже понял, о чём пойдёт речь дальше. Пуанкаре с некоторой горячностью нападает на математиков «новой школы» с их непонятными обозначениями и пересмотром основ. Как показали дальнейшие события, в этом вопросе он оказался ретроградом — впрочем, у него были для этого веские причины. То, что происходило в математике в суровые 1890-е, способно было ошеломить и более безразличного человека, чем этот восторженный француз.
Вот мы и добрались до конца цепочки, до цитаты, не содержащей внутренних цитат. Её автор — Чезаре Бурали-Форти, математик не то чтобы великий, но сумевший вписать своё имя в историю благодаря некоему парадоксу, к которому мы вернёмся позднее. Информация о нём довольно скудна, я не смог даже найти, как стоят ударения в его фамилии. Формула, сподвигнувшая меня на написание этой статьи, содержалась в его статье «Вопрос о трансфинитных числах». Я нашёл эту статью в книге Жана ван Хейенорта — кстати, известного троцкиста, — под названием «From Frege To Godel: A Source Book in Mathematical Logic» (здесь и далее я не рискую переводить названия, поскольку май инглиш из нот вери велл). Это была большая удача, поскольку вместе с ней в книге содержалась статья Пеано «The principles of arithmetic, presented by a new method». Именно в этой статье были введены те самые «обозначения, понятные только немногим посвящённым», без которых статья Бурали-Форте была бы для меня всё равно что на китайском.
Лирическое отступление
Если вы не хотите посмотреть на забавные крякозябры, можете сразу переходить к следующему разделу
Перед статьями Пеано и Бурали-Форти в книге-сборнике ван Хейенорта шла статья Фреге «Исчисление понятий, или подражающий арифметике формальный язык чистого мышления». Фридрих Людвиг Готлоб Фреге, математик и философ, может, в принципе, считаться создателем исчисления предикатов. К теме данного хабрапоста он имеет отношение довольно опосредованное (Пуанкаре даже не упомянул его в своей книге, хотя именно Фреге, по сути, заварил всю эту кашу со сведением математики к логике). Однако я просто не мог не поделиться его моднейшими обозначениями. К счастью (или к сожалению), они не прижились в современной матлогике из-за своей сложности. Фреге заявлял, конечно, что «удобство наборщика в типографии определённо не есть высшее благо», однако, как мы можем видеть, определённую роль сыграл и этот фактор. Впрочем, довольно предисловий.
«Из А следует В»
«Из А следует В, и из этого следует Г»
«Неверно, что из того, что из отрицания А следует В, следует Г»
«Мгла ада, делённая на хтонический ужас»
«Пх’нглуи мглв’нафх Ктулху Р’лайх вгах’нагл фхтагн! Айя Ктулху, айя Дагон!»
Конечно, нужно признать, что для человека, далёкого от «вот этого всего», современная запись формул логики предикатов выглядит немногим более понятно.
Теоретические сведения
Если вы знаете, что такое порядковые числа и в чём состоит парадокс Бурали-Форти, можете немедленно перейти к заключительному разделу.
Немецкий математик Георг Кантор — один из первых, кто стал разбираться в сортах бесконечностей. До него этих сортов было только два — потенциальная бесконечность и актуальная бесконечность. Можно пояснить эти понятия следующим образом:
- Потенциальная бесконечность. Пусть у нас есть кучка яблок, и каждый день мы кладём туда ещё одно яблоко. Рано или поздно количество яблок в кучке станет больше любого наперёд заданного числа.
- Актуальная бесконечность. Пусть у нас есть кучка, в которой бесконечное число яблок.
До некоторого момента в математике встречалась лишь потенциальная бесконечность, а актуальной бесконечностью оперировали лишь теологи для описания различных категорий божественного. Кантор, грубо введя актуальную бесконечность в математику, вызвал волну возмущения как среди религиозных деятелей, так и среди математиков-современников, включая вышеупомянутого Пуанкаре. Причём при внимательном рассмотрении оказалось, что актуальные бесконечности бывают разные. Количество натуральных чисел — это одна бесконечность, количество действительных — другая, и вторая бесконечность больше первой. А количество функций действительного аргумента — это третья бесконечность, превосходящая первые две вместе взятые!
Натуральные числа применяются для обозначения конечных количеств, но что делать с бесконечными количествами? Для этого натуральный ряд расширили до множества так называемых кардинальных чисел. Кардинальное число — это количество (в широком смысле этого слова) элементов некоторого множества. Единица — количество элементов во множестве из одного элемента. Двойка — количество элементов во множестве из двух элементов. Дальше, за натуральными числами, маячит число N0, равное количеству натуральных чисел. Вообще, вместо буквы N должна быть еврейская буква «алеф», но при попытке вставить соответствующий символ юникода у меня
Так вот, за N0 следует некое N1, однако вопрос о том, какое ему соответствует множество, оказался нетривиальным (см. Континуум-гипотеза). С понятием «следующего числа» при переходе от конечного к бесконечному возникла заминка.
Существуют, однако, и другие «бесконечные числа» — так называемые порядковые числа, они же ординалы, также придуманные Кантором. Их определение довольно сложно, но я постараюсь в двух словах его обрисовать. Если кардинальные числа соответствуют простым множествам, то ординалы — множествам упорядоченным, т.е. таким, что для любых их двух элементов указано. какой из них больше, а какой меньше. Отношение порядка должно соответствовать некоторым очевидным критериям, о которых мы скромно умолчим. Кроме того, для построения ординалов на упорядоченное множество накладываются дополнительные условия, при которых оно называется вполне упорядоченным. Если между двумя вполне упорядоченными множествами можно установить однозначное соответствие, сохраняющее отношение порядка, то эти множества обладают одним и тем же ординалом.
Конечные ординалы можно поставить в соответствие натуральным числам. Например, ординал множества {1, 2, 3} можно поставить в соответствие натуральному числу 3. Ординалы можно складывать между собой, и в случае конечных ординалов сложение будет согласовано со сложением натуральных чисел (например, Ord{1, 2} + Ord{1, 2, 3} = Ord{1, 2, 3, 4, 5} ). Чтобы сложить два ординала, нужно взять соответствующие им множества, а затем объединить их в одно множество и задать на нём следующее отношение порядка:
- Если мы сравниваем два элемента из одного и того же исходного множества, то используем отношение порядка, которое было в том множестве
- Если мы сравниваем два элемента из разных исходных множеств, то элемент из второго множества всегда больше
Ординал такого множества и будет суммой ординалов. Таким образом, с определением следующего ординала не возникает никаких проблем: нужно просто взять предыдущий ординал и прибавить к нему ординал 1.
Ординал множества натуральных чисел обозначается буквой ?. За ним следует ординал ? + 1. Он соответствует множеству натуральных чисел, к которому добавили «последнее» число, большее любого другого. Потом идёт ординал ? + 2 — ему соответствует натуральный ряд с «последним» и «предпоследним» числом. Есть также такие ординалы, как 2? (натуральный ряд, за которым следует ещё один натуральный ряд), 3?, 4?, ?2, ??…
Как видите, Кантор был большой затейник. По иронии, именно порядковые числа стали началом конца его теории, которую впоследствии назовут «наивной теорией множеств». Используя порядковые числа, Бурали-Форти пришёл к парадоксу. Ход его рассуждений были примерно таким: возьмём множество ординалов и докажем, что оно является вполне упорядоченным. Значит, ему самому соответствует некоторый ординал. Докажем, что этот ординал больше или равен любому другому ординалу. Теперь прибавим к нему единицу. Сделаем удивлённые глаза.
Теперь, вооружённые знаниями и энтузиазмом, мы готовы перейти к сути и разобраться, что же всё-таки означает та формула в самом начале хабрапоста, далеко-далеко вверху.
Суть
Разобраться в обозначениях Бурали-Форти было нелегко. К нотации, введённой Пеано, он добавил некоторое количество собственных обозначений. В отличие от Пеано, он не стал в начале статьи подробно описывать свои нововведения. Возможно, эти описания содержатся где-то ещё, но, к сожалению (или к счастью), я не смог найти в интернете полное собрание сочинений Бурали-Форти. Поэтому в паре мест мне пришлось додумывать смысл исходя из контекста. Этот процесс напоминал решение известной головоломки от АНБ.
Начнём с того, что у Пуанкаре (и следом у Журавлёва) приведена не вполне верная формула. В оригинале она выглядит так:
Обратите внимания на два надчёркивания, их наличие принципиально.
Буква «эпсилон» здесь означает принадлежность, именно от неё произошёл современный знак "?". Un — это множество всех множеств, содержащих ровно один элемент. Соответственно, запись «u ? Un» означает всего-навсего, что u — это множество с одним элементом. Такая нетривиальная запись, судя по всему, вызвана тем, что ещё не было принято «конструирование» множества из отдельных элементов с помощью записи u = {a, b, c ...}.
Надчёркиванием Бурали-Форти заменяет квадратные скобки, введённые Пеано как «знак инверсии». Пеано использовал его в довольно широком спектре случаев. Например, b[+a] у него означало b-a, выражение [sin](x) символизировало arcsin(x). Запись же [x ?](некое условие) означала множество иксов, удовлетворяющих этому условию. Таким образом, запись [(u, v) ?] (u ? Un) означает «множество таких пар (u, v), что u — множество из одного элемента». Я, пожалуй, буду использовать обозначения Пеано, поскольку не вижу удобного способа сделать надчёркивание в хабраредакторе.
Ko — это множество упорядоченных множеств. Упорядоченные множества у Бурали-Форти определяются как пары (множество, отношение порядка). Следовательно, запись {Ko ? [(u, v) ?] (u ? Un)} означает просто «множество упорядоченных одноэлементных множеств».
С помощью сочетания символов «T'» Бурали-Форте обозначает операцию взятия ординала. Более строго: выражение T'(u, v) означает ординал множества u, на котором задано отношение порядка v. Тут, однако, есть некоторая нестыковка: в рассматриваемой формуле функция T' применяется не к паре (множество, отношение порядка), а к множеству таких пар. Исходя из контекста, могу лишь предположить, что существует некое соглашение, по которому в таких случаях функция применяется к каждому элементу, а на выходе получается множество, состоящее из её значений для всех элементов. При таком прочтении T'{Ko ? [(u, v) ?] (u ? Un)} — это множество ординалов всех одноэлементных упорядоченных множеств. Поскольку все одноэлементные упорядоченные множества эквивалентны, данное множество ординалов будет содержать только один элемент — ординальную единицу.
Что касается закорючечки с чёрточкой, с её пониманием у меня возникло больше всего проблем. Пришлось поискать другие работы Бурали-Форти. В одной из них, «Logica Matematica» (судя по всему, некий учебник, но я до конца не уверен, поскольку написан он был на итальянском) я нашёл функцию L (там была строчная «l», но она слишком похожа на палочку, потому для ясности я буду использовать заглавную). Работает она следующим образом: берёт свой аргумент и преобразует его во множество, единственный элемент которого — этот самый аргумент. В современной нотации: L(x) = {x}.
Если идентифицировать закорючечку как L, а чёрточку — как инверсию, то получается, что [L] — обратное преобразование, извлекающее из множества его единственный элемент. В таком случае [L]T'{Ko ? [(u, v) ?] (u ? Un)} — это действительно единица. Ординальная единица, но это уже мелочи.
В следующий раз, когда кто-нибудь покажет вам картинку с этой формулой (а это случится обязательно, таков интернет), вы сможете рассказать ему, что эта формула означает. Точнее, сможете начать рассказывать. Вряд ли он дослушает до конца. И будет, в принципе, прав: это совершенно обыкновенная, ничем не примечательная формула. В рассуждениях Бурали-Форти она не занимала какого-то центрального места, а была лишь проходным моментом в формулировке парадокса. Вся её вина заключается в том, что она попалась на глаза Пуанкаре, который увидел в ней некий нежелательный философский смысл, «разгибание скреп». Что касается её инфернального вида — тут обозначения Фреге дадут сто очков форы.
Список литературы
Здесь я хотел бы разместить ссылки на упомянутые книги, однако благодаря стараниям правообглодателей качать мне их пришлось из всяких непонятных мест, с подозрительных файлообменников, из сети ed2k… Если вам интересно, найдите аналогичным образом и почитайте «Науку и метод» Пуанкаре, это действительно лёгкое и интересное чтиво. «От Фреге до Гёделя» ван Хейенорта также весьма любопытна, но тяжела для восприятия и на русском языке, кажется, не существует.
Пост скриптум
В свете последних событий (перенос «железных» хабов на гиктаймс) хочу провести небольшой опрос, напрямую не связанный с темой хабрапоста. Надеюсь, вы простите мне эту вольность.
Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.
Комментарии (143)
Zenitchik
20.07.2015 16:28+2«окружность — это геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной внутренней точки, именуемой центром»
К этому моменту ученики уже знают, что такое окружность. Поэтому сие пижонское (так сказал наш препод) определение принимается исключительно как основа для некоторых доказательств.
Sirion Автор
20.07.2015 16:32+8В том-то и дело, к этому моменту ученики знают, что такое кружочек. Окружность, круг, кольцо, эллипс с малым эксцентриситетом… Пока не введено строгое определение, они не станут различать эти понятия.
Mrrl
20.07.2015 16:45+12Вообще, вместо буквы N должна быть еврейская буква «алеф», но при попытке вставить соответствующий символ юникода у меня
из ушей полезла мацанаправление текста изменилось на «справа налево», и я, не разобравшись, как вернуть его в исходное состояние, плюнул.
Символ ? лучше брать не из еврейского алфавита, а из letter-like symbols. Его код там U+2135, и направление текста он не меняет.Sirion Автор
20.07.2015 16:57+10Вот оно как. Спасибо, буду знать!
Надеюсь, когда-нибудь здесь прикрутят LaTeX.
safinaskar
21.07.2015 17:26Есть сайт, который генерит картинки на лету из теха. Например, example.com/?x^2 — это картинка с формулой x^2, которую можно сразу же куда-нибудь вставить. Только я адрес не помню, поищите. :) Если найдёте, скажите мне. :) Ещё есть похожий сайт www.texpaste.com
maisvendoo
21.07.2015 17:28+3От себя могу посоветовать этот ресурс. Активно пользуюсь им при написании статей.
Сразу генерируется html-код для вставки в статью. Потом есть возможность отредактировать. Можно редактировать сам код, но в случае больших формул это затруднительно, и всё же довольно удобноparpalak
21.07.2015 23:04+2Я сам пользовался codecogs.com. Но иногда он глючил: генерировал картинки со слишком большими индексами и кешировал их. Приходилось вставлять пробелы или пустые {}.
Потом мне это надоело, и я сделал свой похожий сервис.maisvendoo
21.07.2015 23:49Весьма интересно, особенно формат SVG и то, что мне крайне необходимо — жирный прямой шрифт при обозначении матриц греческими буквами.
Следующую статью попробую подготовить с использованием Вашего ресурса
hmpd
20.07.2015 16:47+7Отличная статья! Спасибо.
Информация о нём довольно скудна, я не смог даже найти, как стоят ударения в его фамилии.
Ударения ставятся как в латинском: Чезaре Бурaли-Фoрте
forgotten
21.07.2015 09:14+2Эм. Ну как минимум в «Чезаре» ударение на первый слог.
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D1%80%D0%B5hmpd
21.07.2015 10:46+1Да, ударение на первом слоге тоже возможно:
Вариант Чезaре рекомендуется в справочнике Р. С. Гиляревского и Б. А. Старостина «Иностранные имена и названия в русском тексте» (3-е изд., М., 1985). Но при этом в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко это имя чаще приводится с ударением на первом слоге.
Но коллега итальянец, сидящий в двух метрах от меня, ставит ударение на второй слог.
Кстати, по вашей ссылке у первой же персоны ударение поставлено на второй слог.
lockywolf
20.07.2015 17:34Насколько я помню, у Бурбаки, несмотря на то, что они жили сильно позже и пользовались более схожими обозначениями, определение единицы ещё более сложно выглядит.
Тут, кстати, в забавном виде выглядит недавняя статья про недостатки языка Mathematica, в которой предъявляется претензия в его математической некорректности.
safinaskar
21.07.2015 17:28О, как вовремя я сюда зашёл. :) У Бурбаки была очень громоздкая формализация математики. Сегодня в реальных системах формальной математики, например, в Isabelle, используют относительно простые, обозримые формализации
commanderxo
20.07.2015 17:46+14Если для определения единицы используется понятие Un, которое, в свою очередь есть «множество всех множеств, содержащих ровно один элемент», то можно ли назвать это строгим определением?
Спасибо за отличную статью, только вчера рассказывал семье о кризисе оснований математики, а тут такой подарок. А вообще, больше всего мне нравится позиция Кронекера, который, глядя на эти безобразия, сказал: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека.»Sirion Автор
20.07.2015 17:59+5Если для определения единицы используется понятие Un, которое, в свою очередь есть «множество всех множеств, содержащих ровно один элемент», то можно ли назвать это строгим определением?
Да, именно этот момент возмутил Пуанкаре. Не знаю, считал ли Бурали-Форти, что даёт единице новое определение, исходя из голой логики. Если считал, то, вероятно, был неправ. Но мне видится, что он ничего такого не подразумевал, а просто строил абстрактную числовую систему со своей абстрактной единицей, которую в нуждах животноводства можно отождествить с единицей натуральной.
Пеано определяет целые числа как класс эквивалентности пар натуральных чисел. Никого ведь не возмущает, что при таком определении целое число 1 — это {(x, y ? N) | x — y = 1 }, т.е. в определении целого числа 1 участвует натуральное число 1?
Halt
20.07.2015 21:19Скажите, а как все это соотносится с определением натурального ряда как серии множеств рекурсивно включающих пустое множество? Ведь в том случае счет вообще не нужен, а достаточно лишь базового отношния принадлежности. Стало быть натуральное число х меньше у, если соответствующее иксу множество является подмножеством игрека.
Я правильно понимаю, что описанный в статье формализм в итоге и привел к описанию через рекурсию?Sirion Автор
20.07.2015 21:21Это альтернативное определение, в его истории я, честно признаться, разбираюсь плохо.
PapaBubaDiop
20.07.2015 18:13+1Задумался над Кронекером, и его божественной функцией, И вдруг вспомнил Маяковского
Единица — что? Единица — ноль!
И понял, что он был не поэт ни разу, а с кафедры алгебры…
Кстати, я не понял, зачем черта отрицания в формуле итальянца.
khdavid
21.07.2015 11:05Тоже об этом подумал. А может он в другом месте как-то хитроумно определяет Un, без использования числа один?
Sirion Автор
21.07.2015 11:08+3У него где-то было определение одноэлементного множества в стиле «это такое множество, что любые два его элемента равны». Пуанкаре придрался к тому, что здесь, хоть и не используется число один, зато используется число два, которое определяется как единица плюс единица.
mayorovp
21.07.2015 14:10+3Зря, кстати, он придрался. Хоть я и не видел этого определения сам, но я уверен, что число два там в явном виде не использовалось — ведь ничто не мешает обозначить эти «любые элементы» одноэлементного множества двумя буквами, не называя при этом количества этих самых букв.
vintage
20.07.2015 17:52-41. Пусть у нас есть два бесконечных множества: N и X
2. Предположим, что каждому числу из X мы смогли взаимооднозначно сопоставить число из N (пересчитать).
3. Если мы найдём способ найти такое число из X, которому мы не сопоставили число из N, значит X мощнее N (не счётно).
4. С потенциальными бесконечностями всё просто: отсутствие чего-то не может быть больше или меньше отсутствия чего-то другого. То есть все бесконечности эквивалентны.
5. С актуальными бесконечностями веселее: мы можем взаимооднозначно сопоставить все числа из N всем числам из (N+1), потом добавить к (N+1) число, которое с N сопоставлено не было (первое натуральное число), и получить множество, которое в соответствии с тезисом (3) мощнее N, то есть несчётно.
6. И, какое совпадение, это новое множество (N+1) U (1) — это и есть то самое N. То есть N не счётно и мощнее самого себя.
В каком пункте ошибка? ;-)Sirion Автор
20.07.2015 18:00+7В третьем. Множества равномощны, если между ними существует взаимно однозначное отображения. Но из существования «неоднозначного» отображения (когда остаётся лишний элемент) не следует, что они не равномощны.
vintage
20.07.2015 18:08-2В пункте (2) мы вводим антитезис, что взаимооднозначное соответствие таки установлено. Что вообще говоря применимо лишь для актуальных бесконечностей.
Sirion Автор
20.07.2015 18:11+4Это понятно. Вопрос в определениях. Множество А называется более мощным, чем множество B, только если биекции между ними не существует, а существует лишь вложение B в A. То есть после второго пункта можно уже особо и не рассуждать.
vintage
20.07.2015 20:17-4Вы не знакомы с доказательством от противного? В пункте (2) вводится предположение, в пункте (5) мы получаем противоречие.
khim
20.07.2015 21:02+1Да, но в пункте (3) написана чушь собачья, так что неясно что вся эта цепочка должна из себя изображать.
Sirion Автор
20.07.2015 21:06+3Множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Множество называется более мощным, если существует инъекция в него другого множества, а биекции не существует. Это всё определения, если желаете их оспорить — создайте свою теорию множеств.
Вы показали, что возможна инъекция множества в равномощное ему. Это верно, и это ничему не противоречит. Если проводить аналогию с числами, возможность инъективного отображения — это отношение «меньше или равно», а не «меньше». Нет ничего парадоксального в том, что число меньше или равно самому себе.vintage
21.07.2015 00:19В пункте (5) обнаруживается элемент, который не отображён на другое множество, что исключает биекцию, существование которой предположено в (2).
khim
21.07.2015 00:57+1В пункте (5) вы выкидываете нафиг ту биекцию, о которой шла речь в пункте (2), делаете магические пассы руками создавая некое другое отображение и делаете вид, что мы всё ещё говорим о той же самой биекции. Так как в пункте (3) вы не говорите о том, что нужно рассматривать ровно то же отображение, что и в пункте (2), то вся конструкция некорректна.
Вы либо должны изменить пункт (3) запретив менять биекцию, либо убрать надругательства над отображением из пункта (5) — в любом случае ваше доказательство развалится.vintage
21.07.2015 01:24Я не выкидываю, а дополняю элементом, которого в нём нет и для которого нет дополнительных элементов во втором множестве, так как мы все из них уже задействовали в биекции (не забываем, что бесконечности у нас тут актуальные, так что квантор всеобщности вполне уместен).
khim
21.07.2015 01:31Не так важно что вы там куда дополняете и куда сдвигаете. Важно что вы это делаете. После ваших преобразований отображение начинает давать элементам множества X другие номера. Это другое отображение. Если ваш пункт (3) говорит про все и всяческие отображения — то он неверен и никак не следует из пункта (2). Если он говорит только и исключительно про отображение из пункта (2) — то он верен, но его нельзя применять к другому отображению из пункта (5).
vintage
21.07.2015 01:32В том-то и дело, что на начинает. Для вновь добавленного числа просто нет пары во втором множестве. Оно остаётся без «номера».
konsoletyper
21.07.2015 09:22Добавляя элемент, вы получаете новое множество. Соответственно, нужно и для него доказать отсутствие биекции. Вот смотрите, ваш же тезис:
Если мы найдём способ найти такое число из X, которому мы не сопоставили число из N, значит X мощнее N (не счётно).
Но вы не находите способ найти число в X. Вы просто берёте другое множество: X ? {e}. В данном случае, если смотреть пункт 5, то я могу доказать наличие биекции между двумя множествами, а значит, они равномощны. Но это не имеет никакого значения, потому одно из рассматриваемых множеств (N+1) ? {1} не имеет никакого отношения к тому, что взято изначально, т.е. (N+1). Если вы ведёте рассуждения относительно (N+1), то и дальше должны именно в нём искать такой элемент, а не добавлять извне.vintage
21.07.2015 10:14-2Вы опять же применяете свойства потенциальной бесконечности (к которой можно безболезненно прибавлять и убавлять не теряя в мощности) к актуальной (с которой этот фокус уже не проходит).
konsoletyper
21.07.2015 10:57+2Да что вы заладили со своей актуальной бесконечностью? Актуальный vs. потенциальный — это филосовская категория, а мы про математику, причём про конкретную теорию (теорию множеств Кантора). Пожалуйста, сформулируйте ФАТ, введя туда понятия актуальной бесконечности, докажите её непротиворечивость, тогда и порассуждаем.
vintage
21.07.2015 23:26-1Потому, что актуальная бесконечность противоречива. Что такое ФАТ и зачем мне доказывать глупость? :-)
konsoletyper
22.07.2015 09:26+2Ну а зачем тогда ругаете потенциальную? ФАТ = формальная аксиоматическая теория. Мы тут про математику говорим, а не философствуем, поэтому, будьте добры, делать всё строго, в рамках определённой теории.
senia
21.07.2015 00:59Существование инъекции не опровергает возможность существования биекции.
vintage
21.07.2015 01:15А вот существование лишних элементов опровергает.
khim
21.07.2015 01:18+1Не в вашем случае. Вы взяли биекцию, изменили её, получили инъекцию — имеете право. Но почему вы вдруг после этого начинаете применять к этой инъекции знания, которые к ней не относились?
senia
21.07.2015 01:30Вы берете биекцию и при помощи нее строите инъекцию.
Что вы этим пытаетесь доказать совершенно непонятно. Это уже другое отображение.vintage
21.07.2015 01:31-1Очевидно, что множество натуральных чисел несчётно. В точности как завещал товарищ Кантор :-)
senia
21.07.2015 01:41Счетное множество можно разбить на любое конечное число счетных подмножеств. Это не делает исходное множество не счетным.
То, что множество счетное, отлично сочетается с тем, что можно выделит из него счетное подмножество так, чтобы остались «лишние» элементы. Тут нет противоречия. Более того, множество «лишних» элементов вполне можно сделать счетным. Например множество четных чисел счетное (есть биекция с множеством натуральных). При этом «лишние» — все нечетные. И для них тоже существует биекция с множеством натуральных.
Нет тут противоречия.vintage
21.07.2015 01:48-2Противоречия нет лишь при потенциальной бесконечности. При этом совершенно не важно на конечное число счётных подмножеств я делю или нет. К бесконечности бесконечность хоть бесконечное число раз можно прибавлять она от этого большей бесконечностью не станет.
А вот при актуальной вы уже не можете так просто делить счётное множество на любое конечное число счётных подмножеств. Просто потому что у вас «каждый элемент на счету».senia
21.07.2015 01:56Потрудитесь это обосновать.
Пока это выглядит как бред.vintage
21.07.2015 10:34Если вы забыли доказательство Кантора о несчётности континуума, то я напомню: Там вводится новое число, определение которого является самоотрицанием «пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу». Это выражение такого же порядка, что и «пусть x — это такое число из N, которое на 1 больше любого числа». Оба выражения вводят новое число как отрицание всего множества чисел. То есть иллюстрируют давно известный факт, что не всё, что можно описать, может существовать.
Вот ответьте мне на несколько вопросов:
1. Почему вы так уверены в своей правоте не допуская даже капли сомнений?
2. Почему вас так задевает альтернативная точка зрения, что вы не поленились сходить в профиль и опустить оппоненту карму?
3. Ещё чуть-чуть и я не смогу писать стать, но смогу оставлять комментарии. Кому вы тем самым сделали хуже — мне или себе?
2. Этому вас учит научный подход?Sirion Автор
21.07.2015 10:49Ох… Писали бы вы лучше статьи. Кстати, возможно, именно от вас я впервые узнал про FRP, за что благодарю.
Скажите, вы действительно не понимаете, где именно вы неправы?vintage
21.07.2015 23:32Я действительно не так сильно сомневаюсь в своих мыслительных способностях, как вы в моих :-)
Sirion Автор
22.07.2015 00:19То есть вы всерьёз полагаете, что вы умный и видите очевидное противоречие в современной теории множеств, формулировку которого, если постараться, можно уместить в объём твита. А другие математики глупые и этого очевидного противоречия уже более века не замечают. И ничто в этой истории не вызывает у вас подозрений. Я правильно излагаю?
vintage
22.07.2015 00:31Я склонен полагать, что математикам, которые замечают противоречия, быстро сливают карму ;-) И физикам, кстати, тоже.
Sirion Автор
22.07.2015 08:18+1Забавно читать это в статье про Бурали-Форти, который противоречие заметил и никаких кармических проблем не возымел.
vintage
22.07.2015 10:25Да ну?
Её автор — Чезаре Бурали-Форти, математик не то чтобы великий, но сумевший вписать своё имя в историю благодаря некоему парадоксу, к которому мы вернёмся позднее. Информация о нём довольно скудна, я не смог даже найти, как стоят ударения в его фамилии.
Mrrl
22.07.2015 00:55А вы всерьёз думаете, что ZF над современной матлогикой — единственная возможная основа для математики, и остальные варианты рассмотрению не подлежат? Конечно, при рассуждениях в альтернативных теориях обычно указывают, в какой аксиоматике и логике мы сейчас работаем. Но, по большому счёту, это тоже математика.
Да, ZFC сейчас наиболее успешна, это отрицать трудно.vintage
22.07.2015 01:42Скорее доминирующая. И это не математика, а мета-математика, ибо в своём формализме совсем потеряла связь с реальностью. Каких успехов она достигла? Смогла разделить один шар на два точно таких же? Никакой практической ценности этот мысленный онанизм не даёт :-)
Mrrl
22.07.2015 07:17+1Было бы интересно знать о существовании сообществ математиков, занимающихся разработкой альтернативных моделей. Про любителей, всерьёз изучающих многомерную геометрию, я знаю. Удивительно, что удалось найти всего два таких форума на всю планету, учитывая, что с точки зрения линейной алгебры это лишь частный случай. А про альтернативные математики вообще ничего не нашлось. С трудом нашёл какой-то учебник, где описывалась теория множеств без аксиомы выбора (ну, и ещё популярную книжку про аксиому детерминированности) — и всё. Где оппозиция? Опять по кухням собирается?
konsoletyper
22.07.2015 09:42+1И это не математика, а мета-математика, ибо в своём формализме совсем потеряла связь с реальностью.
Неправда! ZF о чём говорит, если рассматривать на философском уровне? О том, что нам надо из рассуждений явно исключать любые универсальные абсолютные категории. Это очень полезная в жизни и в карьере айтишника вещь. Очень часто при аналитике требуется как раз такие категории в рассуждениях постараться выявить и устранить. Конечно, это можно и без знания ZF понять, «житейской» мудростью, но лично для меня в своё время знакомство с наивной теорией Кантора и со способом эту теорию обойти, было таким сильным впечатлением, что никакой житейской мудрости не понадобилось и я закончил университет с таким важным пунктиком в своём фундаменте.vintage
22.07.2015 10:33Я не говорю, что формализм — это плохо, но строиться он должен на продуктивном наборе аксиом. Математика не должна замыкаться в себе, а должна находить себе применение в реальном мире.
PsyHaSTe
27.07.2015 10:36+1А кто вам сказал, что математика должна быть прикладной? Вон, игра в «контру» или майнкрафт ни разу не прикладная, стоит ли осуждать людей, которые ей занимаются?
vintage
27.07.2015 19:23А вы считаете, что она должна быть эзотеричной и не требовать фальсифицируемости выводов? Я не против развлечений и упражнений в духе «что будет, если мы примем такой то набор аксиом», только к науке это мало относится.
PsyHaSTe
27.07.2015 19:35+1Так вы говорите «должен». А я говорю не более должен, чем обязательство всех программ быть учебными или рабочими.
Sirion Автор
22.07.2015 08:15+3Для того, чтобы называть нечто «альтернативной теорией», надо это нечто сначала сформулировать. При таком раскладе разговор начался бы иначе и продолжился бы иначе. Одно дело — «я считаю, что ZFC говно, и такая-то теория лучше. так вот, в этой теории...». Совсем другое — «вы ничего не понимаете в бесконечности, она не такая, а совсем другая».
Спорить о свойствах бесконечности отдельно от теории — всё равно что спорить о том, сгорают ли вампиры на свету, не указав конкретный фэнтезийный сеттинг. И то, и другое — мысленные конструкты, свойства которых зависят от других конструктов, а не выводятся непосредственно.
konsoletyper
22.07.2015 09:36+2ZF, разумеется, не единственная возможная теория. Однако, когда мы говорим о доказательстве, мы говорим о доказательстве в рамках определённой теории, так что прежде всего необходимо определиться с рамками. Кроме того, при доказательстве в рамках любой теории нельзя нарушать правила элементарной логики, что и допускает автор «парадокса».
mayorovp
21.07.2015 11:01«пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу»
Такого в том доказательстве нет. Существование x в нем не постулируется, а доказывается.vintage
21.07.2015 23:35-1Доказывается только, что такое число не равно любому наперёд заданному набору чисел. Существование такого числа для бесконечного набора чисел никак не доказывается.
Mrrl
21.07.2015 23:50Кажется, эта модель называется «конструктивизм»? Такое впечатление, что натуральный ряд у вас вообще не является множеством — раз вы не можете взять сразу бесконечный занумерованный набор объектов (вещественных чисел). Наверное, можно и так. Но это уже другая математика, не мейнстрим…
konsoletyper
21.07.2015 11:03пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу
Можно ссылочку? Я теорию множеств Кантора изучал по учебнику, а не по его оригинальным работам. Эта цитата без контекста мало что даёт.vintage
21.07.2015 23:45Освежите в памяти «диагональный метод». Именно число не равное всем он и строит.
konsoletyper
22.07.2015 09:47Не так. Он берёт множество действительных чисел и в нём ищет такое число. Вы берёте множество N \ {1} и на очередном шаге почему-то дополняете его единицей. Это явно некорректный шаг, ибо изначальное утверждение было относительно N \ {1}. Далее, он не создаёт и не добавляет извне число «не равное всем», а находит его и доказывает, что оно не маппится на N.
vintage
22.07.2015 10:39Обоснуйте явность некорректности :-) Это абсолютно эквивалентные рассуждения. Хотите «поиск» — пожалуйста:
x — такое число, которое минимум на 1 больше любого числа из N.konsoletyper
22.07.2015 11:52x — такое число, которое минимум на 1 больше любого числа из N.
Такое высказывание прямо противоречит определению N в аксиоматике Пеано.
vintage
22.07.2015 00:18senia
22.07.2015 03:51Странная ссылочка. Даже мне, с моими весьма слабыми способностями к математике, видно множество противоречий. Самое очевидное: даже если, как утверждает автор, диагональный метод дает только 1 новый элемент, это еще не значит, что не существует метода дающего большее количество новых элементов (например счетное множество новых элементов). Бремя доказательства отсутствия такого метода лежит на авторе.
Да и зачем вы тащите на хабр старую и давно протухшую бяку. Легко же находятся статьи, аргументированно разносящие логические построения Зенкина в клочья, например. Тут достаточно только того, что метод от противного в классическом доказательстве вообще не используется (а ведь на его использовании строятся все рассуждения Зенкина).Mrrl
22.07.2015 07:28+1Тут достаточно только того, что метод от противного в классическом доказательстве вообще не используется.
Хм. Итак, есть две формулировки
«Предположим противное. Допустим, есть счётная нумерация вещественных чисел… Получаем число, не имеющее номера — противоречие».
И
«Возьмём произвольную счётную последовательность вещественных чисел… Получаем число, не входящее в эту последовательность».
Я разницы не вижу. По-моему, во втором случае всё равно неявно используется доказательство от противного. Собственно, конструктивного определения несчётного множества у нас нет — есть только отрицательное — «то, для которого не существует биекции с конечным или счётным». Уже потом появляются биекции с доказанными несчётными.senia
22.07.2015 08:50В первом случае для доказательства несчетности используется предположение о счетности — это и есть доказательство от противного ( из утверждения следует его отрицание ) и именно на основании этого Зенкин получает то, что у него идет по номером (2) и что ему так не нравится.
Во втором же случае (если я всё понял правильно) для доказательства не счетности предположение о счетности не используется, а напрямую доказывается, что любая инъекция из N в R не является биекцией. Это не является доказательством от противного.mayorovp
22.07.2015 10:09Справедливости ради, переход от утверждения «любая инъекция из N в R не является биекцией» к утверждению «биекции между N и R не существует» является переходом от противного.
Sirion Автор
22.07.2015 11:50А возможно ли доказательство несуществования без использования метода «от противного»?
vintage
22.07.2015 11:24это еще не значит, что не существует метода дающего большее количество новых элементов (например счетное множество новых элементов).
Об этом тоже есть в статье. Или вы прочитали только рецензию на форуме? :-)
А в цитатах нет ничего про несчётность. Там просто описываются алгоритмы получения чисел не входящих в некоторую последовательность, единственное свойство которой — оно бесконечно, но не обязательно захватывает все действительные числа. А вот чтобы доказать несчётность — уже приходится вводить тезис о счётности и опровергать его.
senia
21.07.2015 21:59Про Кантора вы очень не правы, про что вам уже писали.
пусть x — это такое число из R, которое не равно никакому другому числу
Ок, дали определение. Предположите существование — получите противоречие. Вывод: предположение не верно и объекта, удовлетворяющего определению не существует. Что дальше?
не всё, что можно описать, может существовать.
Это, образно, можно назвать одной из причин заката наивной теории множеств и начала аксиоматической теории множеств. И что?
1. Почему вы так уверены в своей правоте не допуская даже капли сомнений?
Меня ниже поправили. Отличный пример моей неправоты. Мне хватило одного замечания, вас же толпа народа пытается заставить думать над вашими высказываниями и это не выходит.
2
Ответил.
3
См. 2. Но мне определенно нравится ваше отсутствие сомнений. Аж 2 пункта праведного гнева.
2
Мы сейчас вообще-то о математической аксиоматической теории. Утверждения в рамках нее доказываются строго.vintage
22.07.2015 00:11Да-да, строго. Только с набором аксиом всё никак не определятся :-)
Mrrl
22.07.2015 00:59На какое-то время, всё-таки, определились. ZF+AC+закон исключённого третьего… множества, как базовый объект… Кому интересны классы, вводят их, другие обходятся.
А что будет дальше — посмотрим. Должно случиться что-то очень серьёзное, чтобы стали всерьёз рассматривать альтернативы.
konsoletyper
21.07.2015 09:10+1Счетное множество можно разбить на любое конечное число счетных подмножеств
Поправка — на любое счётное число счётных подмножеств.
ildarz
20.07.2015 18:12+4Чтобы доказать несчетность, необходимо показать существование «непосчитанного» элемента для любого способа подсчета, а не для некоего заранее заданного, как вы пытаетесь сделать.
И, наоборот, для доказательства счетности достаточно привести один способ построения биекции.vintage
20.07.2015 20:19-2Обоснуйте необходимость «любого способа подсчёта». Не припомню такого в определении биективного отображения.
khim
20.07.2015 20:59+5Вы издеваетесь или действительно нифига не понимаете? Зачем вы вообще взяли два множества? Возьмите ? и создайте инъекцию:
1>2
Так как «слева» у нас использованы все числа, а «справа» у нас осталась единица, то мы «доказали» (если следовать вашей логике), что мощность ? больше мощности ?. Вряд ли на таком фундаменте можно построить какую-либо осмысленную теорию.
2>3
…
vintage
21.07.2015 00:24-3Вообще-то я именно это и сделал, используя ровно ту же схему доказательства, что использовал Кантор для обоснования несчётности вещественных чисел.
khim
21.07.2015 01:16Кантор делал совсем не это. Он взял отображение и начал его исследовать. Вы же предварительно его изменили: добавили какие-то элементы, что-то куда-то сдвинули. Получили совсем другое отображение которое отчего-то вдруг не оказалось биекцией. Ну а с чего ему быть биекцией-то?
С бесконечными последовательностями много вещей, которые можно делать с конечными, делать нельзя. В конце концов вас не удивляет что «?((-1)n-1/n)=log(2)», а «?(1/(2n-1)-1/(4n-2)-1/(4n))=log(2)/2» притом, что в эти две суммы суммируют одни и те же элементы?vintage
21.07.2015 01:29Ну не знаю, может потому, что N и (N+1) U (1) — это одно и то же лицо?
Это с потенциальными бесконечностями это делать нельзя, а с актуальными очень даже можно.
Меня удивляет где вы потеряли значок предела :-)senia
21.07.2015 01:35+1Вас так удивляет, что из множества в подмножество этого же множества можно построить биекцию? Да, существует биекция между N и «N + 1».
Я вам сейчас вообще мозг сломаю: существует биекция между всеми натуральными и всеми четными. Как, например, существует биекция между вещественной прямой и любым ее промежутком.
Вы построили биекцию между множеством и его подмножеством — это нормально. Не понятно какие на основании этого вы делаете выводы.vintage
21.07.2015 01:51-1Нет, меня удивляет как люди ведутся на актуализацию бесконечности. Приятных снов :-)
Mrrl
21.07.2015 04:23+3Меня больше удивляет само понятие потенциальной бесконечности. С актуальной всё понятно — есть бесконечное множество — счётное, континуальное, промежуточное в случае отрицания континуум-гипотезы, аморфное в случае отрицания аксиомы выбора… с ним что-то делают, строят какие-то отображения, описывают свойства. Всё более-менее понятно. Кроме «аксиомы зависимого выбора» — в ней каким-то образом участвует построение бесконечности. Впрочем, не знаю, есть ли в ней толк. А потенциальная… закладываться на способ заполнения бесконечности? Спасибо, не надо. Так вы и дедекиндово (или не-дедекиндово? В общем то, которое не конечно и не эквивалентно своей части) множество построить не сможете.
vintage
21.07.2015 10:42-2Потенциальная бесконечность ничего не говорит о «способе заполнения». Она говорит лишь об отсутствии конца. А вот актуальная говорит, что мы конец-таки нашли и назвали его Алеф-ноль, но ничто нам не мешает найти конец, больше этого конца и назвать его Алеф-1. И концов этих — бесконечное число.
ildarz
21.07.2015 11:53+1Потому что смотреть надо в определение счетного и несчетного множеств, а не в определение биекции.
Дальше — тривиальные следствия из определений, на уровне силлогизмов.
maisvendoo
20.07.2015 19:07
Журавлёв… «Основы теоретической механики»
Весьма благодарен за наводку на эту книгуSirion Автор
20.07.2015 19:33Я заподозрил, что она хороша, прочитав предисловие. Но в термехе не разбираюсь, потому от рекомендаций воздержался.
parpalak
21.07.2015 23:12У нас в институте Журавлев вел теормех. Близко к своей книге. Я бы не стал рекомендовать книгу для первого знакомства, но для искушенных читателей и специалистов вполне подойдет.
Спасибо, кстати, за разбор формулы :)
deniskreshikhin
20.07.2015 20:31+4Пичкаете читателей откровенным старьём.
Есть нормальное определение уже, занимает примерно 4,523,659,424,929 символов.
www.dpmms.cam.ac.uk/~ardm/inefff.pdf
khdavid
21.07.2015 00:37+10Очень хорошая статья. Спасибо. Кстати Журавлев преподавал нашему курсу в МФТИ. И про эту цитату я услышал впервые лично от него. А еще смею похвастаться, что я самолично очень-очень давно вырезал эту цитату из электронной книги и вставил в интернет)
DigitalSmile
21.07.2015 09:55+1Спасибо! Хоть и далек от математики, читаю все Ваши статьи с удовольствием!
Palomnik
21.07.2015 10:49+1Прекрасный язык. Надеюсь, вы преподаете и ваши ученики вас любят :)
Sirion Автор
21.07.2015 10:54Увы, преподавал полгода, потом бросил. Я плохо умею объяснять что-либо глупым студентам, а умные из нашей глубинки бегут.
maisvendoo
21.07.2015 13:52плохо умею объяснять что-либо глупым студентам
У меня за пять лет выработался определенный иммунитет. Но всё равно обидно. Качество кадров, поставляемых школой неуклонно снижается
Beholder
21.07.2015 11:35
А знаете, как программист 21-го века, привыкший видеть на экране разного рода деревья и диаграммы, я в этом нахожу что-то хорошее. По крайней мере, тут можно попробовать понять что где начинается и что где кончается. Может стоит развить такой язык?
Фреге заявлял, конечно, что «удобство наборщика в типографии определённо не есть высшее благо»,
У нас уже давно вся вёрстка стала компьютерной, так что через столько лет он в чём-то прав. Вёрстку может делать сам автор как ему удобнее. А если что-то сложно сделать, например, при помощи LaTeX — то это, извините, проблема самого LaTeX.Sirion Автор
21.07.2015 11:38Средствами двадцать первого века можно и обычную формулу развернуть в синтаксическое дерево. С другой стороны, если создавать «деревья» Фреге в каком-то редакторе (не WYSIWYG, конечно), то в любом случае придётся набирать какую-то строку символов.
mayorovp
21.07.2015 16:54У этих обозначений куча других недостатков, кроме удобства набора.
Принятое сейчас обозначение импликации — >, прекрасно запоминается. Я когда впервые увидел A > B, так сразу понял, в что тут из A следует B, но не наоборот (да, я знаю, что импликация — это не совсем следование. и даже совсем не следование — но я сейчас говорю про интуитивность восприятия математического символа — а интуитивно импликация именно как следование и воспринимается).
Это обозначение можно и развернуть: B < A. Хоть так обычно не пишут — но тут сразу понятно, что мы просто развернули стрелочку, а не сделали что-то более хитрое.
Обозначения Фреге же не дают такого понимания. Постоянно приходится напоминать себе: «причина — снизу», «причина — снизу», «причина — все еще снизу»… Единственное их достоинство — в них куда меньше скобок, чем в «строчных» формулах. Но заметьте: совсем без скобок обойтись Фреге не удалось!
Если и переходить к диаграммам, то лучше на основе все той же стрелочки. Ведь стрелочку можно развернуть в любом направлении, не только горизонтально — и задать ей любую длину.
Тогда A > (B > C) превратится во что-то вроде
B A >v CBeholder
21.07.2015 18:26Я не имел в виду именно вот такую нотацию. Но смысл в том, чтобы отойти от двумерной цепочки неких иероглифов (которую надо разбирать мозгом по разным правилам, учитывая приоритет и ассоциативность), и прийти к двумерной развёрнутой структуре.
Mrrl
21.07.2015 23:02+3А вот интересно, что такое
множество всех множеств, содержащих ровно один элемент
с которого всё начинается? Возможно, когда формулу писали, такой объект ещё был возможен, но сейчас-то? Ведь всем известно, что такой объект множеством не является.
И если у них есть операция «найти мощность множества», то что им мешало просто взять множество {{}} и найти его мощность? Или там принцип такой — ничего конструктивного, идём исключительно от универсума путём накладывания ограничений?mayorovp
21.07.2015 23:28Насколько я понимаю, там была попытка написать как можно большую часть статьи при помощи закорючек. Если сейчас структура нормальной статьи — это введение на человеческом языке — формула — пара слов — еще формула… — то там все эти переходные части тоже писались закорючками. Эту формулу не следует рассматривать как формальное определение — потому что это часть математического повествования.
Оригинала я не читал, но представляю, о чем там могла идти речь (в переводе на русский с закорючечного):
и так, мы показали, что все вполне упорядоченные множества можно разбить на классы эквивалентности, каждому из которых сопоставлено ординальное число. В один из таких классов попадут все множества, состоящие из одного элемента. Число 1 — это и есть ординальное число, сопоставленное такому классу эквивалентности.
В таком виде формула рассуждения выглядят рационально. А если давать определение ординальному числу 1 — то, конечно же, надо либо определять его как ординал множества, состоящего из пустого — либо как ординал, следующий за ординалом пустого множества, если операция получения следующего ординала уже определена.Mrrl
22.07.2015 07:49Да. «Ординальное число 1» действительно похоже на то, что здесь определяется. А имеет ли оно какое-нибудь отношение к натуральному числу 1 — вопрос к Пеано с его аксиоматикой :)
Sirion Автор
22.07.2015 00:22Когда формулу писали, такой объект был вполне возможен. Писалась она, напомню, для формулировки первого из парадоксов наивной теории множеств.
Я, кстати, не могу сходу сообразить, к какому противоречию приведёт его существование сейчас.Mrrl
22.07.2015 01:06+2Ну, поскольку существует естественная биекция между классом одноэлементных множеств и универсумом… Как насчёт такого:
Существует множество одноэлементных множеств, в которое входят те и только те множества X, единственный элемент которых не содержит X в качестве элемента?
xiWera
22.07.2015 00:49Однозначный фан! :)
P.S. глубина статьи прямо пропорциональна бессонице автора вызванной отпечатком формулы на сетчатке :)
Sirion Автор
22.07.2015 12:59+4Поскольку ветка дискуссии, начинающаяся вот с этого комментария, непоправимо замусорилась, я выложу своё финальное (надеюсь) возражение здесь. Для начала докажем теорему.
Теорема: счётное количество попарно различных точек на плоскости не может находиться на одной и той же прямой.
Доказательство: предположим обратное. Пусть у нас есть такое множество S. Поскольку его точки попарно различны, прямая, на которой они лежат, определяется единственным образом. Рассмотрим любую точку A, не принадлежащую этой прямой. Как известно, счётное множество не изменится, если добавить к нему ещё один элемент. Поэтому S U {A} = S. Однако множество S U {A} не лежит на одной прямой, значит, не лежит и S. Противоречие.
Звучит странно? Однако здесь используется тот же метод, что и в «антимонии» г-на vintage. Проблема в том, что он путает равномощность и равенство. Это простительно (т.е. формально некорректно, но не приводит к ложным выводам), пока элементы множеств «безлики». Однако как только они начинают участвовать в тех или иных отношениях, случается, выражаясь математическим языком, кирдык.
Упражнение для самостоятельной работы: докажите, используя «винтажный метод», что у множества натуральных чисел не существует несобственных подмножеств.vintage
23.07.2015 10:32«Когда палец указывает на небо — дурак смотрит на палец»
Я ничего не путаю, я лишь показываю (и со мной согласны более именитые математики, раз я для вас недостаточный авторитет, чтобы прислушиваться к моим аргументам), что Канторовская логика, основанная на актуальности бесконечности, приводит к полнейшим глупостям.
Ну и на последок цитата того самого «опального учёного», которому, я не сомневаюсь, вы бы с радостью слили карму, за «не следование курсу партии»:
Рассел, например, считал, что корнем всех «парадоксальных зол» является так называемая «самоприменимость» понятий и потому предложил запретить использование в математике таких логических конструкций, в которых нечто утверждается или отрицается относительно самих этих конструкций (логицизм).
www.ccas.ru/alexzen/papers/vf2/vf2-rus.html
Брауэр отказался от использования закона исключенного третьего (интуиционизм), что, по образному, но очень точному выражению Гильберта равносильно тому, как если бы «боксерам запретили пользоваться на ринге кулаками».
Сам же Гильберт вообще предложил изгнать семантику-смысл из математических утверждений (формализм) и свести всю математику к «игре в символы» (мета-математика, претендующая на то, чтобы стать «единственно верной» теорией доказательства, и рассматривающая всю математику от Пифагора до наших дней как содержательную, неформальную, т.е. «наивную», и потому не отвечающую мета-математическим критериям строгости доказательств.).
Общим для всех этих «технологий», более похожих на грубое хирургической вмешательство, чем (по мягкому выражению Гильберта) на «лекарства против парадоксов», является готовность пожертвовать любой частью здорового тела математической науки, но не столько для избавления математики от парадоксов (см. ниже), сколько ради сохранения … теории трансфинитных чисел Г.Кантора, которая, например тому же Гильберту представлялась «заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека». Хотя ни для кого и никогда не было секретом, что для «спасения» математического «Титаника» было достаточно «запретить» использование в математике актуальной бесконечности и «пожертвовать» именно теорией трансфинитных чисел Георга Кантора. Однако, никто из указанных (и неуказанных) выше борцов за дело, которое «выходит за пределы узких интересов специальных наук», не пожелал «покинуть рай, в который привел математиков Кантор, и удалиться в менее роскошные, но более надежные обиталища».
Но, как известно, не бывает правил без исключений, и в этом смысле, пожалуй, дальновиднее всех поступил Г.Вейль, который, по его собственному признанию все же решил удалиться в далекие от всяких парадоксов, более спокойные и надежные области математики. Примечательно, что примеру Вейля последовали 99% работающих математиков, т.е. таких математиков, чьи научные результаты, в конечном счете, являются доступными верификации «числом или экспериментом».Sirion Автор
23.07.2015 11:27Батенька, если мы будем мериться ссылками на авторитеты, вы определённо проиграете. Давайте лучше по существу.
Ваш «парадокс» основан на том, что вы задаёте биекцию между множествами, а затем подменяете одно из них. «Ошибка» Кантора в глазах товарища Зенкина имеет ту же природу.
Я не утверждаю, что ZF, или ZFC, или ещё какой-нибудь, прости Господи, интуитивизм есть безусловное благо и безусловная истина. Однако стремление подвести под математическое знание максимально прочный базис я нахожу здоровым. И в вещах типа парадокса Банаха-Тарского, например, я ничего ужасного не вижу: если даже реальный, физический мир на низких или высоких уровнях ведёт себя контринтуитивно (квантовая механика, теория относительности), то миру математических абстракций это тем более простительно.
Вы с вашим Зенкиным предлагаете «пожертвовать» «теорией трансфинитных чисел»? Да пожалуйста. Подайте сюда альтернативную теорию, посмотрим, какова её доказательная сила и к каким парадоксам она приводит. Да, и уже существующий корпус математических текстов на язык новой теории не забудьте перевести.
silvansky
Одна из лучших статей последнего времени! Спасибо! =)
Ещё в универе нам много рассказывали про различные упрощения и усложнения, парадоксы и т.д. Канторовой теории множеств. Но тогда ещё не говорили, что это «наивная теория множеств». =)